Меню

Формула равнобедренного треугольника площадь через высоту

Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали 21 калькулятор для нахождения площади любого треугольника — равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного.

<2>\cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)>

Формула для нахождения площади треугольника через 2 стороны и угол:

<2>\cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)> , где a, b — стороны треугольника, α — угол между ними.

Формула для нахождения площади треугольника через основание и высоту:

<2>\cdot a \cdot h> , где a — основание треугольника, h — высота треугольника.

Формула для нахождения площади треугольника через описанную окружность и стороны:

<4 \cdot R>> , где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

Формула для нахождения площади треугольника через вписанную окружность и стороны:

<2>> , где a, b, c — стороны треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Формулу можно переписать иначе, если учитывать, что <\dfrac<2>> — полупериметр треугольника. В этом случае формула будет выглядеть так: S = , где p — полупериметр треугольника.

Формула для нахождения площади треугольника через сторону и 2 прилежащих угла:

<2>\cdot \dfrac> , где a — сторона треугольника, α и β — прилежащие углы, γ — противолежащий угол, который можно найти по формуле:

Формула для нахождения площади треугольника по формуле Герона (если известны 3 стороны):

> , где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр треугольника, который можно найти по формуле p = <\dfrac<2>>

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по двум сторонам:

<2>\cdot a \cdot b> , где a, b — стороны треугольника.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу:

<4>\cdot c^2 \cdot sin (2 \alpha)> , где c — гипотенуза треугольника, α — любой из прилегающих острых углов.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу:

<2>\cdot a^2 \cdot tg (\alpha)> , где a — катет треугольника, α — прилежащий угол.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе:

, где c — гипотенуза треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по вписанной окружности:

\cdot c_<2>> , где c1 и c2 — части гипотенузы.

Формула Герона для прямоугольного треугольника выглядит так:

, где a, b — катеты треугольника, p — полупериметр прямоугольного треугольника, который рассчитывается по формуле p = <\dfrac<2>>

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и сторону:

<4>\sqrt<4 \cdot a^2-b^2>> , где a — боковая сторона треугольника, b — основание треугольника

<2>\cdot a \cdot b \cdot sin( \alpha)>

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

<2>\cdot a \cdot b \cdot sin( \alpha)> , где a — боковая сторона треугольника, b — основание треугольника, α — угол между основанием и стороной.

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и высоту:

<2>\cdot b \cdot h> , где b — основание треугольника, h — высота, проведенная к основанию.

Формула площади равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними:

<2>\cdot a^2 \cdot sin(\alpha)> , где a — боковая сторона треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами:

<4 \cdot tg \dfrac<\alpha><2>>> , где b — основание треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

источник

Треугольник это фигура, состоящая из трех, соединенных между собой точек. Элементами треугольника являются три стороны и три угла. Сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам.

Рис. 1. Произвольный треугольник.

  • Равнобедренным, если две стороны треугольника равны.
  • Равносторонним, если все стороны треугольника равны между собой, а каждый из углов равен 60 градусам.
  • Прямоугольным, если содержит прямой угол.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, совпадает с основанием и высотой. Именно это свойство мы и будем использовать при нахождении специализированной формулы площади равнобедренного треугольника.

Выведем формулу площади равнобедренного треугольника. Существует два варианта равнобедренного треугольника: через боковую сторону и основание или по классической формуле.

Классическая формула это простейший вариант. Площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту. И равнобедренный треугольник не исключение:

$S=<1\over<2>>*a*h$, где а – основание треугольника, а h – высота, проведенная к этому основанию.

Существует формула через боковую сторону и основание. Для того, чтобы вывести ее обратим внимание на рисунок.

Рис. 3. Рисунок к выводу формулы.

Обозначим высоту буквой h, боковую сторону а, основание в. Тогда высоту можно найти, как катет получившегося прямоугольного треугольника через теорему Пифагора:

Получившуюся формулу подставим вместо высоты и получим специальную формулу для равнобедренного треугольника:

Можно найти площадь через угол, как половину произведения синуса угла между сторонами на эти стороны.

Подобный способ, когда равнобедренный треугольник рассматривают, не как целую фигуру, а как два равных между собой прямоугольных треугольника, часто используют для вычислений. Эти треугольники получаются в результате проведения высоты к основанию равнобедренного треугольника. Важно понимать, что в равнобедренном треугольнике только высота, проведенная к основанию, имеет специфические свойства.

