Меню

Формула площадь прямоугольного треугольника через катеты

Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали 21 калькулятор для нахождения площади любого треугольника — равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного.

<2>\cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)>

Формула для нахождения площади треугольника через 2 стороны и угол:

<2>\cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)> , где a, b — стороны треугольника, α — угол между ними.

Формула для нахождения площади треугольника через основание и высоту:

<2>\cdot a \cdot h> , где a — основание треугольника, h — высота треугольника.

Формула для нахождения площади треугольника через описанную окружность и стороны:

<4 \cdot R>> , где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

Формула для нахождения площади треугольника через вписанную окружность и стороны:

<2>> , где a, b, c — стороны треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Формулу можно переписать иначе, если учитывать, что <\dfrac<2>> — полупериметр треугольника. В этом случае формула будет выглядеть так: S = , где p — полупериметр треугольника.

Формула для нахождения площади треугольника через сторону и 2 прилежащих угла:

<2>\cdot \dfrac> , где a — сторона треугольника, α и β — прилежащие углы, γ — противолежащий угол, который можно найти по формуле:

Формула для нахождения площади треугольника по формуле Герона (если известны 3 стороны):

> , где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр треугольника, который можно найти по формуле p = <\dfrac<2>>

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по двум сторонам:

<2>\cdot a \cdot b> , где a, b — стороны треугольника.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу:

<4>\cdot c^2 \cdot sin (2 \alpha)> , где c — гипотенуза треугольника, α — любой из прилегающих острых углов.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу:

<2>\cdot a^2 \cdot tg (\alpha)> , где a — катет треугольника, α — прилежащий угол.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе:

, где c — гипотенуза треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по вписанной окружности:

\cdot c_<2>> , где c1 и c2 — части гипотенузы.

Формула Герона для прямоугольного треугольника выглядит так:

, где a, b — катеты треугольника, p — полупериметр прямоугольного треугольника, который рассчитывается по формуле p = <\dfrac<2>>

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и сторону:

<4>\sqrt<4 \cdot a^2-b^2>> , где a — боковая сторона треугольника, b — основание треугольника

<2>\cdot a \cdot b \cdot sin( \alpha)>

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

<2>\cdot a \cdot b \cdot sin( \alpha)> , где a — боковая сторона треугольника, b — основание треугольника, α — угол между основанием и стороной.

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и высоту:

<2>\cdot b \cdot h> , где b — основание треугольника, h — высота, проведенная к основанию.

Формула площади равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними:

<2>\cdot a^2 \cdot sin(\alpha)> , где a — боковая сторона треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами:

<4 \cdot tg \dfrac<\alpha><2>>> , где b — основание треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

источник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

– Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

– Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

– Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

– Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора: , где – катеты, – гипотенуза.

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

источник

Прямоугольный треугольник встречается в реальности практически на каждом углу. Знание о свойствах данной фигуры, а также умение вычислять ее площадь, несомненно пригодится вам не только для решения задач по геометрии, но и в жизненных ситуациях.

В элементарной геометрии прямоугольный треугольник — это фигура, которая состоит из трех соединенных отрезков, формирующих три угла (два острых и один прямой). Прямоугольный треугольник — оригинальная фигура, характеризующаяся рядом важных свойств, которые составляют фундамент тригонометрии. В отличие от обычного треугольника стороны прямоугольной фигуры имеют собственные названия:

  • Гипотенуза — самая длинная сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла.
  • Катеты — отрезки, образующие прямой угол. В зависимости от рассматриваемого угла катет может быть прилежащим к нему (образующий этот угол с гипотенузой) или противолежащим (лежащим напротив угла). Для непрямоугольных треугольников катетов не существуют.
Читайте также:  Как хранить корень каллы

Именно соотношение катетов и гипотенузы составляет основу тригонометрии: синусы, тангенсы и секансы определяются как отношение сторон прямоугольного треугольника.

