Меню

Как искать расстояние от точки до точки

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Существует, по крайней мере, два способа найти расстояние от точки до плоскости: геометрический и алгебраический.

Примечание: Помни, у нас ты можешь пройти пробный ЕГЭ не отрываясь от комьютера. Прямо сейчас. Но если тебе это не нужно, читай дальше:)

При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде.

После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях).

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости.

Кажется с первого взгляда, что алгебраический способ легче, но это… далеко не всегда так. Проблемы обычно возникают как раз с нахождением координат точки и управления плоскости, особенно если система координат была введена не самым удобным способом. Для удобства приведём плюсы и минусы обоих способов в табличке:

+
АЛГ Не нужно думать, можно просто применить несколько формул и стандартную процедуру. Формулы громоздкие, их сложно запомнить, легко допустить ошибку. Особенно если система координат введена неудачно.
ГЕО Не нужно запоминать длинных формул, вычисления обычно не длинные, арифметической ошибке трудно вкрасться. Нужно уметь применять стереометрические теоремы и понимать, что такое доказательство

Сейчас мы разберём один достаточно хитрый пример, двумя способами.

Задача: в кубе с ребром точки – середина ребра . Найти расстояние от точки до плоскости .

1. Куда же опускается перпендикуляр из точки на плоскость ?

2. Смотрим на – оказывается, он равнобедренный – !

3. Проведём и . Зачем? А они тоже равны и .

4. Отметим точку – середину – и проведём и . Треугольники и – равнобедренные, поэтому и .

5. И вот теперь! Стереометрическая теорема идёт в ход: признак перпендикулярности прямой и плоскости.

6. Остался один шаг: проведём (в плоскости , естественно).

– так как и значит, перпендикулярна всякой прямой в плоскости , в частности и .

Искомый перпендикуляр из точки на плоскость – это высота в . Осталось найти эту высоту.

Теперь площадь по формуле Герона:

Таким образом расстояние от точки до плоскости равно , запишем ответ.

Введём в систему координат с центром в точке и осями вдоль рёбер .

Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости:

– коэффициенты в уравнении плоскости.

Найдём всё это от простого к сложному.

1. Координаты точки :

2. Чтобы найти уравнение плоскости, сперва найдём три точки, через которые она проходит:

Подставляем в уравнение плоскости:

Овладевай тогда методами координат и сам находи расстояние от точки до плоскости – без этого все формулы быстро выветрятся из головы.

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Существует два способа найти расстояние от точки до плоскости:

Плюсы и минусы обоих способов:

+
АЛГ Не нужно думать, можно просто применить несколько формул и стандартную процедуру. Формулы громоздкие, их сложно запомнить, легко допустить ошибку. Особенно если система координат введена неудачно.
ГЕО Не нужно запоминать длинных формул, вычисления обычно не длинные, арифметической ошибке трудно вкрасться. Нужно уметь применять стереометрические теоремы и понимать, что такое доказательство.

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно:

  • Ввести систему координат;
  • Найти координаты точки и уравнение плоскости;
  • Применить формулу расстояния от точки до плоскости (Формулу Герона):

– коэффициенты в уравнении плоскости.

При геометрическом способе нужно:

  • Построить перпендикуляр от точки до плоскости;
  • Найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью;
  • Выполнить необходимое дополнительное построение;
  • Определяется расстояние от точки до точки, используя необходимые геометрические теоремы (по ситуации).

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте – нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

  1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье – Купить статью – 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника – Купить учебник – 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Здравствуйте, у вас ошибка в координатах точки С.(По Z координата никак не может быть 2, т.к. она лежит в плоскости нижней грани куба)

Спасибо, Вячеслав! Отправил математикам, надеюсь они исправят как можно скорее.

Здравствуйте. В формуле расстояния до плоскости забыли поставить модуль

Какую CH вы там проводите, если CK уже перпендикулярна MK и искомое расстояние это просто длина вектора CK, равное корню из 6

Олег, мы на тот момент не знаем, что СК перпендикулярна плоскости (AB1M): для этого CK должна быть перпендикулярна хотя бы двум непараллельным прямым в этой плоскости, а она гарантированно перпендикулярна только одной (AB1).

источник

В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.

Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Исходные данные: координатная прямая O x и лежащая на ней произвольная точка А . Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число х A , оно же – координата точки А .

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой О А отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка O A по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О , необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату – 4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние О А равно 3 ; во втором случае О А = 4 .

Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О ) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4 111 .

Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна 11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то O A = x A (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то O A = – x A . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа x A .

Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:

  • 0, если точка совпадает с началом координат;
  • x A , если x A > 0 ;
  • – x A , если x A 0 .

При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой x A : O A = x A

Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B , лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты x A и x B : A B = x B – x A .

Исходные данные: точки A и B , лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат O x y с заданными координатами: A ( x A , y A ) и B ( x B , y B ) .

Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат O x и O y и получим в результате точки проекции: A x , A y , B x , B y . Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:

– если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;

– если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси O x (оси абсцисс), то точки и совпадают, а | А В | = | А y B y | . Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то A y B y = y B – y A , а, следовательно A B = A y B y = y B – y A .

