Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.
Единственное, что необходимо все время держать в голове — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.
Записать дробь
Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.
144 ÷ 36 , это выражение следует переписать так: 144 36
Использовать один знак корня
В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.
Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.
144 36 . Это выражение следует записать так: 144 36
Разделить подкоренные выражения
Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.
144 36 = 4 , запишем это выражение так: 144 36 = 4
Упростить подкоренное выражение (если необходимо)
Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.
Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.
4 — полный квадрат, потому что 2 × 2 = 4 . Из этого следует:
4 = 2 × 2 = 2 . Поэтому 144 36 = 4 = 2 .
Записать дробь
Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители.
8 ÷ 36 , переписываем так 8 36
Разложить на множители каждое из подкоренных выражений
Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.
Упростить числитель и знаменатель дроби
Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.
2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2 , из этого следует: 8 36 = 2 2 6
Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)
В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него.
Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.
В выражении 6 2 3 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3 , чтобы избавиться от него в знаменателе:
6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3
Упростить полученное выражение (если необходимо)
Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.
2 6 упрощается до 1 3 ; таким образом 2 2 6 упрощается до 1 2 3 = 2 3
Упростить множители
Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!
4 32 6 16 . Сначала сокращаем 4 6 : делим на 2 и числитель, и знаменатель: 4 6 = 2 3 .
Упростить квадратные корни
Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.
32 делится нацело на 16 , поэтому: 32 16 = 2
Умножить упрощенные множители на упрощенные корни
Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.
Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)
4 3 2 7 . Следует умножить числитель и знаменатель на 7 , чтобы избавиться от корня в знаменателе.
4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7
Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе
Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.
1 5 + 2 — в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.
Найти выражение, сопряженное биному
Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.
5 + 2 и 5 — 2 — сопряженные биномы.
Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе
Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: ( a — b ) ( a + b ) = a 2 — b 2
1 5 + 2 = 1 ( 5 — 2 ) ( 5 — 2 ) ( 5 + 2 ) = 5 — 2 ( 5 2 — ( 2 ) 2 = 5 — 2 25 — 2 = 5 — 2 23 .
Из этого следует: 1 5 + 2 = 5 — 2 23 .
- Если вы работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь.
- Отличие сложения и вычитания от деления — подкоренные выражения в случае деления не рекомендуется упрощать (за счет полных квадратов).
- Никогда (!) не оставляйте корень в знаменателе.
- Никаких десятичных дробей или смешанных перед корнем — необходимо преобразовать их в обыкновенную дробь, а потом упростить.
- В знаменателе сумма или разность двух одночленов? Умножьте такой бином на сопряженный ему двучлен и избавьтесь от корня в знаменателе.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )
Продолжаем развлечение? В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам. Очень уж она полезная в решении примеров! Осталось ещё две. Переходим к следующей формуле. Это будет деление корней.
Формула столь же проста, как и умножение. Вот она:
Напоминаю: здесь а — неотрицательное число (больше или равно нулю), b — положительное (больше нуля)! Иначе формула смысла не имеет. Об этих тонкостях мы ниже поговорим.
У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения. Что можно делать прямо по формуле? Очевидно, делить корни.
Элементарно. Вот вам примерчик:
В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования. Например:
Здесь мы превратили двойку в корень квадратный из четырёх. Исключительно для того, чтобы формулу деления корней в дело употребить. Как видите, ничего здесь сложного нет.
Рассмотрим формулу деления корней в обратном направлении. Справа налево. Вот так:
Какие возможности раскрывает нам такая запись? Ничего нового, думаете? Ошибаетесь! Забавно, но простая запись формулы в другом направлении частенько высвечивает дополнительные возможности!
В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей! Например, пусть нам надо извлечь квадратный корень из дроби 25/144. Спокойно пишем себе:
Вот и все дела! От работы с дробью целиком, мы переходим к работе отдельно с числителем, отдельно со знаменателем. Что гораздо проще. А если дробь десятичная? Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь — переводите десятичную дробь в обыкновенную, и — вперёд! По формуле деления корней. Например:
Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! Как поступаем? Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь — и по знакомой формуле деления корней! К примеру, вот так:
Что, забыли, как переводить дроби? Срочно двигайте в тему «Дроби» и вспоминайте. А то ни дробь преобразовать, ни сократить её. И зачем вам тогда квадратные корни?
Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Простая и безобидная формула, простое употребление. Теперь в нашем арсенале уже две формулы. Умножение и деление корней. Табурет на двух ножках. Сидеть можно, но. некомфортно.)
Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. Или корень в квадрате. Или корень из степени. Корень в степени. Всяко называют. Но суть одна. Это возведение в степень подкоренного выражения или самого корня.
Можно ли корень возвести в квадрат? А почему нет? Умножить корень сам на себя — да все дела! И не только в квадрат можно. В любую степень. А извлечь корень из квадрата? Да тоже не проблема! Мы же умеем корень из произведения извлекать. Так что можно извлечь корень не только из квадрата, но и из любой степени.
Но именно эти действия вызывают массу проблем. С этим надо разобраться основательно. Что мы сейчас и сделаем. Начнём с безобидного действия. С корня в квадрате.
Так как посчитать корень в квадрате? Очень просто. Прямо по смыслу корня. Что такое корень квадратный из двух, например? Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. Так вот, если мы число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку, возведём-таки в этот самый квадрат? Что получим? Двойку, конечно! Т.е. подкоренное выражение. Или, в общем виде:
Вот и всё! Никаких подводных камней, всё строго по формуле! Возведение в квадрат корня квадратного из любого выражения даст нам это самое выражение. Понятно, что а — число неотрицательное. Иначе формула смысла не имеет.
А если корень не в квадрате, а в другой степени? Не вопрос! Если, конечно, знаете действия со степенями. По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Например, вот так (расписываю подробно):
Как видим, корень исчезает, Степень результата в два раза меньше исходной степени.
Если степень нечётная — разложим исходное выражение на множители, и все дела:
Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится. Корень в квадрате — штука бесхитростная. Разберёмся теперь с корнем из квадрата.
Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат.
