Меню

Формула угла правильного n угольника

Фигуру называют выпуклой , если для любых двух точек этой фигуры соединяющий их отрезок полностью принадлежит фигуре.

Правильными многоугольниками называют выпуклые многоугольники, у которых все углы равны и все стороны равны.

Замечание 1. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

Замечание 2. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Замечание 3. Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и описанной около правильного многоугольника окружности совпадают. Эту точку называют центром правильного многоугольника .

Число вершин правильного многоугольника Сторона правильного многоугольника Радиус вписанной окружности Радиус описанной окружности Периметр Площадь
n a r R P S
Число вершин правильного многоугольника n
Сторона правильного многоугольника a
Радиус вписанной окружности r
Радиус описанной окружности R
Периметр P
Площадь S
Величина Рисунок Формула Описание
Периметр P = an Выражение периметра через сторону
Площадь Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
Площадь Выражение площади через сторону
Сторона Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Периметр Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь Выражение площади через радиус вписанной окружности
Сторона Выражение стороны через радиус описанной окружности
Периметр Выражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь Выражение площади через радиус описанной окружности

Выражение периметра через сторону

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

Выражение периметра через радиус описанной окружности

Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности

Выражение площади через сторону

Выражение площади через радиус вписанной окружности

Выражение площади через радиус описанной окружности

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

Выражение стороны через радиус описанной окружности

Величина Рисунок Формула Описание
Периметр P = 3a Выражение периметра через сторону
Площадь Выражение площади через сторону
Площадь Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
Сторона Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Периметр Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь Выражение площади через радиус вписанной окружности
Сторона Выражение стороны через радиус описанной окружности
Периметр Выражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь Выражение площади через радиус описанной окружности

Выражение периметра через сторону

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

Выражение периметра через радиус описанной окружности

Выражение площади через сторону

Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности

Выражение площади через радиус вписанной окружности

Выражение площади через радиус описанной окружности

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

Выражение стороны через радиус описанной окружности

Величина Рисунок Формула Описание
Периметр P = 6a Выражение периметра через сторону
Площадь Выражение площади через сторону
Площадь S = 3ar Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
Сторона Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Периметр Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь Выражение площади через радиус вписанной окружности
Сторона a = R Выражение стороны через радиус описанной окружности
Периметр P = 6R Выражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь Выражение площади через радиус описанной окружности

Выражение периметра через сторону

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

Выражение периметра через радиус описанной окружности

Выражение площади через сторон

Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности

Выражение площади через радиус вписанной окружности

Выражение площади через радиус описанной окружности

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

Выражение стороны через радиус описанной окружности

Величина Рисунок Формула Описание
Периметр P = 4a Выражение периметра через сторону
Площадь S = a 2 Выражение площади через сторону
Сторона a = 2r Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Периметр P = 8r Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь S = 4r 2 Выражение площади через радиус вписанной окружности
Сторона Выражение стороны через радиус описанной окружности
Периметр Выражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь S = 2R 2 Выражение площади через радиус описанной окружности

Выражение периметра через сторону

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

Выражение периметра через радиус описанной окружности

Выражение площади через сторону

Выражение площади через радиус вписанной окружности

Выражение площади через радиус описанной окружности

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

Выражение стороны через радиус описанной окружности

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике , позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

источник

Содержание онлайн страницы:

  • – примеры решений по теме “Формула углов правильного многоугольника” представлены в задачах 108 – 112;
  • – тема “Описанная окружность” объясняется в контрольных работах 113 – 116 учебника;
  • – задачи, как находить радиусы правильных многоугольников, а также задания по теме “Вписанные и описанные правильные многоугольники”, рассматриваются в примерах 117 – 123 данной рабочей тетради.

Определение правильного многоугольника:

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, углы которого равны между собой и стороны равны. Например, правильным многоугольником является квадрат, равносторонний треугольник.

Теорема – Вывод формулы для вычисления углов правильного многоугольника.

αn = • 180°

Сумма углов данного правильного многоугольника (n – 2) • 180°.

По условию α1 = α2 = α3 = α4 = .

каждый угол по • 180°, т.е. справедлива

формула для вычисления углов правильного многоугольника:

αn = • 180°

Дано: Правильный шестиугольник, т.е. n = 6

Найти: угол правильного шестиугольника

αn = • 180° = = 120°

Дано: Правильный многоугольник, где n – количество сторон многоугольника

Найти: n – сколько сторон содержится в правильном многоугольнике

αn = • 180°

Дано:

ABCDEF – правильный многоугольник,

Т.к. шестиугольник правильный, то по определению правильного многоугольника

каждый угол в правильном многоугольнике равен αn = • 180°

αn = • 180° = 120°

Т.к. все углы в правильном многоугольнике равны, то и внешние углы тоже будут равны, а именно β1 = β2 = β3 = β4 = β5 = β6 = 180° – FAB = 180° – 120° = 60°

1) правильный треугольник, n = 3

Найти: угол правильного многоугольника

1) αn = • 180°

Ответы: каждый угол правильного многоугольника равен 1) 60°; 2) 108°; 3) 160°.

Определите: сколько сторон имеет правильный многоугольник n = ?

αn = • 180°

Ответ: количество сторон правильного многоугольника n = 4.

Определение:

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

существует единственная окружность с центром в точке O и радиусом R, на которой лежат вершины правильного многоугольника

! Окр (O;R): A1; A2; A3;…An Окр (O;R)

1) Проведем биссектрисы угла A1 и угла A2.

Т.к. многоугольник правильный, то A1 = A2

1 =2 =3 =4.

Из того, что 1 =3 следует, что треугольник ΔA1OA2 – равнобедренный, поэтому A1O = OA2

Рассмотрим треугольник ΔA2OA3:

3) 3 =4

Тогда по первому признаку равенства треугольников

Соединив каждую оставшуюся вершину с точкой O, можно показать, что все треугольники между собой равны.