– если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси O y (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: A B = A x B x = x B – x A

– если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:

Мы видим, что треугольник А В С является прямоугольным по построению. При этом A C = A x B x и B C = A y B y . Используя теорему Пифагора, составим равенство: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , а затем преобразуем его: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B – x A 2 + y B – y A 2 = ( x B – x A ) 2 + ( y B – y A ) 2

Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек

A B = ( x B – x A ) 2 + ( y B – y A ) 2

Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: A B = ( x B – x A ) 2 + ( y B – y A ) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:

A B = ( x B – x A ) 2 + ( y B – y A ) 2 = 0 2 + ( y B – y A ) 2 = y B – y A

Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:

A B = ( x B – x A ) 2 + ( y B – y A ) 2 = ( x B – x A ) 2 + 0 2 = x B – x A

Исходные данные: прямоугольная система координат O x y z с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A ( x A , y A , z A ) и B ( x B , y B , z B ) . Необходимо определить расстояние между этими точками.

Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: A x B x , A y B y и A z B z

Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:

A x B x = x B – x A , A y B y = y B – y A , A z B z = z B – z A

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B – x A 2 + y B – y A 2 + z B – z A 2 = = ( x B – x A ) 2 + ( y B – y A ) 2 + z B – z A 2

Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:

A B = x B – x A 2 + y B – y A 2 + ( z B – z A ) 2

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

– лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

Исходные данные: задана координатная прямая и точки, лежащие на ней с заданными координатами A ( 1 – 2 ) и B ( 11 + 2 ) . Необходимо найти расстояние от точки начала отсчета O до точки A и между точками A и B .

  1. Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно O A = 1 – 2 = 2 – 1
  2. Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: A B = 11 + 2 – ( 1 – 2 ) = 10 + 2 2

Ответ: O A = 2 – 1 , A B = 10 + 2 2

Исходные данные: задана прямоугольная система координат и две точки, лежащие на ней A ( 1 , – 1 ) и B ( λ + 1 , 3 ) . λ – некоторое действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние А В будет равно 5 .

Чтобы найти расстояние между точками A и B , необходимо использовать формулу A B = ( x B – x A ) 2 + y B – y A 2

Подставив реальные значения координат, получим: A B = ( λ + 1 – 1 ) 2 + ( 3 – ( – 1 ) ) 2 = λ 2 + 16

А также используем имеющееся условие, что А В = 5 и тогда будет верным равенство:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Исходные данные: задано трехмерное пространство в прямоугольной системе координат O x y z и лежащие в нем точки A ( 1 , 2 , 3 ) и B – 7 , – 2 , 4 .

Для решения задачи используем формулу A B = x B – x A 2 + y B – y A 2 + ( z B – z A ) 2

Подставив реальные значения, получим: A B = ( – 7 – 1 ) 2 + ( – 2 – 2 ) 2 + ( 4 – 3 ) 2 = 81 = 9

источник

Здесь также будут отображены доп.расчеты маршрута который Вы составите!

Введите название пунктов в поля и задайте параметры маршрута, т.е. сначала нужно составить маршрут, а затем
нажмите Рассчитать маршрут,
Если маршрут от точки до точки существует, то он появится на карте , также вы увидите навигатор (описание маршрута). описание нужно листать вниз, можно кликать в нем при этом будет отобраться место карте. Наведя курсор и прокручивая колесом мыши там будет подробно описано как доехать от и до, также его можно будет посмотреть на карте. Когда вы проложите маршрут от точки и до точки в правом верхнем углу навигатора вы увидите также расстояние в км и время в пути от Пункта Отправления до Пункта Назначения.
На выходе Вы получите:
– описание маршрута от и до текст навигатора,
– измерить расстояние от точки до точки, нажав на линейку,
– расстояние между участками пути и полного маршрута,
– расстояние между городами на проложенном маршруте,
– время в пути + с учетом яндекс-пробок,
– расход и стоимость топлива, расходы на отели, еду, конвертация расходов в другие валюты,
– погода на дороге (место прибытия),
– проложить маршрут от и до на автомобиле между городами,
– проложить маршрут от и до на общественном транспорте,
– распечатать маршрут на карте,
– пешком на расстояние до 15 км в крупных городах России: Москве, Санкт-Петербурге, Казани, Екатеринбурге и т.д.,
– карту дорог России с городами подробную 2019
еще можно проложить маршрут здесь
Рассчитает и построит маршрут из точки А в точку Б. Также нажав на Мультимаршруты можно построить, создать маршрут Пешком, На автомобиле, На Общ.Транспорте. Онлайн Навигатор рассчитает расход топлива авто в валюта. В навигаторе использованы API Google, Яндекс. Навигатор отобразит Вам погоду в месте прибытия. Можно распечатать карту и описание.

Как Доехать От и До. Маршрут от и до. Проложить маршрут на автомобиле между городами. Расход топлива. Расстояние, время пройденное на своем автомобиле между городами. Проложить маршрут на машине, автомобильный маршрут, пешком, на велосипеде, на транспорте. Навигатор создать маршрут онлайн.

