Меню

Как делать магический квадрат по математике 4 класс

Магический квадрат представляет собой квадратную таблицу с числами, построенную так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и в каждой диагонали равна одному и тому же числу (магическая сумма). Магические квадраты бывают разных порядков — порядок квадрата определяет число столбцов/строк. Как рассчитать и решать магические квадраты?

Археологи нашли свидетельства того, что волшебные таблицы были известны еще древним грекам и китайцам. «Магическими» эти фигуры назвали арабы, которые наделяли их сверхъестественными защитными свойствами.

В середине XVI в. европейские математики занялись исследованиями загадочных таблиц, положив начало их новой жизни. Они искали общий метод построения магических квадратов и пытались описать все возможные их варианты.

Решение магических квадратов на уроках математики и внеклассных занятиях вызывает интерес, способствует развитию мышления. Дети учатся планировать и контролировать свою работу. В клетки магических квадратов можно записывать не только числа, но и выражения. Все зависит от изучаемой темы. Задания с магическими квадратами часто дают как дополнительные или олимпиадные уже в начальной школе.

Нетрудно решить магический квадрат третьего порядка (у которого по три столбца и строки). Можно воспользоваться тем фактом, что число (выражение), стоящее на пересечении его диагоналей, всегда равно ⅓ волшебной суммы. Отсюда следует алгоритм построения:

  1. Вписываем в первую строку или столбец 3 любых числа.
  1. Вычисляем магическую сумму (0 + 2 + 4 = 6).
  2. Ищем ее третью часть (6/3 = 2).
  3. Полученное число записываем на пересечении диагоналей.
  1. Подбираем остальные числа и заполняем ими пустые клеточки квадрата.

Смотрите также:

Пифагор — математик, заложивший основы нумерологии. Ученый верил, что миром правят числа. Даже человеческая сущность зависит от них, ведь дата рождения не что иное, как число.

Магический квадрат Пифагора — фигура третьего порядка, клетки которой заполнены числами от 1 до 9. Он делится на 3 уровня: материальный, души и разума.

Цифры даты рождения вписываются в определенном порядке. Полученная комбинация рассказывает о заложенных природой способностях человека.

Материал может быть использован на занятии математического кружка, на внеклассном мероприятии. Цель — развить и расширить познавательный кругозор и логическое мышление.

Дата рождения: 17.09.2005 г. Складываем эти цифры, не учитывая нули: 1 + 7 + 9 + 2 + 5 = 24. Аналогично поступаем с цифрами результата: 2 + 4 = 6.

Из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 24 -2 = 22. Снова складываем: 2 + 2 = 4. Полученные числа: 17; 9; 25; 24; 6; 22; 4.

Цифры вписываем в магический квадрат так, чтобы все единицы оказались в первой клеточке, двойки — во второй и так далее. Нули не учитываем.

Клетка 1 – волевые качества, эгоизм.

Эгоизм — яркая, но не преобладающая черта характера.

Спокойные, покладистые люди.

Люди с замашками диктатора.

Воспитанность, природное благородство.

Люди с повышенной чувствительностью к атмосферным изменениям.

Человек с хорошим запасом биоэнергетики.

Клетка 3 — организованность, любовь к точности, конкретности, скрупулезность, скупость.

Чем больше троек, тем сильнее выражены вышеперечисленные качества.

Среднее, требуется закаливание.

Клетка 5 — интуиция, экстрасенсорные способности

Чем больше пятерок, тем более выражена связь с космосом.

Люди с неординарным воображением, которым необходим физический труд.

Могут посвятить время и творчеству, и точным наукам. Физические нагрузки обязательны.

Заземленные личности, тянущиеся к физическому труду.

Очень много заземленности.

Чем больше семерок, тем талантливее человек.

Клетка 8 — судьба, отношение к обязанностям.

Люди, которые всегда спешат помочь другим.

Клетка 9 — умственные способности

Полное отсутствие девяток означает очень низкий уровень умственной деятельности. Чем больше количество девяток, тем умнее человек.

Задачи на составление магических квадратов часто включаются в сборники нестандартных заданий. Они встречаются на олимпиадах. Увлеченным математикой школьникам будет полезно узнать об этом классе задач.

Об авторе: Филиппова Оксана, учитель математики, физики и информатики.

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.

Есть мнение?
Оставьте комментарий

Понравился материал?
Хотите прочитать позже?
Сохраните на своей стене и
поделитесь с друзьями

Вы можете разместить на своём сайте анонс статьи со ссылкой на её полный текст

Ошибка в тексте? Мы очень сожалеем,
что допустили ее. Пожалуйста, выделите ее
и нажмите на клавиатуре CTRL + ENTER.

Кстати, такая возможность есть
на всех страницах нашего сайта

Хотите получать информацию о наиболее интересных материалах нашего сайта?
Подпишитесь на рассылку E-mail
Установите приложение на Android

2007-2019 “Педагогическое сообщество Екатерины Пашковой — PEDSOVET.SU”.
12+ Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-41726 от 20.08.2010 г. Выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций.
Адрес редакции: 603111, г. Нижний Новгород, ул. Раевского 15-45
Адрес учредителя: 603111, г. Нижний Новгород, ул. Раевского 15-45
Учредитель, главный редактор: Пашкова Екатерина Ивановна
Контакты: +7-920-0-777-397, info@pedsovet.su
Домен: http://pedsovet.su/
Копирование материалов сайта строго запрещено, регулярно отслеживается и преследуется по закону.

Отправляя материал на сайт, автор безвозмездно, без требования авторского вознаграждения, передает редакции права на использование материалов в коммерческих или некоммерческих целях, в частности, право на воспроизведение, публичный показ, перевод и переработку произведения, доведение до всеобщего сведения — в соотв. с ГК РФ. (ст. 1270 и др.). См. также Правила публикации конкретного типа материала. Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Для подтверждения подлинности выданных сайтом документов сделайте запрос в редакцию.

Публикуя материалы на сайте (комментарии, статьи, разработки и др.), пользователи берут на себя всю ответственность за содержание материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьми лицами.