Из статьи мы узнали, что площадь произвольного треугольника можно легко найти, подставив в формулу значение высоты и основания, к которому опустили эту высоту. Однако нужно учитывать тип треугольника. Для равнобедренных, равносторонних и прямоугольных треугольников можно упростить нахождение площади, воспользовавшись специфическими треугольниками.

Средняя оценка: 4.6 . Всего получено оценок: 88.

Не понравилось? – Напиши в комментариях, чего не хватает.

По многочисленным просьбам теперь можно: сохранять все свои результаты, получать баллы и участвовать в общем рейтинге.

  1. 1. Сергей Ефремов 156
  2. 2. No-Name No-Famili 113
  3. 3. Angel Sis 82
  4. 4. Sasha-Naz Nazvanov 78
  5. 5. Роман Гончаренко 66
  6. 6. Ирина Балабанова 57
  7. 7. Parlefiano Fuello 55
  8. 8. Снежана Рамазанова 52
  9. 9. Андрей Фоменко 50
  10. 10. Дмитрий Кондратенко 45
  1. 1. Дарья Барановская 6,894
  2. 2. Ramzan Ramzan 6,424
  3. 3. Елизавета Анчербак 5,070
  4. 4. Денис Христофоров 4,975
  5. 5. Iren Guseva 4,925
  6. 6. Администратор 4,857
  7. 7. Даниил Юраков 4,653
  8. 8. Алексей 4,541
  9. 9. Олег Чувилин 4,347
  10. 10. Анастасия Гудяева 4,298

Самые активные участники недели:

  • 1. Виктория Нойманн – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
  • 2. Bulat Sadykov – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
  • 3. Дарья Волкова – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.

Три счастливчика, которые прошли хотя бы 1 тест:

  • 1. Наталья Старостина – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
  • 2. Николай З – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
  • 3. Давид Мельников – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.

Карты электронные(код), они будут отправлены в ближайшие дни сообщением Вконтакте или электронным письмом.

источник

В данной статье речь пойдет о том как найти площадь равнобедренного треугольника и формулы для решения.
Равнобедренный треугольник это такой треугольник у которого две параллельные основанию стороны равны. Он изображен на рисунке.

Стоит заметить что буквы которыми обозначены стороны и углы, используются в формулах, для вашего удобства.
Заметка: Если вам нужна качественно выполненная курсовая или контрольная работа, без посредников. Тогда Вам на сайт tvoi5.ru. Так же Вы можете перейти по ссылке курсовая на заказ (http://tvoi5.ru/zakazat-kursovuyu-rabotu.html) и все подробности.

Площадь равнобедренного треугольника формула.

Первая формула говорит о том что площадь находится, если нам известна только одна сторона и основа треугольника. Получили эту формула с помощью использования общей формулы. Когда основным является формула Герона и стороны фигуры равны, она сама по себе будет выглядеть проще.

Во второй формуле говориться о том что площадь находится через боковые стороны и угол находящийся между ними. Или sin угла находящийся между боковых сторон, умноженный на половину квадрата одной из боковых сторон. Когда проводим высоту на боковой стороне её длина равняется а*sin?. Так как длину стороны мы знаем, то и её высота нам известна. Соответственно, площадь равнобедренного треугольника будет половина от их выражения. Если быть точнее. то целая величина делает площадь треугольника. Разделяя высотой прямоугольник, получаем два не больших прямоугольных треугольника. Диагональю будет сторона треугольника, в свою очередь она делит фигуру на две равные части. Из чего следует что искомая нами величина находится как половина величины одной стороны умножаемая на высоту.

В третьей формуле площадь находится с помощью одной параллельной стороны, основания и угла находящегося на вершине. Другими словами можно сказать так: когда известен хоть один угол в равнобедренном треугольнике, с его помощью можно узнать и два других. Данная формула схожа со второй формулой, можно использовать и запомнить любую из них. Но из этой формулы выйдет пятая, которую опишу чуть ниже.

Четвертая формула показывает что найти площадь можно зная величину основания и угла при нем. Все углы у основания одинаковы и квадрат стороны основания разделенный на 4 tg пол угла, появившиеся от его боковых сторон. Когда внимательно разглядеть, можно понять, пол стороны основания b/2, при умножении tg (? /2) дает высоту. Которая в свою очередь играет роль медианы и биссектрисы, а значит tg (? /2)= (b/2)/h, из чего h=b/(2tg (? /2)) и сводиться к упрощенной формуле №5.