Кто бы спорил? А теперь давайте обратно, извлечём из результата квадратный корень:
Опять всё чудесно, правда? С чего начали, к тому и вернулись! Стало быть, можно записать:
Оно и естественно, правда? Возведение в квадрат компенсируется обратной операцией — извлечением квадратного корня. В общем виде формула выглядит вот так:
Стоп! Внимание! Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: «где а — больше, либо равно нулю». В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней. Потому, что в примерах а частенько бывает отрицательным! Пока и мы будем считать, что а — неотрицательное. Для простоты. А вот как встретите на этой странице мрачного зайца — вот там и начнётся настоящая работа!
Продолжаем. Корень из квадрата извлекается просто. А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Допустим, в четвёртой? Да нет проблем. Приведём нашу степень к квадрату. Вот так:
Для таких преобразований надо опять-таки знать действия со степенями, но тут уж ничего не поделаешь.
Теперь по формуле корня из квадрата:
Вот и всё. Корень из любой чётной степени даст в результате подкоренное выражение в степени, в два раза меньше исходной. Корень из 3 10 ? Легко! Это будет 3 5 . Корень из 5 18 ? Запросто! Это будет 5 9 . Ну, и так далее.
А если степень нечётная? Подумаешь! Раскладываем подкоренное выражение на множители — и вперёд! Используем вынесение множителя из-под корня. Например:
Всё просто. Но до сего момента мы работали только с неотрицательными числами и выражениями. Как только в игру вступают отрицательные величины, простота куда-то пропадает начисто. Вернём эту простоту и ясное понимание.
Вот тут и будет мрачный заяц. Для лучшего запоминания.) Концентрируем внимание и собираем весь интеллект в кулак!)
Итак, откуда в корнях могут появиться отрицательные числа и выражения?
Пунктик первый. Отрицательные значения даны прямо в задании. Вспоминаем пример корня из квадрата двойки:
Здесь всё понятно и просто.
А теперь попробуем вычислить:
Берём, и просто считаем, безо всяких формул:
Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) — всегда число неотрицательное! То есть:
А если бы мы использовали формулу:
получили бы не два, а минус два! Что является ошибкой.
Не работает эта формула для отрицательных значений.
Для того, чтобы формула корня из квадрата работала для всех значений а, она записывается вот так:
Это и есть последнее, третье свойство корней. Корень из квадрата. Третья ножка для табурета.)
Здесь появляется страшный значок для старшеклассников. Модуль. Если вы пока не сильны в раскрытии модулей, не волнуйтесь. Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Формула стала полноценной. Модуль просто отсекает минусы:
Пунктик второй. Отрицательные значения спрятаны в буквах и дополнительных условиях. Например, требуется упростить выражение:
Не выходит? Смотрим ЗАКЛЮЧЕНИЕ урока.
Получилось? Неплохо. А как вам эти примерчики?
Вычислить (все буквы — неотрицательные):
Ответы (в беспорядке): выражение не имеет смысла; 5; 4; 1; -3; 0,5
Всё нормально!? Отлично. Корни — не ваша проблема.
Не всё понятно? Не беда. Читаем дальше.
Не получаются даже простые примеры? Или не очень простые? Хотелось бы увидеть решение всех примеров с подробными и понятными объяснениями? Нет проблем! Идём в Особый раздел 555. Квадратные корни. Там даны все разъяснения. Которые, между прочим, годятся не только для решения этих примеров.
Это и будет последняя, четвёртая ножка для табурета.) Которая не даст свалиться и при серьёзных заданиях.
Особо ценная информация Раздела 555 помогает даже в самых запущенных случаях!) Когда не получается — и всё тут! Не говоря уж об отдельных неясностях. В этом разделе вы познакомитесь с практической работой с корнями.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?
Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?
Важные замечания!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для подготовки к ЕГЭ по математике, ОГЭ по математике и ЕГЭ и ОГЭ по другим предметам.
Для начала почитай комментарии внизу этой статьи, чтобы понять насколько крутой материал ты сейчас читаешь! )
А теперь давай попробуем разобраться, что это за понятие такое «квадратный корень».
К примеру, перед нами уравнение .
Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом ?
Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ: и (ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)!
Для упрощения, математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ .
Давай разберемся с корнем до конца.
| Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен . . |
А почему же число должно быть обязательно неотрицательным?
Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим: , а не .
Может, ? Опять же, проверяем: .
Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!
| Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным! |
Однако ты наверняка уже заметил, что в определении сказано, что решение квадратного корня из «числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен ».
А в самом начале мы разбирали пример , подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом , ответом были и , а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»!
Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа.
К примеру, не равносильно выражению .
, то есть или ; (не помнишь почему так? Почитай тему «Модуль числа»!)
Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.
В наше квадратное уравнение подходит как , так и .
Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
А теперь попробуй решить такое уравнение .
Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?
Начнем с самого начала – с нуля: – не подходит.
Двигаемся дальше ; – меньше трех, тоже отметаем.
А что если ? Проверим: – тоже не подходит, т.к. это больше трех.
С отрицательными числами получится такая же история.
И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?
Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между и , а также между и .
Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.
Давай построим график функции и отметим на нем решения.
Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из , делов-то!
Ой-ой-ой, выходит, что Такое число никогда не кончается.
Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?
Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. и уже сами по себе ответы.
Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.
Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной км, сколько км тебе предстоит пройти?
Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: .
Так чему же здесь равно искомое расстояние?
Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что . Корень из двух приблизительно равен , но, как мы заметили раньше, -уже является полноценным ответом.
Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать.
Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от до , а также уметь их распознавать.
То есть, тебе необходимо знать, что в квадрате равно , а также, наоборот, что – это в квадрате.
Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.
Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.
Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:
Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:
Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:
- умножение;
- деление;
- возведение в степень.
Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:
Корень произведения равен произведению корней:
Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя:
Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:
Попробуем решить по несколько примеров на каждое свойство!
Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!
Минуууточку. это , а это значит, что мы можем записать вот так:
Усвоил? Вот тебе следующий:
Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда – вот тебе такие примеры:
А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:
Теперь полностью самостоятельно:
Ответы: Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!