Составить маршрут. Как проехать от и до. Расчет расстояний между городами на автомобиле, машине. Проложить маршрут на карте от и до самому между городами. Создать маршрут на машине по точкам на карте из нескольких точек. Калькулятор топлива. Расчет маршрута пешком, на велосипеде.

Создать маршрут на машине по точкам и распечатать. Навигатор онлайн поможет Вам создать маршрут, рассчитать расстояние пешком на карте, проложить маршрут от и до, вы узнаете сколько пешком нужно пройти из пукнта А в пункт Б или рассчитаете расстояние маршрут от точки А до точки В, также можно проложить маршрут через один дополнительный пункт, через который возможно будет проходить ваш маршрут. Вы сможете проложить карту маршрута рассчитать расстояние и время и увидеть данные этого маршрута прямо на карте, также покажет Вам погоду в месте прибытия, калькулятор топлива рассчитает расход бензина на 100 км. После нажатия на кнопку “Рассчитать” – справа появиться описание маршрута, по сути текстовый навигатор: если вы выбирали доп.пункт маршрута, навигатор разделит его участки и посчитает расстояние в каждом участке, а также рассчитает общее расстояние (километраж) от пункта отправления в пункт назначения, также отобразит время в пути. Навигатор онлайн покажет Вам как проехать от и до на машине, автомобиле по Москве, Санкт-Петербургу, СПБ, Владивостоку, Уфе, Челябинску, Казани, Новосибирску, Нижнему Новгороду, Омску, Екатеринбургу, Перми из пункта А в пункт Б. Проложить маршрут можно нескольких видов, в зависимости от способа передвижения, например пешком, на автомобиле, на транспорте (автобус, поезд, метро), на велосипеде (данный способ плохо работает в России из-за отсутствия велосипедных дорожек). Для этого нужно выбрать способ из выпадающего списка и вы с легкостью проложите маршрут и узнаете как доехать до пункта назначения. Здесь сможете узнать, как доехать на авто проложить путь и рассчитать расстояние

Как доехать проложить маршрут на машине до Москвы, Санкт-Петербурга, Новосибирска, Екатеринбурга, Нижнего Новгорода, Казани, Челябинска, Омска, Самары, Ростова-на-Дону, Уфы, Красноярска, Перми, Воронежа, Волгограда, Саратова, Краснодара, Тольятти, Тюмени, Ижевска, Барнаула, Иркутска, Ульяновска, Хабаровска, Владивостока, Ярославля, Махачкалы, Томска, Оренбурга, Новокузнецка, Кемерово, Астрахани, Рязани, Набережные Челны, Пензы, Липецка, Кирова, Тулы, Чебоксар, Калининграда, Курска, Улан-Удэ, Ставрополя, Магнитогорска, Сочи, Белгорода, Нижнего Тагила, Владимира, Архангельска, Калуги, Сургута, Читы, Грозного, Стерлитамака, Костромы, Петрозаводска, Нижневартовска, Йошкар-Олы, Новороссийска

источник

С калькулятором расстояний distance.to так легко узнавать расстояния между разными местами на Земле. Просто укажите места в поле поиска, и вы получите кратчайшее расстояние между ними (по воздуху), возможный маршрут и всю важную информацию. Разумеется, вы можете считать расстояния и задавая координаты (долготу и широту).

Если вы хотите узнать точное время или точную протяженность полета между двумя городами или аэропортами, просто укажите код аэропорта (IATA), чтобы получить нужные данные. Если вы не знаете код, ищите пункт назначения, калькулятор покажет ближайшие к нему аэропорты.

Хотите узнать, сколько сейчас времени в пункте назначения или сколько часовых поясов вы пересечете? Ответ вы найдете здесь. Калькулятор расстояний показывает часовые пояса и местное время и высчитывает разницу во времени между исходной точкой и пунктом назначения.

Хотите узнать, где середина пути между двумя городами или местами, или где можно встретиться «посередине»? Distance.to вычисляет географическую середину между точками и показывает середину маршрута.