Читайте также:  Как приготовить тефтели с рисом в томатном соусе

Итак пятая формула она гласит о том , что найти площадь можно с помощью высоты которая берет начало в вершине треугольника и заканчивается в его основании, при этом разделяя его на прямоугольные треугольники. А дальше как в третьей и четвертой формулах. Пол величины высоты умноженное на величину основания.

Шестая и заключительная формула. Она появляется в ходе решения площади треугольника через теорему Пифагора. Нам понадобиться высота, найденная в прошлой формуле. Она так же приходится катетом от прямоугольного треугольника, получившегося от боковой стороны, половины основания плюс высота. Гипотенузой будет боковая сторона, из квадрата гипотенузы (а) отнимем второй катет в квадрате. Так как он равняется полу – основания (b/2) значит квадрат = b2/4. Извлекая корень из полученного , найдем высоту.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

источник

  1. Свойства равнобедренного треугольника.
  2. Признаки равнобедренного треугольника.
  3. Формулы равнобедренного треугольника:
    • формулы длины стороны;
    • формулы длины равных сторон;
    • формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

  • Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
  • Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
  • Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

  • Дан Δ ABC.
  • Из точки В проведем высоту BD.
  • Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD.Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
  • Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
  • В Δ ABDи ΔBCD∠ BАD = ∠ BСD(из Теоремы 1).
  • АВ = ВС — боковые стороны равны.
  • Стороны АD = СD, т.к. точка Dотрезок делит пополам.
  • Следовательно Δ ABD =ΔBCD.
  • Биссектриса, высота и медиана это один отрезок – BD
  1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
  2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
  3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

  • Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Доказательство от противного.

  • Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
  • Пусть Δ A1B1C2 = Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Δ A1C1C2 и Δ B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
  • Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.
  1. Если в треугольнике два угла равны.
  2. Сумма углов треугольника 180°.
  3. Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
  4. Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
  5. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • a — углы при основании
  • b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

  • b = 2a \sin( \beta /2)= a \sqrt
  • b = 2a \cos \alpha

Формулы длины равных сторон(а):

  • L — высота=биссектриса=медиана
  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • a — углы при основании
  • b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

источник

Как видно на рисунке, равнобедренным является треугольник, две боковые стороны которого равны. Обнаружить площадь равнобедренного треугольника дозволено, зная длину его основания и высоты либо по длине его основания и всякий боковой стороны треугольника.

Вам понадобится

  • – геометрическая формула для нахождения площади равнобедренного треугольника АВС:
  • S = 1/2 х b х h, где:
  • – S – площадь треугольника АВС,
  • – b – длина его основания АС,
  • – h – длина его высоты.

1. Измерьте длину основания АС равнобедренного треугольника ABC, обыкновенно длина основания треугольника дана в условиях задачи. Пускай длина основания будет равна 6 см. Измерьте высоту равнобедренного треугольника . Высота – это отрезок, проведенный из вершины треугольника перпендикулярно его основанию. Пускай по условиям задачи высота h = 10 см.

2. Вычислите площадь равнобедренного треугольника по формуле. Для этого поделите длину основания АС напополам: 6/2=3 см. Выходит, 1/2b=3 см. Умножьте половину длины основания АС треугольника на длину высоты h: 3 х 10=30 см. Таким образом, вы обнаружили площадь равнобедренного треугольника АВС по длине его основания и высоты. Если по условиям задачи длина высоты незнакома, но дана длина стороны треугольника , тогда вначале обнаружьте длину высоты равнобедренного треугольника по формуле h = 1/2·?(4a2 – b2).

3. Вычислите длину высоты равнобедренного треугольника по длине его сторон и основания. Пускай а – длина всякий стороны равнобедренного треугольника , по условиям задачи она равна 10 см. Подставив значения длин сторон и основания равнобедренного треугольника в формулу, обнаружьте длину его высоты h=1/2х?(4х100 – 36) =10 см. Вычислив высоту равнобедренного треугольника , продолжите расчеты, подставив обнаруженные значения в указанную формулу нахождения площади треугольника по его высоте и основанию.

Отрезок прямой, проведенный из вершины треугольника в направлении противолежащей стороны и перпендикулярный ей именуется высотой треугольника . Противоположная сторона именуется основанием, а от того что вершин и сторон у треугольника по три, то и высот по различным основаниям столько же. В зависимости от знаменитых параметров треугольника , для вычисления высоты дозволено применять различные формулы, некоторые из которых приведены ниже.