С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.
Напомню, что формула в общем виде выглядит так:
А значит это, что корень из частного равен частному корней.
Ну что, давай разбираться на примерах:
Вот и вся наука. А вот такой пример:
Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.
А что, если попадется такое выражение:
Надо просто применить формулу в обратном направлении:
Еще ты можешь встретить такое выражение:
Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!
Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.
А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа – это число, квадратный корень которого равен .
Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен , в квадрат, то что получаем?
Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!
Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.
Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.
Вот, к примеру, такое выражение:
В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:
С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:
Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:
Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:
Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!
Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному – рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!
Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?
Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)
Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!
Например, определи, что больше: или ?
Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?
До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!
Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:
Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:
Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.
Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:
Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:
А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):
Получилось ? Молодец, все верно!
А теперь попробуй вот такой пример решить:
А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.
- Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен .
. - Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
- Свойства арифметического корня:
Свойство Пример Корень произведения равен произведению корней , если Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя. , если Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение , при - При сравнении квадратных корней необходимо помнить, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.
Мы постарались объяснить тебе без воды все что нужно знать на экзамене про квадратный корень.
Теперь твоя очередь. Напиши нам сложная это для тебя тема или нет.
Узнал ты что-то новое или все было и так ясно.
Пиши в комментариях и удачи на экзаменах!
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время.
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье — Купить статью — 299 руб
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника — Купить учебник — 499 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение.
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
спасибо огромное очень помогли
Люба, и тебе спасибо. Очень рады помочь!
Спасибо. Я начала понимать алгебру благодаря вашему сайту !
Анна, очень приятно слышать. Особенно нашим преподавателям, которые писали этот учебник Шевчуку Алексею Сергеевичу и Баштовой Елене Евгеньевне. Удачи, тебе на экзаменах.
я работаю достаточно долго. а работа -ах как мне понравилась! спасибо!
шыкарнае обясненее. я сразу всё понила.
шЫкарнА длА пАвтАрения перИт кАнтрольнАй))) А если нормально, но действительно годная теория))
«Паффтарения» пишыца чириc дфа фэ. Спасибо! :))
СПАСИИИИБОО. 10 лет назад закончила учебу, а сейчас понадобилась математика вновь. Очень доходчиво и легко пишете. Огромное спасибо!
Ничего себе! Через 10 лет понадобилась школьная математика? Мы рады, что помогло, Ирина.
Ксения, спасибо и тебе! Удачи на экзаменах!
Благодарю:3 Очень помогло! Я не поняла корни на уроке,а тут просто и четко объяснили! Спасибо огромное)
Очень рады, что помогло! Теперь если что не понятно, ты знаешь где искать простое и четкое объяснение 🙂 На youclever )
Спасибо огромное!Думала репетитора придётся нанимать.Молодцы всё очень понятно.
Пожалуйста, Нина. Очень приятно слышать такую оценку. но если захотите все-таки нанимать репетитора, посмотрите сначала наши курсы на 100gia.ru. Пишите )
Очень помогла теория и тут же закрепила практикой. Спасибо за понятную теорию!
Рады слышать. Пожалуйста. (не знаю как обращаться, Арсений?). А где закрепляла практикой? Здесь же в учебнике? Или где-то еще. Вопрос не праздный. Очень надо знать.
Всё очень понятно, но здесь к сожалению нет примеров, с которыми у меня возникают трудности: это когда под корнем ещё один корень( а под ним может быть ещё один, и т.д.).
Илья, замечание принято. К сожалению мы не успеваем учитывать все, но вот какое объяснение я нашел на стороннем ресурсе. Может будет понятно. https://www.youtube.com/watch?v=5rntedrQ7NY
Спасибо!За 10 минут я понял всю тему чем за 45 минут урока.
Алик, как приятно слышать! Мы, вся команда, математики, консультанты, администраторы именно этого и добивались, чтобы было понятно за 10 минут. Удачи на экзаменах!)
Очень доходчиво! Буду надеяться что сдам конторошку. Кстати не знаю нужно это вам или нет, НО мы сейчас час проходим такие примеры: Под корнем 17 в степени 2 минус 8 в степени 2(это на пример) В общем я думаю вам бы понадобилось и это записать)
Полина, спасибо! Лучики тепла тебе и удачи ни контрошке. Может быть тебе будет интересно. у нас на 100gia.ru есть возможность за небольшие деньги купить «Тренировку по теме». Там по каждой теме много задач, с решениями и ответами моментальными и с объяснениями. Как раз чтобы подготовиться к конкретной контрошке (хорошее слово, кстати) 🙂
Полина, посмотри в теме «Формулы сокращённого умножения» — разность квадратов: https://youclever.org/book/formuly-sokrashhennogo-umnozheniya-1#raznost-kvadratov
А про построение графиков с арифметическими корнями, если они возводятся в квадрат. y=(√x+3)^2+(√5-x)^2 при x>5 корень над всем выражением в скобках
Юля, если корень возводится в квадрат, нужно написать ОДЗ и убрать корни вместе с квадратами. Если же это корень из квадрата выражения (то есть квадрат под корнем), то он превращается в модуль выражения.
И все же. если в примере стоит корень из 64, то в ответе надо писать 8 или + — 8?
Насколько я понимаю есть две ситуации: 1) x^2=64. и 2) x= √64. В первом случае у нас квадратное уравнение и его решением будет «модуль х =√64» (уже видно отличие от второго случая) и, далее получаем два корня x1 = +8 и х2 = -8 Во втором случае у нас НЕТ квадратного уравнения, просто х равен корню из числа и в этом случае ответ всегда «одно неотрицательное число», то есть 8. (Это из определения корня, см выше)
Ответьте мне пожалуйста на 1 вопрос. Зачем он нужен этот квадратный корень? Я начинающий программист в школе учился хорошо, сейчас для общего развития решаю задачки со всякими алгоритмами в том числе с квадратным корнем. Чем умнее я становлюсь тем больше убеждаюсь что вся эта муть простому человеку нафиг не нужна ну серьёзно. Чтобы делать сайты не нужно быть математиком, я уже не говорю про гуманитариев, которые даже таблицу умножения могут не помнить уже. Так зачем всё это нужно?
