Основой многих расчетов, как простых бытовых, так и сложнейших математических, является десятичная система счисления. Троичная же известна гораздо меньшему кругу людей, ведь применяется она весьма редко.
Некоторые из нас редко сталкиваются с иными системами счисления, поэтому вначале может быть трудно отстраниться от привычных понятий — десятков, сотен, тысяч и так далее. Существует несколько параметров, которыми обладает любая из систем: основание, алфавит, разрядные цифры и разрядные слагаемые.
По основанию мы можем понять, как называется система счисления: троичная система имеет основание три, а десятичная — десять (работает и обратное правило — по названию сразу видно основание).
Алфавитом в системах счисления называется набор символов, которые в данном случае используются для записи чисел. Например, в десятичной системе используется десять цифр (считая ноль), а вот в двоичной их всего две, ноль и единица. В троичной же могут применяться 0, 1 и 2. К тому, почему основанием является тройка, а символов в алфавите — четыре, вернемся позже.
Разрядной цифрой называется наименьшее число, которое можно добавить в разряде, а разрядным слагаемым является цифра, записанная в каком-либо определенном разряде с добавлением нужного количества нолей. Максимально возможное значение разрядного слагаемого всегда зависит от системы счисления. Восьмеричная система счисления во втором разряде имеет разрядное слагаемое 70, в двоичной оно будет равно 10, в троичной — 20, а в десятичной — 90.
К примеру, если разложить десятичное число 158 на разрядные слагаемые, получится такой пример: 100+50+8 (третий разряд). А второразрядное число 98 предстанет в виде 90+8.
Числа в троичной системе счисления могут обозначаться как всем привычными цифрами 0, 1 и 2. Тогда это несимметричная троичная система. В симметричной же используются знаки «минус» и «плюс», таким образом, в записях используется число «-1». Оно так же может обозначаться как единица с чертой вверху или внизу, как латинская буква i.
Троичные цифры можно закодировать тремя любыми знаками, например «А,Б,В», однако предварительно необходимо указывать их старшинство (к примеру, А меньше Б, Б меньше В).
Чтобы перевести число из десятичной в троичную систему счисления, нужно воспользоваться общей формулой. Необходимо делить десятичное число на основание необходимой системы и записывать остатки справа налево. Возьмем для примера число 30. Первым действием делим его на 3. Получаем 10 без остатка, поэтому записываем 0. Десять делится на 3 с остатком 1, поэтому записываем 1. В третьем действии 3 делим на основание системы и записываем сначала остаток, затем результат деления. В итоге получаем троичное число 1010.
Если, например, компьютеры легко проводят математические операции в своей «родной» бинарной системе, то людям бывает трудно перестроить мышление, ведь для нас основной является десятичная система счисления. Троичная система обладает большей емкостью по сравнению с бинарной, и вычисления в ней несколько сложнее, однако во всех позиционных системах применяется таблица сложения.
Пожалуй, все помнят, по какому принципу составляется сетка в игре «Морской бой»: в левом вертикальном столбце записываются цифры, а в верхнем горизонтальном — буквы. Сетку сложения можно составить по тому же принципу. Например, в несимметричной троичной системе всего три символа, таким образом столбцов будет четыре, в каждый из них следует вписать последовательную цепочку цифр. На примере: нижний горизонтальный столбец будет таков: 0, 00, 01, 02. Второй столбец: 1, 01, 02, 10. Третий: 2, 02, 10, 11. Можно расширить таблицу, если требуются числа из других разрядов (например, 001 и т. д.).
В троичной системе счисления таблица умножения выглядит короче и лаконичнее, нежели в десятичной, и само действие — не намного сложнее, ведь перемножать придется числа не больше двойки. Чтобы умножить в столбик, необходимо записать два троичных числа друг над другом, затем последовательно умножать первый множитель на разрядные числа второго, пропуская ноль. Таким образом, умножение цифры 102 на 101 будет выглядеть так: 2*1=2, 0*1=0, 1*1=1. Записываем 102. Далее пропускаем ноль и умножаем на единицу (старшее число второго множителя).
Однако сложение в троичной системе счисления можно произвести и без всякой таблицы. Для этого нужно вспомнить простое правило, гласящее: если результат сложения превышает разряд, следует разделить второе число пополам. Разберем пример: допустим, необходимо сложить 6 и 8. Результатом сложения превышает данную разрядность, поэтому делим 8 на 2, получаем 4. Окончательный пример выглядит так: 6+8=(6+4)+4=10+4=14.