1. Используйте для нахождения высоты треугольника формулу Ha=2*S/A, если знамениты его площадь (S) и длина стороны, противолежащей углу, из которого проведена высота (A). Эта сторону называют основанием, а высоту обозначают, как «высота по основанию A» (Ha). Скажем, если площадь треугольника равна 40 квадратным сантиметрам, а длина основания составляет 10 см, то высота будет вычислена так: 2*40/10 = 8 см.

2. Если длина основания не знаменита, но знаменита длина прилежащей к нему стороны (B) и угол между основанием и этой стороной (γ), то высоту (Ha) дозволено выразить, как половину произведения длины этой стороны на синус вестимого угла: Ha=B*sin(γ). Скажем, если длина прилегающей стороны равна 10 см, а угол составляет 40°, то высоту дозволено вычислить так: 10*sin(40°) = 10*0,643 = 6,43 см.

3. Если знамениты длины всех 3 сторон треугольника (A, B и C) и радиус вписанного в него круга (r), то высоту , проведенную из всякий из сторон дозволено выразить как произведение радиуса вписанной окружности на сумму длин сторон треугольника , поделенное на длину основания. Скажем, для высоты, проведенной из стороны A, эту формулу дозволено записать так: Ha=r*(A+B+C)/A.

4. Из предыдущей формулы вытекает, что знать длины всех сторон не непременно, если вестимы длина периметра (P), длина основания (A) и радиус вписанной в треугольник окружности (r). Тогда для вычисления высоты по основанию A будет довольно перемножить длину периметра на радиус вписанной окружности и поделить на длину основания: Ha=r*P/A.

5. Если взамен радиуса вписанной окружности знаменит радиус описанной (R) и длины всех сторон треугольника (A, B и C), то для нахождения высоты по любому основанию нужно перемножить длины всех сторон, а полученный итог поделить на удвоенное произведение радиуса описанной окружности на длину основания. Скажем, для высоты, проведенной из стороны A, эту формулу дозволено записать так: Ha=A*B*C/(2*R*A).

Видео по теме

Равнобедренным именуется такой треугольник, две стороны которого равны между собой. Все формулы, предуготовленные для определения площади произвольного треугольника , объективны также и для равнобедренного. Впрочем формулы площади равнобедренного треугольника имеют больше примитивный вид и изредка оказываются комфортнее в расчетах.

Вам понадобится

1. Под высотой равнобедренного треугольника традиционно подразумевают длину перпендикуляра, опущенного на «неравную» сторону, а под основанием – длину этой стороны. Для нахождения площади равнобедренного треугольника обозначьте длину его равных сторон через а, длину основания – через с, а длину высоты – через в. В этом случае, формула для вычисления площади (П) будет выглядеть дальнейшим образом:П = ? * с * в

2. Дабы обнаружить формулу площади равнобедренного треугольника через основание и длину равной стороны, воспользуйтесь теоремой Пифагора и тем, что основание делится высотой напополам. Получается следующее выражение для высоты:в = ?(а? – с?/4), подставив его в вышеприведенную формулу, получите:П = ? * с * ?(а? – с?/4).

Читайте также:  Как вставить лицо человека в лицо другого человека

3. Для нахождения площади равнобедренного треугольника на основании формулы Герона подставьте в нее длины сторон равнобедренного треугольника с учетом того, что две из них равны. Позже ряда сокращений получится:П = ? * с * ?[(а – ?с)*(а + ?с)].Несложно подметить, что обе формулы одинаковы, потому что разность квадратов в первой формуле примитивно разложилась на произведение суммы и разности.

4. Для того дабы обнаружить формулу площади равнобедренного треугольника через значения улов, обозначьте:? – угол между равными сторонами и основанием;?- угол между равными боковыми сторонами.Тогда, применяя элементарные тригонометрические соотношения, получите:П = ? * а * с * cos(?/2),П = ? * с * а * sin(?/2),П = ? * с? / tg(?/2),П = ? * с? * tg(?/2),П = а? * sin(?/2) * cos(?/2),П = а? * sin(?/2) * cos(?/2),

5. Вышеприведенные формулы охватывают все основные варианты вычисления площади равнобедренного треугольника . Впрочем если учесть, что высота равнобедренного треугольника является единовременно его биссектрисой и медианой, то дозволено «вывести» еще пару формул, заменив вП = ? * с * вобозначение высоты на обозначение медианы либо биссектрисы.