Хороший вопрос, Сергей ). По мне, так вопрос «Зачем?» самый важный и интересный. В особенности в математике. Ответ есть в нашем тексте. Почитайте внимательно. Математики люди ленивые и потому сообразительные. Чтобы записывать иррациональные числа более простым способом ввели понятие квадратного корня. Вот и все.
Здравствуйте! Очень много полезной информации! СПАСИБО! Но я не смог найти информацию про корень в корне, т.е. вот посмотрите пример 5 на этом сайте: http://ru.solverbook.com/primery-reshenij/reshenie-primerov-s-kornyami/
Спасибо, Александр. Про «корень в корне» где-то у нас тоже было. Но спасибо за ссылку. Пусть повисит здесь у нас.
В школе ничего не понял, зашел на сайт и разобрал темы на 3 урока вперед. Спасибо вам, доходчиво и с подробными объяснениями.
Егор, вот ради таких комментариев мы и работаем. ОЧЕНЬ приятно слышать всей нашей команде!
Мне 72 , внучка задала вопрос по возведению в степень корня. Подзабыла. с удовольствием вспомнила. Спасибо з!амечательно
О как! Светлана, здавствуйте! Очень приятно слышать! Удачи Вашей внучке на экзаменах! )
А мне 77 лет. С удовольствием заполняю досуг, благо свободного времени хватает. И такое удовольствие получаю. Вот бы так учили в мои школьные годы. Израиль
Вот это комментарий. Семен, это ОЧЕНЬ приятно слышать. У нас были сомнения о том, как писать учебник: как обычно или «человеческим» языком. Видимо мы нашли правильный способ подачи материала. Спасибо Вам и отличного времяпровождения )
Ребята Огромное спасибо, я после армии, нужно сдать экзамен)) вы очень помогли.
Привет, Александр. Приятно слышать. Сам через это проходил: сдавал вступительные экзамены в институт (тогда ЕГЭ не было) после армии. Это очень трудно. Удачи на экзаменах.
Тати, прости, мы не помогаем решать примеры. Может быть кто-нибудь из читателей покажет класс? )
Спасибо огромное! Всё очень понятно и даже увлекательно) Кажется я начинаю любить математику:З
Ого! Евгения, это то, на что даже мы не рассчитывали! 🙂 На самом деле очень приятно. Удачи тебе с математикой. Она не такая и страшная, правда ведь? )
пример . корень из 5 умножить на корень из 3 умножить на корень из 2 не правильно посчитан у вас. там получается корень из тридцати, а у вас тридцать..ошибка!
Спасибо, за внимательность, Светлана. Исправил ошибку.
Спасибо Вашей программе. Мне 72 , решил помочь внуку и чтобы не выглядеть неучем , вошел в вашу программу освежить немножко то что забыл. Объяснение очень доходчиво . СПАСИБО!
Сергей, спасибо Вам! Очень ценно для нас слышать такие отзывы. Мы старались написать программу так, чтобы люди без подготовки и без знаний математики смогли ее понять. Удачи Вам и Вашему внуку.
Вообще клево , инфа не теряет свойств со временем 🙂 Надо глянуть , что у вас тут еще есть по корням и теме , к ним прилежащей !
два корня из 6 правильный ответ а не 24 24 это коень 4 помножить на корень6 4 делим на 2 получаем 2 корень из 2 корень из 6 либо 6 тк само значение корня равно 2/2
Спосыба аграмнае, очинь панятна
Спосыба аграмнае, очинь панятна
Пажылуста ни мение агромнае!
Я уже 2 года учусь только по вашему сайту, ибо школа нормально ничего не объясняет. Снимаю шляпу перед YouClever. Спасибо, спасибо, спасибо.
Вау. Вот это да! Очень! Очень приятно!
Сайт-офигенный, вот реально, всё понятно, мне оч нравится, спасибо Вам большое от души
Алина, спасибо огромное! Лучики тепла тебе!))
И всё же, из сказанного (К примеру, x2=4x2 =4 не равносильно выражению x=4–x=√4)(вставилось с искажениями), всё равно в итоге приходим к двум значениям корня из положит. числа. Другое дело, что разбирая свойства корней, возникает необходимость преимущественно оперировать только положительным значением корня. А потому и привели их к положит. значению через абсолютную величину. Так, в примере — корень из 64 * из 9 = 8*3=24 оперировать попеременно и с отриц .значениями не получится. Сказанное настоятельно не утверждаю, просто в качестве рассуждения. Всё же как-то трудновато для понимания как бы неприемлемость отриц. значения при извлечении кв. корня из числа. А вот свойства, да, получаются без ограничений только для положительных корней. А потому оперируем только ариффметическими при преобразовании выражений.
Геннадий, это хороший вопрос, который в рамках школьной программы, к сожалению, не разбирается. Вы можете посмотреть ответ на подобный вопрос в этом видео: https://www.youtube.com/watch?v=w9wPMMapKIQ
Ваш сайт единственный который смог достучаться до меня (в плане алгебры).
Это очень. приятно слышать, Сергей. Удачи, на экзамене!
Спасибо огромное за теорию. Очень понятно и доходчиво написано, разобрала все за минут 40-50
Спасибо, Викп! Была бы у меня возможность ставить смайлики, поставил бы довольную рожицу! 🙂
Спасибо большое,все понял. почти. Вы написали что для того что бы вычислить квадратный корень из большого числа нужно разложить его на множители но как например разложить на множители такие крупные числа как 11234 3345 и т.д если таблицы квадратов на экзамене не будет+ очень трудно будет ее запомнить с11по 99)). Есть совет как быстро разложить такие большие числа на множители?
