Меню Рубрики

Период колебаний маятника как найти

Многообразие колебательных процессов, которые окружают нас, так значительно, что просто удивляешься – а есть что-нибудь, что не колеблется? Вряд ли, ведь даже совершенно неподвижный предмет, скажем камень, который тысячи лет лежит неподвижно, все равно совершает колебательные процессы – он периодически нагревается днем, увеличиваясь, а ночью остывает и уменьшается в размерах. И самый близкий пример – деревья и ветви – неутомимо колеблются всю свою жизнь. Но то – камень, дерево. А если точно так же колеблется от напора ветра 100 этажное здание? Известно, например, что верхушка Останкинской телебашни отклоняется туда-сюда на 5-12 метров, ну чем не маятник высотой 500 м. А насколько увеличивается в размерах подобное сооружение от перепадов температур? Сюда же можно причислить и вибрации корпусов машин и механизмов. Только подумайте, самолет, в котором вы летите, непрерывно колеблется. Не передумали летать? Не стоит, потому что колебания – это сущность окружающего нас мира, от них нельзя избавиться – их можно только учитывать и применять “пользы ради”.

Как водится, изучение самых сложных областей знания (а простыми они не бывают) начинается со знакомства с простейшими моделями. И нет более простой и понятной для восприятия модели колебательного процесса, чем маятник. Именно здесь, в кабинете физики, мы впервые слышим такую загадочную фразу – “период колебаний математического маятника”. Маятник – это нить и груз. И что ж это за такой особенный маятник – математический? А все очень просто, для этого маятника предполагается, что его нить не имеет веса, нерастяжима, а материальная точка колеблется под действием сил тяжести. Дело в том, что обычно, рассматривая некий процесс, например, колебания, нельзя абсолютно полностью учесть физические характеристики, например, вес, упругость и т.д. всех участников эксперимента. В то же время влияние некоторых из них на процесс пренебрежительно мало. Например, априори понятно, что вес и упругость нити маятника при определенных условиях не оказывают заметного влияния на период колебаний математического маятника, как ничтожно малые, поэтому их влияние исключают из рассмотрения.

Определение периода колебаний маятника, едва ли не самое простое из известных, звучит так: период — это время, за которое совершается одно полное колебание. Давайте сделаем метку в одной из крайних точек движения груза. Теперь каждый раз, когда точка закрывается, делаем отсчет количества полных колебаний и засекаем время, скажем, 100 колебаний. Определить длительность одного периода совсем несложно. Проделаем этот эксперимент для колеблющегося в одной плоскости маятника в следующих случаях:

— разная начальная амплитуда;

Мы получим потрясающий на первый взгляд результат: во всех случаях период колебаний математического маятника остается неизменным. Иными словами, начальная амплитуда и масса материальной точки на длительность периода влияния не оказывают. Для дальнейшего изложения есть только одно неудобство – т.к. высота груза при движении меняется, то и возвращающая сила по траектории переменная, что неудобно для расчетов. Слегка схитрим — качнем маятник еще и в поперечном направлении — он начнет описывать конусообразную поверхность, период Т его вращения останется прежним, скорость движения по окружности V – постоянная, длина окружности, по которой движется груз S = 2πr, а возвращающая сила направлена по радиусу.

Тогда вычислим период колебаний математического маятника:

Если длина нити l значительно больше размеров груза (хотя бы в 15-20 раз), и угол наклона нити небольшой (малые амплитуды), то можно считать, что возвращающая сила P равна центростремительной силе F:
Р = F = m*V*V/r

С другой стороны, момент возвращающей силы и момент инерции груза равны, и тогда

P * l = r *(m*g), откуда получаем, если учесть, что P = F, следующее равенство: r * m * g/l = m*v*v/r

Совсем нетрудно найти скорость маятника: v = r*√g/l.

А теперь вспоминаем самое первое выражение для периода и подставляем значение скорости:

После тривиальных преобразований формула периода колебаний математического маятника в окончательном виде выглядит так:

Теперь уже ранее экспериментально полученные результаты независимости периода колебаний от массы груза и амплитуды получили свое подтверждение в аналитическом виде и совсем не кажутся такими “потрясающими”, как говорится, что и требовалось доказать.

Кроме всего прочего, рассматривая последнее выражение для периода колебания математического маятника, можно видеть прекрасную возможность для измерения ускорения силы тяжести. Для этого достаточно собрать некий эталонный маятник в любой точке Земли и провести измерение периода его колебаний. Вот так, совсем неожиданно, простенький и незамысловатый маятник подарил нам великолепную возможность исследования распределения плотности земной коры, вплоть до поиска залежей земных ископаемых. Но это уже совсем другая история.

источник

Математический маятник — это частный случай физического маятника, масса которого находится в одной точке.

Обычно математическим маятником считают маленький шарик (материальную точку), имеющий большую массу, подвешенный на длинной нерастяжимой нити (подвесе). Это идеализированная система, которая совершает колебания под воздействием силы тяжести. Только для углов порядка 50-100 математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть совершает гармонические колебания.

Изучая качание паникадила на длинной цепи Галилей изучал свойства математического маятника. Он понял, что период колебаний данной системы не зависит от амплитуды при малых углах отклонения.