Равнобедренным, либо равнобоким называют треугольник, у которого длины 2-х сторон идентичны. При необходимости вычисления длины одной из сторон такой фигуры дозволено применять умение величин углов в ее вершинах в сочетании с длиной одной из сторон либо радиусом описанной окружности. Эти параметры многоугольника связаны между собой теоремами синусов, косинусов и некоторыми другими непрерывными соотношениями.

1. Для вычисления длины боковой стороны равнобедренного треугольника (b) по знаменитой из условий длине основания (a) и величине прилегающего к нему угла (?) используйте теорему косинусов. Из нее вытекает, что вам следует поделить длину знаменитой стороны на удвоенный косинус приведенного в условиях угла: b = a/(2*cos(?)).

2. Ту же теорему применяйте и для обратной операции – вычисления длины основания (a) по вестимой длине боковой стороны (b) и величине угла (?) между этими двумя сторонами. В этом случае теорема разрешает получить равенство, правая часть которого содержит удвоенное произведение длины вестимой стороны на косинус угла: a = 2*b*cos(?).

3. Если помимо длин боковых сторон (b) в условиях приведена величина угла между ними (?), для расчета длины основания (a) воспользуйтесь теоремой синусов. Из нее вытекает формула, согласно которой следует удвоенную длину боковой стороны умножить на синус половины знаменитого угла: a = 2*b*sin(? /2).

4. Теорему синусов дозволено применять и для нахождения длины боковой стороны (b) равнобедренного треугольника, если знаменита длина основания (a) и величина противолежащего ему угла (?). В этом случае удвойте синус половины знаменитого угла и поделите на получившееся значение длину основания: b = a/(2*sin(?/2)).

5. Если около равнобедренного треугольника описана окружность, радиус которой (R) знаменит, для вычисления длин сторон необходимо знать величину угла в одной из вершин фигуры. Если в условиях приведена информация об угле между боковыми сторонами (?), вычисляйте длину основания (a) многоугольника удвоением произведения радиуса на значение синуса этого угла: a = 2*R*sin(?). Если же дана величина угла при основании (?), для нахождения длины боковой стороны (b) примитивно замените угол в этой формуле: b = 2*R*sin(?).

Видео по теме

Изредка в жизни доводится сталкиваться с обстановками, в которых необходимы познания из геометрии. Такая информация в повседневной жизни редко применяются, следственно забывается. Одним из актуальных вопросов является поиск площади треугольника при помощи длины 2-х его сторон.

Вам понадобится

1. Площадь треугольника, вычисляемая по длине 2-х его сторон, требует еще и замера угла между ними. Для этого воспользуйтесь транспортиром либо другими особыми инструментами. Скажем, малка – крайне комфортна для измерения углов в комнате.

2. Позже того, как вы обнаружили размер 2-х сторон треугольника и угла между ними, перейдите к расчетам. Находить площадь следует по дальнейшей формуле: S? abc = 1/2 ab sin угла. При этом, если вы имеете прямой угол в треугольнике между двумя вестимыми сторонами, то формулу дозволено сократить: S? abc = 1/2 ab.

3. Дабы вычислить синус угла дозволено воспользоваться тригонометрической таблицей Брадиса, где даны значения для самых распространенных размеров углов. Еще одним недурным методом для вычисления синуса угла является калькулятор. В всякой операционной системе Windows он есть среди стандартных программ. Откройте его и переключите в режим «Инженерный», тот, что находится в разделе «Вид». Позже чего вводите размер угла, синус которого хотите вычислить. Дальше выберите единицы измерения для рассчитываемого результата. Это могут быть градусы, радианы либо рады. Сделать это дозволено с поддержкой кнопок, расположенных под полем ввода. Нажмите клавишу «sin» и получите итог.

4. Безусловно, синус угла сегодня дозволено вычислить и с поддержкой разных продвинутых онлайн калькуляторов с комфортным интерфейсом и огромными функциональными вероятностями. Обнаружить такую программу в интернете не составит труда, так как их предлагается много. Легко впишите в поисковик «калькулятор тригонометрических функций».

5. Сейчас перемножайте длины 2-х сторон треугольника и синус угла между ними, разделяете все на 2 и результат готов. Площадь треугольника обнаружена.

Видео по теме

Обратите внимание!
Треугольник образован соединением отрезками 3 точек, не лежащих на одной прямой. Эти точки именуются вершинами треугольника, а отрезки – сторонами.

