Меню

Как через координаты найти площадь треугольника

Треугольник – это одна из самых распространенных геометрических фигур, с которой мы знакомимся уже в начальной школе. С вопросом, как найти площадь треугольника, сталкивается каждый школьник на уроках геометрии. Так, какие же особенности нахождения площади данной фигуры можно выделить? В данной статье мы рассмотрим основные формулы, необходимые для выполнения такого задания, а также разберем виды треугольников.

Найти площадь треугольника можно абсолютно разными способами, потому что в геометрии выделяется не один вид фигур, содержащих три угла. К таким видам относятся:

  • Остроугольный треугольник.
  • Тупоугольный.
  • Равносторонний (правильный).
  • Прямоугольный треугольник.
  • Равнобедренный.

Рассмотрим подробнее каждый из существующих типов треугольников.

Такая геометрическая фигура считается наиболее распространенной при решении геометрических задач. Когда возникает необходимость начертить произвольный треугольник, на помощь приходит именно этот вариант.

В остроугольном треугольнике, как понятно по названию, все углы острые и в сумме составляют 180°.

Такой треугольник также очень распространен, однако встречается несколько реже остроугольного. Например, при решении треугольников (т. е. известно несколько его сторон и углов и нужно найти оставшиеся элементы) иногда требуется определить, является угол тупым или нет. Косинус тупого угла – это отрицательное число.

В тупоугольном треугольнике величина одного из углов превышает 90°, поэтому оставшиеся два угла могут принимать маленькие значения (например, 15° или вовсе 3°).

Чтобы найти площадь треугольника данного типа, необходимо знать некоторые нюансы, о которых мы поговорим дальше.

Правильным многоугольником называется фигура, включающаяся в себя n углов, у которой все стороны и углы равны. Таким и является правильный треугольник. Так как сумма всех углов треугольника составляет 180°, то каждый из трех углов равен 60°.

Правильный треугольник, благодаря его свойству, также называют равносторонней фигурой.

Стоит также отметить, что в правильный треугольник можно вписать только одну окружность и около него можно описать только одну окружность, причем их центры расположены в одной точке.

Помимо равностороннего типа, можно также выделить равнобедренный треугольник, несильно от него отличающийся. В таком треугольнике две стороны и два угла равны между собой, а третья сторона (к которой прилегают равные углы) является основанием.

На рисунке показан равнобедренный треугольник DEF, углы D и F которого равны, а DF является основанием.

Прямоугольный треугольник назван так потому, что один из его углов прямой, то есть равен 90°. Другие же два угла в сумме составляют 90°.

Самая большая сторона такого треугольника, лежащая против угла в 90° является гипотенузой, остальные же две его стороны – это катеты. Для данного типа треугольников применима теорема Пифагора:

Сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

На рисунке изображен прямоугольный треугольник BAC с гипотенузой AC и катетами AB и BC.

Чтобы найти площадь треугольника с прямым углом, нужно знать числовые значения его катетов.

Перейдем к формулам нахождения площади данной фигуры.

В геометрии можно выделить две формулы, которые подходят для нахождения площади большинства видов треугольников, а именно для остроугольного, тупоугольного, правильного и равнобедренного треугольников. Разберем каждую из них.

Данная формула является универсальной для нахождения площади, рассматриваемой нами фигуры. Для этого достаточно знать длину стороны и длину проведенной к ней высоты. Сама формула (половина произведения основания на высоту) выглядит следующим образом:

где A – сторона данного треугольника, а H – высота треугольника.

Например, чтобы найти площадь остроугольного треугольника ACB, нужно умножить его сторону AB на высоту CD и разделить получившееся значение на два.

Однако не всегда бывает легко найти площадь треугольника таким способом. Например, чтобы воспользоваться этой формулой для тупоугольного треугольника, необходимо продолжить одну из его сторон и только после этого провести к ней высоту.

На практике данная формула применяется чаще остальных.

Данная формула, как и предыдущая подходит для большинства треугольников и по своему смыслу является следствием формулы нахождения площади по стороне и высоте треугольника. То есть рассматриваемую формулу можно легко вывести из предыдущей. Ее формулировка выглядит так:

где A и B – это стороны треугольника, а O – угол между сторонами A и B.

Напомним, что синус угла можно посмотреть в специальной таблице, названной в честь выдающегося советского математика В. М. Брадиса.

А теперь перейдем к другим формулам, подходящим только для исключительных видов треугольников.