При этом редакция сайта готова оказывать всяческую поддержку как в публикации, так и других вопросах.

Если вы обнаружили, что на нашем сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору — материалы будут удалены.

источник

Придумано очень много способов построения магических квадратов. Проще всего составлять магические квадраты нечётного порядка . Мы воспользуемся методом, который предложил французский учёный XVII века А. де ла Лубер (De La Loubère). Он основан на пяти правилах, действие которых мы рассмотрим на самом простом магическом квадрате 3 х 3 клетки.

Правило 1. Поставьте 1 в среднюю колонку первой строки (Рис. 5.7).

Правило 2. Следующее число поставьте, если возможно в клетку, соседнюю с текущей по диагонали правее и выше (Рис. 5.8).

Рис. 5.8. Пытаемся поставить второе число

Правило 3. Если новая клетка выходит за пределы квадрата сверху , то запишите число в самую нижнюю строку и в следующую колонку (Рис. 5.9).

Рис. 5.9. Ставим второе число

Правило 4. Если клетка выходит за пределы квадрата справа , то запишите число в самую первую колонку и в предыдущую строку (Рис. 5.10).

Рис. 5.10. Ставим третье число

Правило 5. Если в клетке уже занята , то очередное число запишите под текущей клеткой (Рис. 5.11).

Рис. 5.11. Ставим четвёртое число

Далее переходите к Правилу 2 (Рис. 5.12).

Рис. 5.12. Ставим пятое и шестое число

Снова выполняйте Правила 3, 4, 5, пока не составите весь квадрат (Рис.

Не правда ли, правила очень простые и понятные, но всё равно довольно утомительно расставлять даже 9 чисел. Однако, зная алгоритм построения магических квадратов, мы сможем легко перепоручить компьютеру всю рутинную работу, оставив себе только творческую, то есть написание программы.

Рис. 5.13. Заполняем квадрат следующими числами

Набор полей для программы Магические квадраты совершенно очевиден:

// ПРОГРАММА ДЛЯ ГЕНЕРИРОВАНИЯ

// НЕЧЕТНЫХ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

public partial >Form1 : Form

//макс. размеры квадрата: const int MAX_SIZE = 27; //var

int n=0; // порядок квадрата int [,] mq; // магический квадрат

int number=0; // текущее число для записи в квадрат

int col=0; // текущая колонка int row=0; // текущая строка

Метод де ла Лубера годится для составления нечётных квадратов любого размера, поэтому мы можем предоставить пользователю возможность самостоятельно выбирать порядок квадрата, разумно ограничив при этом свободу выбораклетками.

После того как пользователь нажмёт заветную кнопку btnGen Генерировать! , метод btnGen_Click создаёт массив для хранения чисел и переходит в метод generate :

//НАЖИМАЕМ КНОПКУ “ГЕНЕРИРОВАТЬ”

private void btnGen_Click( object sender, EventArgs e)

//генерируем магический квадрат: generate();

Здесь мы начинаем действовать по правилам де ла Лубера и записываем первое число – единицу – в среднюю клетку первой строки квадрата (или массива, если угодно):

//Генерируем магический квадрат void generate()<

//колонка для первого числа – средняя: col = n / 2 + 1;

//строка для первого числа – первая: row=1;

//заносим его в квадрат: mq[row,col]= number;

Теперь мы последовательно пристраиваем по клеткам остальные числа – от двойки до n * n:

//переходим к следующему числу:

Запоминаем на всякий случай координаты актуальной клетки

и переходим в следующую клетку по диагонали:

Проверяем выполнение третьего правила:

if (row А затем четвёртого :

Как мы узнаем, что в клетке квадрата уже находится число? – Очень просто: мы предусмотрительно записали во все клетки нули , а числа в готовом квадрате больше нуля . Значит, по значению элемента массива мы сразу же определим, пустая клетка или уже с числом! Обратите внимание, что здесь нам понадобятся те координаты клетки, которые мы запомнили перед поиском клетки для следующего числа.

Рано или поздно мы найдём подходящую клетку для числа и запишем его в соответствующую ячейку массива:

//заносим его в квадрат: mq[row, col] = number;

Попробуйте иначе организовать проверку допустимости перехода в но-

Если это число было последним , то программа свои обязанности выполнила, иначе она добровольно переходит к обеспечению клеткой следующего числа:

//если выставлены не все числа, то if (number

//переходим к следующему числу: goto nextNumber;

И вот квадрат готов! Вычисляем его магическую сумму и распечатываем на экране:

//построение квадрата закончено: writeMQ();

Напечатать элементы массива очень просто, но важно учесть выравнивание чисел разной «длины», ведь в квадрате могут бытьдву- и трёхзначные числа:

//Печатаем магический квадрат void writeMQ()

lstRes.ForeColor = Color .Black;

string s = “Магическая сумма = ” + (n*n*n +n)/2; lstRes.Items.Add(s);

// печатаем магический квадрат: for ( int i= 1; i

for ( int j= 1; j if (n*n > 10 && mq[i,j] ” ” ; if (n*n > 100 && mq[i,j] ” ” ; s= s + mq[i,j] + ” ” ;

Запускаем программу – квадраты получаются быстро и на загляденье (Рис.

Рис. 5.14. Изрядный квадратище!

В книге С.Гудман, С.Хидетниеми Введение в разработку и анализ алгорит-

мов , на страницахмы отыщем тот же самый алгоритм, но в «сокращённом» изложении. Он не столь «прозрачен», как наша версия, но работает верно.

Добавим кнопку btnGen2 Генерировать 2! и запишем алгоритм на языке

private void btnGen2_Click( object sender, EventArgs e)

//порядок квадрата: n = ( int )udNum.Value;

//генерируем магический квадрат: int row = 1;

источник

Если некоторое количество порядковых чисел, например, все целые числа от 1 до 16 или от 1 до 9, или от 1 до 25, или от 1 до 100 и т.д., расположены в форме квадрата так, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали квадрата одинаковы, то такой квадрат, как было сказано, называется магическим, или волшебным.