Пусть точка подвеса маятника неподвижна. Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности (рис.1(a)) с ускорением, на него действует некоторая возвращающая сила ($\overline$). Данная сила изменяется при движении груза. В результате чего расчет движения становится сложным. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник совершает колебания не в плоскости, а описывает конус (рис.1 (b)). Груз в этом случае перемещается по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника по окружности равен времени, которое тратит груз на один виток по окружности:

где $L$ — длина окружности; $v$ — скорость движения груза. Если углы отклонения нити от вертикали малые (небольшие амплитуды колебаний) то полагают, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:

Рассмотрим подобные треугольники: AOB и DBC (рис.1 (b)).

Приравниваем правые части выражений (2) и (3), выражаем скорость движения груза:

Полученную скорость подставим в формулу (1), имеем:

Из формулы (5) мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения. Формулу (5) для периода математического маятника называют формулой Гюйгенса, она выполняется, когда точка подвеса маятника не движется.

Используя зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения, определяют величину данного ускорения. Для этого измеряют длину маятника, рассматривая большое количество колебаний, находят период $T$, затем вычисляют ускорение свободного падения.

Задание. Как известно, величина ускорения свободного падения зависит от широты. Каково ускорение свободного падения на широте Москвы, если период колебаний математического маятник длиной $l=2,485\cdot <10>^<-1>$м равен T=1 c?\textit<>

Решение. За основу решения задачи примем формулу периода математического маятника:

Выразим из (1.1) ускорение свободного падения:

Вычислим искомое ускорение:

Ответ. $g=9,81\frac<м><с^2>$

Задание. Каким будет период колебаний математического маятника, если точка его подвеса движется вертикально вниз 1) с постоянной скоростью? 2) с ускорением $a$? Длина нити этого маятника равна $l.$

Решение. Сделаем рисунок.

1) Период математического маятника, точка подвеса которого движется равномерно, равен периоду маятника с неподвижной точкой подвеса:

2) Ускорение точки подвеса маятника можно рассматривать как появление дополнительной силы, равной $F=ma$, которая направлена против ускорения. То есть, если ускорение направлено вверх, то дополнительная сила направлена вниз, значит, она складывается с силой тяжести ($mg$). Если точка подвеса движется с ускорением, направленным вниз, то дополнительная сила вычитается из силы тяжести.

Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением, найдем как:

Ответ. 1) $T_1=2\pi \sqrt<\frac>$; 2) $T_1=2\pi \sqrt<\frac>$

источник

Математический маятник — это частный случай физического маятника, масса которого находится в одной точке.

Обычно математическим маятником считают маленький шарик (материальную точку), имеющий большую массу, подвешенный на длинной нерастяжимой нити (подвесе). Это идеализированная система, которая совершает колебания под воздействием силы тяжести. Только для углов порядка 50-100 математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть совершает гармонические колебания.

Изучая качание паникадила на длинной цепи Галилей изучал свойства математического маятника. Он понял, что период колебаний данной системы не зависит от амплитуды при малых углах отклонения.

Пусть точка подвеса маятника неподвижна. Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности (рис.1(a)) с ускорением, на него действует некоторая возвращающая сила ($\overline$). Данная сила изменяется при движении груза. В результате чего расчет движения становится сложным. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник совершает колебания не в плоскости, а описывает конус (рис.1 (b)). Груз в этом случае перемещается по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника по окружности равен времени, которое тратит груз на один виток по окружности:

где $L$ — длина окружности; $v$ — скорость движения груза. Если углы отклонения нити от вертикали малые (небольшие амплитуды колебаний) то полагают, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:

Рассмотрим подобные треугольники: AOB и DBC (рис.1 (b)).

Приравниваем правые части выражений (2) и (3), выражаем скорость движения груза:

Полученную скорость подставим в формулу (1), имеем:

Из формулы (5) мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения. Формулу (5) для периода математического маятника называют формулой Гюйгенса, она выполняется, когда точка подвеса маятника не движется.

Используя зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения, определяют величину данного ускорения. Для этого измеряют длину маятника, рассматривая большое количество колебаний, находят период $T$, затем вычисляют ускорение свободного падения.

Задание. Как известно, величина ускорения свободного падения зависит от широты. Каково ускорение свободного падения на широте Москвы, если период колебаний математического маятник длиной $l=2,485\cdot <10>^<-1>$м равен T=1 c?\textit<>

Решение. За основу решения задачи примем формулу периода математического маятника:

Выразим из (1.1) ускорение свободного падения:

Вычислим искомое ускорение:

Ответ. $g=9,81\frac<м><с^2>$

Задание. Каким будет период колебаний математического маятника, если точка его подвеса движется вертикально вниз 1) с постоянной скоростью? 2) с ускорением $a$? Длина нити этого маятника равна $l.$

Решение. Сделаем рисунок.

Читайте также:  Как сажать тюльпаны в корзины

1) Период математического маятника, точка подвеса которого движется равномерно, равен периоду маятника с неподвижной точкой подвеса:

2) Ускорение точки подвеса маятника можно рассматривать как появление дополнительной силы, равной $F=ma$, которая направлена против ускорения. То есть, если ускорение направлено вверх, то дополнительная сила направлена вниз, значит, она складывается с силой тяжести ($mg$). Если точка подвеса движется с ускорением, направленным вниз, то дополнительная сила вычитается из силы тяжести.

Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением, найдем как:

Ответ. 1) $T_1=2\pi \sqrt<\frac>$; 2) $T_1=2\pi \sqrt<\frac>$

источник

Что такое период колебаний? Что это за величина, какой физический смысл она имеет и как ее рассчитать? В этой статье мы разберемся с этими вопросами, рассмотрим различные формулы, по которым можно рассчитать период колебаний, а также выясним, какая связь имеется между такими физическими величинами, как период и частота колебаний тела/системы.

Периодом колебаний называется такой промежуток времени, при котором тело или система совершают одно колебание (обязательно полное). Параллельно можно отметить параметр, при выполнении которого колебание может считаться полным. В роли такого условия выступает возвращение тела в его первоначальное состояние (к первоначальной координате). Очень хорошо проводится аналогия с периодом функции. Ошибочно, кстати, думать, что она имеет место исключительно в обыкновенной и высшей математике. Как известно, эти две науки неразрывно связаны. И с периодом функций можно столкнуться не только при решении тригонометрических уравнений, но и в различных разделах физики, а именно речь идет о механике, оптике и прочих. При переносе периода колебаний из математики в физику под ним нужно понимать просто физическую величину (а не функцию), которая имеет прямую зависимость от проходящего времени.

Колебания подразделяются на гармонические и ангармонические, а также на периодические и непериодические. Логично было бы предположить, что в случае гармонических колебаний они совершаются согласно некоторой гармонической функции. Это может быть как синус, так и косинус. При этом в деле могут оказаться и коэффициенты сжатия-растяжения и увеличения-уменьшения. Также колебания бывают затухающими. То есть, когда на систему действует определенная сила, которая постепенно “тормозит” сами колебания. При этом период становится меньше, в то время как частота колебаний неизменно увеличивается. Очень хорошо демонстрирует такую вот физическую аксиому простейший опыт с использованием маятника. Он может быть пружинного вида, а также математического. Это неважно. Кстати, период колебаний в таких системах будет определяться разными формулами. Но об этом чуточку позже. Сейчас же приведем примеры.

Взять первым можно любой маятник, разницы никакой не будет. Законы физики на то и законы физики, что они соблюдаются в любом случае. Но почему-то больше по душе математический маятник. Если кто-то не знает, что он собой представляет: это шарик на нерастяжимой нити, который крепится к горизонтальной планке, прикрепленной к ножкам (или элементам, которые играют их роль – держать систему в равновесном состоянии). Шарик лучше всего брать из металла, чтобы опыт был нагляднее.

Итак, если вывести такую систему из равновесия, приложить к шару какую-то силу (проще говоря, толкнуть его), то шарик начнет раскачиваться на нити, следуя определенной траектории. Со временем можно заметить, что траектория, по которой проходит шар, сокращается. В то же время шарик начинает все быстрее сновать туда-сюда. Это говорит о том, что частота колебаний увеличивается. А вот время, за которое шарик возвращается в начальное положение, уменьшается. А ведь время одного полного колебания, как мы выяснили ранее, и называется периодом. Если одна величина уменьшается, а другая увеличивается, то говорят об обратной пропорциональности. Вот мы и добрались до первого момента, на основании которого строятся формулы для определения периода колебаний. Если же мы возьмем для проведения пружинный маятник, то там закон будет наблюдаться немного в другом виде. Для того чтобы он был наиболее наглядно представлен, приведем систему в движение в вертикальной плоскости. Чтобы было понятнее, сначала стоило сказать, что собой представляет пружинный маятник. Из названия понятно, что в его конструкции должна присутствовать пружина. И это действительно так. Опять же таки, у нас есть горизонтальная плоскость на опорах, к которой подвешивается пружина определенной длины и жесткости. К ней, в свою очередь, подвешивается грузик. Это может быть цилиндр, куб или другая фигурка. Это может быть даже какой-то сторонний предмет. В любом случае, при выведении системы из положения равновесия, она начнет совершать затухающие колебания. Наиболее четко просматривается увеличение частоты именно в вертикальной плоскости, без всякого отклонения. На этом с опытами можно закончить.

Итак, в их ходе мы выяснили, что период и частота колебаний это две физические величины, которые имеют обратную зависимость.

Обычно период колебаний обозначается латинской буквой T. Гораздо реже он может обозначаться по-другому. Частота же обозначается буквой µ (“Мю”). Как мы говорили в самом начале, период это не что иное, как время, за которое в системе происходит полное колебание. Тогда размерностью периода будет секунда. А так как период и частота обратно пропорциональны, то размерностью частоты будет единица, деленная на секунду. В записи задач все будет выглядеть таким образом: T (с), µ (1/с).

