Меню

К графику функции проведена касательная в точке с абсциссой x0 3

Глава II. Сборник задач для подготовки к ЕГЭ

§ 1. Алгебра и начала анализа

205. Вычислите производную функции в точке х = 0.

206. Вычислите производную функции в точке х = 0.

207. Найдите производную функции l n x — 3х 2 + 5х + 2 и вычислите её значение при х = 5.

Геометрический смысл производной

208. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику производной f ‘( x ) функции f ( x ) = 3 ctg 2 x в его точке с абсциссой x = π/6.

209. Функция у = f ( x ) определена на промежутке (—5; 5). На рисунке 214 изображён график производной этой функции. Найдите количество точек графика функции, в которых касательные наклонены под углом 120° к положительному направлению оси абсцисс.

210. Функция у = f ( x ) определена на промежутке (—5; 5). На рисунке 215 изображён график производной этой функции. Найдите количество точек графика функции, в которых касательные наклонены под углом 150° к положительному направлению оси абсцисс.

211. Функция у = f ( x ) определена на промежутке (—5; 5). На рисунке 216 изображён график производной этой функции. К графику функции у = f ( x ) провели касательные во всех точках, абсциссы которых — положительные целые числа. Укажите количество точек графика функции у = f ( x ), в которых проведённые касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.

212. К графику функции у = f ( x ) проведена касательная в точке с абсциссой х = 3. Определите градусную меру угла наклона касательной, если на рис. 217 изображён график производной этой функции.

213. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции у = f ( x ) в точке с абсциссой х = —3, если на рисунке 218 изображён график производной этой функции.

214. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции у = f ( x ) в точке с абсциссой х = 4, если на рисунке 219 изображён график производной этой функции.

215. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции f ( x ) = 5х 2 — 7х + 2 в точке с абсциссой х = 2.

216. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции f ( x ) = 2х 2 + 3х — 8 в точке с абсциссой х = 3.

217. Функция у = f ( x ) определена на промежутке (-5; 4). На рис. 220 изображён график её производной. Найдите число касательных к графику функции у = f ( x ), которые наклонены под углом в 45° к положительному направлению оси абсцисс.

218. Функция у = f ( x ) определена на промежутке (—4; 5). На рисунке 221 изображён график её производной. Найдите угол наклона (в градусах) касательной к графику функции у = f ( x ) в точке х = 1 к положительному направлению оси Ох.

219. Функция у = f ( x ) определена на промежутке (—2; 4). На рисунке 222 изображён график её производной. Определите абсциссу точки, касательная в которой составляет с осью Ох угол в 45°.

220. Функция у = f ( x ) определена на промежутке (—2; 7). На рис. 223 изображён график её производной. Найдите число касательных к графику функции у = f ( x ), которые наклонены под углом в 30° к положительному направлению оси абсцисс.

221. В точке А графика функции у = —х 2 + 4х + 11 проведена касательная к нему, параллельная прямой у = 1 — 2х. Найдите сумму координат точки А.

222. На рисунке 224 изображены график функции у = f ( x ) и касательная к нему в точке (2; —1). Найдите значение производной этой функции при x = 2.

223. Функция у = f ( x ) определена на промежутке (—3; 5). На рисунке 225 изображён график её производной. Найдите угол наклона касательной, проведённой к графику функции у = f ( x ), к положительному направлению оси Ох в точке с абсциссой x = 2. Ответ укажите в градусах.

224. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f ( x ) = e 2 x +1 — 3 x 4 в точке с абсциссой х = —0,5.

225. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f ( x ) = 2е 5 x -2 + 5 x 3 в точке с абсциссой х = 2/5.

226. На рисунке 226 изображены график функции у = f ( x ) и касательная к этому графику в точке с абсциссой, равной 1. Найдите значение производной этой функции в точке х = 1.

227. На рисунке 227 изображен график функции у = f ( x ) и касательная к этому графику в точке с абсциссой, равной —3. Найдите значение производной этой функции в точке х = —3.