Спасибо, Павел. Если коротко, то нужно знать две вещи: 1) что такое простое число 2) признаки делимости чисел(наизусть) и затем делить большое число на наименьший простой делитель (кроме единицы) без остатка, в столбик, до тех пор пока не останется 1. В вашем примере, используя признаки делимости определяем на какое наименьшее простое число делится 112 343 345. На 2? Нет. На 3? Сумма цифр числа не делится на 3. Значит нет. На 5? Да! Делим на 5 в столбик и получаем 22 468 669. Опять вспоминаем признаки делимости. На какое наименьшее простое число делится уже новое число? И вот тут интересно. оно не делится без остатка ни на одно простое число. Это мы определяем по признакам делимости. Значит оно само — уже простое число. Мы можем разделить его только на 1 или на само себя. Вот мы и разложили ваше большое число на два множителя: 5 и 22 468 669. Если я нигде не ошибся )) Ну, думаю, идею вы поняли. Признаки делимости можно посмотреть здесь: https://youclever.org/book/razlozhenie-na-mnozhiteli-2 Их надо выучить назубок.
Павел, вот здесь наглядно очень про то, как раскладывать на множители большие числа: https://ru.wikihow.com/разложить-число-на-множители
Ребята, если хотите посмотреть скрытые элементы статьи бесплатно, просто пропишите display: block вместо display: none для класса paymenttoshow через инспектор в вашем браузере. P.S: Лучше прописывать для каждого элемента по отдельности, иначе страница зависает. P.Sx2: Уважаемая администрация и владельцы сайта, можете связаться со мной, я посоветую как исправить данную слабость и надёжнее скрыть эти элементы.
Вадим, спасибо за внимательность и найденную дырку — исправим )
Спасибо коллективу авторов и участникам проекта! Понятное объяснение на примерах!
Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.
Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)
Вы ведь тоже ещё не вкурили?
Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:
- Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
- Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.
Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.
Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $\sqrt$ и $\sqrt$. Для них всё вообще очевидно:
. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:
Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.
Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:
Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $\sqrt<32>$ и $\sqrt<2>$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу.
Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.
Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.
Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:
И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.
Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.
Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:
Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.
В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:
И вновь внимание второе выражение. Мы перемножаем кубические корни, избавляемся от десятичной дроби и в итоге получаем в знаменателе произведение чисел 625 и 25. Это довольно большое число — лично я с ходу не посчитаю, чему оно равно.
Поэтому мы просто выделили точный куб в числителе и знаменателе, а затем воспользовались одним из ключевых свойств (или, если угодно — определением) корня $n$-й степени:
Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:
Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?
При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)
Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.
Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $\sqrt<2>$ на какую-нибудь хрень типа $\sqrt[7]<23>$? Можно ли вообще это делать?
Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:
Однако эта формула работает только при условии, что подкоренные выражения неотрицательны. Это очень важное замечание, к которому мы вернёмся чуть позже.
А пока рассмотрим парочку примеров:
Как видите, ничего сложного. Теперь давайте разберёмся, откуда взялось требование неотрицательности, и что будет, если мы его нарушим.:)
Умножать корни несложно
Конечно, можно уподобиться школьным учителям и с умным видом процитировать учебник:
Требование неотрицательности связано с разными определениями корней чётной и нечётной степени (соответственно, области определения у них тоже разные).
Ну что, стало понятнее? Лично я, когда читал этот бред в 8-м классе, понял для себя примерно следующее: «Требование неотрицательности связано с *#&^@(*#@^#)
%» — короче, я нихрена в тот раз не понял.:)
Поэтому сейчас объясню всё по-нормальному.
Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше. Для этого напомню одно важное свойство корня:
Другими словами, мы можем спокойно возводить подкоренное выражение в любую натуральную степень $k$ — при этом показатель корня придётся умножить на эту же степень. Следовательно, мы легко сведём любые корни к общему показателю, после чего перемножим. Отсюда и берётся формула умножения:
Но есть одна проблема, которая резко ограничивает применение всех этих формул. Рассмотрим вот такое число:
Согласно только что приведённой формуле мы можем добавить любую степень. Попробуем добавить $k=2$:
Минус мы убрали как раз потому, что квадрат сжигает минус (как и любая другая чётная степень). А теперь выполним обратное преобразование: «сократим» двойку в показателе и степени. Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево:
Но тогда получается какая-то хрень:
Этого не может быть, потому что $\sqrt[3] <-5>\lt 0$, а $\sqrt[3] <5>\gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:
Убиться об стенуконстатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;- Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.
В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)
Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.
Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:
Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.
Пример. В числе $\sqrt[3]<-5>$ можно вынести минус из-под знака корня — тогда всё будет норм:
Чувствуете разницу? Если оставить минус под корнем, то при возведении подкоренного выражения в квадрат он исчезнет, и начнётся хрень. А если сначала вынести минус, то можно хоть до посинения возводить/убирать квадрат — число останется отрицательным.:)
Таким образом, самый правильный и самый надёжный способ умножения корней следующий:
- Убрать все минусы из-под радикалов. Минусы бывают только в корнях нечётной кратности — их можно поставить перед корнем и при необходимости сократить (например, если этих минусов окажется два).
- Выполнить умножение согласно правилам, рассмотренным выше в сегодняшнем уроке. Если показатели корней одинаковые, просто перемножаем подкоренные выражения. А если разные — используем злобную формулу \[\sqrt[n]\cdot \sqrt[p]=\sqrt[n\cdot p]<<^
>\cdot <^
>>\]. - 3.Наслаждаемся результатом и хорошими оценками.:)
Это самое простой вариант: показатели корней одинаковы и нечётны, проблема лишь в минусе у второго множителя. Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.
Пример 2. Упростите выражение:
Здесь многих смутило бы то, что на выходе получилось иррациональное число. Да, так бывает: мы не смогли полностью избавиться от корня, но по крайней мере существенно упростили выражение.
Вот на это задание хотел бы обратить ваше внимание. Тут сразу два момента:
- Под корнем стоит не конкретное число или степень, а переменная $a$. На первый взгляд, это немного непривычно, но в действительности при решении математических задач чаще всего придётся иметь дело именно с переменными.
- В конце мы умудрились «сократить» показатель корня и степень в подкоренном выражении. Такое случается довольно часто. И это означает, что можно было существенно упростить вычисления, если не пользоваться основной формулой.