Как и в случае с опытами, я решил первым делом разобраться с маятником математическим. Подробно вдаваться в вывод формулы мы не будем, поскольку такая задача поставлена изначально не была. Да и вывод сам по себе громоздкий. Но вот с самими формулами ознакомимся, выясним, что за величины в них входят. Итак, формула периода колебаний для математического маятника имеет следующий вид:

Где l – длина нити, п = 3,14, а g – ускорение свободного падения (9,8 м/с^2). Никаких затруднений формула вызывать не должна. Поэтому без дополнительных вопросов перейдем сразу к решению задачи на определение периода колебания математического маятника. Металлический шар массой 10 грамм подвешен на нерастяжимой нити длиной 20 сантиметров. Рассчитайте период колебания системы, приняв ее за математический маятник. Решение очень простое. Как и во всех задачах по физике, необходимо максимально упростить ее за счет отброса ненужных слов. Они включаются в контекст для того чтобы запутать решающего, но на самом деле никакого веса абсолютно не имеют. В большинстве случаев, разумеется. Здесь можно исключить момент с “нерастяжимой нитью”. Это словосочетание не должно вводить в ступор. А так как маятник у нас математический, масса груза нас интересовать не должна. То есть слова о 10 граммах тоже просто призваны запутать ученика. Но мы ведь знаем, что в формуле масса отсутствует, поэтому со спокойной совестью можем приступать к решению. Итак, берем формулу и просто подставляем в нее величины, поскольку определить необходимо период системы. Поскольку дополнительных условий не было задано, округлять значения будем до 3-его знака после запятой, как и принято. Перемножив и поделив величины, получим, что период колебаний равен 0,886 секунд. Задача решена.

Формулы маятников имеют общую часть, а именно 2п. Эта величина присутствует сразу в двух формулах, но разнятся они подкоренным выражением. Если в задаче, касающейся периода пружинного маятника, указана масса груза, то избежать вычислений с ее применение невозможно, как это было в случае с математическим маятником. Но пугаться не стоит. Вот так выглядит формула периода для пружинного маятника:

В ней m – масса подвешенного к пружине груза, k – коэффициент жесткости пружины. В задаче значение коэффициента может быть приведено. Но если в формуле математического маятника особо не разгуляешься – все-таки 2 величины из 4 являются константами – то тут добавляется 3 параметр, который может изменяться. И на выходе мы имеем 3 переменных: период (частота) колебаний, коэффициент жесткости пружины, масса подвешенного груза. Задача может быть сориентирована на нахождение любого из этих параметров. Вновь искать период было бы слишком легко, поэтому мы немного изменим условие. Найдите коэффициент жесткости пружины, если время полного колебания составляет 4 секунды, а масса груза пружинного маятника равна 200 граммам.

Для решения любой физической задачи хорошо бы сначала сделать рисунок и написать формулы. Они здесь – половина дела. Записав формулу, необходимо выразить коэффициент жесткости. Он у нас находится под корнем, поэтому обе части уравнения возведем в квадрат. Чтобы избавиться от дроби, умножим части на k. Теперь оставим в левой части уравнения только коэффициент, то есть разделим части на T^2. В принципе, задачку можно было бы еще немного усложнить, задав не период в числах, а частоту. В любом случае, при подсчетах и округлениях (мы условились округлять до 3-его знака после запятой), получится, что k = 0, 157 Н/м.

Под формулой периода свободных колебаний понимают те формулы, которые мы разобрали в двух ранее приведенных задачах. Составляют также уравнение свободных колебаний, но там речь идет уже о смещениях и координатах, а этот вопрос относится уже к другой статье.

1) Прежде чем браться за задачу, запишите формулу, которая с ней связана.

2) Простейшие задачи не требуют рисунков, но в исключительных случаях их нужно будет сделать.

3) Старайтесь избавляться от корней и знаменателей, если это возможно. Записанное в строчку уравнение, не имеющее знаменателя, решать гораздо удобнее и проще.

источник

Период колебаний физического маятника зависит от многих обстоятельств: от размеров и формы тела, от расстояния между центром тяжести и точкой подвеса и от распределения массы тела относительно этой точки; поэтому вычисление периода подвешенного тела —довольно сложная задача. Проще обстоит дело для математического маятника. Из наблюдений над подобными маятниками можно установить следующие простые законы.

1. Если, сохраняя одну и ту же длину маятника (расстояние от точки подвеса до центра тяжести груза), подвешивать разные грузы, то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит от массы груза.

2. Если при пуске маятника отклонять его на разные (но не слишком большие) углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока не слишком велики амплитуды, колебания достаточно близки по своей форме к гармоническому (§ 5) и период математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство называется изохронизмом (от греческих слов «изос» — равный, «хронос» — время).

Впервые этот факт был установлен в 1655 г. Галилеем якобы при следующих обстоятельствах. Галилей наблюдал в Пизанском соборе качания паникадила на длинной цепи, которое толкнули при зажигании. В течение богослужения размахи качаний постепенно затухали (§ 11), т. е. амплитуда колебаний уменьшалась, но период оставался одним и тем же. В качестве указателя времени Галилей пользовался собственным пульсом.

Читайте также:  Фисташковое дерево как вырастить

Выведем теперь формулу для периода колебаний математического маятника.

Рис. 16. Колебания маятника в плоскости (а) и движение по конусу (б)

При качаниях маятника груз движется ускоренно по дуге (рис. 16, а) под действием возвращающей силы , которая меняется при движении. Расчет движения тела под действием непостоянной силы довольно сложен. Поэтому мы для упрощения поступим следующим образом.