Обратите внимание!
В равнобедренном треугольнике высота является единовременно медианой и биссектрисой треугольника.Два угла равнобедренного треугольника равны между собой.

источник

В зависимости от вида треугольника выделяют сразу несколько вариантов нахождения его площади. К примеру, для вычисления площади прямоугольного треугольника используется формула S= a * b / 2, где а и b – это его катеты. Если же требуется узнать площадь равнобедренного треугольника, то необходимо делить на два произведение его основания и высоты. То есть, S= b*h / 2, где b – это основание треугольника, а h – его высота.

Далее, может понадобиться расчет площади равнобедренного прямоугольного треугольника. Здесь приходит на помощь следующая формула: S= a* а / 2, где катеты «а» и «а» – обязательно должны быть с одинаковыми значениями.

Также, нам часто приходится вычислять площадь равностороннего треугольника. Она находится по формуле: S= a * h/ 2, где a – сторона треугольника, и h – его высота. Или по этой формуле: S= √3/ 4 *a^2, где a – сторона.

Вам нужно найти площадь прямоугольного треугольника, но при этом в условии задачи не указаны размеры сразу двух его катетов? Тогда этой формулой (S= a * b / 2) мы не сможем воспользоваться напрямую.

Рассмотрим несколько возможных вариантов решения:

  • Если Вам неизвестна длина одного катета, но даны размеры гипотенузы и второго катета, то обращаемся к великому Пифагору и по его теореме (a^2+b^2=c^2) высчитываем длину неизвестного катета, затем используем ее для расчета площади треугольника.
  • Если дана длина одного катета и градусный наклон угла противолежащего ему: находим длину второго катета по формуле – a=b*ctg(C).
  • Дано: длина одного катета и градусный наклон угла прилежащего к нему: для нахождения длины второго катета применяем формулу – a=b*tg(C).
  • И последнее, дано: угол и длина гипотенузы: вычисляем длину обеих его катетов, по таким формулам – b=c*sin(C) и a=c*cos(C).

Площадь равнобедренного треугольника можно очень легко и быстро найти по формуле S= b*h / 2, но, при отсутствии одного из показателей, задача значительно усложняется. Ведь необходимо выполнять дополнительные действия.

  • Дано: длина одной из боковых сторон и длина основания. Находим через теорему Пифагора высоту, то есть длину второго катеты. При условии, что длина основания, разделенная на два, является катетом, а изначально известная боковая сторона – гипотенузой.
  • Дано: основание и угол между боковой стороной и основанием. Вычисляем по формуле h=c*ctg(B)/2 высоту (не забываем сторону «c» разделить на два).
  • Дано: высота и угол, который был образован основанием и боковой стороной: применяем формулу c=h*tg(B)*2 для нахождения высоты, и полученный результат умножаем на два. Далее вычисляем площадь.
  • Известна: длина боковой стороны и угол, который образовался между ним и высотой. Решение: используем формулы – c=a*sin(C)*2 и h=a*cos(C) для нахождения основания и высоты, после чего считаем площадь.

Если все данные известны, то по стандартной формуле S= a* a / 2 вычисляем площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если же в задаче не указаны некоторые показатели, то выполняются дополнительные действия.

Например: нам не известны длины обеих сторон (мы помним, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике они равны), но дана длинна гипотенузы. Применим теорему Пифагора для нахождения одинаковых сторон «a» и «a». Формула Пифагора: a^2+b^2=c^2. В случае с равнобедренным прямоугольным треугольником она преобразовывается в такую: 2a^2 = c^2. Получается, чтобы найти катет «а», нужно длину гипотенузы поделить на корень из 2. Результат решения и будет длинной обеих катетов равнобедренного прямоугольного треугольника. Далее находим площадь.

С помощью формулы S= √3/ 4*a^2 можно легко высчитать площадь равностороннего треугольника. Если известен радиус описанной окружности треугольника, то площадь можно найти по формуле: S= 3√3/ 4*R^2, где R – радиус окружности.

Если же, по условию задачи, дан радиус вписанной окружности, то площадь рассчитывается по формуле: S= 3√3*r^2, где r – радиус окружности.

