Меню

Как найти значение производной в точке х0 по графику функции

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

  1. Значение производной в некоторой точке x,
  2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
  3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

  1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x1; y1) и B (x2; y2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
  2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x2 − x1 и приращение функции Δy = y2 − y1.
  3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x2 − x1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y2 − y1 = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x.

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x2 − x1 = 3 − 0 = 3; Δy = y2 − y1 = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x.

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x2 − x1 = 5 − 0 = 5; Δy = y2 − y1 = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

  1. Точка x называется функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x).
  2. Точка x называется функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

  1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
  2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x известно, что f’(x) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x) ≥ 0 или f’(x) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
  3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

  1. Функция f(x) называется [a; b] если для любых двух точек x1 и x2 из этого отрезка верно утверждение: x1 ≤ x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
  2. Функция f(x) называется [a; b] если для любых двух точек x1 и x2 из этого отрезка верно утверждение: x1 ≤ x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Читайте также:  Как сделать лапшу домашнюю рецепт

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

  1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
  2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

  1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
  2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
  3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l1 = − 6 − (−8) = 2;
l2 = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l2 = 5.

источник

Задача: На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .


Решение:

Помним, что производная равна тангенсу угла наклона касательной (т.е. угловому коэффициенту касательной)

Касательная есть, осталось найти тангенс её наклона к положительному направлению оси абсцисс.

Требуется изобразить какой-либо прямоугольный треугольник, в котором касательная была бы гипотенузой, а вершины лежали бы в узлах сетки.

Например, вот такой треугольник:

Угол для исследования : .
Известно, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего.
Считаем клеточки, и получаем, что:
.
Итого:
Ответ: Производная в этой точке равна 4.

Задача: На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Решение:
Замечание: Задача аналогична предыдущей с тем отличием, что касательная «наклонена влево» и мы понимаем, что её угловой коэффициент отрицателен.
Замечание: Нужные точки касательной, точно расположенные в узлах координатной решетки, как бы невзначай обозначены жирненькими точками. Их то мы и возьмем за вершины треугольника.

Требуется найти . Из чертежа видно, что .

А из тригонометрии известно, что
Считаем клеточки, и получаем, что:
.
Итого:
Ответ: Производная в этой точке равна .

источник

19 мая Выпустили приложение для телефона —

15 мая Повтори весь материал ЕГЭ на курсе Умскул и прибавь к результату 20 баллов.

− Examer из Таганрога;
− Учитель Думбадзе
из школы 162 Кировского района Петербурга.

ЧИТАТЬ ВСЕ НОВОСТИ декабря На нашем сайте размещён курс русского языка Людмилы Великовой.

3 мая Ещё один вариант досрочного ЕГЭ по математике.

14 апреля Вариант резервного дня ЕГЭ по математике.

13 апреля Вариант досрочного ЕГЭ по физике.

12 апреля Вариант досрочного ЕГЭ по информатике.

17 апреля Кратко о специальной теории относительности.

Наша группа ВКонтакте
Мобильные приложения:

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках.

в точке перегиба производная тоже равна нулю

Точек перегиба на графике несколько, ни в одной из них производная нулю не равна.

Разве при х=0, производная не равна 0?

В точке 0 производная отрицательна.

Но ведь здесь только одна точка максимума

В точках перегиба (а это Х=0) производная тоже равна 0. Поэтому ответ 5.

В точке перегиба вторая производная равна нулю.

Уважаемые коллеги, при решении заданий вы крайне невнимательно работаете с графиками.

В аналогах №№7093, 7097, 7099, 7103 и др. в некоторых точках экстремума производная не существует, т.к. с одной стороны таких точек криволинейная функция, а с другой — отрезок. И о касательных в этих точках тоже говорить нельзя.

Не обращая внимания на тонкости графика, вы даёте неправильные ответы и пояснения!

Авторитет сайта для детей высок, трачу много времени, доказывая свою правоту!

Обратите внимание, что пояснения к заданиям 7093, 7097, 7099, 7103 начинаются фразой, выделенной красным цветом, «Это задание еще не решено, приводим решение прототипа». Поэтому в решениях этих заданий пока не может быть ошибок, так как отсутствуют сами решения.

Читайте также:  До скольки не сбивают температуру у детей

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых y’(x) = −2, это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB:

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−3; 6), B (−3; 4), C (5; 4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −2), B (−2; −5), C (4; −5). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней.

Касательная параллельна горизонтальной прямой в точках экстремумов, таких точек на графике 5.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = −6.

Касательная параллельна горизонтальной прямой в точках экстремумов, таких точек на графике 7.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (2; 2), C&nbsp(−6; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB. Поэтому

Проверяйте знак так: угол наклона острый, значит, его тангенс положительный.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −9), B (−2; −3), C (−5; −3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB. Поэтому

Нельзя решить другим способом?

Я вот нашел функцию, которая задаёт прямую, потом производную этой функции и всё. А тут париться и что-то строить. Мне просто повезло или так тоже можно?

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f ‘(8).

Поскольку касательная проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид y = kx. Эта прямая проходит через точку (8; 10), поэтому 10 = 8 · k, откуда k = 1,25. Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, получаем: f ‘(8) = 1,25.

На рисунке изображен график производной функции Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный 2 и Осталось найти, при каких производная принимает значение 2. Искомая точка

Если f'(x)=2, то это не значит, что f(x)=2, а следовательно x≠5. На рисунке видно, что с вашим ответом прямая и касательная далеко не параллельны. Синим цветом указано примерное расположение верного ответа (x∈[-2;-1])

Вот ссылка на картинку http://i68.fastpic.ru/big/2014/0903/62/b8e7df53c7801d840bc852112753ab62.png

Внимательно прочитайте условие и наше решение, и Вы поймёте, что мы правы, а Вы решали другую задачу.