Заставим маятник совершать не колебание в одной плоскости, а описывать конус так, чтобы груз двигался по окружности (рис. 16, б). Это движение может быть получено в результате сложения двух независимых колебаний: одного — по-прежнему в плоскости рисунка и другого — в перпендикулярной плоскости. Очевидно, периоды обоих этих плоских колебаний одинаковы, так как любая плоскость качаний ничем не отличается от всякой другой. Следовательно, и период сложного движения — обращения маятника по конусу — будет тот же, что и период качания водной плоскости. Этот вывод можно легко иллюстрировать непосредственным опытом, взяв два одинаковых маятника и сообщив одному из них качание в плоскости, а другому — вращение по конусу.

Но период обращения «конического» маятника равен длине описываемой грузом окружности, деленной на скорость:

.

Если угол отклонения от вертикали невелик (малые амплитуды), то можно считать, что возвращающая сила направлена по радиусу окружности , т. е, равна центростремительной силе:

С другой стороны, из подобия треугольников и следует, что . Так как , то отсюда

.

Приравняв оба выражения друг другу, мы получаем для скорости обращения

.

Наконец, подставив это в выражение периода , находим

.

Итак, период математического маятника зависит только от ускорения свободного падения и от длины маятника , т. е. расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза. Из полученной формулы следует, что период маятника не зависит от его массы и от амплитуды (при условии, что она достаточно мала). Другими словами, мы получили путем расчета те основные законы, которые были установлены ранее из наблюдений.

Но наш теоретический вывод дает нам больше: он позволяет установить количественную зависимость между периодом маятника, его длиной и ускорением свободного падения. Период математического маятника пропорционален корню квадратному из отношения длины маятника к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорциональности равен .

На зависимости периода маятника от ускорения свободного падения основан очень точный способ определения этого ускорения. Измерив длину маятника и определив из большого числа колебаний период , мы можем вычислить с помощью полученной формулы . Этот способ широко используется на практике.

Известно (см. том I, §53), что ускорение свободного падения зависит от географической широты места (на полюсе , а на экваторе ). Наблюдения над периодом качаний некоторого эталонного маятника позволяют изучить распределение ускорение свободного падения по широте. Метод этот настолько точен, что с его помощью можно обнаружить и более тонкие различия в значении на земной поверхности. Оказывается, что даже на одной параллели значения в разных точках земной поверхности различно. Эти аномалии в распределении ускорения свободного падения связаны с неравномерной плотностью земной коры. Они используются для изучении распределения плотности, в частности для обнаружения залегания в толще земной коры каких-либо полезных ископаемых. Обширные гравиметрические изменения, позволившие судить о залегании плотных масс, были выполнены в СССР в области так называемой Курской магнитной аномалии (см. том II, § 130) под руководством советского физика Петра Петровича Лазарева. В соединении с данными об аномалии земного магнитного поля эти гравиметрические данные позволили установить распределение залегания железных масс, обусловливающих Курскую магнитную и гравитационную аномалии.

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

источник

Весь мир в твоих руках — все будет так, как ты захочешь

Весь мир в твоих руках — все будет так, как ты захочешь

Ведь «обучать — значит вдвойне учиться» (Ж.Жубер)

Материал для изучения по дисциплине «Архитектура ЭВМ и вычислительные сети»

Материал для изучения дисциплины «Программное обеспечение компьютерных сетей»

Материалы для изучения дисциплины «Информатика»

Физика — одна из самых удивительных наук!

Надеюсь, данный раздел поможет Вам эффективно и интересно изучать физику.

Учите физику!

Урок 40. Лабораторная работа № 10. Изучение зависимости периода колебаний нитяного маятника от длины нити

Тема: Изучение зависимости периода колебаний нитяного маятника от длины нити.

Оборудование: штатив с перекладиной и муфтой, нить с петлями на концах, груз с крючком, линейка, электронный секундомер

Цель работы: состоит в экспериментальной проверке формулы, связывающей пе­риод колебаний маятника с длиной его подвеса.

Рассмотрим колебания нитяного маятника, т.е. небольшого тела (например, шарика), подвешенного на нити, длина которой значительно превышает размеры самого тела. Если шарик отклонить от положения равновесия и отпустить, то он начнет колебаться. Сначала маятник движется с нарастающей скоростью вниз. В положении равновесия скорость шарика не равна нулю, и он по инерции движется вверх. По достижении наивысшего положения шарик снова начинает двигаться вниз. Это будут свободные колебания маятника.

Свободные колебанияэто колебания, которые возникают в системе под действием внутренних сил, после того, как система была выведена из положения устойчивого равновесия.

Колебательное движение характеризуют амплитудой, периодом и частотой колебаний.

Амплитуда колебаний — это наибольшее смещение колеблющегося тела от положения равновесия. Обозначается А. Единица измерения — метр [1м].

Период колебаний — это время, за которое тело совершает одно полное колебание. Обозначается Т. Единица измерения — секунда [1с].

Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени. Обозначается ν. Единица измерения — герц [1Гц].

Тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити называют математическим маятником.

Период колебаний математического маятника определяется формулой: (1), где l – длина подвеса, а g ускорение свободного падения.

Период колебаний математического маятника зависит:

1) от длины нити. Период колебаний математического маятника пропорционален корню квадратному из длины нити . Т.е., например при уменьшении длины нити в 4 раза, период уменьшается в 2 раза; при уменьшении длины нити в 9 раз, период уменьшается в 3 раза.