Читайте также:  Я парень мне нравится парень

Также, если отталкиваться от этой формулы – S= a * h/ 2, то неизвестным показателем в задаче может быть высота h, для ее нахождения используйте теорему Пифагора. Тогда высота треугольника будет катетом, боковая ее сторона – гипотенузой, а половина стороны, на которую отпускается высота – вторым катетом. Если у равностороннего треугольника все стороны равны, то найти высоту будет не сложно. После этого находим площадь по формуле S= a * h/ 2.

Видео как найти площадь треугольника:

источник

Математика — это удивительная наука. Однако такая мысль приходит только тогда, когда ее понимаешь. Чтобы этого достичь, нужно решать задачи и примеры, чертить схемы и рисунки, доказывать теоремы.

Путь к пониманию геометрии лежит через решение задач. Отличным примером могут служить задания, в которых нужно найти площадь равнобедренного треугольника.

Чтобы не пугаться терминов «высота», «площадь», «основания», «равнобедренного треугольника» и прочих, потребуется начать с теоретических основ.

Сначала о треугольнике. Это плоская фигура, которая образована из трех точек — вершин, в свою очередь, соединенных отрезками. Если два из них оказываются равны друг другу, то треугольник становится равнобедренным. Эти стороны получили название боковых, а оставшаяся стала основанием.

Существует частный случай равнобедренного треугольника — равносторонний, когда и третья сторона равна двум боковым.

Они оказываются верными помощниками в решении задач, которые требуют найти площадь равнобедренного треугольника. Поэтому знать и помнить о них необходимо.

  • Первое из них: углы равнобедренного треугольника, одна сторона которых — основание, всегда равны друг другу.
  • Важным является и свойство о дополнительных построениях. Проведенные к непарной стороне высота, медиана и биссектриса совпадают.
  • Эти же отрезки, проведенные из углов при основании треугольника, попарно равны. Это тоже часто облегчает поиск решения.
  • Два равных угла в нем всегда имеют значение меньше чем 90º.
  • И последнее: вписанная и описанная окружности строятся так, что их центры лежат на высоте к основанию треугольника, а значит медиане и биссектрисе.

Если при решении задания встает вопрос о том, как найти площадь равнобедренного треугольника, то сначала нужно понять, что он относится к этой группе. А в этом помогут определенные признаки.

  • Равны два угла или две стороны треугольника.
  • Биссектриса является еще и медианой.
  • Высота треугольника оказывается медианой или биссектрисой.
  • Равны две высоты, медианы или биссектрисы фигуры.

Для упрощения того, как находить площадь равнобедренного треугольника по формулам, введена замена его элементов на буквы.

Обозначения в формулах

Буква в формуле Название
а боковая сторона
в длина основания
н высота к основанию
А угол при основании
В величина угла, лежащего между боковыми сторонами
общепринятое обозначение площадь

Внимание! Важно не путать «а» с «А» и «в» с «В». Это разные величины.

Известны длины сторон, и требуется найти площадь равнобедренного треугольника.

В этом случае нужно возвести в квадрат оба значения. То число, которое получилось от изменения боковой стороны, умножить на 4 и вычесть из него второе. Из полученной разности извлечь квадратный корень. Длину основания разделить на 4. Два числа перемножить. Если записать эти действия буквами, то получится такая формула:

Пусть она будет записана под №1.

Найти по значениям сторон площадь равнобедренного треугольника. Формула, которая кому-то может показаться проще, чем первая.

Первым действием нужно найти половину основания. Потом найти сумму и разность этого числа с боковой стороной. Два последних значения перемножить и извлечь квадратный корень. Последним действием умножить все на половину основания. Буквенное равенство будет выглядеть так:

Способ найти площадь равнобедренного треугольника, если известны основание и высота к нему.

Одна из самых коротких формул. В ней нужно перемножить обе данные величины и разделить их на 2. Вот как она будет записана:

В задании известны стороны треугольника и значение угла, лежащего между основанием и боковой стороной.

Здесь, для того чтобы узнать, чему будет равна площадь равнобедренного треугольника, формула будет состоять из нескольких множителей. Первый из них — это значение синуса угла. Второй равен произведению боковой стороны на основание. Третий — дробь ½. Общая математическая запись:

Порядковый номер формулы — 4.

В задаче даны: боковая сторона равнобедренного треугольника и угол, лежащий между его боковыми сторонами.

Как и в предыдущем случае, площадь находится по трем множителям. Первый равен значению синуса угла, указанного в условии. Второй — это квадрат стороны. И последний также равен половине единицы. В итоге формула запишется так:

Формула, которая позволяет найти площадь равнобедренного треугольника, если известны его основание и угол, лежащий напротив него.

