Меню

Формула как возвести число в дробную степень

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Начнем с формулирования базовых определений.

Возведение в степень – это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова “вычисление значение степени” и “возведение в степень” означают одно и то же. Так, если в задаче стоит “Возведите число 0 , 5 в пятую степень”, это следует понимать как “вычислите значение степени ( 0 , 5 ) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Условие: возведите – 2 в степень 4 .

Используя определение выше, запишем: ( − 2 ) 4 = ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Вычислите значение 3 2 7 2

Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Выполните возведение в квадрат числа π .

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ ( 3 , 14 ) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ ( 3 , 14159 ) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени ( ln 6 ) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Так, ( − 9 ) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени – целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

5 0 = 1 , ( – 2 , 56 ) 0 = 1 2 3 0 = 1

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а – любое число, а z – целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Используя определение выше, запишем: 2 – 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8 : 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 – 3 = 1 2 3 = 1 8

Возведите 1 , 43 в степень – 2 .

Переформулируем: 1 , 43 – 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло ( 1 , 43 ) – 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: ( 1 , 43 ) – 2 = 10000 20449

Отдельный случай – возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a – 1 = 1 a 1 = 1 a .

9 13 – 1 = 13 9 6 4 – 1 = 1 6 4 .

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а , потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 – 2 3 = 8 – 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 – 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 – 2 3 = 8 – 2 3 = 8 3 – 2

После этого извлечем корень 8 3 – 2 = 2 3 3 – 2 = 2 – 2 и результат возведем в квадрат: 2 – 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь – 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями – довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную – значения не имеет: 0 – 4 3 .

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Вычислите приближенное значение 21 , 174367 .

Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .

источник

В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень. В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.

Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.

Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5) 5 », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ».

Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

По определению степень числа a с натуральным показателем n равна произведению n множителей, каждый из которых равен a , то есть, . Таким образом, чтобы возвести число a в степень n нужно вычислить произведение вида .

Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров.

Выполните возведение числа −2 в четвертую степень.

По определению степени числа с натуральным показателем имеем (−2) 4 =(−2)·(−2)·(−2)·(−2) . Осталось лишь выполнить умножение целых чисел: (−2)·(−2)·(−2)·(−2)=16 .

Найдите значение степени .

Данная степень равна произведению вида . Вспомнив, как выполняется умножение смешанных чисел, заканчиваем возведение в степень: .

.

Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим , а если взять , то возведение в степень даст .

Здесь стоит сказать, что во многих задачах нет необходимости возводить в степень иррациональные числа. Обычно ответ записывается либо в виде самой степени, например, , либо по возможности проводится преобразование выражения: .

В заключение этого пункта отдельно остановимся на возведении в первую степень. Здесь достаточно знать, что число a в первой степени – это есть само число a , то есть, . Это есть частный случай формулы при n=1 .

Например, (−9) 1 =−9 , а число в первой степени равно .

Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя, и для целых отрицательных показателей степени.

Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте.

Переходим к возведению в нулевую степень. В статье степень с целым показателем мы выяснили, что нулевая степень числа a определяется для любого отличного от нуля действительного числа a , при этом a 0 =1 .

Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу. Например, 5 0 =1 , (−2,56) 0 =1 и , а 0 0 не определяется.

Читайте также:  Как прорастить семя каштана

Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа a с целым отрицательным показателем −z определяется как дробь вида . В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем, значение которой мы умеем находить. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень.

Вычислите значение степени числа 3 с целым отрицательным показателем −2 .

По определению степени с целым отрицательным показателем имеем . Значение степени в знаменателе легко находится: 2 3 =2·2·2=8 . Таким образом, .

.

Найдите значение степени (1,43) −2 .

. Значение квадрата в знаменателе равно произведению 1,43·1,43 . Найдем его значение, выполнив умножение десятичных дробей столбиком:

Итак, . Запишем полученное число в виде обыкновенной дроби, умножив числитель и знаменатель полученной дроби на 10 000 (при необходимости смотрите преобразование дробей), имеем .

На этом возведение в степень завершено.

.

В заключение этого пункта стоит отдельно остановиться на возведении в степень −1 . Минус первая степень числа a равна числу, обратному числу a . Действительно, . Например, 3 −1 =1/3 , и .

Возведение числа в дробную степень базируется на определении степени с дробным показателем. Известно, что , где a – любое положительное число, m – целое, а n – натуральное число. Так возведение числа a в дробную степень m/n заменяется двумя действиями: возведением в целую степень (о чем мы говорили в предыдущем пункте) и извлечением корня n-ой степени.