Помимо универсальной формулы, включающей в себя необходимость проводить высоту в треугольнике, площадь треугольника, содержащего прямой угол, можно найти по его катетам.

Так, площадь треугольника, содержащего прямой угол, – это половина произведения его катетов, или:

где a и b – катеты прямоугольного треугольника.

Данный вид геометрических фигур отличается тем, что его площадь можно найти при указанной величине лишь одной его стороны (так как все стороны правильного треугольника равны). Итак, встретившись с задачей «найти площадь треугольника, когда стороны равны», нужно воспользоваться следующей формулой:

где A – это сторона равностороннего треугольника.

Последний вариант для нахождения площади треугольника – это формула Герона. Для того чтобы ею воспользоваться, необходимо знать длины трех сторон фигуры. Формула Герона выглядит так:

где a, b и c – это стороны данного треугольника.

Иногда в задаче дано: «площадь правильного треугольника – найти длину его стороны». В данном случае нужно воспользоваться уже известной нам формулой нахождения площади правильного треугольника и вывести из нее значение стороны (или ее квадрата):

В задачах ГИА по математике встречаются множество формул. Помимо этого, достаточно часто необходимо найти площадь треугольника на клетчатой бумаге.

В данном случае удобнее всего провести высоту к одной из сторон фигуры, определить по клеткам ее длину и воспользоваться универсальной формулой для нахождения площади:

Итак, после изучения представленных в статье формул, у вас не возникнут проблемы при нахождении площади треугольника любого вида.

источник

Даны вершины треугольника. (рис 23). Выразим площадь треугольника через координаты его вершин

Пусть — угол между направленными отрезками СА и СВ (т. е. угол, на который нужно повернуть отрезок СА вокруг точки С, чтобы его направление совпало с направлением отрезка СВ, как и обычно, угол будем рассматривать со знаком).

Как известно, площадь треугольника

Так как , где — углы между осью Ох и направленными отрезками СА и СВ, то

Используя формулы (15) предыдущего параграфа, получим:

Тогда для площади треугольника будем иметь следующее выражение:

Пользуясь понятием определителя (гл. VI, § 1), можно полученную формулу представить в виде

В формуле (17) нужно взять знак или смотря по тому, будет ли определитель положительным или отрицательным.

В частности, если вершина С лежит в начале координат, то и мы получим:

Пример. Определить площадь треугольника ABC, вершины которого суть

Здесь Следовательно, по формуле (17) площадь треугольника ABC равна:

Если три точки А, В, С лежат на одной прямой, то треугольник ABC вырождается в отрезок и имеет площадь, равную нулю, т. е. . В этом случае формула (17) для 5 обратится в равенство

что можно записать в виде пропорции:

Последнее равенство связывает координаты трех точек А, В, С тогда и только тогда, когда эти точки лежат на одной прямой. Следовательно, написанная пропорция выражает условие, при котором три точка лежат на одной прямой.

Читайте также:  Какие дыни самые сладкие

Пример 1. Узнать, лежат ли точки на одной прямой.

Здесь . Условие (18) обращается в следовательно, удовлетворяется. Таким образом, три данные точки лежат на одной прямой.

Пример 2. При каком условии точки и начало координат лежат на одной прямой?

Здесь координаты третьей точки у, равны нулю, и условие (18) переходит в равенство:

т. е. две точки лежат на одной прямой с началом координат тогда, когда их координаты пропорциональны.

Замечание. Переход от (18) к (18) можно сделать лишь при условии, что ни одно из чисел — не равно нулю. Однако, так как равенство (18) более удобно для запоминания, то условимся записывать его и в случае обращения знаменателей в нуль. Только тогда, конечно, эту запись нужно будет понимать не буквально, так как на нуль делить нельзя, а условно. Будем считать, что равенство (18) всегда означает то же, что (18), т. е. что произведение крайних членов равно произведению средних членов Например, значит, что .

источник

как найти площадь треугольника в трёхмерном пространстве ?
я не силён в аналитической геометрии поэтому объясните доходчиво .

Формула Герона
Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Фо́рмула Геро́на позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:

где р — полупериметр треугольника: p = \frac2.

А какая разница – двумерное или трехмерное пространство ?

Если есть координаты вершин – находишь длины сторон, а потом формулу герона

А какая разница – двумерное или трехмерное пространство ?

Если есть координаты вершин – находишь длины сторон, а потом формулу герона

Microsoft SDE -> Intel algorithmist -> Skype SDET 2
B.Sc – > M.Sc -> B.Psy -> Scrum Master -> Research Assistent

а как найти эти векторы и затем их произведение?