AD (Андорра), AE (Объединённые Арабские Эмираты), AF (Афганистан), AG (Антигуа и Барбуда), AL (Албания), AM (Армения), AO (Ангола), AR (Аргентина), AT (Австрия), AU (Австралия), AZ (Азербайджан), BA (Босния и Герцеговина), BB (Барбадос), BD (Бангладеш), BE (Бельгия), BF (Буркина-Фасо), BH (Бахрейн), BI (Бурунди), BJ (Бенин), BN (Бруней), BO (Боливия), BR (Бразилия), BG (Болгария), BS (Багамские острова), BT (Бутан), BW (Ботсвана), BY (Белоруссия), BZ (Белиз), CA (Канада), CD (Демократическая Республика Конго), CF (Центральноафриканская Республика), CG (Республика Конго), CH (Швейцария), CI (Кот-д’Ивуар), CL (Чили), CM (Камерун), CN (Китай), CO (Колумбия), CR (Коста-Рика), CU (Куба), CV (Острова Зеленого Мыса), CY (Кипр), CZ (Чехия), DE (Германия), DJ (Джибути), DK (Дания), DM (Доминика), DO (Доминиканская Республика), DZ (Алжир), EC (Эквадор), EE (Эстония), EG (Египет), ER (Эритрея), ES (Испания), ET (Эфиопия), FI (Финляндия), FJ (Фиджи), FR (Франция), GA (Габон), GB (Великобритания), GD (Гренада), GE (Грузия), GH (Гана), GM (Гамбия), GN (Гвинея), GQ (Экваториальная Гвинея), GR (Греция), GT (Гватемала), GW (Гвинея-Бисау), GY (Гайана), HN (Гондурас), HR (Хорватия), HT (Гаити), HU (Венгрия), ID (Индонезия), IE (Ирландия), IL (Израиль), IN (Индия), IQ (Ирак), IR (Иран), IS (Исландия), IT (Италия), JM (Ямайка), JO (Иордания), JP (Япония), KE (Кения), KG (Киргизия), KH (Камбоджа), KI (Кирибати), KM (Коморы), KN (Сент-Китс и Невис), KP (Северная Корея), KR (Республика Корея), KW (Кувейт), KZ (Казахстан), LA (Лаос), LB (Ливан), LC (Сент-Люсия), LI (Лихтенштейн), LK (Шри-Ланка), LR (Либерия), LS (Лесото), LT (Литва), LU (Люксембург), LV (Латвия), LY (Ливия), MA (Марокко), MK (Македония), MC (Монако), MD (Молдавия), ME (Черногория), MG (Мадагаскар), ML (Мали), MM (Мьянма), MN (Монголия), MR (Мавритания), MT (Мальта), MU (Маврикий), MV (Мальдивские о-ва), MW (Малави), MX (Мексика), MY (Малайзия), MZ (Мозамбик), NA (Намибия), NE (Нигер), NG (Нигерия), NI (Никарагуа), NL (Нидерланды), NO (Норвегия), NP (Непал), NR (Науру), NZ (Новая Зеландия), OM (Оман), PA (Панама), PE (Перу), PG (Папуа – Новая Гвинея), PH (Филиппины), PK (Пакистан), PL (Польша), PT (Португалия), PY (Парагвай), QA (Катар), RO (Румыния), RS (Сербия), RW (Руанда), SA (Саудовская Аравия), SB (Соломоновы Острова), SC (Сейшельские Острова), SD (Судан), SE (Швеция), SG (Сингапур), SI (Словения), SK (Словакия), SL (Сьерра-Леоне), SM (Сан-Марино), SN (Сенегал), SO (Сомали), SR (Суринам), SS (Южный Судан), ST (Сан-Томе и Принсипи), SV (Сальвадор), SY (Сирия), SZ (Свазиленд), TD (Чад), TG (Того), TH (Таиланд), TJ (Таджикистан), TL (Восточный Тимор), TM (Туркмения), TN (Тунис), TO (Тонга), TR (Турция), TT (Тринидад и Тобаго), TV (Тувалу), TW (Тайвань), TZ (Танзания), UA (Украина), UG (Уганда), US (США), UY (Уругвай), UZ (Узбекистан), VA (Ватикан), VC (Сент-Винсент и Гренадины), VE (Венесуэла), VN (Вьетнам), VU (Вануату), WS (Самоа), XK (Косово), YE (Йемен), ZA (Южно-Африканская Республика), ZM (Замбия), ZW (Зимбабве)

источник

Расстояние от точки А до оси х (рисунок 2.7) измеряется в пространстве отрезком AA12. Но отрезок AA12 равен отрезку А3О . Поэтому для определения расстояния от точки А до оси х на чертеже (рисунок 2.8) надо взять отрезок, обозначенный l x.

Аналогично расстояние от точки А до оси у выражается условным отрезком l у и расстояние от точки А до оси z – отрезком l z, (рисунок 2.7).

Итак, расстояния точки от плоскостей проекции и от осей проекций могут быть измерены непосредственно, как определенные отрезки на чертеже. При этом должен быть учтен его масштаб.

Рисунок 2.7 Рисунок 2.8

При ортогональном проецировании на плоскость прямая проецируется в прямую или в точку. Поэтому для определения проекции прямой достаточно знать проекции двух не тождественных точек, принадлежащих прямой.

Отрезок [AB], определяющий прямую l (рисунок 2.9), занимает произвольное общее положение по отношению к плоскостям проекций (углы наклона прямой l к плоскостям П1 П2 и П3 произвольные – отличные от 0 и 90°). Такая прямая называется прямой общего положения,

На эпюре проекции прямой общего положения составляют с осями координат также произвольные углы (рисунок 2.9). Прямую на эпюре можно задать не только проекциями ее отрезка, но и проекциями некоторой произвольной части прямой, не указывая концевых точек этой части.

Прямая общего положения пересекает все три плоскости проекций.

Точку пересечения (встречи) прямой с плоскостью проекции называют следом прямой.