Например, можно было поступить так:
По сути, все преобразования выполнялись лишь со вторым радикалом. И если не расписывать детально все промежуточные шаги, то в итоге объём вычислений существенно снизится.
На самом деле мы уже сталкивались с подобным задание выше, когда решали пример $\sqrt<5>\cdot \sqrt[4]<3>$. Теперь его можно расписать намного проще:
Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?
| 1. Квадратный корень из произведения двух неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей: | 1. Квадратний корінь з добутку двох невід’ємних множників дорівнює добутку коренів з цих множників: |
| 2. Квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицательный, а знаменатель положительный, равен корню из числителя, разделенному на корень из знаменателя: | 2. Квадратний корінь з дробу, чисельник якої ненегативний, а знаменник — позитивний, дорівнює кореню з чисельника, розділеному на корінь із знаменника: |
Чтобы извлечь квадратный корень из многочлена, надо вычислить многочлен и из полученного числа извлечь корень.
Внимание! Нельзя извлекать корень из каждого слагаемого (уменьшаемого и вычитаемого) отдельно.
Щоб витягти квадратний корінь з многочлена, треба обчислити багаточлен і з отриманого числа витягти корінь.
Увага! Не можна витягати корінь з кожного додатку (зменшуваного і від’ємного) окремо.
Чтобы извлечь квадратный корень из произведения (частного), можно вычислить корень квадратный из каждого множителя (делимого и делителя), а полученные значения взять произведением (частным).
Щоб витягти квадратний корінь з добутку (частки), можна обчислити корінь квадратний з кожного множника (діленого і дільника), а отримані значення взяти добутком (часткою).
Чтобы извлечь квадратный корень из дроби, надо извлечь квадратный корень из числителя и знаменателя отдельно, а полученные значения оставить дробью или вычислить как частное (если возможно это по условию).
Щоб витягти квадратний корінь з дробу, треба витягти квадратний корінь з чисельника і знаменника окремо, а отримані значення залишити дробом або обчислити як частку (якщо можливо це за умовою).
Из-под знака корня можно вынести множитель и можно внести множитель под знак корня. При вынесении множителя из него извлекается корень, а при внесении — он возводится в соответствующую степень.
З-під знака кореня можна винести множник і можна внести множник під знак кореня. При винесенні множника з нього витягується корінь, а при внесенні — він зводиться у відповідну ступінь.
| Если корень в знаменателе дроби, то такую дробь можно заменить тождественной ей дробью, не содержащей радикалов (корней) в знаменателе. Для этого умножают числитель и знаменатель дроби на такое выражение (сопряженное знаменателю), чтобы корень в знаменателе извлекался. | Якщо корінь в знаменнику дробу, то такий дріб можна замінити тотожним йому дробом, що не містить радикалів (коренів) у знаменнику. Для цього множать чисельник і знаменник дробу на такий вираз (поєднане зі знаменником), щоб корінь в знаменнику видалявся. |
| Освобождение дроби от радикалов в числителе (в знаменателе) дроби называется преобразованием алгебраической дроби. | Звільнення дробу від радикалів у чисельнику (в знаменнику) дробу називається перетворенням алгебраїчного дробу. Чтобы преобразовать сумму (разность) квадратных корней, нужно привести подкоренные выражения к одному основанию степени, если это возможно, извлечь корни из степеней и записать их перед знаками корней, а оставшиеся квадратные корни с одинаковыми подкоренными выражениями можно сложить, для чего складываются коэффициенты перед знаком корня и дописывается тот же квадратный корень. Щоб перетворити суму (різницю) квадратних коренів, потрібно привести підкоренні вирази до однієї основи ступеня, якщо це можливо, отримати коріння ступенів і записати їх перед знаками коренів, а решта квадратні корені з однаковими підкореними виразами можна скласти, для чого складаються коефіцієнти перед знаком кореня і дописується той же квадратний корінь. Приведем все подкоренные выражения к основанию 2. Из четной степени корень извлекается полностью, из нечетной степени корень основания в степени 1 оставляем под знаком корня. Приводим подобные целые числа и коэффициенты складываем с одинаковыми корнями. Запишем двучлен как произведение числа и двучлена суммы. Наведемо всі підкорені вирази до основи 2. З парного ступеня корінь витягується повністю, з непарного ступеня корінь основи в ступені 1 залишаємо під знаком кореня. Наводимо подібні цілі числа і коефіцієнти складаємо з однаковим корінням. Запишемо двочлен як добуток числа і двочлена суми. Приводим подкоренные выражения к наименьшему основанию или произведению степеней с наименьшими основаниями. Из четных степеней подкоренных выражений извлекаем корень, остатки в виде основания степени с показателем 1 или произведением таких оснований оставляем под знаком корня. Приводим подобные члены (складываем коэффициенты одинаковых корней). Наводимо підкорені вирази до найменшої основи або добутку ступенів з найменшими основами. З парних ступенів підкорених виразів витягаємо корінь, залишки у вигляді основи ступеня з показником 1 або добутком таких основ залишаємо під знаком кореня. Наводимо подібні члени (складаємо коефіцієнти однакових коренів). Заменим деление дробей на умножение (с заменой второй дроби на обратную). Перемножим отдельно числители и знаменатели дробей. Под каждым знаком корня выделим степени. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Извлечем корни из четных степеней. Замінимо ділення дробів на множення (з заміною другого дробу на зворотний). Перемножимо окремо чисельники і знаменники дробів. Під кожним знаком кореня виділимо ступені. Скоротимо однакові множники в чисельнику і знаменнику. Винесемо коріння з парних ступенів. Чтобы сравнить два квадратных корня, их подкоренные выражения надо привести в степени с одинаковым основанием, тогда чем больше показать степени подкоренного выражения, тем больше значение квадратного корня. В этом примере привести к одному основанию подкоренные выражения нельзя, так как в первом основание 3, а во втором – 3 и 7. Второй способ сравнения состоит в том, чтобы внести коэффициент корня в подкоренное выражение и сравнить числовые значения подкоренных выражений. У квадратного корня чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня. Щоб порівняти два квадратних кореня, їх підкорені вирази треба привести до ступеня з однаковою основою, тоді чим більше показник степеня підкореневого виразу, тим більше значення квадратного кореня. У цьому прикладі привести до одної основи підкорені вирази не можна, так як в першому основа 3, а у другому — 3 і 7. Другий спосіб порівняння полягає в тому, щоб внести коефіцієнт кореня в підкореневий вираз і порівняти числові значення підкорених виразів. У квадратного кореня чим більше підкореневий вираз, тим більше значення кореня. Используя распределительный закон умножения и правило умножения корней с одинаковыми показателями (в нашем случае – квадратных корней), получили сумму двух квадратных корней с произведением под знаком корня. Разложим 91 на простые множители и выносим корень за скобки с общими подкоренными множителями (13*5). Мы получили произведение корня и двучлена, у которого один из одночленов целое число (1). Використовуючи розподільний закон множення і правило множення коренів з однаковими показниками (в нашому випадку — квадратних коренів), отримали суму двох квадратних коренів з добутком під знаком кореня. Розкладемо 91 на прості множники і виносимо корінь за дужки із загальними підкореневими множниками (13*5). Ми отримали добуток кореня і двочлена, у якого один з одночленів ціле число (1). |
В подкоренных выражениях выделим множителями числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Извлечем квадратные корни из степеней и поставим числа коэффициентами квадратных корней.