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов

википедиа
я вот тут посмотрел, а что с этим делать не знаю . не знаю матрицы .

Не знаете матрицы, вычисляйте по формуле Герона. Возьмите любой учебник по аналитической геометрии и посмотрите, как вычислить длину вектора по координатам начала и конца.

Или с уже решёнными примерами – Данко, Попов “Высшая математика в упражнениях и задачах”, часть I.
Заодно узнаете, как определители считать.

Добавлено 13.09.10, 10:52
P= (A +B +C)/2 так что ли ?

Добавлено 13.09.10, 11:04
теперь-то правильно ?
A= sqr((x2-x1)^2 +(y2-y1)^2 +(z2-z2)^2)
B= sqr((x1-x0)^2 +(y1-y0)^2 +(z1-z0)^2)
C= sqr((x2-x0)^2 +(y2-y0)^2 +(z2-z0)^2)
P= (A +B +C)/2
S= sqr(P*(P-A)*(P-B)*(P-C)

ну а так-то правильно ?
S= sqr(P*(P-A)*(P-B)*(P-C))

Добавлено 13.09.10, 11:20
площадь треугольника мне нужна я вычисления принадлежности точки треугольнику по методу площадей

If s#= Stre# Then intriangle=true Else intriangle=false

Нет. Квадратный корень это sqrt

я пишу на бэйсике там квадратный корень это sqr

Добавлено 13.09.10, 11:49
вы мне скажите само уравнение правильно?

источник

Треугольник – это одна из самых распространенных геометрических фигур, с которой мы знакомимся уже в начальной школе. С вопросом, как найти площадь треугольника, сталкивается каждый школьник на уроках геометрии. Так, какие же особенности нахождения площади данной фигуры можно выделить? В данной статье мы рассмотрим основные формулы, необходимые для выполнения такого задания, а также разберем виды треугольников.

Найти площадь треугольника можно абсолютно разными способами, потому что в геометрии выделяется не один вид фигур, содержащих три угла. К таким видам относятся:

  • Остроугольный треугольник.
  • Тупоугольный.
  • Равносторонний (правильный).
  • Прямоугольный треугольник.
  • Равнобедренный.

Рассмотрим подробнее каждый из существующих типов треугольников.

Такая геометрическая фигура считается наиболее распространенной при решении геометрических задач. Когда возникает необходимость начертить произвольный треугольник, на помощь приходит именно этот вариант.

В остроугольном треугольнике, как понятно по названию, все углы острые и в сумме составляют 180°.

Такой треугольник также очень распространен, однако встречается несколько реже остроугольного. Например, при решении треугольников (т. е. известно несколько его сторон и углов и нужно найти оставшиеся элементы) иногда требуется определить, является угол тупым или нет. Косинус тупого угла – это отрицательное число.

В тупоугольном треугольнике величина одного из углов превышает 90°, поэтому оставшиеся два угла могут принимать маленькие значения (например, 15° или вовсе 3°).

Чтобы найти площадь треугольника данного типа, необходимо знать некоторые нюансы, о которых мы поговорим дальше.

Правильным многоугольником называется фигура, включающаяся в себя n углов, у которой все стороны и углы равны. Таким и является правильный треугольник. Так как сумма всех углов треугольника составляет 180°, то каждый из трех углов равен 60°.

Правильный треугольник, благодаря его свойству, также называют равносторонней фигурой.

Стоит также отметить, что в правильный треугольник можно вписать только одну окружность и около него можно описать только одну окружность, причем их центры расположены в одной точке.

Помимо равностороннего типа, можно также выделить равнобедренный треугольник, несильно от него отличающийся. В таком треугольнике две стороны и два угла равны между собой, а третья сторона (к которой прилегают равные углы) является основанием.

На рисунке показан равнобедренный треугольник DEF, углы D и F которого равны, а DF является основанием.

Прямоугольный треугольник назван так потому, что один из его углов прямой, то есть равен 90°. Другие же два угла в сумме составляют 90°.

Самая большая сторона такого треугольника, лежащая против угла в 90° является гипотенузой, остальные же две его стороны – это катеты. Для данного типа треугольников применима теорема Пифагора:

Сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

На рисунке изображен прямоугольный треугольник BAC с гипотенузой AC и катетами AB и BC.

Чтобы найти площадь треугольника с прямым углом, нужно знать числовые значения его катетов.

Перейдем к формулам нахождения площади данной фигуры.