2) от ускорения свободного падения той местности, где происходят колебания. Период колебаний математического маятника обратнопропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения .

Тело, подвешенное на пружине называют пружинным маятником.

Период колебаний пружинного маятника определяется формулой где m — масса тела, k — жесткость пружины.

Период колебаний пружинного маятника зависит:

1) от массы тела. Период колебаний пружинного маятника пропорционален корню квадратному из массы тела .

2) от жесткости пружины. Период колебаний пружинного маятника обратнопропорционален корню квадратному из жесткости пружины.

В работе мы исследуем колебания математического маятника. Из формулы следует, что период колебаний изменится вдвое при изменении длины подвеса в четыре раза.

Это следствие и проверяют в работе. Поочередно испытывают два маятника, длины подвесов которых отличаются в четыре раза. Каждый из маятников приводят в движение и измеряют время, за которое он совершит определённое количество колебаний. Чтобы уменьшить влияние побочных факторов, опыт с каждым маятником проводят несколько раз и находят среднее значение времени, затраченное маятником на совершение заданного числа колебаний. Затем вычисляют периоды маятников и находят их отношение.

1. Подготовьте таблицу для записи результатов измерений и вычислений:

источник

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Урок является первым в тематическом блоке: “Механические колебания и волны”. Особенностью данного урока является широкое использование дидактического материала в виде презентации, физического и компьютерного эксперимента, что позволяет учащимся более легко усвоить предлагаемый учебный материал. Применение подобных методов позволяет показать процессы в динамике, что дает ученикам более четкое представление о происходящих процессах колебания. Использование презентации дает возможность компактно излагать учебный материал, что позволяет больше времени уделить на закрепление пройденного.

В процессе урока учащиеся выдвигают гипотезы и самостоятельно проверяют их в процессе выполнения лабораторных и компьютерных экспериментов. Форма проведения урока активизирует познавательную деятельность учащихся, формирует навыки самостоятельной работы над решением поставленной проблемы. Данный урок носит практическую направленность.

Определение учащимися математического маятника как модели для изучения колебательного движения

Образовательные задачи урока:

  • формирование понятий: колебательные системы, математический маятник, период колебаний математического маятника;
  • Экспериментальным путем установить законы колебаний математического маятника.
  • рассмотреть причины и особенности колебаний математического маятника.

Воспитательные задачи:

  • ориентировать учащихся на выбор профессии, поддерживать интерес к предмету.
  • применение математических маятников в разных сферах.

Развивающие:

  • содействовать формированию навыков сравнения, выделения главного и второстепенного в изучаемом материале, обобщения, логического мышления;
  • формировать экспериментальные навыки и умения.

Оборудование: компьютер, мультимедийное оборудование, экран, компьютерный эксперимент.

Подготовка: группы учащихся готовят к уроку мини-презентации и эксперименты по темам:

  • Иллюстрация механических колебаний на примере маятника Фуко.
  • Физический эксперимент.
  • Компьютерная модель колебаний, созданная с помощью программы Macromedia Flash 5.

План урока:

    Оргмомент.
  1. Актуализация знаний по теме, мотивация учащихся на изучение новой темы.
  2. Изучение нового материала.
  3. Решение экспериментальных задач по теме (включая компьютерный эксперимент).
  4. Итоги урока.
  5. Домашнее задание.

Проверка готовности учащихся к учебному занятию.

II. Актуализация знаний учащихся, мотивация учащихся на изучение новой темы.

Знаменитый экстрасенс Ури Геллер свой первый миллион доллар заработал, летая на самолёте на малой высоте над непроходимыми джунглями Бразилии, с маятником в руках. Он искал нефть, и нашёл её очень приличное количество.

Любое ли тело может совершать колебательные движения? Что для этого необходимо? (Слайд 4)

Учащиеся высказывают предположения, а учитель формулирует совместно с учащимися общий вывод.

Мини-выводы данного этапа урока (комментирует учитель).

Среди разнообразных видов механического движения особое место занимает колебательное. Колеблются маятник часов, поршень в цилиндре двигателя внутреннего сгорания, колос ржи на ветру. Звук и свет — это колебательный процесс. Переменный электрический ток, которым питается большинство потребителей в производстве и в быту, тоже колебательный процесс. Радиосвязь, телевидение, радиолокация осуществляются с помощью радиоволн, а они также являются колебательными процессом. Получается, что мы живём в колеблющемся мире. Ввиду чрезвычайной распространённости колебательных процессов в окружающем нас мире очень важно разобраться в разных видах колебаний и в законах, которые их характеризуют. Общность законов, описывающих колебания разной природы, — один из убедительнейших примеров единства материального мира, в котором, несмотря на необычайное разнообразие объектов, и явлений, есть нечто общее, прежде всего общие законы.

Читайте также:  Как правильно приготовить плов в домашних условиях из курицы

Ученый Л.И. Мандельштам говорил, что если посмотреть историю физики, то можно увидеть, что главные открытия были связаны по существу с колебаниями. Нам тоже сегодня предстоят открытия.

Таким образом, цель нашего урока – проанализировать причины и основные закономерности колебаний математического маятника.