У членов данного многочлена есть общий множитель √3, который можно вынести за скобки. Приведем подобные слагаемые.
У підкореневих виразах виділимо множниками числа, з яких можна отримати цілий квадратний корінь. Винесемо квадратні корені із ступенів і поставимо числа коефіцієнтами квадратних коренів.
У членів даного многочлена є спільний множник √3, який можна винести за дужки. Наводимо подібні доданки.
Произведение суммы и разности двух одинаковых оснований (3 и √5) по формуле сокращенного умножения можно записать как разность квадратов оснований.
Корень квадратный в квадрате всегда равен подкоренному выражению, поэтому мы избавимся от радикала (знака корня) в выражении.
Добуток суми і різниці двох однакових основ (3 і √5) з формули скороченого множення можна записати як різницю квадратів основ.
Корінь квадратний у квадраті завжди дорівнює підкореневому виразу, тому ми позбудемося радикала (знака кореня) у виразі.
А извлечь корень из квадрата? Множитель – число, стоящее непосредственно перед знаком корня. Так, например, в выражении 2(квадратный корень)5, число 5 является подкоренным выражением, а число 2 — множителем. Собственно, это и есть главная трудность в работе с корнями.
Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Перемножьте все члены между собой, включая множители перед корнями и подкоренные выражения. Всегда ищите делитель, из которого можно взять целый корень; это облегчит процесс. Если вы хотите узнать, как умножить корни с или без множителей, прочитайте эту статью.
Перемножьте числа под корнем. Запишите каждый корень с НОК в качестве нового показателя. Знак корня является еще одним способом записи дробных показателей. Когда множитель и корень записаны рядом, то это означает их умножение: 2*(квадратный корень)5. В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам.
Формула столь же проста, как и умножение. У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения. В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования.
Исключительно для того, чтобы формулу деления корней в дело употребить. В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей! Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь — переводите десятичную дробь в обыкновенную, и — вперёд! Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь — и по знакомой формуле деления корней!
Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. Мы же умеем корень из произведения извлекать. Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. Возведение в квадрат корня квадратного из любого выражения даст нам это самое выражение.
По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится. Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат. Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: «где а — больше, либо равно нулю». В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней.
Продолжаем. Корень из квадрата извлекается просто. А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) — всегда число неотрицательное! Это и есть последнее, третье свойство корней.
Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Если х Глазки у ребенка начали гноится когда мы были еще в роддоме. Тогда мы даже попали в больницу. С 1996г. по 2004г. работал детским […]
Красные пятна на листьях смородины Махровость черной смородины. Листья скручиваются и преждевременно опадают. Листовые пилильщики повреждают красную и белую смородину, […]
Ветрянка у детей Основные симптомы ветрянки у детей — это красная, зудящая сыпь, которая чем-то напоминает последствия укусов насекомых. Но это не значит, […]Степенью называется выражение вида .
Здесь — основание степени, — показатель степени.
Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.
Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.
Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.
Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:
Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.
Это верно для . Выражение 0 0 не определено.
Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.
Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.
Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.
Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.
Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.
Уравнение имеет два решения: и .
Это числа, квадрат которых равен .
Если мы нарисуем график функции , то увидим, что и у этого уравнения есть два решения, одно из которых положительно, а другое отрицательно.
Но эти решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того чтобы записать эти решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.
Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .
Запомните это определение.
Арифметический квадратный корень обозначается .
1) Квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел
2) Выражение всегда неотрицательно. Например, .
Перечислим свойства арифметического квадратного корня:
Запомним, что выражение не равно . Легко проверить:
Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .
Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .
Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .
Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.
Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.
Сразу договоримся, что основание степени больше .
Выражение по определению равно .
При этом также выполняется условие, что больше .
Запомним правила действий со степенями:
— при перемножении степеней показатели складываются
— при делении степени на степень показатели вычитаются
— при возведении степени в степень показатели перемножаются
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:
Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.
Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
Обучающее видео
БЕСПЛАТНО
Техническая поддержка:
dvd@ege-study.ru (круглосуточно)
Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!
Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.
Все поля обязательны для заполнения
Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.
Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса — от 3,5 до 4,5 часов.
- Уравнения (задача 13)
- Стереометрия (задача 14)
- Неравенства (задача 15)
- Геометрия (задача 16)
- Финансовая математика (задача 17)
- Параметры (задача 18)
- Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).
Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.
Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум — репетитор-профессионал Анна Малкова.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.
Задачи комплекта «Математические тренинги — 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.
Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.
- Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
- Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
- Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
- Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
- Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.
Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» — всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.
Размножение растений методом деления корня является одним из самых удобных способов, ведь разовая операция позволяет получить сразу несколько взрослых и сильных растений, готовых к цветению или плодоношению. С другой стороны, подходит данный метод не для всех культур, да и при неправильном выполнении может быть губительным для всего растения.