Даже для бытовых расчетов не всегда использовалась десятичная система счисления. Троичная система частично использовалась еще у древних шумеров: их меры денег и весов были кратны трем. С древних времен и до наших дней на рычажных весах используется подобие троичной системы. Знаменитым Фибоначчи, итальянский ученым и математиком (настоящее имя — Леонардо Пизанский) была предложена целочисленная симметричная троичная система счисления. Таблица умножения в ней, как заметил французский математик О.Л. Коши, почти в четыре раза короче, по сравнению с десятичной.
Троичная система имеет нечетное основание, поэтому реализуется симметричное расположение цифр относительно нуля (-1, 0, 1), с чем связано несколько свойств. Отрицательные числа представляются в троичной системе более естественно, а также отсутствует проблема округления, ведь младшие цифры, отбрасываемые при округлении, в троичной системе никогда не превосходят по абсолютной величине часть числа, соответствующей младшей значащей цифре младшего разряда. То есть в троичной системе следует только отбросить младшие цифры, и получится наиболее точное приближение.
Довольно интересно представление отрицательных цифр в симметричной троичной системе счисления. Так как одним из знаков в алфавите является «-1» или единица с чертой сверху, то отпадает надобность в отдельном разряде знака, а выполнение арифметических операций не нуждаются в использовании обратного кода, так как любые действия с симметричным троичным числом выполняются по обычному правилу, но с учетом знака числа. Положительность или отрицательность числа определяется по тому, какой знак имеет старшее число в последовательности. Чтобы сменить знак числа, нужно инвертировать знаки всех присутствующих в коде чисел.
Некоторые системы счисления стали знаменитыми благодаря использованию их в компьютерных технологиях. Например двоичная система, или бинарный код — эти слова часто используются в СМИ и кинематографе, так что знакомы они практически всем. А вот восьмеричная система счисления мало у кого на слуху, хотя используется в сфере IT-технологий из-за того, что легко переводится в двоичную и наоборот, но гораздо более емкая.
Для троичной системы таким емким аналогом является девятеричная.
Основой всех электронно-вычислительных машин нашего времени является двоичная логика, хотя троичная считается более перспективной. Удивительно, но еще в пятидесятые годы прошлого века в компьютере «Сетунь», построенном в МГУ, уже использовался симметричный троичный код. С 2008 года же в калифорнийском университете повторили опыт более чем полувековой давности, построив компьютерную систему ТСА2, также основанную на троичной логике.
Ее преимущества перед бинарной в том, что используется меньше разрядов. Например, число 10 десятичной системы в двоичной системе предстает как 1010, а в троичной несимметричной — как 101, или как +0+ в симметричной. Емкость также играет роль в том случае, если должна быть выбрана определенная система счисления. Троичная логика экономична и может вместить больший диапазон чисел при том же количестве знаков.
У тех, кто не знаком с бинарным кодом, может возникнуть вопрос: а зачем тогда вообще использовать такие системы счисления, если десятичная — емкая и понятная? Дело в том, что понимание компьютером двоичного кода основано на простой логике: есть сигнал, нет сигнала. Наличие сигнала означает единицу, а его отсутствие — ноль, только и всего. Машина не воспринимает код как цифры. При использовании десятичного кода специалистам пришлось бы придумать, какой вариант будет соответствовать каждой из цифр, но это только усложнило бы задачу, а вот понимание троичного кода реализовывается достаточно просто: отсутствие сигнала, слабый сигнал, сильный сигнал.
Квантовая механика может показаться чем-то фантастическим. Ее законы продолжают удивлять всех, кто впервые с ней сталкивается, однако люди уже давно задумались об использовании ее для создания компьютера нового поколения, более мощного и очень быстрого. Однако это потребует и новых алгоритмов защиты. Например, чтобы получить доступ к кредитной карте, необходимо разложить на простые множители огромное число, имеющее сотни знаков. Самый быстрый современный компьютер сможет сделать это за время, равно возрасту нашей Вселенной, однако квантовый компьютер, основанный на троичной логике, вполне справится с этой задачей.
Кубит — квантовый бит — основан на неопределенности спина электрона. Он может вращаться как по часовой стрелке (примем это за единицу), так и против (ноль), однако есть и третий вариант — неопределенность, что вполне может быть третьим «символом» в алфавите, и тогда троичная логика отлично укладывается.
Да, использование троичного кода в среднем ускоряет работу компьютера на 50 %, но если «перевод» в троичную систему счисления всех устройств все же произойдет, то как же будут работать старые приложения и программы? Неужели придется менять все и сразу? Нет. Троичная логика как стоящая на разряд выше включает в себя все возможности двоичного кода, и, сверх этого, еще и целый ряд преимуществ. Однако программы должны быть оптимизированы под троичный код, иначе будут работать по-старому.