II. Изучение нового материала.

1. Механические колебания (Представление учащимися опережающих заданий: презентация к теме, эксперимент)

1.1. Первый учащийся рассказывает об иллюстрации механических колебаний на примере маятника Фуко Мини-презентация (Слайд 5-6)

1.2. Второй учащийся проводит эксперимент, повторяя опыты Фуко, делая микровыводы из результатов (Слайд 7-8)

1.3. Учитель обобщает выступления учащихся:

  • и предлагается им самостоятельно сформулировать определение математического маятника (затрудняющимся предлагается воспользоваться учебником и найти определение самостоятельно) (Слайд 9)
  • сообщает теоретические сведения о математическом маятнике (Слайд 10)

Слова учителя (комментарий к сказанному): Реальной моделью математического маятника в наших опытах будет служить небольшой шарик, подвешенный на тонкой упругой нити. Размеры шарика должны быть малы по сравнению с длиной нити. Это дает возможность считать, что вся масса сосредоточена в одной точке, в центре тяжести шарика.

1.4. Мини-презентация о Галилее (из выступления третьего учащегося).

Галилео Галилей – великий итальянский ученый – один из создателей точного естествознания, всю свою жизнь посвятил физике и астрономии, сделав ряд важных открытий. Родился в городе Пизе, известном своей наклонной башней. Учился сначала в монастырской школе, а затем в университете. Уже в студенческие годы Галилей увлекся изучением колебаний. Он обнаружил, что колебания маятника не зависят от его массы, а определяются длиной подвеса. Сохранилось предание о том, как молодой студент медицинского факультета Галилео Галилей в одно из воскресений 1583 года с интересом следил за качаниями зажженных лампад в церкви. По ударам пульса он определил время, необходимое для полного размаха лампад. С этого времени медицину пришлось ему оставить и сосредоточиться на физике.

2. Подготовка восприятия учащихся к физическому эксперименту, его проведение.

Учитель: Выясним, от чего зависит период колебания маятника, движущегося вблизи положения устойчивого равновесия.

2.1. Работа в группах.(Вывод делает спикер каждой группы).

  • Задание 1 группе: Выяснить опытным путем, зависит ли период колебания математического маятника от его массы.
  • Задание 2 группе: Выяснить, зависит ли период колебания маятника от длины маятника.

Ученики работают над заданиями, затем каждая группа отчитывается о проделанной работе:

  • Вывод группы 1: Период колебаний математического маятника не зависит от массы шарика.
  • Вывод группы 2: Период колебаний математического маятника зависит от его длины, с увеличением длины возрастает период.

2.2. Учащиеся совместно с учителем формулируют общий вывод:

Период колебания математического маятника прямо пропорционален длине маятника и обратно пропорционален ускорению свободного падения.

2.3. Выступление учащегося с компьютерной моделью, созданной с использованием программы Macromedia Flash 5.

2.4. Выступление учащегося с мини-презентацией:

Голландский ученый Гюйгенс, исследуя законы колебания маятника, пришел к такому же выводу.

Христиан Гюйгенс – голландский физик, математик, механик и астроном. Родился в Гааге. Обучался в Лейденском университете юридическим наукам, но не прекращал занятия математикой. Опираясь на исследования Галилея, он решил ряд задач механики. В 1656 году в возрасте 27 лет им были сконструированы первые маятниковые часы со спусковым механизмом. Создание часов, измеряющих время с невиданной для той поры точностью, имело далеко идущие последствия для развития физического эксперимента и практической деятельности человека. До этого ведь время измеряли по истечению воды, горению факела или свечи. Созданная Гюйгенсом к 1673 году теория колебаний явилась одним из оснований для понимания потом природы света. (Слайд 17-18)

Слова учителя (комментарий): Чтобы выяснить зависимость периода колебания от ускорения свободного падения, можно искусственно увеличить тяготение к Земле, но мы это не можем. Самое простое – добавить к силе тяготения другую силу, например, магнитную, для чего поместим под маятник электромагнит. Тогда эти силы сообщат маятнику ускорение больше, чем ускорение свободного падения, что приведет к изменению периода колебаний. (Слайд 19)

3. Первичная проверка усвоения материала.

Тестовое задание с взаимопроверкой. (Слайд 20)

1 вариант 2 вариант
1. Как изменится период колебаний математического маятника, если амплитуду его колебаний уменьшить в 2 раза?

1) Увеличится в 2 раза.
2) Уменьшится в 2 раза.
3) Не изменится.

2. Как изменится период колебаний математического маятника, если длину нити увеличить в 1,5 раза?

1) Уменьшится в 1,2 раза.
2) Увеличится в 1,2 раза.
3) Не изменится.

3. При колебаниях математического маятника груз проходит путь от правого крайнего положения до положения равновесия за 0,7 с. Каков период колебаний маятника?

1) 2,1 с.
2) 2,8 с.
3) 3,5 с. 1. Математический маятник совершает колебания с амплитудой 10 см. Как изменится период колебаний этого маятника при увеличении амплитуды колебаний до 20 см?

1) Увеличится в 2 раза.
2) Уменьшится в 2 раза.
3) Не изменится.

2. Как изменится период колебаний математического маятника, если длину нити уменьшить в 2 раза?

1) Уменьшится в 1,4 раза.
2) Увеличится в 1,4 раза.
3) Не изменится.

3. При колебаниях математического маятника груз проходит путь от левого крайнего положения до положения равновесия за 0,5 с. Каков период колебаний маятника?