На рисунке изображен график производной функции Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, она имеет вид , и её угловой коэффициент равен 0. Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс. Поэтому искомая точка

разве угловой коэффициент равен нулю не в точках с абциссой 1 и 4?

На рисунке изображен график ПРОИЗВОДНОЙ

Прямая параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения :

Читайте также:  Как из рюкзака сделать сумку

Прямая является касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.

Можно еще сначала найти производную функции и приравнять к -4, а потом выяснить, в какой из получившихся точек значения у для прямой и функции совпадают. Не пришлось бы решать кубическое уравнение

А не могли бы Вы, пожалуйста, объяснить, как сделана проверка?

Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax 2 + 2x + 3. Найдите a.

Прямая является касательной к графику функции в точке тогда и только тогда, когда одновременно и В нашем случае имеем:

Искомое значение а равно 0,125.

По смыслу задачи a ≠ 0, а значит, график заданной функции — парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе) имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение ax 2 + 2x + 3 = 3x + 1 имело единственно решение. Для этого дискриминант 1 − 8а уравнения ax 2 − x + 2 = 0 должен быть равен нулю, откуда

Простите, почему aX 2 преобразуется в 0,5X?

Правильным не будет преобразование 0,25X? Нужно ведь в квадрат возвести aX. Или что я не так делаю?

из первого уравнения системы aX = 0,5

Прямая является касательной к графику функции Найдите

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

объясните пожалуйста,как появилось 6х-3=3?

производная функции равна

угловой коэффициент прямой равен 3

Здравствуйте! Объясните пожалуйста, как получилось 3х^2-6х+с-4 отсюда с=7.

Нужно подставить во второе уравнение и выразить

Хочу дополнить. Существует второй способ решения.

Приравниваем обе функции. Они касаются, когда дискриминант равен нулю.

Уравнение: 3x+4=3x*x+3x+c, 3x*x-3x+c-4. Дискриминант: 6*6-4*3(c-4)=0, c=7.

Прямая является касательной к графику функции Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

По условию абсцисса точки касания положительна, поэтому x = 0,5, откуда b = −33.

Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение должно иметь единственное решение, а значит, должен равняться нулю дискриминант уравнения Найдем его:

Дискриминант обращается в нуль при или

Проверим, положительны ли абсциссы точек касания при найденных значениях параметра. Для этого подставим их в уравнение При имеем:

Аналогично при имеем:

Точка касания имеет положительную абсциссу при

источник

Если к кривой \(f(x)\) проведена касательная в точке с абсциссой \(x_0\) , то

где \(\alpha\) – угол наклона касательной.

Значит, верна формула: \(f'(x_0)=\mathrm\, \alpha=k\) .

Заметим, что координаты точки \(A\) тогда можно записать как \( \ (x_0; f(x_0)) \ \) или \( \ (x_0; y_0) \ \) ,
где \( \ y_0=kx_0+b\) .
То есть \( \ y_0=f(x_0)\) .

На рисунке изображены график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\) . Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) .

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) (то есть угла между касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) и положительным направлением оси \(Ox\) ).

По рисунку видно, что касательная проходит через точки \((0,5; 0)\) и \((1; 1)\) , тогда тангенс угла наклона касательной составляет \(1 : 0,5 = 2\) , следовательно, \(f'(x_0) = 2\) .

На рисунке изображены график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\) . Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) .

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) .

По рисунку видно, что касательная проходит через точки \((0,5; -0,5)\) и \((1; 1)\) , тогда тангенс угла наклона касательной составляет \(1,5 : 0,5 = 3\) , следовательно, \(f'(x_0) = 3\) .

На рисунке изображены график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\) . Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) .

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) .

По рисунку видно, что касательная проходит через точки \((0,5; 1)\) и \((1,5; 1,5)\) , тогда тангенс угла наклона касательной составляет \(0,5 : 1 = 0,5\) , следовательно, \(f'(x_0) = 0,5\) .

На рисунке изображены график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\) . Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) .

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) .

По рисунку видно, что касательная проходит через точки \((1; 1)\) и \((5; 2)\) , тогда тангенс угла наклона касательной составляет \((2 — 1) : (5 — 1) = 0,25\) , следовательно, \(f'(x_0) = 0,25\) .

На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\) и отмечены точки \(-2; \ 0; \ 2; \ 8\) . В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Проведем касательные к графику функции в этих точках. Так как тангенс угла \(\alpha\) наклона касательной равен значению производной \(f'(x)\) в точке касания \(x_0\) ( \(f'(x_0)=\mathrm\,\alpha\) ), то нужно сравнить тангенсы углов, отмеченных на рисунке.
Вспомним, что если угол тупой, то его тангенс отрицательный, если острый – положительный. Следовательно, так как мы ищем наибольший тангенс, имеет смысл рассматривать только острые углы. Это углы, образованные касательными в точках \(0\) и \(2\) . Заметим, что угол в точке \(0\) больше, следовательно, его тангенс также больше, чем тангенс угла в точке \(2\) . Таким образом, ответ: \(0\) .

Производная \(f'(x)\) функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна \(10\) . Найдите котангенс угла наклона касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) .

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) .

При всех \(\alpha\) , при которых \(\mathrm\, \alpha\) и \(\mathrm\, \alpha\) имеют смысл, выполнено \(\mathrm\, \alpha\cdot\mathrm\, \alpha = 1\) , откуда котангенс угла наклона касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) равен \(0,1\) .

источник