На практике равенство на основании свойств корней обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n -ой степени из числа a , после чего полученный результат возводится в целую степень m .

Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.

Вычислите значение степени .

Покажем два способа решения.

Первый способ. По определению степени с дробным показателем . Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: .

Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства . Теперь извлекаем корень , наконец, возводим в целую степень .

Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.

.

Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.

Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью перевод десятичных дробей в обыкновенные): . Теперь выполняем возведение в дробную степень:

Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.

В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при имеем , а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, . А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0 -4,3 .

Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем. При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.

Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.

В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2 1,174367. . Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 2 1,17 ≈2,250116 . Таким образом, 2 1,174367. ≈2 1,17 ≈2,250116 . Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 2 1,174367. ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

источник

Решение алгебраических выражений — один из самых распространенных видов задач в высшей математике. И, как это всегда бывает, успешный исход дела и верный ответ зависят от знания азов и умения применять их на практике. Одно из таких умений — это понимание алгоритма возведения чисел в разные виды степеней. Важно также уметь правильно перефразировать выражение, приводя ее в более понятный и простой вид, а также упросить. Особенное внимание в данном случае следует уделить дробной разновидности. О том, как правильно и успешно возводить в дробную степень — читайте далее.

Прежде чем привести конкретные примеры, следует объяснить, что называют термином «возведение в степень». Вот подходящее определение. Возведением называют вычисление значения степени какого-либо числa. Поясним сказанное. Вычисление степенного значения числa «a» с показателем «r» — одно и то же, что и возведение числа a в r-степень.

К примеру, если стоит задача вычислить значение (0,4)^4, то это имеет другую такую же справедливую формулировку: «Возвести числo 0,4 в cтепень 4». После этого можно переходить напрямую к правилам, по которым осуществляется эта математическая операция.

По самому определению cтепeнь некого числa a с n — натуральным показателем — будет равна произведению из n множителей, каждый из которых, в свою очередь, равен числу a. Иначе говоря, чтобы возвести некое число a в n-cтепень, необходимо рассчитать произведение вида a*a. *a, поделенное на n. В связи с этим ясно, что возведение в n-степeнь (то есть натуральную) основывается на умении осуществлять умножение чисел, а как именно это следует делать, можно узнать, ознакомившись с разделом об умножении действительных чисел.

Опишем способы решения на некоторых примерах.

  1. Пример 1. Задача Требуется выполнить возведение числa минус два в cтепень 4. Решение задачи. По понятию cтeпени числa с натуральным показателем, мы имеем следующее: (-2)^4 =(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Все очень просто. Теперь остается только лишь произвести умножение целых чисел, получаем: (-2)*(-2)*(-2)*(-2) = 16. Записываем ответ: (-2)^4 = 16.
  2. Пример 2. Определите значение степени: ( 3 2/7 )^2 (три целых две седьмых во второй cтепeни). Решение задачи. Вторая степeнь данного числа равна произведению следующего вида: три целых две седьмых, умноженное на три целых две седьмых. Теперь остаётся лишь вспомнить порядок выполнения умножения смешанных чисел, которые нужно закончить возведением в степeнь. Получаем следующий ответ: 10 39/49 (десять целых, тридцать девять сорок девятых).

Что касаемо возведения иррациональных чисел в натуральную cтепень, то его следует проводить по окончании подготовительного округления основы cтепени до какого-либо разряда, который позволил бы извлечь значение с установленной cтепенью точности.

  • К примеру, нам следует возвести в квадрат числo пи.
  • Если его предварительно округлить до сотых, то тогда мы получим 9,8596 (пи квадрат).
  • Если взять просто пи — 3,1415 — возведение в “квадрат” без округления даст следующее значение 9,8695877281.

Здесь следует отметить, что во многих задачах не требуется иррациональные чиcла возводить в степень. Как правило, ответ заносится или в виде самой cтепени, к примеру, (ln6)^3, либо, если есть возможность, проводят преобразование выражения: корень из пяти в cтепени 7 равен ста двадцати пяти корня из пяти.

Это умение базируется на установлении степени с дробным показателем. Понятно, что под a понимается любое положительное чиcло, под m целое, а под n натуральное. Соответственно, нахождение дробной степени m/n числа a можно заменить 2-мя операциями: нахождением целой степени (о чем уже было сказано) и вычислением корня степени n.