Данная фигура получила широкое распространение в реальности. Треугольники находят применение в проектировании и технике, поэтому расчет площади фигуры приходится выполнять инженерам, архитекторам и проектировщикам. Форму треугольника имеют основания тетраэдров или призм — трехмерных фигур, которые легко встретить в повседневности. Кроме того, угольник — наиболее простое представление «плоского» прямоугольного треугольника в реальности. Угольник — это слесарный, чертежный, строительный и столярный инструмент, который используется для построения углов как школьниками, так и инженерами.

Площадь геометрической фигуры — это количественная оценка того, какая часть плоскости ограничена сторонами треугольника. Площадь обычного треугольника можно найти пятью способами, используя формулу Герона или оперируя при расчетах такими переменными, как основание, сторона, угол и радиус вписанной или описанной окружности. Самая простая формула площади выражается как:

где a – сторона треугольника, h – его высота.

Формула для вычисления площади прямоугольного треугольника еще проще:

Работая с нашим онлайн-калькулятор, вы можете вычислить площадь треугольника, используя три пары параметров:

  • два катета;
  • катет и прилежащий угол;
  • катет и противолежащий угол.

В задачах или бытовых ситуациях вам будут даны разные комбинации переменных, поэтому такая форма калькулятора позволяет вычислить площадь треугольника несколькими способами. Рассмотрим пару примеров.

Допустим, вы хотите выполнить облицовку стен кухни керамической плиткой, которая имеет форму прямоугольного треугольника. Для того чтобы определить расход плитки вы должны узнать площадь одного элемента облицовки и общую площадь обрабатываемой поверхности. Пусть вам необходимо обработать 7 квадратных метров. Длина катетов одного элемента составляет по 19 см, тогда площадь плитки будет равна:

Это означает, что площадь одного элемента составляет 24,5 квадратных сантиметра или 0,01805 квадратных метра. Зная эти параметры, вы можете подсчитать, что для отделки 7 квадратных метров стены вам понадобится 7/0,01805 = 387 элементов облицовочной плитки.

Пусть в школьной задаче по геометрии требуется найти площадь прямоугольного треугольника, зная только то, что сторона одного катета равна 5 см, а величина противолежащего угла составляет 30 градусов. Наш онлайн-калькулятор сопровождается иллюстрацией, на которой указаны стороны и углы прямоугольного треугольника. Если сторона a = 5 см, то ее противолежащий угол — это угол альфа, равный 30 градусов. Введите эти данные в форму калькулятора и получите результат:

Таким образом, калькулятор не только вычисляет площадь заданного треугольника, но и определяет длину прилежащего катета и гипотенузы, а также величину второго угла.

Прямоугольные треугольники встречаются в нашей жизни буквально на каждом углу. Определение площади таких фигур пригодится вам не только при решении школьных заданий по геометрии, но и повседневной и профессиональной деятельности.

источник

в треугольнике abc ac=bc угол с равен 120 AC=25корень3 найти АВ. Попроси больше. треугольник равнобедренный => угол А= углу В = (180-120)/2 = 30градусов. по теореме синусов. АВ/sin120=AC/sin30. AB=AC*sin120/sin30. sin30= 0.5. sin 120 = cos. AB = 37,5. Надо 25 корень из 3 умножить на синус 120.

Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Любая формула площади треугольника может быть использована и для вычисления площади прямоугольного треугольника.

Выведем формулы для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты, гипотенузу, острый угол, проекции катетов на гипотенузу.

I. Площадь треугольника равна половине произведению стороны на высоту, проведенную у этой стороне:

Поскольку катеты перпендикулярны, то один катет является высотой, проведенной к другому катету.

Поэтому Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по гипотенузе:

Так как высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Площадь прямоугольного треугольника

II. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:

Для прямоугольного треугольника эту формулу можно записать как

Нахождение площади прямоугольного треугольника по формуле Герона либо через радиус вписанной или описанной окружности также возможно, но нецелесообразно, поскольку ведет к усложнению вычислений.

Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Любая формула площади треугольника может быть использована и для вычисления площади прямоугольного треугольника.

Выведем формулы для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты, гипотенузу, острый угол, проекции катетов на гипотенузу.

I. Площадь треугольника равна половине произведению стороны на высоту, проведенную у этой стороне:

Поскольку катеты перпендикулярны, то один катет является высотой, проведенной к другому катету.