Рассмотрим два основных арифметических действия: сложение и умножение в различных системах счисления.
Составим таблицу сложения для пятеричных цифр (будем использовать ее при сложении чисел в «столбик»).
1
2
3
4
1
2
3
4
10
2
3
4
10
11
3
4
10
11
12
4
11
12
13
Найдем 234 5 + 312 5 . Складывать будем поразрядно в «столбик», используя таблицу сложения, аналогично десятичной системе счисления. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.
Используя таблицу сложения можно также и вычитать числа в пятеричной системе счисления:
1
2
3
4
1
2
3
4
10
2
3
4
10
11
3
4
10
11
12
4
11
12
13
Найдем 203 5 34 5 . Вычитать будем поразрядно в «столбик», используя таблицу сложения, аналогично десятичной системе счисления. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.
Сложение и вычитание можно выполнять и не используя таблицу сложения.
при сложении чисел в пятеричной системе счисления, единицу в старший разряд мы переносим, когда в сумме получилось не 10, а 5!
при вычитании в старшем разряде мы занимаем не 10, а 5 единиц.
Если выполнение операций сложения и вычитания поручить формальному исполнителю, например компьютеру, тогда необходимо хранить в его памяти таблицу сложения, т.е. 5*5=25 ячеек памяти будет занято под таблицу.
Составим таблицу умножения для пятеричной системы счисления (цифру 0 не включаем, т.к. умножение на 0 всегда равно 0).
2
3
4
2
4
11
13
3
11
14
22
4
Найдем 13 5 * 24 5 . Умножать будем в «столбик», используя таблицу умножения, аналогично десятичной системе счисления. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.
Вывод:
Для выполнения арифметических операций в пятеричной системе счисления необходимо запомнить 25 правил сложения и 16 правил для умножения. .
Столько правил необходимо было бы «запомнить» компьютеру, если бы он работал в пятеричной системе счисления. Сравните с «нашей» десятичной системой счисления: 10*10 = 100 правил сложения и 9*9 = 81 правило умножения!
Составим таблицы сложения и умножения для двоичной системы счисления.
1
1
10
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10
0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1
Вывод:
Для выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления необходимо запомнить всего 4 правила сложения и 1 правило умножения. .
Вот еще один аргумент за то, что вся информация в памяти компьютера храниться в двоичном коде
Рассмотрим примеры сложения и вычитания в двоичной системе счисления.
при сложении чисел в двочной системе счисления, единицу в старший разряд мы переносим, когда в сумме получилось не 10, а 2!
при вычитании в старшем разряде мы занимаем не 10, а 2 единицы.
Заполните самостоятельно таблицы сложения и умножения для троичной системы счисления.
Для закрепления материала Вам предлагается поработать на испытательных полигонах, где Вы сможете сами составить примеры на сложение и вычитание в раличных системах счисления (от двоичной до шестнадцатеричной) и управлять процессом вычисления.
Испытатель 1 ( сложение чисел в различных системах счисления ).
Испытатель 2 ( вычитание чисел в различных системах счисления ).
Рассматриваются троичная симметричная (уравновешенная) система счисления (ТСС) и базовые операции производимые в ней.
Троичная система — позиционная система счисления по целочисленному основанию 3. Мы будем рассматривать вариант симметричной системы, значения в которой могут быть отрицательными, нулевыми или положительными, другими словами -1, 0, 1. Далее под понятием троичная система, троичное число и т.п., будет пониматься троичная симметричная позиционная система счисления.
Все мы уже привыкли к десятичным числам (1; 3; 5), двоичным (101; 1011001) и даже к шестнадцатеричным (0xFF; 0xA5), а что из себя представляет троичное число? Это такая же последовательность знаков (+0+—+0), только в отличие от ранее приведенных систем вместо цифр символы +,0,-. Примеры троичных чисел и их десятичный эквивалент: -+ 3 = − 2 10 , -0 3 = − 3 10 , — 3 = − 4 10 , +- 3 = 2 10 , +0 3 = 3 10 , ++ 3 = 4 10 .
В общем виде число в троичной системе можно представить как сумму произведений значения разряда на соответствующую этому разряду степень числа 3 (в десятичном представлении).