228. Прямая у = 38х — 28 параллельна касательной к графику функции у = 3х 2 + 8х — 2. Найдите абсциссу точки касания.

229. На рисунке 228 изображены график функции f ( x ) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой х. Найдите значение производной f ( x ) в точке х .

230. На рисунке 229 изображены график функции у = f ( x ) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой х. Найдите значение производной функции f ( x ) в точке х.

231. На рисунке 230 изображены график функции у = f ( x ) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой х. Найдите значение производной функции f ( x ) в точке х.

232. На рисунке 231 изображены график функции у = f ( x ) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой х. Найдите значение производной функции f ( x ) в точке х .

233. На рисунке 232 изображен график функции у = f ( x ). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 5. Найдите f ‘(5).

234. На рисунке 233 изображен график функции у = f ( x ). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 6. Найдите f ‘(6).

235. На рисунке 234 изображен график производной функции f ( x ). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику у = f ( x ) параллельна прямой у = 1 или совпадает с ней.

236. На рисунке 235 изображен график производной функции f ( x ). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику у = f ( x ) параллельна прямой у = 1 или совпадает с ней.

237. Прямая у = 3х — 10 параллельна касательной к графику функции у = х 2 + 5х — 7. Найдите абсциссу точки касания.

238. Прямая у = — х — 3 является касательной к графику функции у = х 3 — 3,5 x 2 + х – 1. Найдите абсциссу точки касания.

239. На рисунке 236 изображён график функции у = f ( x ), определённой на промежутке [—8; 7]. Определите количество целых точек, в которых производная функции f ( x ) положительна.

240. На рисунке 237 изображён график функции у = f ( x ), определённой на промежутке [—8; 7]. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = —15.

241. На рисунке 238 изображён график производной функции у = f ( x ), определённой на интервале (—8; 7). В какой точке отрезка [—7; —3] функция f ( x ) принимает наименьшее значение?

242. На рисунке 239 изображён график производной функции у = f ( x ), определённой на интервале (—8; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f ( x ) параллельна прямой у = —х + 2 или совпадает с ней.

243. На рисунке 240 изображён график производной функции у = f ( x ), определённой на интервале (—7; 7). Определите, в какой точке отрезка [2; 6] функция f ( x ) принимает наибольшее значение.

244. На рисунке 241 изображён график производной функции у = f ( x ), определённой на интервале (—7; 7). Найдите точку экстремума функции f ( x ) на интервале (—1; 5).

245. На рисунке 242 изображён график производной функции у = f ( x ), определённой на интервале (—8; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f ( x ) параллельна прямой у = —3 x + 5 или совпадает с ней.

246. На рисунке 243 изображён график функции у = f ( x ), определённой на промежутке [—6; 6]. Определите количество целых точек, в которых, производная функции f ( x ) отрицательна.

247. На рисунке 244 изображён график производной функции у = f ( x ), определённой на интервале (—6; 7). В какой точке отрезка [—4; 1] функция f ( x ) принимает наибольшее значение?

248. На рисунке 245 изображён график производной функции у = f ( x ), определённой на интервале (—7; 7). Найдите количество точек максимума функции f ( x ) на интервале (—6; 5).

249. На рисунке 246 изображён график производной функции у = f ( x ), определённой на интервале (—7; 7). Найдите промежутки убывания функции у = f ( x ). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

250. На рисунке 247 изображён график функции у = f ( x ), определённой на интервале (—3; 10). Укажите количество точек, в которых касательная к графику функции f ( x ) параллельна прямой у = 15.

251. На рисунке 248 изображён график функции у = f ( x ), определённой на промежутке [—3; 10]. Найдите сумму абсцисс точек экстремума функции f ( x ).

252. На рисунке 249 изображён график производной функции у = f ( x ), определённой на интервале (—3; 10). Найдите количество точек максимума функции f ( x ) на отрезке [—2; 9].

253. На рисунке 250 изображён график производной функции у = f ( x ), определённой на интервале (—9; 3). Найдите количество точек минимума функции f ( x ) на отрезке [—7; 2].