Поэтому Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по гипотенузе:

Так как высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Площадь прямоугольного треугольника

II. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:

Для прямоугольного треугольника эту формулу можно записать как

Нахождение площади прямоугольного треугольника по формуле Герона либо через радиус вписанной или описанной окружности также возможно, но нецелесообразно, поскольку ведет к усложнению вычислений.

Площадь прямоугольного треугольника равняется половине произведения катетов.

Дан прямоугольный треугольник с катетами a = 8 см, b = 6 см.

Также в прямоугольном треугольнике применяется теорема Пифагора. – сумма квадратов двух катетов равняется квадрату гипотенузы.

Читайте также:  Урок английского языка для малышей в игровой форме

Формула площади равнобедренного прямоугольного треугольника вычисляется также как и обычного прямоугольного треугольника.

Дан треугольник с катетами a = 4 см, b = 4 см. Вычисляем площадь:

Далее вычисляем площадь по обычной формуле. Пример расчета формулы площади прямоугольного треугольника по гипотенузе идентичен описанному выше.

Задача: площадь прямоугольного треугольника равняется 180 кв. см. найдите меньший катет треугольника, если он меньше второго на 31 см.

Подставляем данное условие во второе уравнение:

Так как мы находили стороны, то знак минус убираем.

Получается, что катет a = 40 см, а b = 9 см.

Хорошая тема для для начинающих изучать геометрию и математику

Калькулятор не правильно считает

Для случая a = 5 b = 7 площадь должна быть 17,5

источник

Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Нужно длину одного катета умножить на длину второго и разделить полученное число на два.

Нас в школе, для примера учили условно дорисовывать второй прямоугольный треугольник в перевернутом виде что бы вместе с первым получился прямоугольник а его площадь как известно равно длина умноженная на ширину, и треугольник это половина прямоугольника.

Здесь вс зависит от того, какиеараметры прямоугольного треугольника даны. В конечном же итоге, решение выводится из теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Небольшие преобразования и ответ готов.

Площадь прямоугольного треугольника легко находится из того соображения, что два одинаковых прямоугольных треугольника, если их сложить гипотенузами, дают прямоугольник со сторонами, равными катетам. Площадь этого прямоугольника произведение катетов, поэтому площадь треугольника половина произведения катетов.

Треугольник – это геометрическая фигура, образованая из трех отрезков, соединенных между собой тремя точками, называемыми вершинами.

В прямоугольном треугольнике один угол равен 90 градусов.

Общая формула для определения площади прямоугольного треугольника :

где a,b – катеты треугольника ABC.

Треугольник – это такая фигура, которая образуется путем соединения трех точек, которые не лежат на одной прямой.

Эти три точки будут называться вершинами треугольника. А отрезки, которые соединяют эти самые точки, это его стороны.

Если у треугольника один из углов будет являться прямым, то такой треугольник будут называть прямоугольным.

Возьмем к примеру этот треугольник:

Чтобы найти площадь треугольника, нужно воспользоваться таким правилом: его площадь равна половине произведения катетов.

Формулой это будет выражаться следующим образом:

где a и b являются катетами данного треугольника.

Нам подойдут формулы, по которым мы можем найти площадь любого треугольника.

1) 1/2*h*a. Половина произведения высоты на основание. В случае прямоугольного треугольника формула та же, только высота у нас будет одним из катетов.

S=p*(pa)*(pb)*(pc). a, b и с – это стороны треугольника. p – полупериметр p=1/2*(a+b+c)

3) S=1/2*a*b*sin(). По двум сторонам и углу между ними. Зная тригонометрию, можно переделывать данную формулу под различные варианты данных углов. Заучивать все модификации не имеет смысла. Здесь необходимо понять смысл и в конечном итоге все равно приходить к изначальной формуле.

площадь прямоугольного треугольника можно вычислить:

площадь прямоугольного треугольника – половина площади прямоугольника со сторонами, равными катетам данного треугольника..

  • если задан катет и противоположный ему угол:

где а – противолежащий углу с катет, b – прилежащий к углу с катет, tgc – тангенс угла с..