Количеством клеток (чисел) в каждом ряду магического квадрата определяет его порядок. Магический квадрат третьего порядка имеет в каждом ряду 3 клетки, магический квадрат четвертого порядка имеет в каждом ряду 4 клетки и т. д.

Идея составления магического квадрата, возникшая около семи тысячелетий назад, постепенно увлекла как любителей математических развлечений, так и специалистов-математиков.

Начались и до сих пор продолжаются поиски теоретических обоснований этого удивительного и красивого явления в мире чисел. За сотни лет придуманы сотни остроумных способов и правил составления различных магических квадратов.

Хотите познакомиться с некоторыми наиболее интересными из них?

В таком случае будем действовать подобно радиолюбителям. Еще не зная во всех подробностях теории радиоприема, они уже умеют собирать радиоприемник из готовых деталей по готовым схемам. Наши детали — числа, а панель (доска, на которой монтируются детали) — квадрат с клетками.

Квадраты нечетного порядка. Требуется, положим, «смонтировать» хотя бы по одному магическому квадрату всевозможных нечетных порядков. Это можно сделать по единой схеме, а схем придумано много. Вот и воспользуемся одной из них для составления, например, квадрата пятого порядка, после чего вы эту схему без труда примените к квадратам третьего, седьмого и других нечетных порядков.

Строим квадрат АВСИ с 25 клетками и временно дополняем его до симметричной ступенчатой фигуры (изображенной на том же рисунке) со ступеньками в одну клетку. В полученной фигуре располагаем по порядку косыми рядами сверху — вниз — направо 25 целых чисел от 1 до 25. А теперь каждое число, оказавшееся вне квадрата АВСD, следует перенести вдоль того же ряда или столбца ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядок квадрата, в нашем примере — на пять. Так, в соответствии с этим правилом, число 6 надо поместить в клетку под числом 18, а число 24 — выше числа 12; далее, 1 — ниже 13, а 25 — выше 13; 16 — правее ,8, а 4 — левее 12 и т. д.

Читайте также:  Можно ли прочитать сообщения на телефоне через компьютер

Получится магический квадрат, изображенный на рисунке б на следующей странице.

Нетрудно убедиться в том, что в получившемся квадрате выполняются основные свойства магического квадрата, то есть сумма чисел вдоль каждой диагонали, вдоль каждой горизонтали и вертикали одна и та же и равна 65. Это число называется константой квадрата пятого порядка.

Но у получившегося квадрата обнаруживается и дополнительное свойство: все пары чисел, расположенные

К вадаче 332. Построение магического квадрата 5-го порядка.

Симметрично относительно центральной клетки, дают одинаковые суммы. Например,

Магические квадраты, обладающие таким свойством, называются симметрическими.

Задача. Составьте магические квадраты третьего и седьмого порядков, применяя только что описанный прием составления магических квадратов нечетного порядка.

Квадраты порядка, кратного четырем (n=4k). Для составления какого-либо магического квадрата порядка

удобна, например, такая простая схема:

1) разместить числа в клетках заданного квадрата в порядке их возрастания (в натуральном порядке);

2) выделить по углам заданного квадрата четыре квадрата со сторонами n/4 и в центре один квадрат со стороной n/2 (например, как это сделано ниже на рисунках а и b);

3) в пяти выделенных квадратах обменять местами числа, расположенные симметрично относительно центра

заданного квадрата; это значит, что в натуральном расположении чисел квадрата четвертого порядка надо поменять местами 1 и 16, 4 и 13, 6 и 11, 7 и 10 (рисунок б выше), а в натуральном расположении чисел квадрата восьмого порядка надо поменять местами 1 и 64, 10 и 55, 2и63,9и 56, 19 и 46, 28 и 37, 20 и 45, 27 и 38, 21 и 44 и т. д. (рисунок г).

Квадраты, составленные по указанной схеме, будут всегда магическими симметрическими.

Две задачи для самостоятельного решения (без ответов):

Задача 1. В схеме составления магического квадрата порядка 4/г изменим требования пункта 3: числа, оказавшиеся в пяти выделенных квадратах, оставить на Своих местах,, а в остальных четырех прямоугольниках Обменять местами числа, расположенные симметрично относительно центра квадрата. В результате также получится магический квадрат. Убедитесь в этом!

Задача 2. Составьте магический квадрат 12-го порядка.

Квадраты четного порядка, не кратного четырем (n=4k+2). Для «монтирования» квадратов порядка n= 6, 10, …, 4k+2, пожалуй, наиболее предпочтителен метод «рамок», разработанный еще в 1544 г. М. Штифелем. Этот метод заключается в том, что любым способом составляется магический квадрат порядка n — 2 (кратного четырем), затем составленный квадрат вставляется В рамку, вместе с которой образуется магический квадрат порядка n. Таким способом магические квадраты 4-го и 8-го порядков могут быть достроены до магических квадратов соответственно 6-го, 10-го порядков, и т. д. Весь «монтаж», таким образом, сводится лишь к умелому заполнению числами клеток внешней рамки. Метод можно распространить на квадраты нечетного порядка: из квадрата 3-го порядка образовать квадрат 5-го порядка и т. д.

Положим, мы решили составить магический квадрат n-го порядка из чисел

1) составим магический квадрат (n — 2)-го порядка из чисел 1, 2, …, (n — 2) 2 и каждое число увеличим на h = 2n — 2;

2) получившийся квадрат дополним рамкой шириной в одну клетку (см., например, верхний рисунок на следующей странице).

Теперь в клетках рамки необходимо расставить числа 1, 2, …, 2т — 2 и их дополнения до n 2
+ 1 так, чтобы выполнялись магические свойства. Как этого добиться? По какому правилу следует расставлять числа в рамке? Для небольших я можно получить желаемую расстановку в результате ряда проб. В распределении чисел по клеткам

К задаче 332. Построение магического квадрата 6-го порядка по формулам Бибербаха.