Читайте также:  Как вырастить клубнику на гидропонике

254. На рисунке 251 изображён график функции у = f ( x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x . Найдите значение производной функции f ( x ) в точке x .

255. Функция у = f ( x ) задана на отрезке [—4; 4]. На рисунке 252 изображён график этой функции. Найдите наибольшую из длин промежутков возрастания функции.

256. Функция у = f ( x ) задана на промежутке [—4; 6]. На рисунке 253 изображён график этой функции. Найдите наибольшую из длин промежутков убывания функции.

257. На рисунке 254 изображён график функции у = f ( x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x . Найдите значение производной функции f ( x ) в точке х.

258. На рисунке 255 изображён график функции у = f ( x ), определённой на интервале (—7; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

259. На рисунке 256 изображён график функции у = f ( x ), определённой на интервале (—8; 6). Найдите количество точек, в которых производная функции f ( x ) равна 0.

260. На рисунке 257 изображён график производной функции f ( x ), определённой на интервале (—9; 10). Найдите количество точек экстремума функции f ( x ) на отрезке [—6; 8].

261. На рисунке 258 изображён график производной функции f ( x ), определённой на интервале (—4; 10). Найдите промежутки убывания функции f ( x ). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

262. На рисунке 259 изображён график производной функции f ( x ), определённой на интервале (—10; 5). Найдите промежутки возрастания функции f ( x ). В ответе укажите длину наибольшего из них.

263. Прямая у = 9х + 5 является касательной к графику функции у = —х 2 + b х — 11. Найдите 6, учитывая, что абсцисса точки касания больше 1.

264. Прямая у = 3х — 2 параллельна касательной к графику функции у = х 2 + 4х — 5. Найдите абсциссу точки касания.

265. Прямая у = 3х + 30 параллельна касательной к графику функции у = х 3 + 5х 2 — 5х — 18. Найдите наименьшую из возможных абсцисс точек касания.

266. На рисунке 260 изображён график у = f ‘( x ) — производной функции f ( x ), определённой на интервале (—5; 8). Найдите промежутки убывания функции f ( x ). В ответе укажите длину наибольшего из них.

267. На рисунке 261 изображён график производной функции f ( x ), определённой на интервале (—5; 11). Найдите количество точек минимума функции f ( x ), принадлежащих отрезку [—4; 10].

268. На рисунке 262 изображён график дифференцируемой функции у = f ( x ). На оси абсцисс отмечены семь точек: x 1 , x 2 , . x 7 . Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f ( x ) отрицательна. В ответ запишите количество найденных точек.

269. Прямая у = —х + 5 параллельна касательной к графику функции у = х 3 + 3 x 2 + 2 x + 6. Найдите абсциссу точки касания.

270. На рисунке 263 изображён график у = f ‘( x ) — производной функции f ( x ), определённой на интервале (—6; 7). В какой точке отрезка [—4; 5] функция f ( x ) принимает наименьшее значение?

271. На рисунке 264 изображён график дифференцируемой функции у = f ( x ), определённой на интервале (—6; 10). На оси абсцисс отмечены шесть точек: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 . Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f ( x ) равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.

272. На рисунке 265 изображён график дифференцируемой функции у = f ( x ). На оси абсцисс отмечены восемь точек x 1 , x 2 , . x 8 . Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f ( x ) положительна. В ответ запишите количество найденных точек.

273. На рисунке 266 изображены график функции f ( x ) и касательная к нему в точке с абсциссой х . Найдите значение производной функции f ( x ) в точке х.

274. На рисунке 267 изображён график у = f ‘( x ) — производной функции f ( x ), определённой на интервале (—6; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f ( x ) параллельна прямой у = 2х — 8.

275. На рисунке 268 изображён график функции у = f ( x ) и касательная к этому графику в точке x . Уравнение касательной у = 2х — 6. Найдите значение производной функции в точке x .

276. На рисунке 269 изображён график функции у = f ( x ), определённой и дифференцируемой на интервале (—6; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f ( x ) параллельна прямой у = 4.