В зависимости от того, с какой плоскостью проекции происходит встреча прямой l, следы обозначают и называют:

М1 – горизонтальный след прямой l ; М= l Ç П1;

M1, M2, M3; N1, N2, N3; Т1, Т2, Т3 – соответственно горизонтальная фронтальная и профильная проекции следов М, N и T. Следует иметь в виду, что M1=M, N2=N, Т3=Т.

Установим правило нахождения следов прямой. Для примера рассмотрим определение горизонтального следа М (рисунок 2.9).

Горизонтальный след принадлежит как прямой l, так и плоскости проекции П1. (М Î l, М Î П1), поэтому М2 Îl2 и М2 Î х, следовательно, M2=l2 Ç х. Горизонтальная проекция M1Î l1 (т.к. М Î l). Поэтому для нахождения горизонтального следа прямой необходимо:

1) отметить точку пересечения фронтальной проекции прямой с осью х(l2 Ç х=М2);

2) через полученную точку провести линию связи, перпендикулярную оси х (a x), и найти M1 ;

3) пересечение перпендикуляра а с горизонтальной проекцией прямой укажет положение горизонтального следа М ( a Çl = М ). Т.е., алгоритм определения горизонтального следа прямой l может быть записан

М=( l 2 Ç х= М2); х M2); a Ç l .

Для определения фронтального следа прямой вместо N2 Ç х выполняется операция l 1 Ç x = N1 , а прямая b х проводится через точку N1 (b É N1). Последняя операция заключается в нахождении N2=b Çl 2.

Профильный след Т на рисунке 2.10 найден как точка пересечения прямой MN с ее профильной проекцией. След Т будет совпадать со своей одноименной профильной проекцией.

Две другие проекции этого следа, как и любой точки, расположенной на плоскости П3, будут находиться на осях Оу и Oz. Поскольку точка Т есть одна из точек данной прямой, ее проекции Т1 и Т2 будут лежать на одноименных проекциях прямой.

На эпюре (рисунок 2.10, б) профильный след прямой определяют следующим образом:

1 Отмечают точку пересечения фронтальной проекции прямой с осью Oz – точку Т2.

2 Через эту точку проводят перпендикуляр к оси Oz до пересечения с профильной проекцией прямой. Полученная точка и будет искомым следом Т3, с которым совпадает Т.

3 Горизонтальная проекция Т1 будет определяться пересечением горизонтальной проекции прямой с осью Оу.

Прямую на эпюре можно задать не только проекциями ее отрезка, но и проекциями некоторой произвольной части прямой, не указывая концевых точек этой части. При этом можно ограничиться обозначением проекции только одной буквой, отнеся ее к какой-либо точке прямой (рисунок 2.11, а) или к проекции в целом (рисунок 2.11, б).

a) б)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8137 – | 7138 – или читать все.

176.59.100.63 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

источник

И в двумерном и трехмерном случаях мы можем использовать векторное произведение для вычисления дистанции от точки P до прямой L, заданной точками P1 и P2.

Двумерный случай сводится к трехмерному подстановкой z=0.

Основное наблюдение, которое мы должны сделать – это заметить факт, что величина векторного произведения двух 3-мерных векторов равна площади параллелограма, построенного на них.

Однако эта площадь также равна произведению основания на высоту параллелограмма, а длина высоты – искомая дистанция d(P,L). Пусть vL=PP1=(P1-P) и w=PP=(P-P) как показано на рисунке:

Тогда |vLЧ w| = Area( parallelogram(vL,w) ) = |vL| d(P,L) что дает простую формулу:

единичный вектор направления L. Если мы хотим вычислить расстояние от большого числа точек точек до фиксированной прямой, то наиболее рациональным будет предварительно вычислить uL.

Для 2D случая при P=(x,y,0), векторное произведение будет:

Мы не ставили знак абсолютной величины при числителе, так как часто полезно такое расстояние, со знаком, показывающим расположение точки по отношению к прямой. Если же взять модуль этого выражения, то получим расстояние в обычном смысле слова.


Прямая, заданная уравнением

В двумерном пространстве часто встречаются ситуации, когда прямую L задана уравнением f(x,y) = ax+by+c = 0. Для любой точки P=(x,y) расстояние d(P,L) может быть получено прямо из уравнения.

Я дам просто формулу, доказательство ее можно найти в любом учебнике

(ax+by+c)
d(P,L) = ————————-
КОРЕНЬ( a 2 +b 2 )

Если же мы предварительно нормализуем уравнение: разделим его коэффициенты на КОРЕНЬ( a 2 +b 2 ), тогда знаменатель будет равен 1, и получится очень эффективная формула

требующая всего 2 операции произведения и 2 сложения для каждой точки. Если же требуется просто сравнить расстояния, то нормализация не нужна, так как знаменатель будет одинаковый для рассматриваемых точек.


Параметризованная прямая

Для вычисления расстояния d(P,L) (в любом n-мерном пространстве) от произвольной точки P до прямой L, заданной параметрическим уравнением, положим P(b) – основание перпендикуляра, опущенного из P на L. Пусть параметрическое уравнение прямойs: P(t)=P + t (P1-P). Тогда вектор PP(b) является проекцией вектора PP на отрезок PP1, как показано на рисунке:

где uL – единичный вектор направления L.