рамки надо руководствоваться величиной константы (S) составляемого магического квадрата. Ее легко вычислить заранее: сумма всех чисел, заполняющих квадрат, есть

разделив эту сумму на n, получим константу магического квадрата n-го порядка

Но можно и не пробами, а средствами математики найти распределение чисел по клеткам внешней рамки, Причем достаточно найти распределение лишь для чисел 1, 2, … ,2n — 2. В самом деле, если одно из этих чисел занимает угловую клетку, то его дополнение до n 2
+1 надо поместить по диагонали в противоположный угол (для получения магической константы вдоль диагонали). По той же причине, если одно из чисел группы 1, 2, … ,2n — 2 занимает любую другую клетку рамки, то его дополнение до n 2 +1 надо поместить по диагонали в противоположный угол (для получения магической константы вдоль диагонали). По той же причине, если одно из чисел группы 1, 2, …, 2n–2 занимает любую другую клетку рамки, то его дополнение до n 2 +1 надо поместить

в том же столбце (в той же строке) на противоположной стороне рамки.

Известный немецкий математик Л. Бибербах установил и 1954 г., что для четного n вверху и внизу рамки должны располагаться те числа из последовательности 1, 2, … ,2n — 2, которые подбираются соотношением

и остальные числа из той же последовательности — слева и справа в соответствии с требованием

Эти формулы надо понимать так: любые два числа последовательности 1, 2, … ,2n — 2 назначаем быть числами а и Ь при условии, что а 2
+ 1 = 37; значит, в рамке должны быть числа 1, 2, 3, …. 10, а также их дополнения до n 2
+ 1= 37, то есть еще числа 36, 35, 34, …, 27. Примем, что а = 1, Ь = 2. Остается найти места для чисел 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Формулы Бибербаха принимают такой вид:

Это значит, что числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 надо разбить на 4 группы; в одну группу выделить одно число, в другую — три, в третью — два и в четвертую — остальные два. Первая формула требует, чтобы сумма чисел первой группы (1) и числа 3 была равна сумме чисел второй группы (3). Вторая формула требует, чтобы сумма чисел третьей группы (2) и числа —1 была равна сумме чисел четвертой группы (2)’. Подобрав такие группы, получим:

Так определились места для всех чисел: в верхних углах рамки 1 и 2, кроме того, вверху же число 9; внизу 3, 4 и 5 в произвольном порядке; слева 6 и 10; справа 7 и 8 (рис. а на стр.282). Остальные клетки рамки заполняются дополнениями до 37 по ранее указанному принципу (см. рис. б, стр. 282). Теперь возьмем любой готовый магический квадрат 4-го порядка, например тот, который показан на рисунке б к задаче, стр. 280, и увеличим все числа на 10 (на 2п—2). Получим новый магический квадрат (см. рис. в, стр. 282). Остается лишь вставить его в рамку и магический квадрат 6-го порядка готов (см. рис. г, стр. 282).

Пользуясь формулами Бибербаха, составьте самостоятельно магические квадраты 8-го и 10-го порядков.

источник

Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица , заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M.

Наименьшая магическая константа волшебного квадрата 3х3 равна 15, квадрата 4х4 равна 34, квадрата 5х5 равна 65,

Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.

Построение волшебного квадрата 3 х 3 с наименьшей

Найдём наименьшую магическую константу волше́бного квадрата 3х3

и числа, расположенного посередине этого квадрата.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

45 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Число, записанное посередине 15 : 3 = 5

Определили, что посередине, записано число 5.

Можно рассчитать магическую константу по формуле,

Если можешь построить один магический квадрат, то нетрудно построить их любое количество. Поэтому запомним приёмы построения

магического квадрата 3х3 с константой 15.

1 способ построения. Расставь сначала по углам чётные числа

2,4,8,6 и посередине 5. Остальной процесс простая арифметика

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

Используя найденный волшебный квадрат с константой 15, можно задавать множество разноплановых заданий:

Пример. Построить новые различные волшебные квадраты 3 х 3

Сложив каждое число волшебного квадрата, или умножив его на одно и тоже число, получим новый волшебный квадрат.

Пример 1. Построить магический квадрат 3 х 3, у которого число, расположенное посередине, равно 13.

Построим знакомый волшебный

Найдём число, которое находится в

середине искомого квадрата

К каждому числу волшебного

Пример 2. Заполнить клетки волшебных

квадратов, зная магическую константу.

записанное посередине 42 : 3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

задания для самостоятельного решения

Примеры. 1. Заполнить клетки волшебных квадратов с магической

1) 2) 3)

2. Найди магическую константу волшебных квадратов.

3. Заполнить клетки волшебных квадратов, зная магическую константу

4 . Построить волшебный квадрат 3х3, зная, что магическая константа

Решение. Вспомним, как строится волшебный 3х3 квадрат по наименьшей

константе 15. По крайним полям записываются чётные числа

2, 4, 6, 8, а в середине число 5 (15 : 3).

По условию надо построить квадрат по магической константе

21. В центре искомого квадрата должно быть число 7 (21 : 3).

Найдём, насколько больше каждый член искомого квадрата

каждого члена с наименьшей магической константой 7 – 5 = 2.

Строим искомый волшебный квадрат:

21 – (4 + 6) = 11

4. Построить волшебные квадраты 3х3, зная их магические константы

Построение волшебного квадрата 4 х 4 с наименьшей

Найдём наименьшую магическую константу волше́бного квадрата 4х4

и числа, расположенного посередине этого квадрата.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 х 8 = 136

Можно рассчитать магическую константу по формуле,

где n – число строк n = 4.

Сумма чисел на любой горизонтали,

вертикали и диагонали равна 34.

Эта сумма также встречается во всех

угловых квадратах 2×2, в центральном

квадрате (10+11+6+7), в квадрате из

Для построения любых волше́бных квадратов 4х4 надо: построить один

Пример. Построить новые различные волшебные квадраты 4 х 4.

Сложив каждое число найденного

волшебного квадрата 4 х 4 или

умножив его на одно и тоже число,

получим новый волшебный квадрат.

Пример. Построить магический

квадрат 4 х 4, у которого магическая

Решение. Построили знакомый волшебный

К каждому числу волшебного квадрата

Прежде чем приступить к решению более сложных примеров на волшебных квадратах 4 х 4 ещё раз проверь свойства, которыми он обладает, если М=34.