277. На рисунке 270 изображён график у = f ‘( x ) — производной функции f ( x ), определённой на интервале (—6; 6). Найдите количество точек максимума функции f ( x ) на отрезке [—5; 3].

278. На рисунке 271 изображён график производной функции у = f ( x ), определённой на интервале (—9; 4). В какой точке отрезка [—6; 3] функция f ( x ) принимает наименьшее значение?

279. На рисунке 272 изображён график у = f ‘( x ) — производной функции f ( x ), определённой на интервале (—9; 7). Найдите количество точек максимума функции f ( x ) на отрезке [—8; 6].

280. На рисунке 273 изображены график функции у = f ( x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x . Найдите значение производной функции f ( x ) в точке x .

281. На рисунке 274 изображён график у = f ‘( x ) — производной функции f ( x ), определённой на интервале (-4; 7). В какой точке отрезка [-2; 6] функция f ( x ) принимает наибольшее значение?

282. На рисунке 275 изображён график функции у = f ( x ) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x . Найдите значение производной функции f ( x ) в точке x .

Физический смысл производной

283. Точка движется по координатной прямой согласно закону x ( t ) = 1,5 t 2 — 3 t + 7, где x ( t ) — координата в момент времени t . В какой момент времени скорость точки будет равна 12?

284. Точка движется по координатной прямой по закону x ( t ) = 0,75 t 2 + t — 7, где x ( t ) — координата точки в момент времени t . В какой момент времени скорость точки будет равна 19?

285. Точка движется по координатной прямой согласно закону x ( t ) = —2 t 2 + 20 t — 7, где x ( t ) — координата точки в момент времени t . В какой точке координатной прямой произойдет мгновенная остановка?

286. На рисунке 276 представлены график движения тела и касательная к графику в момент времени t = 5. Определите по графику скорость движения тела (в км/ч) в этот момент времени.

287. На рисунке 277 представлены график движения тела и касательная к графику в момент времени t = 8. Определите по графику скорость движения тела (в км/ч) в этот момент времени.

288. Перемещение материальной точки задано функцией у = S ( t ) на промежутке [0; 8]. На рисунке 278 изображён график её производной. Найдите момент времени, в который скорость данной точки была равна 2.

289. Перемещение материальной точки задано функцией у = S ( t ) на промежутке [0; 8]. На рисунке 279 изображён график её производной. Найдите момент времени, в который скорость данной точки была равна 3.

290. Мотоциклист в первые 5 с движения проезжал расстояние (в метрах), которое можно описать формулой S ( t ) = t 3 + 3 t . Найдите его ускорение в момент времени t = 1 (в м/с 2 ).

291. При проведении испытаний нового скоростного болида в первые 6 с его движения скорость изменялась по формуле v ( t ) = 3 6 t — 3 t 2 в метрах в секунду. Какое расстояние прошёл болид за это время? (Ответ укажите в метрах.)

292. Ребёнок на санках в первые 4 с движения с горки проезжал расстояние, заданное формулой Найдите его ускорение в момент времени t = 3.

293. При метании бумеранга его скорость изменялась по формуле v ( t ) = 9 t — t 2 в метрах в секунду. Найдите расстояние, которое преодолел бумеранг, если он был в движении 9 секунд. (Ответ укажите в метрах.)

294. Материальная точка движется прямолинейно по закону x ( t ) = 4 t 2 — 34 t + 5 (х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеряемое с начала движения). Найдите её скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.

295. Материальная точка движется прямолинейно по закону x ( t ) = 0,4 t 3 — 2 t 2 + t (х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеряемое с начала движения). Найдите её скорость (в м/с) в момент времени t = 5 с.

296. Материальная точка движется прямолинейно по закону где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени t = 2 с.

297. Материальная точка движется прямолинейно по закону где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) скорость точки была равна 4 м/с?