Иными словами: a n ⋅ 3 n + a n-1 ⋅ 3 n-1 + … + a 2 ⋅ 3 2 + a 1 ⋅ 3 + a 0 + a -1 ⋅ 3 -1 + a -2 ⋅ 3 -2 + … + a -m+1 ⋅ 3 -m+1 + a -m ⋅ 3 -m , где a i ∈ [ − 1,0,1 ] , n , m , i ∈ N . Причем a n ⋅ 3 n + a n-1 ⋅ 3 n-1 + … + a 2 ⋅ 3 2 + a 1 ⋅ 3 + a 0 – целая часть числа, a -1 ⋅ 3 -1 + a -2 ⋅ 3 -2 + … + a -m+1 ⋅ 3 -m+1 + a -m ⋅ 3 -m – дробная часть.
Для перевода из десятичной системы в троичную, можно воспользоваться следующим алгоритмом:
Исходное число (в десятичной системе) делим на 3.
Если остаток от деления равен 2, то к результату добавляем +1.
Если результат от деления больше 2, — выполняем его деление на 3.
Пункты 2, 3 выполняем до тех пор пока не получим результат от деления меньше 3 (см. п.3).
После выполнения процедур сначала выписываем результат от последнего деления, при этом если результат равен двум то его выписываем как +-, затем выписываем остатки от предыдущих операций, так что первый остаток от деления был выписан последним (то есть выписываем снизу вверх), при этом все остатки равные двум выписываются как значение — (см. п.2, мы делали заём из остатка в результат).
Значения равные 1 выписываются как +, 0 оставляем как есть (0 и в троичной системе 0).
Пример: Переведём число 19 из десятичной системы в троичную систему. Разделим 19 на 3. Получим 6, а в остатке будет 19 − 6 × 3 = 19 − 18 = 1 . Так как результат больше 2 (6>2), необходимо продолжить выполнение операций деления. Теперь 6 делим на 3. Получаем 2, в остатке 6 − 2 × 3 = 6 − 6 = 0 . Результат меньше 3. Дальше делить результат не требуется. Выписываем: 2, 0, 1. Заменяем, получаем: +-0+ — 19 в троичной системы.
Пример: Переведём число 5 из десятичной системы в троичную систему. Разделим 5 на 3. Получим 1, а в остатке будет 5 − 1 × 3 = 5 − 3 = 2 . Так как остаток равен 2, то делаем заём в результат добавляя к нему +1, то есть результат теперь равен 2. Результат меньше 3. Дальше делить результат не требуется. Выписываем: 2, 2, но так как 2 из результата выписывается как +-, а из остатка как +, получаем +—.
Примечание: данный способ больше пригоден для преобразования с вычислительным устройством, так как приходится осуществлять множество операций деления.
Ключевая особенность троичной системы — наличие знака числа в самом алфавите, т.е. однозначно определяется знак числа по самому числу. Если ведущий ненулевой разряд отрицателен, то и само число является отрицательным. Изменение знака числа производится инвертированием каждого разряда числа: положительный разряд меняется на отрицательный и наоборот, ноль остается без изменений.
Другой важной особенностью троичной системы является механизм округления чисел — простым отбрасыванием младших разрядов получается наилучшее при данном оставшемся количестве цифр приближение этого числа и округление не требуется. Это следствие того, что абсолютная величина части числа, представленной отбрасываемыми младшими цифрами, никогда не превосходит половины абсолютной величины части числа ( 0,+ 2 = 1 6 > 0,0+ = 1 9 ), соответствующей младшей значащей цифре младшего из сохраняемых разрядов.
Округлим троичное число 0,++++ = 0,493827 до 3 знаков после запятой: 0,+++ = 0,48148 , до 2 знаков дает: 0,++ = 0,4444(4) , до 1 знака — 0,+ = 0,3333(3) .
Сложение производится по общим правилам для позиционных систем.
Слагаемое 1
+
+
+
0
0
0
—
—
—
Слагаемое 2
—
0
+
—
0
+
—
0
+
Сумма
0
+
—
—
0
+
+
—
0
Перенос
0
0
+
0
0
0
—
0
0
Примечание: следует отметить что разрядная сетка с двумя разрядами не переполняется вплоть до 4 слагаемых. Таким образом наименьшим оптимальным сумматором можно считать сумматор для четырёх одноразрядных операндов: « +» + «+» + «+» + «+» = «+-» + «+-» = «++»
Операция вычитание выполняется как сложение с инвертированием вычитаемого или уменьшаемого.
Умножение производится по общим правилам для позиционных систем.