Примеры. 1. Заполнить клетки волшебного квадрата с магической

н =38-(10+7+13)=8 д =38-(17+4+11)=6 в =38-(17+4+14)=3

е = 38-(12+7+8)=11 п =38-(17+6+10)=5 с =38-(3+12+8)=15

б =38-(11+7+16)=4 г =38-(5+7+12)=14 к =38-(6+11+12)=9

свойство 1,3,1 свойства 2,1,1 т =38-(14+9+13)=2

Задания для самостоятельного решения

Заполнить клетки волшебного квадрата с если известна магическая

Познакомься с волшебными квадратами 5х5 и 6х6

источник

Проект разработанный моими ученицами Меляковой К. и Мартьяновой Ю. с которым они выступали на конференции учащихся “Поиск и творчество”.

Филиал муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения средней общеобразовательной школы № 42 им. Л.Н. Толстого

основная общеобразовательная школа с. Астапово

Мартьянова Юлия Сергеевна

Кузьмичева Ирина Константиновна

– История появления магических квадратов. 4

– Магический квадрат и изобразительное искусство. 5

– Виды магических квадратов 6

– Применение магических квадратов. 6

Библиографический список 11

От словосочетания «магические квадраты» веет волшебством. Чудеса и магия привлекали людей всегда. Кто в тайне не мечтал о чудесах, и кому не хотелось соприкоснуться с колдовством. Если и есть такие люди, то их очень мало.

Актуальность проблематики проекта.

Актуальной является интенсификация образовательного процесса ( система технологических приемов, позволяющих задействовать резервные возможности личности обучаемого для повышения эффективности учебно-познавательного процесса. ), актуализация познавательной деятельности обучающихся через проектную деятельность, тем самым развиваются навыки самостоятельного критического мышления, умение воспринимать альтернативные точки зрения, умение использовать полученную информацию и применять ее на практике.

выяснить различные варианты составления магических квадратов, а так же рассмотреть возможные области их применения.

– собрать информацию по теме проекта
– систематизировать собранный материал
– оформить альбом
– составить презентацию

Мы узнаем о магических квадратах;

откроем для себя математику не только как школьную науку, а увидим ее с необычной, увлекательной, загадочной стороны; мы расширим свой кругозор по учебным предметам, связанным с математикой.

Объектами исследования стали “магические” квадраты. Проектная работа включет историю появления магических квадратов; виды магических квадратов и способы их заполнения; применение магических квадратов.

Анализ литературы
По данному вопросу была изучена следующая литература Е.И. Игнатьев «В царстве смекалки», В.В.Трошин «Магия чисел и фигур», Г.И. Глейзер «История математики в школе», И.Я.Депман Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики».

История появления магических квадратов .

Магический квадрат – квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Первые упоминания о магических квадратах были у древних китайцев. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием ло-шу (таблица Ло-Шу) и равносильны магическому квадрату, изображенному. Подсчитав количество кружков каждой из фигур, получим магический квадрат 3*3.

Читайте также:  Помидоры в пакетах на зиму

Из Китая магические квадраты распространились в Индию.

Изображение магического квадрата в виде связанных кружков встречаются в более позднем трактате мыслителя Чжу Си. Вот как это эффектно он выглядел там.

Черные кружки – это четные (женственные) числа, белые – нечетные (мужественные) числа.

В древнеиндийских надписях и трактатах встречаются изображения магических квадратов четвёртого порядка.

Из Индии сведения о магических квадратах перешли к арабам. Арабы были знакомы с квадратом третьего порядка в VIII веке, а в ХII веке его описал в своих сочинениях Ибн Эзра, испанский еврей, принявший мусульманство. Мусульмане очень благовейно относились к квадратам пятого порядка с цифрой 1 в середине, считая это изображение символом единства Аллаха. В Европе о магических квадратах узнали благодаря византийскому писателю Э. Мосхопулосу, жившему в Константинополе в начале XV века.

Магический квадрат и изобразительное искусство.

Редкостью является использование магического квадрата в изобразительном искусстве, а не в литературном или научном произведении. Впервые это сделал немецкий художник Альбрехт Дюрер (1471 – 1528), выпустивший в 1514 году гравюру «Меланхолия», на которой есть изображение магического квадрата четвёртого порядка. Причем два числа в середине нижней строки указывают на год создания гравюры – 1514.Этот факт говорит об умении в то время составлять магические квадраты с определённым заданным расположением некоторых чисел. Говорят, что гравюра А.Дюрера послужила толчком для знаменитых пророчеств его современника Мишеля Нострадамуса (1503-1566).

В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений. За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачки, связанные с необычными квадратами.

Виды магических квадратов.

В ходе своей работы, мы пришли к выводу, что магических квадратов 2*2 не существует. Квадрат размером 2*2 должен был бы состоять из чисел 1,2,3,4, а его постоянная была бы равна 5. У такого квадрата по две строки, столбца и диагонали. Чтобы квадрат стал магическим, надо представить число 5 в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами, но это сделать не возможно! Ведь таких комбинаций всего две: 1+ 4 и 2+3. Как ни расставляй числа в клетках таблицы, их сумма будет равна 5 либо в каждой строке, либо в обоих столбцах, либо по диагоналям, но никак не одновременно.

Существует единственный магический квадрат 3 * 3, так как остальные магические квадраты 3 * 3 получаются из него либо перестановкой строк (а) или столбцов (б) либо путем поворота исходного квадрата на 90 0 (в) или на 180 0 (г).

Применение магических квадратов.

В настоящее время популярна японская головоломка судоку, прародителем которой можно считать Магический квадрат. Она помогает нам развивать логическое мышление и вычислительные навыки. В настоящее время много газет печатают эти головоломки вместе с кроссвордами и другими логическими задачами. Бывают судоку для детей и взрослых.

Судоку для детей: Судоку 4х4 – это замечательная игра с очень простыми правилами.

Правила : на игровом поле из 16 клеток разложите карточки с цифрами от 1 до 4 так, чтобы в каждом столбике, строке и в блоке 2 на 2 каждая цифра встречалась только один раз.