298. На рисунке 280 изображена зависимость скорости некоторой материальной точки от времени. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — скорость v в метрах в секунду. Определите, сколько раз за время движения ускорение точки обращалось в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Наибольшее, наименьшее значение функции. Монотонность функции, экстремумы

Читайте также:  Как хранить сельдерей черешковый зимой

299. Найдите наибольшее значение функции

300. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [—6; 0].

Найдите наибольшее значение функции (301—302):

301. f ( x ) = х — log 2 х на отрезке [1/2; 2].

302. у = (х – 4) 2 (х – 1) на отрезке [1,5; 4,5].

Найдите наименьшее значение функции (303—304):

303. на отрезке [0; 4].

304. у = 2х 3 + 2х 2 — 10х + 1 на отрезке [—1; 2].

Найдите наибольшее значение функции (305—306):

305. на отрезке [0; 2].

306. f ( x ) = 3(5 x — 4) 2 — (5 x — 4) 3 при │2х — 3| ≤ 1.

307. Найдите наименьшее значение функции f ( x ) = 4(2 x — 3) 3 + (2х — 3) 4 при │2х + 1| ≤ 1.

308. Найдите наибольшее значение функции у = —x 3 + 3 x + 5 на отрезке [-1; 2].

309. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 — 3х + 8 на отрезке [-3; 2].

310. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-5; -3].

311. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-2π/3; 0].

312. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-2π/3; 0].

313. Найдите наибольшее значение функции у = 4 ctgx + 4х + 3 — 2π на отрезке [-π/2; 3/4π].

314. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-π/4; π/2].

315. Найдите точку минимума функции

316. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [1; 7].

317. Найдите точку максимума функции

318. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [7; 8].

319. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [10; 12].

320. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [5; 7].

321. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; π/2].

322. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; π/2].

323. Найдите наименьшее значение функции у = 6 cos x — 10 x + 1 на отрезке [-3π/2; 0].

324. Найдите наименьшее значение функции у = 5 cos x — 7 x + 4 на отрезке [-3π/2; 0].

325. Найдите наибольшее значение функции у = 15 x — 4 sin x + 6 на отрезке [-π/2; 0].

326. Найдите наименьшее значение функции у = 2 sin x — 8 x + 3 на отрезке [-π/2; 0].

327. Найдите наименьшее значение функции у = 2 sin x — 3 x — 2 на отрезке [-3π/2; 0].

328. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-5π/6; 0].

329. Найдите наибольшее значение функции у = 6 tg x — 2 x + 3 на отрезке [-π/4; 0].

330. Найдите наименьшее значение функции у = 7 tg x — 2 x + 5 на отрезке [0; π/4].

331. Найдите точку минимума функции

332. Найдите точку минимума функции

333. Найдите наименьшее значение функции у = 6 x — log 2 ( x + 6) 2 на отрезке [-5,5; 0].

334. Найдите наименьшее значение функции у = 8х — log 2 ( x + 3) 2 на отрезке [-2,5; 0].

335. Найдите наименьшее значение функции у = 5 x — 5 ln ( x + 4) + 2 на отрезке [—3; 0].

336. Найдите наименьшее значение функции у = 3 x — ln ( x + 2) 3 на отрезке [-1,5; -1].

337. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [1/2; 2].

338. Найдите наименьшее значение функции у = 2 2х + 2 х — 2 на отрезке [-1; 2].

339. Найдите наибольшее значение функции у = 6 ln ( x + 6) — 6х + 11 на отрезке [-5,5; 0].

340. Найдите наименьшее значение функции у = 6 + 27х — х 3 на отрезке [-3; 4].

341. Найдите наибольшее значение функции у = 5 + 6 x — х 2 на отрезке [-2; 4].

342. Найдите точку минимума функции у = 15х 2 — х 3 .

343. Найдите точку максимума функции у = 15х 2 — х 3 .

344. Найдите точку максимума функции у = (27 — х)е х+27 .

345. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [1; 8].

346. Найдите точку максимума функции

347. Найдите точку максимума функции

348. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [1; 7].

349. Найдите точку минимума функции у = (2 — х) 2 е 5-х .