В геометрии можно выделить две формулы, которые подходят для нахождения площади большинства видов треугольников, а именно для остроугольного, тупоугольного, правильного и равнобедренного треугольников. Разберем каждую из них.

Данная формула является универсальной для нахождения площади, рассматриваемой нами фигуры. Для этого достаточно знать длину стороны и длину проведенной к ней высоты. Сама формула (половина произведения основания на высоту) выглядит следующим образом:

где A – сторона данного треугольника, а H – высота треугольника.

Например, чтобы найти площадь остроугольного треугольника ACB, нужно умножить его сторону AB на высоту CD и разделить получившееся значение на два.

Однако не всегда бывает легко найти площадь треугольника таким способом. Например, чтобы воспользоваться этой формулой для тупоугольного треугольника, необходимо продолжить одну из его сторон и только после этого провести к ней высоту.

На практике данная формула применяется чаще остальных.

Данная формула, как и предыдущая подходит для большинства треугольников и по своему смыслу является следствием формулы нахождения площади по стороне и высоте треугольника. То есть рассматриваемую формулу можно легко вывести из предыдущей. Ее формулировка выглядит так:

где A и B – это стороны треугольника, а O – угол между сторонами A и B.

Напомним, что синус угла можно посмотреть в специальной таблице, названной в честь выдающегося советского математика В. М. Брадиса.

А теперь перейдем к другим формулам, подходящим только для исключительных видов треугольников.

Читайте также:  Болит вена на руке как лечить

Помимо универсальной формулы, включающей в себя необходимость проводить высоту в треугольнике, площадь треугольника, содержащего прямой угол, можно найти по его катетам.

Так, площадь треугольника, содержащего прямой угол, – это половина произведения его катетов, или:

где a и b – катеты прямоугольного треугольника.

Данный вид геометрических фигур отличается тем, что его площадь можно найти при указанной величине лишь одной его стороны (так как все стороны правильного треугольника равны). Итак, встретившись с задачей «найти площадь треугольника, когда стороны равны», нужно воспользоваться следующей формулой:

где A – это сторона равностороннего треугольника.

Последний вариант для нахождения площади треугольника – это формула Герона. Для того чтобы ею воспользоваться, необходимо знать длины трех сторон фигуры. Формула Герона выглядит так:

где a, b и c – это стороны данного треугольника.

Иногда в задаче дано: «площадь правильного треугольника – найти длину его стороны». В данном случае нужно воспользоваться уже известной нам формулой нахождения площади правильного треугольника и вывести из нее значение стороны (или ее квадрата):

В задачах ГИА по математике встречаются множество формул. Помимо этого, достаточно часто необходимо найти площадь треугольника на клетчатой бумаге.

В данном случае удобнее всего провести высоту к одной из сторон фигуры, определить по клеткам ее длину и воспользоваться универсальной формулой для нахождения площади:

Итак, после изучения представленных в статье формул, у вас не возникнут проблемы при нахождении площади треугольника любого вида.

источник

Она равна половине гипотенузы. Точка пересечения медианы с гипотенузой является центром окружности, описанной около данного треугольника и соответственно медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямоуго угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь треугольника построенного на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади треугольника построенного на векторах и закрепить пройденый материал.

Выберите каким образом задается треугольник:

Введите значения векторов: Введите координаты точек:

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.

Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь треугольника построенного на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади треугольника построенного на векторах и закрепить пройденый материал.

Выберите каким образом задается треугольник:

Введите значения векторов: Введите координаты точек:

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.

Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если у вас появилась нужда найти площадь треугольника, не переживайте, что вы давно позабыли все то, что учителя вкладывали в вашу голову в школе. Наша статья расскажет вам о том, как решить этот вопрос, причем разными способами.

Для начала вспомним, что треугольник представляет собой фигуру, которая образована при пересечении трех прямых линий. Три точки, где прямые пересекаются, — это вершины фигуры, а отрезки, им противоположные, — это ребра треугольника. Существует несколько частных видов треугольников (равнобедренный, прямоугольный, равносторонний), площади которых мы также будем искать.

Как вычислить площадь треугольника по общей формуле

Для самого общего случая площадь заданной геометрической фигуры рассчитывается по такой формуле: Площадь = ½ длины одной из сторон фигуры, помноженной на длину высоты, опущенной к данной стороне.