Таблица умножения
+
0
—
+
+
0
—
0
0
0
0
—
—
0
+
Умножение 8 (+0-) на 8 (+0-), в результате получаем 64:
+
0
—
×
+
0
—
—
0
+
+
0
0
0
+
+
0
—
+
—
+
0
+
Примечание: у множение в троичной системы на 3 n , где n > 0, n ∈ N , сводится к добавлению к числу n – младших разрядов с нулевым значением: 4 = ++ ; 12 = ++0 ; 36 = ++00 , также эта операция называется троичный сдвиг влево.
Деление производится по общим правилам для позиционных систем. При делении столбиком, если разрядность остатка от деления не уменьшилось, необходимо произвести его деление без добавления следующего разряда делимого, а результат записать под предыдущем результатом, затем необходимо сложить полученные результаты поразрядно (можно заменять операцию вычитания – операцией сложения, для этого вычитаемое необходимо инвертировать, после чего можно производить сложение).
+
0
—
+
+
—
—
—
+
+
+
—
—
+
+
0
+
—
+
—
—
+
—
—
—
+
—
—
0
В результате второй операции вычитания получается остаток с разрядностью равной разрядности делителя, т.е. необходимо произвести деление остатка без займа следующего разряда делимого. Полученный результат записываем под предыдущим результатом.
Примечание: деление числа на 3 n , где n > 0, n ∈ N , осуществляется сдвигом вправо: 18 = +-00 ; 6 = +-0 ; 2 = +- ; 2 3 = +,- .
Число a в троичной системы можно представить в виде a = a n a n-1 … a 1 a 0 ¯ = ( 3 n − 1 ) ⋅ a n + ( 3 n-1 − 1 ) ⋅ a n-1 + … + ( 3 2 − 1 ) ⋅ a 2 + ( 3 − 1 ) ⋅ a 1 + a n + a n-1 + … + a 1 + a 0 , где a i ∈ [ − 1,0,1 ] , i = 0, 1, … , n , a n ≠ 0 .
Обозначим b = ( 3 n − 1 ) ⋅ a n + ( 3 n-1 − 1 ) ⋅ a n-1 + … + ( 3 2 − 1 ) ⋅ a 2 + ( 3 − 1 ) ⋅ a 1 ,
c = a n + a n-1 + … + a 1 + a 0 , т.е. a = b + c .
Рассмотрим число b = ( 3 n − 1 ) ⋅ a n + ( 3 n-1 − 1 ) ⋅ a n-1 + … + ( 3 2 − 1 ) ⋅ a 2 + ( 3 − 1 ) ⋅ a 1 .
Множителями a i , является ( 3 k − 1 ) .
При любом k ≥ 1 ( 3 k − 1 ) = ( 3 − 1 ) ⋅ ( 3 k-1 + 3 k-2 + … + 3 + 1 ) = 2 ⋅ ( 3 k-1 + 3 k-2 + … + 3 + 1 ) , следовательно, можно записать b = 2 ⋅ ( … ) , т.е. b делится 2.
Следовательно, число a = b + c делится на 2 тогда, когда делится на 2 число c = a n + a n-1 + … + a 1 + a 0 , которое представляет собой сумму цифр числа a .
Число в троичной системы делится на 2 (число четное), если сумма значений его разрядов делится на 2 .
Числа, которые делятся на 2
Числа, которые не делятся на 2
Значение в троичной системе
Сумма разрядов
Значение в десятичной системе
Значение в троичной системы
Сумма разрядов
Значение в десятичной системе
+-
0
2
+
1
1
++
2
4
+0
1
3
+-0
2
6
+—
-1
5
+0-
2
8
+-+
1
7
+0+
2
10
+00
1
9
++0
2
12
++-
1
11
+—
4
14
+++
3
13
Число a в троичной системы можно представить в виде a = a n a n-1 … a 1 a 0 ¯ = 3 n ⋅ a n + 3 n-1 ⋅ a n-1 + … + 3 1 ⋅ a 1 + 3 0 ⋅ a 0 , где a i ∈ [ − 1,0,1 ] , i = 0, 1, … , n , a n ≠ 0 .
Зададим число b = a − a 0 , т.е. b = 3 n ⋅ a n + 3 n-1 ⋅ a n-1 + … + 3 1 ⋅ a 1 = 3 ⋅ ( 3 n-1 ⋅ a n + 3 n-2 ⋅ a n-1 + … + 3 1 ⋅ a 2 + a 1 ) .
Отсюда следует, что число b делится на 3, а число a = b + a 0 делится на 3 тогда и только тогда, когда a 0 делится на 3, этому соответствует значение a 0 = 0 , таким образом, числа в троичной системы делятся на 3, если младший разряд равен нулю.
В информатике, кроме привычной нам десятичной системы счисления, существуют различные варианты целочисленных позиционных систем. Одной из таких является троичная.