350. Найдите точку максимума функции у = (х 2 — 10 x + 17)е x+2 .

351. Найдите наибольшее значение функции у = х 2 — 8х + 6 l n x + 19 на отрезке [15/17; 19/17].

352. Найдите наименьшее значение функции у = 3 + 24х — 2х 2 — 20 l n х на отрезке [1/7; 13/7].

353. Найдите точку максимума функции у = ln (х + 5) 4 — 10х.

354. Найдите точку минимума функции у = 5 + log 4 (х 2 — 8х + 21).

355. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-π/4; π/4].

356. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; π/2].

357. Найдите наибольшее значение функции у = (10 — х)е х-9 на отрезке [8; 10].

358. Найдите наименьшее значение функции у = (4х 2 + 24х — 24)е x на отрезке [-1; 2].

359. Найдите точку минимума функции у = 2х 3 – 150 x + 11.

360. Найдите точку максимума функции у = 17 — 2х 3/2 + 9х.

361. Найдите наибольшее значение функции

362. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [4; 8].

363. Найдите точку максимума функции

364. Найдите точку минимума функции

365. Найдите точку минимума функции у = (4х — 3) sin х + 4 cos х — 4, принадлежащую промежутку (0; π/2).

366. Найдите точку максимума функции у = 2 sin х — (2х — 7) cos x + 7, принадлежащую промежутку (π; 3π/2).

367. Найдите наименьшее значение функции у = 16х — ln (8 x ) + 4 на отрезке [1/8; 1/3].

368. Найдите наименьшее значение функции у = 10 l n (х + 3) — 4х + 2 на отрезке [-2; -0,5].

источник

При изучении темы “Касательная к графику функции” можно выделить 5 типов задач.

I. Задачи на составление уравнения касательной к графику функции в точке, принадлежащей графику

Обучение решению задач на касательную осуществляется при помощи алгоритма.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке х: y = f(х) + f ‘(х)(x – х)

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Обозначить х абсциссу точки касания.

2. Найти f(х)

3. Найти f ‘(x) и f ‘(х) 4. Подставить найденные числа х, f(х), f ‘(х) в общее уравнение касательной

Задача. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х=3.

1. х = 3 – абсцисса точки касания.

3. f ‘(x) = x 2 – 4, f ‘(3) = 5. 4.Подставив в уравнение касательной значения х=3, f(х)=-2, f ‘(х)=5, получим y = – 2 + 5(x – 3), т.е. y = 5x – 17. Это и есть искомое уравнение касательной. Ответ: y = 5x-17.

Найти уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой х.

1. f(x)=-x-4x+2, х=-1. 1) y=-2x-3; 2) y=2x-1; 3) y=-2x+3; 4) y=2x+3.
2. f(x)=-x+6x+8, х=-2. 1) y=2x-6; 2 )y=10x+12; 3) y=4x+8; 4) y=-10x+8.
3. f(x)=x+5x+5, х=-1. 1) y=7x+8; 2) y=8x+7; 3) y=9x+8; 4) y=8x+6.
4. f(x)=2cosx, х= 1) y= 2) y= 3) y= 4) y=
5. f(x)=tgx, х= 1) y=x; 2) y=x+ 3) y=x- 4) y=x-1.
6. f(x)=1-sin2x, х=0. 1) y=1-2x; 2) y=2x; 3) y = -2x; 4) y=2x+1.
7. f(x)= х=-2. 1) y = -x+1; 2) y = x+1; 3) y = -x-1; 4) y = -x-2.

8. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=lnx в точке его пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x-2; 2) y = x-1; 3) y = x+1; 4) y = x.

9. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=e-1 в точке его пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x; 2) y = 3x-1; 3) y = x-1; 4) y = x.

10. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=sin(x-)+1 в точке его пересечения с осью ординат, имеет вид. 1) y = x+1; 2) y = x-1; 3) y =- x-1; 4) y =1- x.

Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Номер ответа 3 2 2 2 3 1 3 2 4 4

II. Проведение касательной параллельно заданной прямой

Задача 1. В каких точках касательные к кривой у=– х– х+1 параллельны прямой y=2x-1?