Такой путь вычисления имеет то преимущество, что он работает в n-мерном пространстве и, кроме того, дает нам основание перпендикуляра P(b). В трехмерном пространстве он также эффективен, как и векторное произведение. Но в двумерном, где P(b) не нужна, особенно при большом количестве точек и одной линии, более удобен предыдущий способ, использующий другое уравнение прямой.


Расстояние до луча/отрезка

Луч(Ray) можно задать параметрически как P(t) для всех t>=0 и P(0)=P – для начальной точки. Отрезок(Segment) между точками P и P1 может быть задан в виду параметрического уравнения с P(0)=P и P(1)=P1 при 0

Для луча есть лишь один вариант, в то время как для отрезка следует решить, какой конец ближе к P. Можно вычислить оба расстояния и сравнить, однако это малоэффективно. Кроме того, нужно определить, лежит ли основание перпендикуляра вне отрезка. Простой путь решения заключается в том, чтобы рассмотреть углы между отрезком PP1 и векторами PP и P1P. Если один из них равен 90 градусам , то соответствующая точка – основание перпендикуляра P(b). В случае, когда угол другой, основание перпендикуляра лужит по одну или другую сторону точки, в зависимости от того, острый угол или тупой. Эти условия легко проверить, вычисляя скалярные произведения наших векторов и проверяя его знак: +, – или 0. Результат определит, как искать расстояние: как до одной из точек P или P1, или как расстояние до прямой L. Этот путь, работающий в любом n-мерном пространстве, показан на рисунке (obtuse – тупой, acute – острый):

Далее заметим, что две проверки можно сделать, используя только два скалярных произведения: w·v и v·v, которые являются числителем и знаменателем формулы для нахаждения параметризованного основания перпендикуляра от P до продолженной за отрезок S прямой L. Это позволяет упростить алгоритм:

Если в двумерном случае нужно вычислить расстояние для большого числа точек и одного луча/отрезка, то все же более эффективным будет использовать нормализованное уравнение прямой для начального теста – какую дистанцию брать. Подобные детали, как правило, зависят от конкретной задачи.

источник

Бесплатный расчет расстояний между городами показывает точное расстояние между городами и считает кратчайший маршрут с расходом топлива. Он может быть востребован в следующих случаях:

  • Сервис расчета расстояний помогает проложить маршрут автопутешественнику, например, для летнего отдыха с семьей или при планировании деловой поездки на автомобиле. Зная расход бензина и среднюю цену за литр топлива, нетрудно рассчитать обязательные финансовые затраты в поездке.
  • Водителю-дальнобойщику расчет расстояния между городами позволяет проложить маршрут на карте при подготовке к дальнему рейсу.
  • Калькулятор расстояний пригодится грузоотправителю, чтобы определить километраж и в соответствии с тарифами транспортной компании оценить стоимость грузоперевозки.

Для того чтобы рассчитать маршрут между городами, начните вводить в поле “Откуда” название начального пункта маршрута. Из выпадающей контекстной подсказки выберите нужный город. По аналогии заполните поле “Куда” и нажмите кнопку “рассчитать”.

На открывшейся странице на карте будет проложен маршрут, красными маркерами будут обозначены начальный и конечный населенные пункты, а красной линией будет показан путь по автодороге. Над картой будут указаны суммарная длина маршрута, продолжительность пути и расход топлива. Под этой информацией будет размещена сводная таблица с подробными данными о маршруте и об участках пути: тип дороги, расчетная длина и продолжительность каждого фрагмента маршрута.

Полученный маршрут можно распечатать или, изменив некоторые параметры, повторить расчет. В дополнительных настройках можно задать транзитные населенные пункты, а также скорректировать расчетную скорость движения по дорогам каждого типа. Ниже дополнительных настроек расположены поля ввода данных топливного калькулятора. Внесите в них актуальный расход горючего вашей машины и среднюю цену 1 литра топлива. При повторном расчете эти данные будут использованы для подсчета необходимого количества топлива и его стоимости.

Пожалуй, самая простая альтернатива – это открыть атлас автодорог и на глаз проложить маршрут по карте. Затем, прокатив по маршруту курвиметр, можно получить приблизительный километраж. Оценить время поездки будет сложнее: для этого придется разбить маршрут на фрагменты с одинаковым классом дорог и измерить сумму длин фрагментов каждого класса. Далее, зная среднюю скорость для каждого класса дорог, нетрудно рассчитать время, поделив путь на скорость.

Если курвиметра нет под рукой, то можно воспользоваться линейкой. Приложите нулевую отметку линейки к начальному пункту маршрута и двигайте линейку, плотно примыкая ее к извилинам дороги.

Рассчитать расстояние между городами также можно с помощью таблиц, которые опубликованы в атласах и справочниках. Это достаточно удобно для маршрутов, начинающихся и заканчивающихся в крупных городах. Мелких населенных пунктов, как правило, нет в таблицах.