Найти площадь треугольника, если нам известны все три его стороны

В том случае, если вам известны все три стороны треугольника, то площадь его вы можете найти при помощи формулы Герона. Для начала найдем полупериметр треугольника, сложив длины всех трех его сторон и поделив на два. Затем уже находим квадрат площади, согласно следующей формуле: SS=р (р-а)(р-б)(р-в), где а, б, в – это длины сторон фигуры, а р – половинный периметр. Для нахождения площади просто извлекаем квадратный корень из получившегося значения.

Найти площадь треугольника, если нам известна его гипотенуза, катет и образованный ими угол

Для этого воспользуемся тригонометрической табличкой и такой формулой:

S=1/2*а*б*sinB, где а и б – катет с гипотенузой, а В – тот угол, который образован при их пересечении.

По данной формуле мы может найти и площадь обычного треугольника, и равностороннего, и равнобедренного, и прямоугольного.

Найти площадь треугольника, если нам известен катет и угол, противолежащий ему

Применяем формулу: S=1/2(а*а)/(2tgB), где а – известный катет, а B – угол, ему противолежащий.

Находим площадь треугольника, если знаем только гипотенузу и катет

Сначала найдем значение FF=1/2(в*в – а*а). Затем извлекаем из этого числа корень (F) и подставляем в формулу для нахождения площади треугольной фигуры: S=а*F. Здесь а – это катет, в – гипотенуза.

Находим площадь треугольника, если знаем один из острых углов и гипотенузу

Известные по условию задачки значения подставляем в формулу: S=1/2(в*в)* cosA*sinA*. Тут острый угол – это А, а в – гипотенуза.

Найти площадь треугольника по координатам вершин

Если вам по условию задачки заданы координаты трех точек, которые являются вершинами треугольной фигуры, то вы также можете рассчитать площадь.

Итак, вам даны вершины А (х1, у1), Б (х2, у2), В (х3, у3). Для нахождения площади пользуемся такой формулой: S=1/2((х1-х3)(у2-у3) — (х2-х3)(у1-у3)). При этом помните, что обязательно берется модуль от того значения, которое вы в скобках вычисляете, потому как некоторые точки могут иметь координаты со знаком «минус».

Также вы можете действовать и по-другому.

Способ 1. Находим сначала длины всех сторон треугольной фигуры, а затем используем формулу Герона, которая была описана выше. Сначала находим квадраты сторон по таким формулам:

Находим половинный периметр треугольной фигуры:

Теперь подставляем значения в формулу:

SS=р(р-АБ)(р-БВ)(р-ВА). Это получилась площадь в квадрате. Извлекаем из значения корень и находим, наконец, то, что искали.

Кстати, ради любопытства вы можете рассчитать площадь по координатам двумя вышеизложенными способами. Тогда вы узнаете, что итоговые значения будут немного расходиться. Происходит это потому, что результат, полученный при первом расчете, будет иметь округленное значение, нежели результат, полученный при помощи формулы Герона. Таким образом, для получения более точных данных рекомендуется использовать второй способ.

источник

1 . Задание В4 (№27566) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Читайте также:  Как правильно пересаживать цветы

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (0;0), (10;7), (7;10):

Решение.

Для простоты решения, заключим этот треугольник в прямоугольник:

Чтобы найти площадь заштрихованного треугольника, нужно из площади прямоугольника ACEO вычесть площади прямоугольных треугольников ABO, BCD, DEO:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

Прямоугольник ACEO – квадрат со стороной 10, и его площадь равна

2 . Задание В5 (№ 27581)

Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.

Заключим эту фигуру в квадрат, длина стороны которого равна 8:

Чтобы найти площадь заштрихованной фигуры, надо из площади квадрата () вычесть площади восьми прямоугольных треугольников:

Четыре больших прямоугольных треугольника вместе составляют 2 квадрата со стороной 4 и их площадь равна 32.

Четыре маленьких прямоугольных треугольника вместе составляют 2 квадрата со стороной 2 и их площадь равна 8.

Получим:

Площадь квадрата, как и площадь ромба, равна половине произведения диагоналей. Так как диагонали в квадрате равны, то его площадь равна половине квадрата даигонали:

Длина диагонали внутреннего квадрата равна 4, следовательно, его площадь равна

Длина диагонали внешнего квадрата равна 8, следовательно, его площадь равна

Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нужно из площади внешнего квадрата вычесть площадь внутреннего, то есть

3 . Задание B5 (№ 21345)

Найдите площадь прямоугольника, вершины которого имеют координаты (8;0), (9;1), (1;9), (0;8):

Заключим этот прямоугольник в квадрат со стороной 9:

Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно из площади квадрата вычесть площади четырех прямоугольных треугольников по углам квадрата:

Получим:

источник

Она равна половине гипотенузы. Точка пересечения медианы с гипотенузой является центром окружности, описанной около данного треугольника и соответственно медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямоуго угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь треугольника построенного на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади треугольника построенного на векторах и закрепить пройденый материал.