Правила судоку достаточно просты: Игровое поле состоит из квадрата, размером 9×9, разделенного на меньшие квадраты со стороной 3 клетки. Таким образом, всего игровое поле насчитывает 81 клетку. В некоторых клетках уже в начале игры стоят числа (от 1 до 9). Цель игры – заполнить свободные клетки цифрами от 1 до 9 так, чтобы в каждой строке, в каждом столбце и в каждом малом квадрате 3×3 каждая цифра встречалась бы только один раз.

Одно из применений магических квадратов – квадрат Пифагора.

Великий ученый Пифагор, основавший религиозно-философское учение, провозгласившее количественные отношения основой сущности вещей, считал, что сущность человека заключается тоже в числе – дате рождения. Поэтому с помощью магического квадрата Пифагора можно познать характер человека, степень отпущенного здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования.

Для того чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаем расчет. Возьмем дату рождения 10.08.2005 г. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без нулей):1+8+2+5=16. Далее складываем цифры результата: 1+6=7. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 16-2=14. И вновь складываем цифры последнего числа:1+4=5. Получили числа 10.08.2005,16,7,14,5. И составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки – в ячейку 2 и т.д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате квадрат будет выглядеть следующим возрастом.

Ячейки квадрата означают следующее:

Ячейка 1 – целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.

1 – законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.

11 – характер, близкий к эгоистическому.

111 – «золотая середина», Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.

1111 – люди сильного характера, волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных – профессионалов, а женщины держат семью в кулаке.

111111 – человек жестокий, способный совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой-то идеи.

Ячейка 2 – биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность. Количество ячеек определяет уровень биоэнергетики.

Двоек нет – открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.

2 – обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.

22 – относительно большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого бывают нервные стрессы.

Ячейка 3 – точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к постоянному «восстановлению справедливости».

Нарастание троек усиливает эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.

Ячейка 4 – здоровье. Это связано с энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека.

4 – здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуется плавание и бег.

444 и более – люди с очень крепким здоровьем.

Ячейка 5 – интуиция, ясновидение, начинающее проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.

Пятерок нет – канал связи с космосом закрыт. Эти люди часто ошибаются.

5 – канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию, извлечь из нее максимальную пользу.

55 – сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии – юрист, следователь.

Ячейка 6 – заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка.

Шестерок нет – этим людям необходим физический труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок.

6 – могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования.

66 – люди очень заземлены, тянуться к физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность, либо занятия искусством.

666 – знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в обществе центром внимания.

6666 – эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не представляют свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть девятки, им обязательно нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее образование.

Ячейка 7 – количество семерок определяет меру таланта.

7 – чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.

77 – очень одаренные, музыкальные люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобразительному искусству.

777 – эти люди, как правило, приходят на землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность.

7777 – знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.

Ячейка 8 – карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.

Восьмерок нет – у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.

8 – натуры ответственные, добросовестные, точные.

88 – у этих людей развито чувство долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким.

888 – знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов.

8888 – эти люди обладают парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным наукам.

Ячейка 9 – ум, мудрость. Отсутствие девяток – свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.

9 – эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.

99 – эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко. Они наделены чувством юмора с ироничным оттенком, независимые.

999 – очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.

9999 – этим людям открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих начинаний.

111 – «золотая середина», Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.

2 – обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.

4 – здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуется плавание и бег.

55 – сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии – юрист, следователь.

6 – могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования.

7 – чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.

8 – натуры ответственные, добросовестные, точные.

Составив магический квадрат Пифагора, и зная значение всех комбинаций цифр, входящих в его ячейки, мы сможем в достаточной мере оценить те качества нашей натуры. Безусловно, не следует слепо верить всему магическому. Возможно, некоторые черты характера и заложены в дате рождения человека, но человек всегда может найти способы что-то изменить в своей судьбе.

В ходе работы над проектом, мы не только расширили свои знания по данной теме и повысили свои вычислительные навыки, но и научились составлять магический квадрат Пифагора, с помощью которого можно познать характер человека, состояние его здоровья, потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки.

1. В.В.Трошин «Магия чисел и фигур» ООО «Глобус» 2007

2. Г.И. Глейзер «История математики в школе» Москва «Просвещение» 2007

3. И.Я. Депман Н.Я. Виленкин За страницами учебника математики «Просвещение» 2006

4. Е.И. Игнатьев «В царстве смекалки» Москва «Наука» 1979

источник

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №41»

Автор: Лабунин Степан, ученик 8 «А» класса

1. Общие сведения о магических квадратах 4

1.1. Понятие магического квадрата 4

1.2. Из истории магических квадратов 4

1.3. Виды магических квадратов 6

2. Решение магических квадратов 6

2.1. Решение магических квадратов ( метод Баше де Мезирака) 7

2.3. Алгоритм решения магических квадратов 8

2.4. Доказательство алгоритма (в алгебраической форме) 9

2.5. Пример решения магического квадрата по алгоритму 10

3. Использование магических квадратов 11

3.1. Разные случаи обобщения магических квадратов 11

3.2. Применение латинских квадратов 12

На занятиях математического кружка мы столкнулись с задачами, связанными с заполнением клеток квадрата по особым правилам. Предложенные числа надо было вписать так, чтобы результат удовлетворял сразу нескольким условиям:

– если сложить все числа в каждой строке,

-если сложить все числа в каждом столбце,

– если сложить все числа в двух диагоналях,

то все эти суммы окажутся равными одному и тому же числу.

Несмотря на то, что задачи отличались исходными числами, порядком чисел, заданностью суммы, все они были подобными, а решения – однотипными.

Возникла идея не просто решить каждое задание, но и придумать общий алгоритм решения, а также найти в литературе исторические сведения о задачах подобного типа.

Выяснилось, что интересующие нас фигуры называются магическими квадратами, известными с древних времён. О них и пойдёт речь в работе.

Цель работы: систематизировать сведения о магических квадратах, разработать алгоритм их решения.

1. Изучить историю возникновения магических квадратов.

2. Выявить виды магических квадратов.