В обычной жизни людьми применяется десятичная система счисления, включающая цифры от 0 до 9. В информатике принято использовать двоичную систему, включающую только 0 и 1. Однако это не мешает существовать и другим системам, вроде троичной, которая состоит из цифр 0,1 и 2. Она менее популярна, чем названные выше, однако понимание того, как переводить в троичную систему счисления, будет полезно изучающим информатику. В статье приведены простые примеры перевода.
Данный способ перевода весьма прост и схож с переводом в двоичную систему. Необходимо взять десятичное число, и поделить на основание системы (в троичной — число 3), пока в остатке не останется число меньше трёх. Затем все остатки записываются в обратном порядке.
Этот же способ подходит для большинства систем счисления. Сложности могут возникнуть с шестнадцатеричной системой, в которой числа от 10 до 15 обозначаются первыми буквами английского алфавита. Для простоты вычислений можно делить в столбик число. Это удобнее, чем запись в строчку, поскольку не даст запутаться и упустить значения.
В качестве примера того, как переводить в троичную систему счисления, можно использовать число 100. Для начала запишите число и делите его на 3. Получается: 100/3=33(остаток 1)/3=11(остаток 0)/3=3(остаток 2)/3=1(остаток 0). Затем следует выписать все цифры:10201. Напишите число наоборот (от последней цифре к первой). В данном примере получится тоже самое число, однако может быть иное число, вроде 22102, которое запишется как 20122.
Как перевести троичную систему счисления в десятичную? Требуется владеть базовыми навыками сложения, умножения и возведения в степень числа. Для начала следует записать переводимое троичное число и над каждой цифрой написать сверху порядковый номер (начиная с последней, которая имеет цифру 0, до первой, в порядке возрастания на единицу).
Затем необходимо каждое число умножить на основание численной системы ( в данном случае — тройку), при этом цифра 3 будет возводиться в степень, равную порядковому номеру той цифры, на которую умножается. Все нули можно опустить (такое умножение не имеет смысла в данном случае), при этом над ними тоже следует записывать номер, чтобы не допустить путаницы. Затем все полученные значения складываются, и итоговое число будет ответом.
Для примера того, как счисление чисел в троичной системе можно вернуть к десятичной, используем ранее названное число 20122. Для начала над каждой цифрой укажите её порядковый номер 2 4 0 3 1 2 2 1 2 0 . Затем каждое число следует умножить на основание троичной системы, которое возводится в степень по номеру числа: 2*3 4 +1*3 2 +2*3 1 +2*3 0 . Полученные результаты суммируются (162+9+6+2). В результате будет число 179. При этом можно заметить, что цифра 0 была не записана. При желании её тоже можно учитывать, однако она даст лишь нулевой результат.
Если такой способ подсчёта кажется слишком долгим, то всегда можно воспользоваться онлайн-калькуляторами. Большое число современных сервисов работает с троичной системой и многими другими. Вместе с этим можно посмотреть, как выполнялся перевод в троичную систему счисления и вспомнить, как правильно считать или проверить на ошибки.
При этом не следует забывать про учебные пособия. Необходимость перевода в разные системы счисления зачастую возникает у школьников и студентов, которые изучают информатику. Большая часть учебников имеет в своём содержании раздел со значениями перевода. Также для учащихся вузов существует множество справочников с огромным объемом данных, в том числе троичной системой счисления, правилами перевода и основными целыми значениями.
Работать с подобными числами тоже возможно. Способ перевода схож с описанным ранее, однако необходимо учитывать отдельные детали. В процессе перевода дробное число также делится на 3, однако если полученный результат не целый, к примеру 1,236. В таком случае записывается лишь число перед запятой (даже 0 учитывается). Затем полученные числа записываются уже после запятой в новой системе счисления, к примеру 0,21022 в троичной системе.
Если само выражение имеет как целую, так и дробную часть, то стоит выполнять раздельные перевод. Для начала возьмите целую часть, и поделитесь её описанным способом, затем рассчитайте дробную часть, и напишите её после запятой.
В случае с троичной системой счисления работать с отрицательными числами просто. При переводе отрицательного десятичного числа в троичное, знаки сохраняются.
Однако это правильно не действует на двоичную систему, где процедура будет более трудоёмкой. В связи с этим нельзя так просто перевести десятичное отрицательное число в двоичное, как в случае с троичной системой счисления.