-если задан катет и прилежащий к нему угол:

-если задана высота и один из катетов:

откуда складывая оба треугольника ( катеты – высота, а гипотенузы – катеты большого треугольника ):

где d – высота треугольника, с – угол..

Это еще школьная программа класса 5-7. Никогда не думала, что знания геометрии мне понадобится в будущем, но вот он – тот день! Для этого я 11 лет училась в школе)

Так вот, что бы найти площадь прямоугольного треугольника нужно знать правило и формулу :

Прямоугольным называется тот треугольник, который имеет прямой угол. Итак, для того чтобы рассчитать площадь прямоугольного треугольника необходимо воспользоваться следующей формулой:

источник

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

В этом уроке научимся находить площадь прямоугольного треугольника.

Давайте отправимся в страну «Геометрия» в город треугольников. Здесь всё треугольное: и дома, и деревья, и даже жители. На первый взгляд, эти жители все очень похожи: у них по три угла, три стороны и три вершины. Но при этом все они отличаются друг от друга. Давайте рассмотрим некоторые из них:

Этот треугольник тупоугольный,

в нем содержится тупой угол.

Это равносторонний треугольник –

А вот треугольник, у которого равны две стороны.

Его называют равнобедренным.

Такой треугольник называют прямоугольным.

С прямоугольным треугольником мы познакомимся поближе.

Но сначала давайте решим задачу.

Дан прямоугольник АВСD со сторонами 5 см и

4 см. Нужно найти площадь этого прямоугольника.

Вспомним формулу нахождения площади прямоугольника.

Формула – это верное равенство, устанавливающее взаимосвязь между величинами.

Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно длину умножить на ширину (S = a× b). Значит, S = 5 × 4 =20см2.

Теперь возьмём наш прямоугольник и проведём в нём диагональ АС.

Диагональю прямоугольника называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника.

Мы видим, что диагональ разделила наш прямоугольник на два одинаковых треугольника. Оба эти треугольника прямоугольные, так как каждый из них содержит прямой угол.

Теперь можно легко найти площадь каждого из этих треугольников. Нужно просто площадь прямоугольника разделить пополам. Значит, площадь каждого из этих треугольников будет равна

У нас получилось, что площадь прямоугольного треугольника равна половине площади прямоугольника.

Стороны прямоугольного треугольника имеют свои названия, давайте с ними познакомимся.

Читайте также:  Органайзер для комода своими руками

Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла, называется гипотенузой.

Чтобы легче было запомнить, можно выучить небольшие стихи о катетах и гипотенузе.

Мы два брата-стороны, катетами названы.

Болтаем мы о том, о сём, сходясь в вершине в углу прямом.

Гипотенуза – я, особый элемент, длинней меня сторон здесь просто нет.

Меня найти нетрудно, право слово,

Лежу напротив я угла прямого.

Теперь выведем правило нахождения площади прямоугольного треугольника, зная, как называются его стороны.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

где a и b – катеты прямоугольного треугольника.

Рассмотрим нахождение площади прямоугольного треугольника на примере.

Сначала измерим его катеты.

Катет АС = 4 см, катет СВ = 7 см.

Вспомним правило нахождения площади прямоугольного треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Эту формулу необходимо запомнить.

Подставим в неё вместо букв значения.

S∆ = (4 × 7) : 2 = 28 : 2 = 14 см2.

Используя данные знания, Вы сможете вычислять площадь и других фигур, разделив их на знакомые фигуры, площадь которых Вы уже умеете вычислять.

Давайте найдём площадь трапеции.

Для этого мы разделим её вертикальными линиями на прямоугольник и два прямоугольных треугольника, как показано на рисунке.

Найдём сначала площадь прямоугольника. Его длина – 3 см, ширина – 2 см.

Вспомним формулу нахождения площади прямоугольника.

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо длину умножить на ширину S = a× b .

Выполняем первое действие:

1) 3 × 2 = 6 см2 – S прямоугольника.

Теперь находим площади треугольников. Вспомним формулу нахождения площади прямоугольного треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

где a и b – катеты прямоугольного треугольника

Найдём площадь левого треугольника, его катеты 2 см и 3 см.