Решение. Так как касательные параллельны прямой у=2х-1 то их угловые коэффициенты совпадают. Т. е. угловой коэффициент касательной в этой точке есть к = 2 .

Находим у’ = х-2х-1; к= у'(х)= х-2х-1=2.

Решив уравнение х-2х-1=2; х-2х-3=0, получим (х)=3, (х)=-1, откуда (у)= -2, (у)= . Итак, искомыми точками касания являются А(3;-2) и В(-1;)

Ответ: (3;-2) и (-1;).

Задача 2. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) = 2x-lnx, параллельна прямой у = х.

Решение. Пусть х– абсцисса точки касания. Угловой коэффициент касательной в этой точке есть к=1. Находим f ‘(x)=2-. К= f ‘ (х)=2-=1.

Решив уравнение 2-=1, получим х=1.

Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у(х).

6. Найти сумму абсцисс точек, в которых касательные к графику функции у=х– 3х+1 параллельны оси абсцисс. 1) 0; 2) 2; 3) 1; 4) –2.

7. Найти сумму абсцисс точек в которых касательные к кривой у= параллельны прямой у=х+5. 1) –2; 2) 4; 3) 2; 4) –4.

8. К графику функции у = проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х= -1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции. 1) –2; 2) 2; 3) 1; 4) –3.

9. К графику функции у =- проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х= 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции. 1) –1; 2) 5; 3) 2; 4) –3.

10. На графике функции у = х (х-4) указать точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс. Найти сумму абсцисс данных точек. 1) 5; 2) 4; 3) 3; 4) – 27.

Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Номер ответа 2 1 4 2 2 1 4 3 2 1

III. Задачи на касательную, связанные с ее угловым коэффициентом

Задача 1. К графику функции f(x) = 3x+5x-15 в точке с абсциссой x= проведена касательная. Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох.

f'(x) является угловым коэффициентом касательной к графику функции у =f(x) в точке x. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси Ох.

k= f ‘(x)=tg, где x– абсцисса точки касания, а – угол наклона касательной к оси Ох.

f ‘(x)= f ‘()=6. tg=6.

Задача 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 0,5x 2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0.

Решение. f ‘(x)= x-3. Из условия f ‘(x) = tg 45° найдем x: x – 3 = 1, x= 4.

1. x= 4 – абсцисса точки касания.

4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной

Задача 3. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции f(x)=xlnx в точке x=1.

Решение. k= f'(x)=tg.

Находим f ‘(x)= 2xlnx+x=2xlnx+x=x(2lnx+1).

При x=1 получим f ‘(1)=1, откуда tg=1 и, значит, =.

Ответ: .

К графику функции f(x) в точке с абсциссой x проведена касательная. Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох если:

1. f(x)= 2+x-2x, x=1. 1) -1; 2) –7; 3) 3; 4) 0.
2. f(x)= , x=8. 1) 1; 2) 32; 3) 8; 4) 16.
3. f(x)= 5x-3x-7, x=-1. 1) 21; 2) 14; 3) 9; 4) -21.
4. f(x)= 3x-2lnx, x=2. 1) 10; 2) 8; 3) 11; 4) 11,5.
5. f(x)= -x+14, x=1. 1) -51; 2) –65; 3) 63; 4) 77.

Найти угловой коэффициент касательной проведённой к графику функции f(x) в точке x

6. f(x)=e-x, x=1. 1) e-2; 2) –1; 3) e-1; 4) –2.
7. f(x)=2sinx+2, x=0. 1) -2; 2) 0; 3) 4; 4) 2.
8. f(x)=4cosx-1, x=. 1) 4; 2) 2; 3) -2; 4) 1.
9. f(x)=2+3, x=4. 1) 3,5; 2) 0,5; 3) 7; 4) 2,5.

10. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции f(x)=3lnx – x, в точке x=1. 1) 2) 3) arctg2; 4)

Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Номер ответа 2 3 1 3 2 1 4 3 2 4

IV. Нахождение касательной проходящей через точку, внешнюю по отношению к заданному графику

Задача 1. Составить уравнения касательных к кривой y = x– 4x+3, проходящих через точку М(2;-5).

При х =2, находим у = 4-8+3=-1-5, то есть точка М не лежит на кривой y = x-4x+3 и не является точкой касания.

Пусть (х) – точка касания.

у ‘ =2х-4, k = 2x– 4. Составим уравнение касательной, проходящей через точку М:

у=-5-(2х-4)(2-х). Поскольку точка (х) лежит на кривой, получим y = x-4x+3.

Решим уравнение x-4x+3 = -5-(2х-4)(2-х);

x-4x+3=2x-8x+3, x– 4x=0, (х)=0, (х)= 4.

Таким образом, получили две точки касания А(0;3) и В(4;3). Итак, существуют две касательные к данной кривой; одна из них имеет угловой коэффициент k= -4 (при х=0) и уравнение у = -4х+3, а другая – угловой коэффициент k=4 (при х=4) и уравнение у=4х-13.

Через точку М(х;у) проведены две касательные к графику функции f(x). Найти сумму абсцисс точек касания.

1. f(x)=4х-8х-2, М(3;-90). 1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3.
2. f(x)=7х-2х-5, М(2;-93). 1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3.
3. f(x)=6х-4х-1, М(1;-23). 1) 1; 2) 5; 3) 2; 4) 3.
4. f(x)=х-8х-2, М(1,5;-54). 1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 3.
5. f(x)=х-9х-5, М(-1,5;4,5). 1) -2; 2) -5; 3) 2; 4) – 3.
6. f(x)=7х-7х-1, М(2;-50). 1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3.

7. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)= х– 4х + 5, если эта касательная проходит через точку А(0;4) и абсцисса точки касания положительна.

1) у = 2х+4; 2) у = -2х+4; 3) у = -4х+4; 4) у = 4х-3.

8. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)= х+ 3х + 5, если эта касательная проходит через точку А(0;1) и абсцисса точки касания отрицательна.

1) у = 2х+1; 2) у = х+1; 3) у = -х+1; 4) у = -2х-5.

9. Напишите уравнения касательных к графику функции f(x)= -0,5 х+3, если эта касательные проходят через точку на оси Оу и образуют между собой угол 90 o ?.

1) у = х+3,5 и у = х-3,5 ; 2) у = -х+3,5 и у = х+3,5; 3) у = -х+4 и у =х+4; 4) у = -х+3 и у =х+3.

10. Через точку В(-2;3) проходят касательные к графику функции у=. Найти уравнения этих касательных.

1) у = 2х+2 и у = -22х+2; 2) у =-х+3 и у = х-3; 3)у =-0,5х+2 и у =х+4; 4)у =-0,5х+2 и у =-0,1х+2,8.

Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Номер ответа 2 1 3 4 4 1 2 4 2 4

V. Нестандартные задачи, связанные с касательной

1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x 2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3. Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x 2 – ax в точке графика с абсциссой x = 1, проходит через точку M(2; 3)? Ответ: a = 0,5.

3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x 2 – 4x – 2? Ответ: p1 = – 10, p2 = 2.

4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x 3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16). Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. На кривой y = x 2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0. Ответ: M(2; 3).

6. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x 2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж. Ответ: y = 2x – 4.

7. На параболе y = x 2 взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.

Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.

8. Найдите угол между касательными к графику функции y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1. Ответ: = 45°.

9. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x 2 – x + 1 и y = 2x 2 – x + 0,5. Ответ: y = – 3x и y = x.

10. Определите, под какими углами парабола y = x 2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.

Ответ: 1 = arctg 6, 2 = arctg (– 6).

11. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x 2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N. Ответ: K(1; – 9).

12. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x 3 – 3x + 15? Ответ: – 1; 31.

13. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x 2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.

14. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точке с абсциссой x = 2, проходит через точку M(1; 8)?

источник

Adblock
detector