В отличие от прочих систем, троичная может быть несимметричной и симметричной. Во всех предыдущих вариантах была описана именно первая, несимметричная система. Отличия сильно заметны. В симметричной системе используются знаки (-;0+), (-1;0+1). Возможен вариант с верхним или нижним подчеркиванием ненулевого числа, для обозначения минуса. Этот вариант не так часто встречается в школьной программе, однако необходимо учитывать и его, ведь достаточно легко спутать с двоичной системой. Однако последняя не имеет знаков перед числом.
Также заслуживает внимание обозначение троичной системы буквами. Обычно это A,B,C, при этом указывается, какое число больше и меньше (A>B>C).
Не лишним будет упомянуть основные значения перевода из десятичной системы в троичную. Хотя это достаточно просто, но на начальных этапах вычисления стоит проверять полученный результат, прежде чем браться за более серьезные расчеты. Троичная система счисления и таблица помогут понять, на чем основывается перевод разных систем.
Из данной таблицы становится понятна логика, по которой формируются числа. Также её достаточно просто запомнить.
Существует несколько различных систем счислений. В повседневной жизни человеку приходится сталкиваться разве что с десятичной, однако стоит знать, что существует система счисления троичная. Она отличается от остальных наличием трех цифр и двумя вариантами записи (симметричный и несимметричный). Вместе с этим, в ней достаточно просто работать с отрицательными числами и дробными. Благодаря этому, данная система весьма проста в понимании. Симметричный вариант может напоминать двоичную систему, однако между ними имеется существенная разница. Она заключается в наличии знаков, по которым отличают положительное число от отрицательного. В двоичной системе их нет.
Троичная система счисления — позиционная система счисления с целочисленным основанием, равным 3.
Существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная.
В несимметричной троичной системе счисления чаще применяются цифры <0,1,2>, а в троичной симметричной системе счисления знаки <-,0,+>, <-1,0,+1>, <1,0,1>, <1,0,1>, , , и цифры <2,0,1>, <7,0,1>. Троичные цифры можно обозначать любыми тремя знаками , но при этом дополнительно нужно указать старшинство знаков, например, C>B, B>A.
Цифры в троичной симметричной системе целесообразно обозначать их знаками, т.е. вместо 1, 0, -1 писать +, 0, -. Например, десятичные числа 13, 7, 6, -6 в такой троичной записи будут:
Изменение знака числа в симметричном коде равносильно потритной инверсии, т.е. взаимозамене всех “+” на “-” и всех “-” на “+”.
В отличие от двоичной, это арифметика чисел со знаком, причем знаком числа оказывается цифра старшего из его значащих (ненулевых) разрядов. Проблемы чисел со знаком, не имеющей в двоичном коде совершенного решения, в троичном симметричном коде просто нет, чем и обусловлены его принципиальные преимущества.
В цифровой технике система счисления с основанием b реализуется регистрами, состоящими из наборов триггеров, каждый из которых может принимать b различных состояний, кодирующих цифры числа. При этом особое значение приобретает экономичность системы счисления — возможность представления как можно большего диапазона чисел с использованием как можно меньшего общего количества состояний.
Если общее количество состояний равно m, то количество триггеров равно m/b, а количество представимых ими чисел соответственно — b^(m/b). Как функция от b, это выражение достигает максимума при b равном числу e = 2,718281828…. При целых значениях b максимум достигается для b = 3. Таким образом, наиболее экономичной является троичная система счисления (используемая в троичных ЭВМ), следом за которой идут двоичная система счисления (традиционно используемая в большинстве распространённых ЭВМ) и четверичная система счисления.
Бинарная логика, являющаяся основой современной вычислительной техники, воспринимается сегодня как некая аксиома, истинность которой не подвергается сомнению. И действительно, кодирование информации с помощью наличия или отсутствия сигнала кажется самым подходящим способом реализации цифровых систем. Но так ли это?
Правила работы компьютеров определяют люди. Использование двоичной логики в вычислительном процессе — не закон природы, а сознательное решение, которое кто-то когда-то принял, потому что оно удовлетворяло разработчиков компьютеров, программистов и пользователей, решающих свои задачи.
Почему именно двоичная логика стала базой современных ЭВМ? Ответ представляется очевидным. Исторически математическая логика опиралась на идею «третьего не дано», сводя процесс логических умозаключений к бинарным решениям.
Эта догма классической логики обязана рождением принципу бивалентности логических суждений, введённому яростным стоиком Хризиппом и поддерживаемому авторитетом Аристотеля. «Фундаментом диалектики служит тезис, что всякое высказывание (то, что называют «аксиомой») или истинно, или ложно», — говорил Цицерон.