Смотрите также:

  • таблица расстояний между городами России
  • расчет расстояний по Северной Америке на английском языке: DriveBestWay.com

Расчет маршрута основан на алгоритме поиска кратчайшего пути во взвешенном графе автодорог (алгоритм Дейкстры). Расстояния определены по точным спутниковым координатам дорог и населенных пунктов. Расчет является результатом компьютерного моделирования, а модели не бывают идеальными, поэтому при планировании маршрута поездки не забудьте заложить резерв.

Существует несколько подходов к определению расстояния между городами:

  • расстояние по автодорогам включает в себя длину автотрассы и соединяющих ее с городом дорог;
  • расстояние по прямой, или как его еще называют “по птичьему полету“, характеризуется меньшей протяженностью, но практически менее ценно, т.к. перемещение обычно происходит по дорогам.

В наших расчетах расстояния между городами берутся по автодорогам.

источник

Единственное, что похожее нашел – spicelib. В ней есть поиск ближайшей точки на эллипсе по отношению к заданной точке. Но исходников либы я не нвшел. Подскажите плиз как решить сабжевую задачу. Исходники на pas/fortran/c/java etc приветствуются.

как я понимаю – расстояния от точки до эллипса – это длина наикратчайшего расстояния от точки до “ободка” эллипса?

с заданой точностью можно найти это расстояния
нужно знать формулу эллипса
и пробегая с заданым шагом(это и будет точностью в данном случае)
по точкам “ободка” эллипса вычислять по теореме Пифагора расстояния от текущей точки “ободка” эллипса до заданной
и искать минимум этого расстояния – это и будет искомым расстоянием

> Дмитрий Белькевич (04.08.03 04:06)
Эллипс легко параметризуется.
Строишь функцию расстояния от точки до эллипса – ищешь экстремумы – их 2. Соответственно одна реализует минимальное, а другая максимальное расстояние. Полученные формулы ложишь на Паскаль.

function GetDistEllipseToPoint(el_Width, el_Height, el_center_X,
( Word ) [4]
function GetDistEllipseToPoint(el_Width, el_Height, el_center_X,
el_center_Y: Word; P: TPoint): Word;
var
i, y: Integer;
FConst, Res: Word;
SConst: Real;
begin

Result := High(Word);
FConst := Sqr(el_Height div 2);
SConst := FConst / Sqr(el_Width div 2);
for i := -(el_Width div 2) to el_Width div 2 do begin
y := Round(Sqrt(FConst – SConst * Sqr(i)));
if P.Y > el_Center_Y then y := -y;
Res := Round(Sqrt(Sqr(i – P.X + el_Center_X) + Sqr(y – el_Center_Y + P.Y)));
if Res


Дмитрий Белькевич ( 2003-08-04 12:29 ) [5]

Всем большое спасибо, default”у особенно. Посмотрю, что их этого получится.


Дмитрий Белькевич ( 2003-08-04 12:29 ) [6]

Всем большое спасибо, default”у особенно. Посмотрю, что из этого получится.

вот чуть получше

function GetDistEllipseToPoint(el_Width, el_Height, el_center_X,
( Word ) [7] вот чуть получше

function GetDistEllipseToPoint(el_Width, el_Height, el_center_X,
el_center_Y: Word; P: TPoint): Word;
var
i, y, StPos, EndPos: Integer;
FConst, Res: Word;
SConst: Real;
begin

Result := High(Word);
FConst := Sqr(el_Height div 2);
SConst := FConst / Sqr(el_Width div 2);
if P.X > el_center_X then begin
StPos := 0;
EndPos := el_Width div 2;
end else begin
StPos := -(el_Width div 2);
EndPos := 0;
end;
for i := StPos to EndPos do begin
y := Round(Sqrt(FConst – SConst * Sqr(i)));
if P.Y > el_Center_Y then y := -y;
Res := Round(Sqrt(Sqr(i – P.X + el_Center_X) + Sqr(y – el_Center_Y + P.Y)));
if Res
инета не было сразу написать.


Дмитрий Белькевич ( 2003-08-06 02:25 ) [8]

Для default: Как это работает? Как я понял, ты вычисляешь некоторые точки эллипса, затем ищешь расстояние до каждой из них, и находишь минимальное расстояние?

Для Думкина:
> Эллипс легко параметризуется.

x=а·cost ,
y=в·sint , t от 0 до 2p

> Строишь функцию расстояния от точки до эллипса – ищешь экстремумы – их 2.

Т.е. сделать то, что сделал default? Без перебора и без циклов совсем никак?

p.s. для default: всё хотел спросить, в чем смысл строки result := high(word) ?

Дмитрий Белькевич (06.08.03 02:25)
“всё хотел спросить, в чем смысл строки result := high(word)”
просто макс-ое значение для типа Word присв-ся
это сделано для срав-ия “if Res

Дмитрий Белькевич (06.08.03 02:25)
“всё хотел спросить, в чем смысл строки result := high(word)”
просто макс-ое значение для типа Word присв-ся
это сделано для срав-ия “if Res


Дмитрий Белькевич ( 2003-08-09 03:11 ) [11]

8() во блин, я обычно maxbyte / maxword / maxint пользую.
Спасибо за обьяснения.