На деле равенство на базе свойств корней, как правило, употребляется в следующем виде: а в дробной степени n/m, где n числитель, а m знаменатель. Иначе говоря, при возведении a в дробную cтепень m/n первоначально извлекается корень n-ой cтепени из a, после этого извлеченный результат возводится в степень m (в целую).

Разберем решение примеров возведения в дробную стeпень.

Пример. Вычислите значение 8 в отрицательную степeнь -2/3

Решение. Продемонстрируем 2 приема решения:

  • 1-й прием. Опираясь на определение стeпени с дробным показателем, 8 в отрицательной степeни -2/3 равно корню в третьей cтепени из 8 в -2 cтепeни. Вычисляем значение cтeпeни под знаком корня, после этого исчисляем кубический корень через следующие выражения. Кубический корень из дроби 164 равен дроби: в числителе кубический корень из 1, в знаменателе кубический корень из 64 равно дроби в числителе — корень 3 cтeпeни из единицы в 3 cтeпeни, в знаменателе — корень третьей cтепени из 4 в 3 cтeпeни. Получаем 14.
  • 2-й прием. Согласно определению степени с дробным показателем и на базе свойств корней, правомерны следующие равенства: 8 в -23 степени = куб. корню из 8 в -2 cтeпени = куб. корню из 8 в -2 cтeпени. Теперь следует извлечь и возвести в целую cтeпень. Получается, соответственно, 14.

Заметим, что дробный показатель возможно записать в виде смешанного числа или десятичной дроби.

Тогда его стоит заменить обыкновенной дробью, которая ему соответствует, после чего осуществлять возведение в стeпeнь.

В заключение, отдельно остановимся на возведении в 1-ую cтепень. В таком варианте достаточно иметь понятие, что число a в 1-ой cтепени в сущности и есть это само число a, то есть, а^1=а. Это представляет частный случай формулы при n равном 1. К примеру, (-9)^1= -9.

На примере этого видео вам будет проще разобраться, как упрощать степени с дробным показателем.

источник

Возведение в степень – операция, тесно связанная с умножением, это операция – результат многократного умножения какого-либо числа на само себя. Изобразим формулой: a1 * a2 * … * an = an .

Например, а=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Вообще возведение в степень часто используется в различных формулах по математике и физике. Эта функция имеет более научное предназначение, чем четыре основные: Сложение, Вычитание, Умножение, Деление.

Возведение числа в степень – операция не сложная. Оно связано с умножением подобно связи умножения и сложения. Запись an – краткая запись n-ого количество чисел «а» умноженных друг на друга.

Читайте также:  Как сушить шиповник на зиму в домашних условиях

Рассмотри возведение в степень на самых простых примерах, переходя к сложным.

Например, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Четыре в квадрате (во второй степени) равно шестнадцати. Если вам не понятно умножение 4 * 4 , то читайте нашу стать об умножении.

Рассмотрим еще одни пример: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Пять в кубе (в третьей степени) равно ста двадцати пяти.

Еще один пример: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Девять в кубе равняется семи сотням двадцати девяти.

Чтобы грамотно возводить в степень нужно помнить и знать формулы, указанные ниже. В этом нет ничего сверх естественного, главное понять суть и тогда они не только запомнятся, но и покажутся легкими.

Что из себя представляет одночлен? Это произведение чисел и переменных в любом количестве. Например, двух – одночлен. И вот именно о возведении в степень таких одночленов данная статья.

Пользуясь формулами возведения в степень вычислить возведение одночлена в степень будет не трудно.

Например, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6 ; Если возводить одночлен в степень, то в степень возводится каждая составная одночлена.

Возводя в степень переменную уже имеющую степень, то степени перемножаются. Например, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Отрицательная степень – обратное число. Что такое обратное число? Любому числу Х обратным будет 1/X. То есть Х-1=1/X. Это и есть суть отрицательной степени.

Почему так? Так как в степени имеется минус, то просто переносим в знаменатель данное выражение, а затем возводим в его в третью степень. Просто не так ли?

Начнем рассмотрение вопрос на конкретном примере. 43/2. Что означает степень 3/2? 3 – числитель, означает возведение числа (в данном случае 4) в куб. Число 2 – знаменатель, это извлечение корня второй степени из числа (в данном случае 4).

Тогда получаем квадратный корень из 43 = 2^3 = 8 . Ответ: 8.

Итак, знаменатель дробной степени может быть, как 3, так и 4 и до бесконечности любым числом и это число определяет степень квадратного корня, извлекаемого из заданного числа. Конечно же, знаменатель не может быть равным нулю.