Выберите каким образом задается треугольник:

Введите значения векторов: Введите координаты точек:

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.

Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь треугольника построенного на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади треугольника построенного на векторах и закрепить пройденый материал.

Выберите каким образом задается треугольник:

Введите значения векторов: Введите координаты точек:

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.

Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если у вас появилась нужда найти площадь треугольника, не переживайте, что вы давно позабыли все то, что учителя вкладывали в вашу голову в школе. Наша статья расскажет вам о том, как решить этот вопрос, причем разными способами.

Для начала вспомним, что треугольник представляет собой фигуру, которая образована при пересечении трех прямых линий. Три точки, где прямые пересекаются, — это вершины фигуры, а отрезки, им противоположные, — это ребра треугольника. Существует несколько частных видов треугольников (равнобедренный, прямоугольный, равносторонний), площади которых мы также будем искать.

Как вычислить площадь треугольника по общей формуле

Для самого общего случая площадь заданной геометрической фигуры рассчитывается по такой формуле: Площадь = ½ длины одной из сторон фигуры, помноженной на длину высоты, опущенной к данной стороне.

Найти площадь треугольника, если нам известны все три его стороны

В том случае, если вам известны все три стороны треугольника, то площадь его вы можете найти при помощи формулы Герона. Для начала найдем полупериметр треугольника, сложив длины всех трех его сторон и поделив на два. Затем уже находим квадрат площади, согласно следующей формуле: SS=р (р-а)(р-б)(р-в), где а, б, в – это длины сторон фигуры, а р – половинный периметр. Для нахождения площади просто извлекаем квадратный корень из получившегося значения.

Найти площадь треугольника, если нам известна его гипотенуза, катет и образованный ими угол

Для этого воспользуемся тригонометрической табличкой и такой формулой:

S=1/2*а*б*sinB, где а и б – катет с гипотенузой, а В – тот угол, который образован при их пересечении.

По данной формуле мы может найти и площадь обычного треугольника, и равностороннего, и равнобедренного, и прямоугольного.

Найти площадь треугольника, если нам известен катет и угол, противолежащий ему

Применяем формулу: S=1/2(а*а)/(2tgB), где а – известный катет, а B – угол, ему противолежащий.

Находим площадь треугольника, если знаем только гипотенузу и катет

Сначала найдем значение FF=1/2(в*в – а*а). Затем извлекаем из этого числа корень (F) и подставляем в формулу для нахождения площади треугольной фигуры: S=а*F. Здесь а – это катет, в – гипотенуза.

Находим площадь треугольника, если знаем один из острых углов и гипотенузу

Известные по условию задачки значения подставляем в формулу: S=1/2(в*в)* cosA*sinA*. Тут острый угол – это А, а в – гипотенуза.

Найти площадь треугольника по координатам вершин

Если вам по условию задачки заданы координаты трех точек, которые являются вершинами треугольной фигуры, то вы также можете рассчитать площадь.

Итак, вам даны вершины А (х1, у1), Б (х2, у2), В (х3, у3). Для нахождения площади пользуемся такой формулой: S=1/2((х1-х3)(у2-у3) — (х2-х3)(у1-у3)). При этом помните, что обязательно берется модуль от того значения, которое вы в скобках вычисляете, потому как некоторые точки могут иметь координаты со знаком «минус».

Также вы можете действовать и по-другому.

Способ 1. Находим сначала длины всех сторон треугольной фигуры, а затем используем формулу Герона, которая была описана выше. Сначала находим квадраты сторон по таким формулам:

Находим половинный периметр треугольной фигуры:

Теперь подставляем значения в формулу:

SS=р(р-АБ)(р-БВ)(р-ВА). Это получилась площадь в квадрате. Извлекаем из значения корень и находим, наконец, то, что искали.

Кстати, ради любопытства вы можете рассчитать площадь по координатам двумя вышеизложенными способами. Тогда вы узнаете, что итоговые значения будут немного расходиться. Происходит это потому, что результат, полученный при первом расчете, будет иметь округленное значение, нежели результат, полученный при помощи формулы Герона. Таким образом, для получения более точных данных рекомендуется использовать второй способ.

источник

Adblock
detector