источник

На уроке по теме «Задачи на расстояние от точки до кривой» вначале повторяются основные понятия, связанные с решением задачи на расстояние от точки до кривой. При решении подобных задач обычно применяется производная. Методика решения задачи объясняется на конкретных примерах.

Тема: Производная

Урок: Задачи на расстояние от точки до кривой

Что такое расстояние от точки докривой? Точку можно соединить со многими точками кривой. Каждый раз будут получаться разные расстояния. Среди них нужно найти наименьшее. Это расстояние и будет называться расстоянием от точки до кривой. На кривой надо найти такую точку , чтобы расстояние было наименьшим (см. рис. 1).

Рис. 1. Расстояние от точки до кривой.

Видим, что задача на расстояние – это задача на экстремум, на минимум, то есть без производной не обойтись.

Вспомним, что расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра (см. рис.2).

Рис. 2. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние между прямыми – это тоже длина перпендикуляра (см. рис.3).

Рис. 3. Расстояние между прямыми.

Расстояние от точки до окружности легко найти. Нужно соединить центр с точкой , в результате получится точка . – искомое расстояние (см. рис.4).

Рис. 4. Расстояние от точки до окружности.

Расстояние между двумя окружностями, которые не пересекаются. Нужно соединить центры, получим две точки и . – искомое расстояние (см. рис.5).

Рис. 5. Расстояние между двумя окружностями.

Сформулируем задачу в общем виде и напомним, каким образом ее решать. Мы повторили, что такое расстояние. Вспомним формулу расстояния между двумя заданными точками. Предположим, что на координатной плоскости даны две точки и (см. рис.6).

Рис. 6. Расстояние между двумя заданными точками.

Расстояние между точками вычисляется по формуле

.

Таким образом, находится расстояние между точками, если известны координаты этих точек.

На параболе найти точки ближайшие к началу координат, то есть к точке .

Рис. 7. График функции.

Из простейшего анализа задачи можно увидеть, что задача имеет два решения, в силу симметрии графика функции относительно оси Y (см. рис.7).

Координаты искомой точки: . По соответствующей формуле можем найти квадрат расстояния:

. Это расстояние должно быть наименьшим. Упростим эту формулу и получим:

или

.

Можно сразу использовать производную для решения задачи, но пока попытаемся воспользуемся свойствами биквадратной функции. С помощью замены переменной , получим:

. Задача свелась к нахождению минимума следующей квадратичной функции . Найдем абсциссу вершины (см. рис.8).

Рис. 8. Абсцисса вершины параболы.

Задача практически решена. Наименьшее значение этой функции будет тогда, когда . Вычислим . Значит, функция ведет себя следующим образом (см. рис.9):

Рис. 9. Схематический график функции .

Без производной, с помощью свойств квадратичной функции, решили задачу. Если , то , отсюда , . Если значения координат известны, вычислим значения . ; Получили ответ ; .

Итак, была задача: найти точки на кривой, которые бы отстояли от начала координат на наименьшее расстояние. Такие точки найдены. Первая точка – , вторая точка – .

Напомним ход решения задачи. Точка зависит только от , ее координаты – . При выражении квадрата расстояния, получили функцию от . Можно с помощью производной найти минимум. Можно сделать проще. Если сделать замену , получим квадратичную функцию и можно найти наименьшее значение данной квадратичной функции.

Ответ: .

На графике функции найти точку , ближайшую к данной точке . Решение.

Рис. 10. График функции .

Заданы координаты двух точек: и .

.

или .

– квадратичная функция от . Вспомним, что нужно найти минимальное значение, то есть . Графиком этой функции является парабола, ветвями направленная вверх, значит, минимум находится в вершине. Выделим полный квадрат и получим:

. Выяснилось, что . Равенство достигается, когда принимает самое минимальное значение. Это будет в случае, когда . Таким образом, получили ответ , а . Значит, координаты точки .

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели задачи на расстояние от точки до кривой. Можно находить само это расстояние, можно искать точки, которые обеспечивают минимум этого расстояния. Повторили, что такое расстояние между фигурами. Расстояние от точки до кривой – это наименьшее из расстояний, которое получается, когда точка на кривой пробегает все возможные значения. Например, точка может пробегать все значения на кривой , но наименьшее расстояние будет тогда, когда точка имеет координаты . Для этого нужно, во-первых, вспомнить, что такое расстояние, и во-вторых, каким образом ищется расстояние между точками, если известны координаты. И, наконец, надо записать квадрат расстояния и проанализировать полученную функцию. Если не удается это сделать элементарными средствами, с помощью свойств квадратичной функции, то надо использовать производную и искать наименьшее значение функции .

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics. ru .

2. Портал Естественных Наук .

3. Интернет-портал Exponenta. ru .

Сделай дома

№ 46.52 (а) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

источник

Читайте также:  Магнитола с выходом на сабвуфер
Adblock
detector