Делением корня размножают кустарники и травянистые растения, обладающие развитой корневой системой с образованием почек. В эту категорию можно отнести лещину, сирень, являющуюся кустарником, орхидеи, хризантемы, дельфиниумы и пионы, а также многие другие цветы.
- Аккуратно извлеките растение из почвы и отряхните жесткой кистью земляной ком.
- Остатки грунта смойте водой комнатной температуры, погрузив корни в емкость с водой. Всю землю смывать не нужно, главное чтобы грунт не мешал делению.
- Оцените сколько растений может получиться из данного куста, выбрав основные взрослые побеги и активные почки.
- Выполните обрезку всех побегов растения на высоту десять сантиметров (необходимо для высоких травянистых растений и кустарников) . Это позволит растению использовать энергию на восстановление корневой системы, не расходуя ее на питание надземной части.
- Если есть одеревесневшие побеги, например, при размножении розы, их срезают под самый корень.
- Удаляются все поврежденные и пожелтевшие побеги и листья.
- Сделайте уверенные разрезы, отделяя боковые части куста. Центральная часть растения не должна разделяться.
- Обработайте срезы древесным углем, высадите новые растения в подготовленные емкости и выполните полив раствором стимулятора роста.
Размножение данным способом нельзя выполнять во время цветения. Лучше всего разделить после окончания данного периода. Если это затруднительно, за два дня перед делением срезают все цветы и бутоны. Иначе, растение может погибнуть.
Комнатные цветы лучше разделять в марте по окончанию периода покоя, а кустарники, растущие в открытом грунте, — осенью до начала заморозков.
Во время деления корневая система должна быть хорошо видна и легко отделяемая от грунта. Чтобы при извлечении не повредить корни, за день до выполнения деления грунт хорошо увлажняют. Нельзя тянуть за надземную часть растения. Корни с земляным комом вынимают, постукивая по цветочному горшку. Если растение находится на клумбе, его аккуратно откапывают используя садовую лопатку и жесткую малярную кисть.
Для деления корня используют острый нож, чтобы минимально травмировать растения. Садовые ножницы лучше не использовать, поскольку они могут смять срезы корня. Нельзя ломать корни руками!
Не стоит разделять растение на слишком мелкие части — это может быть губительным для всего куста, поскольку приживаемость будет значительно ниже. На каждой части должен обязательно быть зрелый побег.
Сразу высаживать в открытый грунт разделенные растения не желательно, поскольку им необходим период восстановления и прямые лучи солнца, а также вредители и болезни будут для них опасны, а потому лучше выдержать пару недель новые саженцы в защищенном грунте. Последний должен быть стерильным и соответствовать условиям роста разделяемого растения.
Помимо увеличения количества экземпляров, метод деления корня применяется для комплексного омоложения растений, биологический возраст которых подходит к концу. Таким образом вы сможете обновлять многолетники без выращивания рассады.
Очень эффективен данный метод, если требуется сохранить декоративные особенности материнского растения, которые при использовании других методов размножения могут быть утрачены.
Примеры размножения делением корня:
Видео 1. Размножение орхидеи фаленопсис
Видео 2. Декоративный лук джусай, размножение весной
Видео 3. Размножение смородины делением куста
В нижеприведенных формулах знаком 
обозначена абсолютная величина корня.
1. Величина корня не изменится, если его показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное количество в степень n: 
Пример 1. 
2. Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из подкоренного количества:
Пример 2. 
Замечание. Это свойство останется в силе и в том случае, когда число m/n не будет целым; точно так же оба вышеуказанных свойства сохранят силу и для n дробного. Но для этого нужно сначала расширить понятие степени и корня, введя дробные показатели.
3. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей:
Пример 3. 
Последнее преобразование основывается на свойстве 2.
Пример 4. 
Пример 5. 
4. Корень от частного равен частному от деления корня из делимого на корень из делителя (показатели корней разумеются одинаковыми):
Обратно: 
Пример 6. 
5. Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное количество:
Обратно, чтобы извлечь корень из степени, достаточна, возвести в эту степень корень из основания степени:
Пример 7. 
Пример 8. 
6. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе дроби. Вычисление пробных выражений, содержащих радикалы, часто облегчается, если предварительно «уничтожить иррациональность» в числителе или знаменателе, т. е. преобразовать дробь так, чтобы в числителе или знаменателе не содержались радикалы.
Пример 9. Пусть требуется вычислить
— с точностью до 0,01. Если произвести действия в указанном порядке, то мы имеем:
1) 
≈2,646; 2) 
≈2,449; 3) 2,646 — 2,449 = 0,197; 4) 
≈5,10.
Для получения результата нужно было выполнить четыре действия; при этом, чтобы получить верные цифры сотых, нужно было вычислить корни с точностью до тысячных, в противном случае и делителе дробиполучились бы только две значащие цифры и в результате не могло бы быть трех верных значащих цифр.
Если же предварительно помножим числитель и знаменатель данной дроби на 
,то получим: 
Теперь вычисление требует только трех действий, и корни можно вычислять лишь с точностью до сотых:
1) ≈2,65; 2) ≈ 2,45; 3) ≈ 5,10.
Ниже приводится еще несколько типичных примеров.
Пример 10. 
Пример 11. 
В этих примерах иррациональность уничтожалась в знаменателе. В следующих двух примерах она уничтожается в числителе.
Пример 12. 
Пример 13. 
Преобразование в примере 12 явно невыгодно для вычислительных целей, так как вычисление выражения 
требует деления на многозначное число; вычисление же 
(см. пример 10) требует деления на целое число. Но преобразование в примере 13 выгодно, так как позволяет вычислять корни 
и 
со столькими знаками, сколько их требуется иметь в результате. В исходном же выражении нужно извлекать корни с большим числом знаков (см. пример 9). Поэтому принятое в школьной практике огульное уничтожение иррациональности в знаменателе представляет вредную схоластическую традицию.