Сначала нужно вычислить тангенс половины известного угла. Полученное число умножить на 4. Возвести в квадрат длину боковой стороны, которое потом разделить на предыдущее значение. Таким образом, получится такая формула:

Номер последней формулы – 6.

Первая задача: известно, что основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а его высота – 5 см. Нужно определить его площадь.

Для ее решения логично выбрать формулу под номером 3. В ней все известно. Подставить числа и сосчитать. Получится, что площадь равна 10 * 5 / 2. То есть 25 см 2 .

Первый способ. По формуле №1. При возведении в квадрат основания получается число 64, а учетверенный квадрат боковой стороны — 100. После вычитания из второго первого получится 36. Из него прекрасно извлекается корень, который равен 6. Основание, поделенное на 4, равно 2. Итоговое значение определится как произведение 2 и 6, то есть 12. Это ответ: искомая площадь равна 12 см 2 .

Второй способ. По формуле №2. Половина основания равна 4. Сумма боковой стороны и найденного числа дает 9, их же разность — 1. После умножения получается 9. Извлечение квадратного корня дает 3. И последнее действие, умножение 3 на 4, что дает те же 12 см 2 .

Решая задачи по геометрии и определяя, как найти площадь равнобедренного треугольника, можно получить неоценимый опыт. Чем больше различных вариантов заданий выполнено, тем проще найти ответ в новой ситуации. Поэтому регулярное и самостоятельное выполнение всех заданий — это путь к успешному усвоению материала.

источник

Математика, а геометрия в частности, согласно опросам школьников, один из самых нелюбимых уроков, а все потому, что заставляют учить огромное количество формул, которые в жизни 90% из нынешних взрослых так и не нашли практического применения. Но, на минуточку, мы учим формулы, решаем задачи, делаем уравнения не для того, что они могут нам пригодиться в жизни, а потому как это развивает мышление и логику. Еще древнегреческие мудрецы говорили, что интеллект человека можно измерить по знаниям математических наук. И раз уж вы решили ознакомиться с применением формул по равнобедренному треугольнику – берем себя в руки и читаем статью целиком.

Прежде чем приступатьк ответу на вопрос как найти площадь равнобедренного треугольника и перейти к практической части статьи, где приведены формулы и расчеты, давайте обозначим для себя само понятие. Равнобедренный треугольник – это треугольник, в котором равны по длине две из трех сторон, которые называются боковыми. В случае с правильным треугольником, где все стороны равны, он тоже считается равнобедренным, однако наоборот, когда равнобедренный треугольник считают правильным – неверно.

Стороны треугольника следует обозначить, сделаем это таким образом, как представлено на картинке ниже, где: а – боковые стороны, b-основание, а h-высота.

После того, как мы сделали обозначения высоты, сторон и угла, можно приступить к решению задачи.

Для начала, определим, что нам известно.

Если высота и основание – то подойдет классическая формула (*- знак умножения):

Подставим, для примера, числа, где: h=16, b=18, получаем следующее:

Площадь равнобедренного треугольника S=144 см2

Существуют и другие формулы, которые помогут нам в том, как узнать площадь равнобедренного треугольника. Одной из таких формул является метод Герона. Не будем писать сложную формулу, возьмем, за основу, сокращенную:

Понятно, что b – основание, а — равные стороны. Формула подходит в том случае, когда h-высота неизвестна.

Подставляем значения, пусть a=6, b=3, получаем следующее:

S= ¼ *3 √4*62-32= ¾ √144-9 = ¾ * 9 = 8,7

Можно использовать, чтобы высчитать площадь, равные стороны треугольника и угол между сторонами:

По таблице синусов угол в 45о равняется 0,7071, сторона а пусть будет равна 6 см, получаем следующее:

Как итог, площадь равнобедренного треугольника равна 12,6 см2.

Существуют еще способы расчета площади, в том числе и применительно к равнобедренному треугольнику, однако они достаточно сложны и не применяются в «элементарных», по понятием сложной математики, расчетах, типа приведенных выше. А говорить о вещах, которые не поймут даже преподаватели со стажем – не стоит.

Так что, можно вздохнуть с облегчением, на этом небольшой курс геометрии по нахождению площади равнобедренного треугольника будем считать оконченным, а знания, полученные в результате прочтения статьи – усвоенными на «пять».

источник

Adblock
detector