2) (2 × 3) : 2 = 3 см2 – площадь левого треугольника.

Найдём площадь правого треугольника. Его катеты 3 см и 4 см.

3) (3 × 4) : 2 = 6 см2 – площадь правого треугольника.

Чтобы узнать площадь всей фигуры, надо сложить площади этих трёх фигур.

4) 6 + 3 + 6 = 15 см2 – площадь трапеции.

Ответ: площадь трапеции равна 15 см2.

Подведем итоги нашего урока:

Чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника, необходимо:

1.Найти у треугольника катеты (это стороны, образующие прямой угол).

3.Вспомнить формулу нахождения площади прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

4.Подставить в формулу вместо букв их значения.

5.Вычислить значение получившегося выражения, т.е. площади.

источник

На уроках геометрии в средней школе всем нам говорили о том, как найти площадь прямоугольного треугольника. Однако в рамках школьной программы мы получаем только самые необходимые знания и учимся наиболее распространенным и стандартным способам вычислений. Существуют ли необычные способы нахождения этой величины?

В качестве введения вспомним, какой треугольник считается прямоугольным, а также обозначим понятие площади.

Прямоугольным треугольником называют замкнутую геометрическую фигуру, один из углов которой равен 90 0 . Неотъемлемыми понятиями в определении прямоугольного треугольника являются катеты и гипотенуза. Под катетами подразумевают две стороны, которые в точке соединения образуют прямой угол. Гипотенуза – сторона, противоположная прямому углу. Прямой треугольник может быть равнобедренным (две его стороны будут иметь одинаковую величину), но никогда не будет равносторонним (все стороны одной длины). Определения высоты, медианы, векторов и прочих математических терминов подробно разбирать не будем. Их легко найти в справочниках.

Площадь прямого треугольника. В отличие от прямоугольников, правило о произведении сторон в определении площади треугольника не действует. Если говорить сухим языком терминов, то под площадью треугольника понимают свойство этой фигуры занимать часть плоскости, выраженное числом. Довольно сложно к восприятию, согласитесь. Не будем пытаться глубоко вникнуть в определение, наша цель не в этом. Перейдем к главному – как найти площадь прямоугольного треугольника? Сами вычисления производить не будем, укажем только формулы. Для этого определимся с обозначениями: A,B,C – стороны треугольника, катеты – AB, BC. Угол ACB – прямой. S – площадь треугольника, hnn – высота треугольника, где nn – сторона, на которую она опущена.

Способ 1. Как найти площадь прямоугольного треугольника, если известна величина его катетов

Способ 2. Находим площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

Способ 3. Вычисление площади через прямоугольник

Достраиваем прямоугольный треугольник до квадрата (если треугольник равнобедренный) или прямоугольника. Получим простой четырехугольник, составленный из 2-х идентичных прямоугольных треугольников. В этом случае значение площади одного из них будет равно половине площади полученной фигуры. S прямоугольника вычисляем произведением сторон. Обозначим эту величину M. Искомое значение площади будет равно половине M.

Способ 4. «Пифагоровы штаны». Знаменитая теорема Пифагора

Мы все помним ее формулировку: «сумма квадратов катетов. ». Но не все могут сказать, причем тут некие «штаны». Дело в том, что изначально Пифагор изучал взаимосвязь площадей квадратов, построенных на сторонах прямого треугольника. Выявив закономерности в соотношении сторон квадратов, он смог вывести и известную всем нам формулу. Ее можно применять в случае, когда неизвестна величина одной из сторон.

Способ 5. Как найти площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Тоже достаточно простой способ расчета. Формула предполагает выражение площади треугольника через числовые значения его сторон. Для расчетов необходимо знать величины всех сторон треугольника.

S = (p–AC)*(p–BC), где p = (AB+BC+AC)*0.5

Кроме приведенных, существует множество других способов найти величину такой загадочной фигуры, как треугольник. Среди них: вычисление методом вписанной или описанной окружности, вычисление при помощи координат вершин, использование векторов, абсолютной величины, синусов, тангенсов.

источник

Adblock
detector