4. Применение математического маятника.

Мини-презентация учащегося по теме. (Слайд 21- 24)

Параграфы 24, 25; задание 22 (1,2), задание 23 (2,4) (Слайд 26)

Не то, что мните вы, природа:
Не слепок, не бездушный лик.
В ней есть душа, в ней есть свобода,
В ней есть любовь, в ней есть язык.

Язык Природы – это язык предметов и явлений, и “беседовать” с Природой можно только на этом языке. Физик видит то, что видят все: предметы и явления. Он, так же как все восхищается красотой и величием мира, но за этой, всем доступной красотой, ему открывается еще одна: красота закономерностей в бесконечном разнообразии вещей и событий. Физику доступна редкая радость – понимать Природу и даже беседовать с ней.

Список используемой литературы.

  1. Н.С. Пурышева, Н. Е. Важеевская, В. М. Чаругин. Физика. 9 кл.: — М.: Дрофа, 2011.
  2. Гулиа Н.В. Парадоксальная механика в вопросах и ответах. – М.: Изд – во НЦ ЭНАС, 2004.
  3. Физика: Занимательные материалы к урокам. 9 кл./ Авт. – составитель А.И. Сёмке. – М.: Изд – во НЦ ЭНАС, 2006.
  4. Кирик Л.А. Физика — 9. Методические материалы. М.: Илекса, 2010.

источник

1. Длина математического маятника 0,8 метра. Чему равен период и частота его колебаний на Земле.

2. Два математических маятника с одинаковыми длинами 1,5 м находятся рядом друг с другом. Амплитуда колебаний первого — 3 см, второго – 6 см. Как различаются периоды их колебаний?

3. Математический маятник совершил 15 колебаний за одну минуту. Каковы период и частота колебаний?

4. Координаты математического маятника изменяются по закону:

Чему равны амплитуда, период и частота колебаний. В формуле все величины выражены в системе СИ.

Математический маятник – это абстрактное представление о грузе, имеющем массу, но не имеющем объема, подвешенном на невесомой нерастяжимой нити, длина которой многократно превосходит амплитуду колебаний. Реальным приближением к этому является тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити, совершающий колебания небольшой амплитуды. Математический маятник подчиняется законам движения, по которым можно определить период его колебаний, зная длину нити и ускорение свободного падения в данном месте. Место может быть любое – хоть Луна или Марс, главное – знать ускорение свободного падения. Интересно, что период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

1. Кратко записываем условие, изображаем его графически. На рисунке обозначаем необходимые данные: силы, действующие на маятник, направление его движения, длину нити.
2. Записываем основную формулу для определения периода колебаний математического маятника и другие необходимые формулы колебательного движения. Определяем, какие величины надо найти из других механических соотношений, записываем их.
3. Решаем полученные уравнения в общем виде.
4. Подставляем данные, вычисляем. Перед подстановкой переводим все данные в единую систему.
5. Записываем ответ.

Длина математического маятника 0,8 метра. Чему равен период и частота его колебаний на Земле.

1. Кратко записываем условие, изображаем его графически.

2. Записываем основную формулу для определения периода колебаний математического маятника.

Записываем соотношение между периодом и частотой колебаний.

3. Решаем уравнение в общем виде. Формула сразу дает общее решение.

4. Подставляем данные, вычисляем.

5. Ответ: Период колебаний равен 5,65 секунды, частота – 0,18.

Два математических маятника с одинаковыми длинами 1,5 м находятся рядом друг с другом. Амплитуда колебаний первого — 3 см, второго – 6 см. Как различаются периоды их колебаний?

1. Кратко записываем условие, изображаем его графически.

2. Записываем основную формулу для определения периода колебаний математического маятника.

3. Решаем полученные уравнения в общем виде.

4. Подставляем данные, вычисляем.

Можно вычислять впрямую, а можно сразу сказать, что поскольку длины равны, то и периоды колебаний этих маятников тоже будут равны. Вот как интересно, оказывается, период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды.

5. Ответ: Периоды колебаний этих маятников равны между собой.

Математический маятник совершил 15 колебаний за одну минуту. Каковы период и частота колебаний?

1. Кратко записываем условие, изображаем его графически.

2. Основная формула для определения периода колебаний математического маятника в этой задаче не используется. Используются соотношения для частоты колебаний и их периода.

Частота колебаний – это количество колебаний в единицу времени. Она задана в задаче, только во внесистемных единицах: количество колебаний в минуту. Ее надо преобразовать в системную: в количество колебаний в секунду.

3. Эти формулы сразу дают решение в общем виде.

4. Подставляем данные, вычисляем.

5. Ответ: частота равна четверти колебаний в секунду или 0,25 Гц, период – четырем секундам.

Координаты математического маятника изменяются по закону

Чему равны амплитуда, период и частота колебаний. В формуле все величины выражены в системе СИ.

1. Кратко записываем условие, изображаем его графически.

2. Записываем общее уравнение гармонического колебания. Сравниваем заданное уравнение движения маятника с общим уравнением.

Отсюда легко вычисляется частота и период колебаний.

4. Подставляем данные, вычисляем

5. Ответ: Амплитуда колебаний равна 0,5 метра, период – четырем секундам, частота – 0,25 Гц.

источник