3. Узнать способы решения магических квадратов.

4. Разработать и доказать свой алгоритм решения.

5. Определить применение магических квадратов.

1.Общие сведения о магических квадратах

1.1. Понятие магического квадрата

Большой популярностью даже в наши дни пользуются магические квадраты. Это квадраты, в каждую клетку которых вписаны числа так, что суммы чисел вдоль любой горизонтали, любой вертикали и любой диагонали равны. Самым известным считается магический квадрат, изображённый на гравюре немецкого художника А. Дюрера «Меланхолия» (приложение 1).

Читайте также:  Когда появились зимние олимпийские игры

1.2. Из истории магических квадратов

Числа настолько вошли в жизнь человека, что им стали приписывать всякие магические свойства. Уже несколько тысяч лет назад в Древнем Китае увлеклись составлением магических квадратов. При археологических раскопках в Китае и Индии были найдены квадратные амулеты. Квадрат был разделён на девять маленьких квадратиков, в каждом из которых были написаны числа от 1 до 9. Замечательно, что суммы всех чисел в любой вертикали, горизонтали и диагонали были равны одному и тому же числу 15 (рисунок 1).

В средние века магические квадраты были очень популярны. Один из магических квадратов изображен на гравюре знаменитого немецкого художника Альбрехта Дюрера, «Меланхолия». В 16 клетках квадрата размещены цифры от 1 до 16, а сумма чисел по всем направлениям равна 34. Любопытно, что два числа в середине нижней строки указывают на год создания картины – 1514 г. Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты, например, 43×43, содержащий числа от 1 до 1849, причём обладающие помимо указанных свойств магических квадратов, ещё и многими дополнительными свойствами. Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера. Известно, и это вы можете легко показать сами, что магических квадратов размером 2×2 не существует, магических квадратов 3×3 ровно один, остальные такие квадраты получаются из него поворотами и симметриями. Магических квадратов 4×4 уже 800, а количество квадратов 5×5 близко к четверти миллиона.

1.3. Виды магических квадратов

Магический (волшебный квадрат) — это квадратная таблица nxn, заполненная n2 числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова.

Полумагический квадрат — это квадратная таблица nxn, заполненная n2 числами таким образом, что суммы чисел равны только в строках и столбцах.

Нормальный – магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2.

Ассоциативный (симметричный) – магический квадрат, у которого сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n2 + 1.

Дьявольский (пандиагональный) магический квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию — торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата (рисунок 2).

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.

Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов.

2.Решение магических квадратов

2.1Решение магических квадратов (метод Баше де Мезирака)

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы. Найти все магические квадраты порядка n удается только для n ≤ 4.

Для решения нормальных магических квадратов сколь угодно большого размера воспользуемся методом, описанным в 1612 г. французским математиком Клодом Баше де Мезираком. Русский перевод его книги был издан в Петербурге в 1877 г. под названием «Игры и задачи, основанные на математике».

Магический квадрат удобно строить на бумаге в клетку. Пусть n-нечётное число, и нужно построить квадрат nхn с числами от 1 до n2 , действуем поэтапно.

1. Все числа от 1 до n2 записываем в клетки по диагонали (по n чисел в ряд), чтобы образовался диагональный квадрат.

2. Выделяем в его центре квадрат nхn. Это и есть основа (ещё не все клетки заполнены) будущего магического квадрата.

3. Каждый находящийся вне центрального квадрата числовой «уголок» аккуратно переносим внутрь – к противоположной стороне квадрата. Числа этих уголков должны заполнить все пустые клетки. Магический квадрат построен.

Приведём пример заполнения квадрата 3х3 числами от 1 до 9. Для этого к квадрату пририсуем дополнительные клетки, чтобы получить диагонали. Сначала заполним диагональные клетки числами от 1 до 9 (рисунок 3), потом в пустые клетки квадрата «загнём уголки» внутрь к противоположной стороне (рисунок 4).

Опишем свой способ решения магических квадратов. Остановимся на изучении математической модели магических квадратов 3×3.

Общая формулировка задачи.

Имеются девять чисел. Необходимо расставить их в клетки квадрата размера 3×3, так чтобы по любой вертикали, горизонтали и диагонали суммы чисел были равны.

2.3. Алгоритм решения магического квадрата

Словесное описание алгоритма

1. Упорядочить числа по возрастанию.

2. Найти центральное число (пятое по порядку).

3. Определить пары по правилу: 1 пара – первое число и девятое,

2 пара – второе число и восьмое,

3 пара – третье число и седьмое,

4 пара – четвёртое число и шестое.

4. Узнать сумму чисел (S), которая должна получиться при сложении чисел по каждой вертикали, горизонтали, диагонали: сложить самое маленькое, центральное, самое большое число, т. е. числа 1 пары с центральным числом.

5. Поставить в центр квадрата центральное число.

6. По центральной горизонтали (или вертикали) в свободные клетки вписать первую пару чисел.

7. По любой диагонали записать вторую пару чисел (так чтобы большее число первой пары оказалось в столбике с меньшим числом второй пары).

8. Вычислить число, которое надо записать в один из крайних столбиков, по правилу:

из S вычесть сумму двух чисел, содержащихся в клетках столбика, получить число.

9. По диагонали к полученному числу записать второе число его пары.

10. Вписать в оставшиеся клетки последнюю пару чисел по правилу: большее число из пары вписать в строку с меньшим, а меньшее в оставшуюся пустую клетку.

2.4. Доказательство правильности заполнения магического квадрата

(Решение задачи в общем виде)

Докажем, что суммы чисел, находящихся по вертикалям, горизонталям и диагоналям квадрата в результате выполнения алгоритма, получатся равные.

Пусть после упорядочения каждое последующее число отличается от предыдущего на постоянную величину х. Выразим все числа через а1 (наименьшее число) и х:

Пусть магический квадрат заполнен по предложенному алгоритму.

Докажем, что суммы чисел, расположенных по горизонтали, вертикали и диагонали квадрата, равны S.

Получили одинаковые суммы. Утверждение доказано.