Простота бивалентности действительно неплохо описывает логические реалии жизни. Стоит вспомнить семафоры, пешеходные переходы и тумблеры «вкл-выкл». Бинарность неплохо управляет повседневностью.
Давайте взвесим на обычных рычажных весах два предмета А и В. Весы с лёгкостью позволят определить нам две противоположности: вес А > В и вес А Льюис Кэролл (Чарльз Лютвидж Доджсон) В двоичной системе естественно представимы неотрицательные либо неположительные числа, а поскольку необходимы и те, и другие, то приходится прибегать к дополнительному или обратному коду или вводить особый бит знака числа (“прямой код”). По сравнению с троичным кодом, позволяющим ввести знак (+, 0, -) на уровне элемента-трита, благодаря чему радикально упрощаются все дальнейшие построения, двоичные конструкции в принципе неполноценны, за исключением, разве только двоично-троичной, представляющей триты парами битов. Дело в том, что числа (похоже, как и все в мире) тройственны по природе. Ведь положительное не есть неотрицательное (вопреки тому, как это встречается в англоязычной литературе) и отрицательное не есть неположительное, потому что имеется три фундаментальных класса чисел — положительные, отрицательные и нуль. Это трехзначная (не хрисиппо-булева) логика: положительное есть антиотрицательное, а отрицательное — антиположительное, комплементарно же положительному отрицательное или нуль и т.д. Это логика знаков числа, и хотя их два (плюс, минус), значений все-таки три: +, 0, -.
В русской историко-математической литературе «задача о гирях» известна под названием «задачи Баше-Менделеева», названной так в честь французского математика 17 в. Баше де Мезириака, который разместил эту задачу в своем «Сборнике приятных и занимательных задач» (1612 г.) и блестящего русского химика Дмитрия Ивановича Менделеева, который интересовался этой задачей будучи директором Главной Палаты мер и весов России.
Сущность «задачи Баше-Менделеева» состоит в следующем: при какой системе гирь, имея их по одной, можно взвесить всевозможные грузы Q от 0 до максимального груза Qmax, чтобы значение максимального груза Qmax было бы наибольшим среди всех возможных вариаций? Известно два варианта решения этой задачи: (1) когда гири позволено класть на свободную чашу весов; (2) когда гири позволяется класть на обе чаши весов. В первом случае «оптимальная система гирь» сводится к двоичной системе гирь: 1, 2, 4, 8, 16, . а появляющийся при этом «оптимальный» алгоритм или способ измерения рождает двоичную систему счисления, лежащую в основе современных компьютеров. Во втором случае наилучшей является троичная система гирь: 1, 3, 9, 27, 81,…
1203 г., Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (Пиза, Италия) сформулировал «задачу о гирях» («задача Баше-Менделеева) и доказал, что, при разрешении класть гири только на одну чашу весов, наиболее экономичной является двоичная система счисления, а при разрешении класть гири на обе чаши весов, наиболее экономичной является троичная симметричная система счисления, и опубликовал её в «Книге абака» (Liber abaci). Фибоначчи
1840 г., Томас Фоулер (Большой Торрингтон, графство Девон, Англия, Великобритания) построил механическую троичную вычислительную машину (умножитель с 55-тритным регистром результата), одну из самых ранних механических вычислительных машин.
Томас Фоулер работал банковским служащим и по роду деятельности был вынужден производить сложные вычисления. Чтобы облегчить и ускорить свою работу, он сделал таблицы для счета степенями двойки и тройки, а позже опубликовал эти таблицы в виде брошюры.
Троичные ЭВМ (компьютеры) обладают рядом преимуществ по сравнению с двоичными ЭВМ (компьютерами).
При сложении тритов в троичных полусумматорах и в троичных сумматорах количество сложений приблизительно в 1,5 раза меньше, чем при сложении битов в двоичных полусумматорах и в двоичных сумматорах, и, следовательно, быстродействие при сложении приблизительно в 1,5 раза больше.
При применении симметричной троичной системы счисления и сложение и вычитание производится в одних и тех же двухаргументных (двухоперандных) полусумматорах-полувычитателях или полных трёхаргументных (трёхоперандных) сумматорах-вычитателях без преобразования отрицательных чисел в дополнительные коды, то есть ещё немного быстрее, чем в двоичных полусумматорах и в двоичных полных сумматорах с преобразованием отрицательных чисел в дополнительные коды.
Троичная логика целиком включает в себя двоичную логику, как центральное подмножество, поэтому троичные ЭВМ (компьютеры) могут делать почти всё, что делают двоичные ЭВМ (компьютеры), плюс возможности троичной логики.