Т.к. точка O – центр окружности и радиус равен R = A1O =A2O = A3O = . = AnO , значит,

Окр (O;R); A1; A2; A3;…An Окр (O;R)

Единственность:

Возьмем какие-нибудь три вершины правильного многоугольника, они образуют треугольник, около которого можно описать только одну окружность, значит, около данного многоугольника можно описать только одну окружность.

***

дуга AB= 60° ( AB = 60°)

AB – сторона правильного многоугольника

количество сторон правильного многоугольника n = ?

Т.к. градусная мера AB = 60° AB = AOB.

ΔAOB – равнобедренный, где OAB = OBA =

Тогда ΔAOB – равносторонний.

Радиусы окружности, описанной около правильного многоугольника являются биссектрисами его углов, поэтому каждый угол многоугольника равен 60° • 2 = 120°.

αn = • 180°

Ответ: число сторон правильного многоугольника n = 6.

1) AB = 36°

2) AB = 18°

AB – сторона правильного многоугольника

количество сторон многоугольника n = ?

Т.к. градусная мера AB = 36° AB = AOB.

ΔAOB – равнобедренный, где OAB = OBA =

Радиусы окружности, описанной около многоугольника являются биссектрисами его углов, поэтому каждый угол многоугольника равен 72° • 2 = 144°.

αn = • 180°

Т.к. градусная мера AB = 18° AB = AOB, где AOB – центральный.

ΔAOB – равнобедренный (OA = OB = r), где OAB =

=OBA = (180° – 18°) : 2 = 81°.

Радиусы окружности, описанной около многоугольника являются биссектрисами его углов, поэтому каждый угол многоугольника равен 81° • 2 = 162°.

αn = • 180°

В правильных многоугольниках центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

αn = • 180° = 108°

По определению правильного многоугольника в данном пятиугольнике все стороны и углы между собой равны.

A2 =A5

Тогда по первому признаку равенства треугольников (ΔA1A2A3 = ΔA1A4A5) следует, что A1A3 = A1A4 как соответственные стороны.

Соотношение отрезков

AM : MK : KD = 1 : : 1

MNOZLFEK – правильный многоугольник

ΔAMN = ΔOBZ = ΔLCF = ΔEKD (по первому признаку треугольников)

MN = OZ = LF = EK =

По условию NO = ZL = EF = MK =

Т.к. 1=2 = 45°, то NMK= MKE = KEF=EFL = FLZ= ZON = … = 180° – 45° = 135°

Из этого следует, что MNOZLFEK – правильный восьмиугольник.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

существует единственная вписанная окружность с центром в точке O и радиусом R

! Окр (O;R): H1; H2; H3;…Hn Окр (O;R)

1) Проведем высоты треугольников, т.е. OH1; OH2; …; OHn

Следовательно, OH1 = OH2 = … = OHn . Тогда H1; H2; H3;…Hn Окр (O;R).

Единственность:

2) Предположим, что наряду с Окр (O;R) есть и другая окружность, вписанная в данный многоугольник.

Тогда ее центр O1 равноудален от сторон многоугольника и совпадает с точкой O пересечения биссектрис, лежащих на каждом угле многоугольника.

Значит, радиус этой окружности равен OH1 и из этого следует, что окружности совпадают.

Дано:

дуга AB= 72° ( AB = 72°)

AB – сторона правильного n-угольника

количество сторон многоугольника n = ?

Т.к. градусная мера AB = 72° AB = AOB, где угол AOB – центральный.

ΔAOB – равнобедренный (OA = OB = r), где

OAB = OBA = (180° – 72°) : 2 = 54°.

Тогда ΔAOB – равносторонний.

Радиусы окружности, описанной около многоугольника являются биссектрисами его углов, поэтому каждый угол многоугольника равен 54° • 2 = 108°.

αn = • 180°

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

R – радиус описанной окружности

r – радиус вписанной окружности

an – сторона многоугольника

1) площадь правильного многоугольника равна половине произведения периметра многоугольника на радиус вписанной окружности

Sn = Pn • r

2) сторона правильного многоугольника равна удвоенному произведению радиуса описанной окружности на синус угла (Sin), равному числу от деления 180° на n – количество сторон многоугольника

an = 2R • Sin ()

3) радиус вписанной окружности равен произведению радиуса описанной окружности на косинус угла (Cos), равному числу от деления 180° на n – количество сторон правильного многоугольника

r = R • Cos ()

1) Соединив точку O с вершинами правильного многоугольника, получаем треугольники Δ A1A2O = Δ A2A3O = … = Δ A1AnO, где количество всех треугольников в многоугольнике = n.

S (Δ A1A2O) = • A1A2 • OH1 = • an • r.

Тогда площадь многоугольника равна сумме площадей всех треугольников

Sn = S (Δ A1A2O) • n = • an • r • n = ( • an • n) • r = Pn • r

Т.к. угол в многоугольнике находится по формуле

αn = • 180°, то угол A1 в треугольнике A1H1O есть половина угла многоугольника.

A1 = •(• 180°) = • 90° = = 90° –

Cos A1 = =

Тогда A1H1 = Cos A1 • R = Cos (90° – ) • R = R • Sin()

an = 2R • Sin ()

Если n=3, то a3 = 2R • = R•

Если n=4 (квадрат), то a4 = 2R • Sin45° = 2R • = R•

Если n=6 (правильный шестиугольник), то a6 = 2R • 0,5 = R

Sin A1 =

Тогда r = R • Sin A1 = R • (90° – ) = R • Cos ()

источник

Читайте также:  Как приготовить сок из винограда изабелла в домашних условиях
Adblock
detector