Числа, организованные таким образом, образуют арифметическую прогрессию. В этой последовательности (после упорядочения) а1 – это первый член арифметической прогрессии, х – это разность арифметической прогрессии. Для чисел, не составляющих арифметическую прогрессию, алгоритм не действует.

2.5. Пример решения магических квадратов

Даны числа:5,2,4,8,1,3,7,9,6. Заполнить магический квадрат данными числами.

2. Получили центральное число 5.

3. Пары:1 и 9, 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6.

Данный алгоритм существенно отличается от метода Баше де Мезириака. С одной стороны он требует дополнительных вычислений (недостаток метода), с другой стороны в нашем методе не нужны дополнительные построения (диагональный квадрат). Более того, метод применим не только к последовательным натуральным числам от 1 до 9, но и к любым девяти числам, являющимися членами арифметической прогрессии, в чём мы видим его преимущества. Кроме того, автоматически определяется магическая константа – сумма чисел по каждой диагонали, вертикали, горизонтали.

3. Использование магических квадратов

3.1. Разные случаи обобщения магических квадратов

Задачи составления и описания магических квадратов интересовали математиков с древнейших времён. Однако полного описания всех вех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. С увеличением размеров (числа клеток) квадрата быстро растёт количество возможных магических квадратов. Среди квадратов больших размеров есть квадраты обладающими интересными свойствами. Например, в квадрате на рисунке № 5 равны между собой не только суммы чисел в строках столбцах и диагоналях, но и суммы пятёрок по «разломанным» диагоналям, связанными на рисунке цветными линиями.

Рисунок 5. Рисунок 6.

Латинским квадратов называется квадрат n x n клеток, в которых написаны числа 1, 2, …, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На (рисунке 6) изображены два таких латинских квадрата 4×4. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными. Задачу отыскания ортогональных латинских квадратов впервые поставил Л. Эйлер, причём в такой занимательной формулировке: «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадёров и кроме того поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причём каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить этих офицеров в каре 6×6 так, чтобы в любой колонне встречались офицеры всех рангов?» (приложение 2).

Л. Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что такого решения не существует.

3.2. Применение латинских квадратов

Магические и латинские квадраты близкие родственники. Теория латинских квадратов нашла многочисленные применения, как в самой математике, так и в её приложениях. Приведём такой пример. Пусть мы хотим испытать два сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причём хотим учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для этого разобьём квадратный участок на 16 равных частей (рисунок 7). Первый сорт пшеницы посадим на делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт посадим на четырёх делянках, соответствующих следующей полосе и т. д. (на рисунке сорт обозначен цветом.)

При этом максимальная густота посевов пусть будет на тех делянках, которые соответствуют левому вертикальному столбцу рисунка, и уменьшается при переходе вправо (на рисунке это соответствует уменьшению интенсивности цвета.) Цифры же, стоящие в клетках рисунка, пусть означают: первая – количество килограммов удобрений первого вида, вносимая на этот участок, а вторая – количество вносимого удобрения второго вида. Не трудно понять, что при этом реализованы все возможные пары сочетаний как сорта и густоты посева, таки других компонентов: сорта и удобрения первого вида, удобрений первого и второго видов, густоты и удобрений второго вида.

Использование ортогональных латинских квадратов помогает учесть все возможные варианты в экспериментах в сельском хозяйстве, физике, химии и технике.

В ходе выполнения работы я познакомился с различными видами Магических квадратов, узнал способ решения нормальных магических квадратов методом Баше де Мезирака. Так как наше решение магических квадратов 3х3 отличалось от указанного метода, но позволяло каждый раз правильно заполнить клетки квадрата, то возникло желание разработать собственный алгоритм. Этот алгоритм подробно описан в работе, доказан в алгебраической форме. Оказалось, что он применим не только к нормальным квадратам, но и к квадратам размером 3х3, где числа составляют арифметическую прогрессию. Нам удалось также найти примеры применения магических и латинских квадратов.

Я научился: решать некоторые магические квадраты, разрабатывать и описывать алгоритмы, доказывать утверждения в алгебраической форме. Я узнал новые понятия: арифметическая прогрессия, магический квадрат, магическая константа, изучил виды квадратов.

К сожалению, ни мой разработанный алгоритм, ни метод Баше де Мезирака не позволяют решать магические квадраты размера 4х4. Поэтому мне захотелось в дальнейшем составить алгоритм решения для таких квадратов.

В данной работе изучались магические квадраты, рассматривалась история их происхождения. Были определены виды магических квадратов: магический или волшебный квадрат, полумагический квадрат, нормальный, ассоциативный, дьявольский магический квадрат, совершенный.

Среди существующих способов их решения выбран метод Баше де Мезириака, он апробирован на примерах. Кроме того, для решения магических квадратов 3х3 предложен собственный алгоритм решения, приведено математическое доказательство в алгебраической форме.

Предложенный алгоритм существенно отличается от метода Баше де Мезириака. С одной стороны, он требует дополнительных вычислений (недостаток метода), с другой стороны, не нужны дополнительные построения. Метод применим не только к последовательным натуральным числам от 1 до 9, но и к любым девяти числам, являющимися членами арифметической прогрессии, в чём мы видим его преимущества. Кроме того, автоматически определяется магическая константа – сумма чисел по каждой диагонали, вертикали, горизонтали.

В работе представлено обобщение магических квадратов – латинские квадраты и описано их практическое применение.

Данная работа может быть использована на уроках математики в качестве дополнительного материала, а также на занятиях кружка и в индивидуальной работе с учащимися.

1. Загадки мира чисел / Сост. – Д.: Сталкер, 1997.-448с.

2. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. – М.: Педагогика, 1989 –352с.: ил.

3. Энциклопедия для детей. Т11. Математика / Глав. ред. – М.: Аванта+, 2000 – 688с.: ил.

4. Я познаю мир : Детская энциклопедия : Математика / Сост. – и др. – М.: АСТ, 1996. – 480с.: ил.

5. Задачи для внеклассной работы по математике в V-VI классах: Пособие для учителей/ Сост. . Под ред. , . – М.: МИРОС, 1993. – 72 с.: ил.

источник

Adblock
detector