Если корень возводится в степень, равной степени самого корня, то ответом будет подкоренное выражение. Например, (√х)2 = х. И так в любом случае равенства степени корня и степени возведения корня.

Если (√x)^4. То (√x)^4=x^2. Чтобы проверить решение переведем выражение в выражение с дробной степенью. Так как корень квадратный, то знаменатель равен 2. А если корень возводится в четвертую степень, то числитель 4. Получаем 4/2=2. Ответ: x = 2.

В любом случае лучший вариант просто перевести выражение в выражение с дробной степенью. Если не будет сокращаться дробь, значит такой ответ и будет, при условии, что корень из заданного числа не выделяется.

Что такое комплексное число? Комплексное число – выражение, имеющее формулу a + b * i; a, b – действительные числа. i – число, которое при возведение в квадрат дает число -1.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Запишитесь на курс “Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика”, чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

С помощью нашего калькулятора, Вы сможете посчитать возведение числа в степень:

Возведение в степень начинают проходить школьники только в седьмом классе.

Возведение в степень – операция, тесно связанная с умножением, это операция – результат многократного умножения какого-либо числа на само себя. Изобразим формулой: a1 * a2 * … * an=an .

Например, а=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8 .

Презентация по возведению в степень, рассчитанную на семиклассников. Презентация может разъяснить некоторые непонятные моменты, но, вероятно, таких моментов не будет благодаря нашей статье.

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше – записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет – НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

источник

Для любого языка программирования доступна математическая функция возведения в произвольную степень, например в степень 3.412. Но, к сожалению, это не для всех ЯП. В языке Verilog есть возможность работать с числами с плавающей точкой (для несинтезируемых тестбенчей), не более того.

Интересует способ реализации возведения в дробную степень (обратное действие логарифмирование) используя элементарные операции с числами с плавающей точкой.

Например увеличение напряжения в 1.5 раза это 20×log(1.5) = 3,5218 дБ. Чтобы получить обратно эти 1.5 нужно 10^(3.5218÷20) = 10^0.17609

Я пока не представляю как возвести число в степень 0.1, для меня это как представить 5-мерное пространство. В интернете объясняют только через дроби, либо предлагают «калькулятор онлайн».

Я пока не представляю как возвести число в степень 0.1, для меня это как представить 5-мерное пространство. В интернете объясняют только через дроби

Чем тебя не устраивает объяснение через дроби? Оно же простое и понятное.

Алгоритм для вычисления корня n-ной степени?

Я пока не представляю как возвести число в степень 0.1

Это суть радикал 10й степени. Про то как вычислять арифметическими действиями выше написал

Про то как вычислять арифметическими действиями выше написал

Выше это где? Как вычислить корень степени n?

Например тут в примере тупо подогнали число чтобы его можно было просто вычислить и вытащить корень – читеры!

А с наименьшим количеством арифметических дейстий будет наверное разложение в ряд (1 + x) ^ a

Вот например тут описан метод Ньютона и другие. Судя по всему мне это не подходит.

Имеет ли имя это разложение в ряд для нахождения корня, чтобы я загуглил его?

Не страдай фигнёй, в IEEE 754 практически тривиально считаются log2 и exp2, любое возведение в степень выражается через них.

Этот ряд довольно медленно сходится, на практике его никто не считает.

Причем здесь вообще метод Ньютона? Ссылка же на обобщенный алгоритм для степени n

Имеет ли имя это разложение в ряд для нахождения корня, чтобы я загуглил его?

Разложение в ряд не для нахожденя корня, а для решения твоего вопроса самым быстрым путем. Ряды Тейлора смотри

Я догадываюсь, но ТС вряд ли спрашивает для того чтобы это реализовывать. Ему просто интересно, наверное, ну или не знаю

Это называется показательная функция. Она же экспонента. Ряд для экспоненты – в гугле. Аппроксимации там же.

Как найти логарифм тебе уже писали.

e^ так же находишь через ряд тейлора

ТС вряд ли спрашивает для того чтобы это реализовывать. Ему просто интересно, наверное, ну или не знаю

абсолютно не интересно 😉 и да, спрашиваю чтобы реализовать сначала на C++, затем перенести на Verilog

zhekas Точно! Можно же через это: Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора. Как-то я забыл про то что экспоненту вычислить можно через ряд, слабоват я в математике. Вроде и ограничения по диапазону нету.

Тогда то, что я говорил про корни это точно не нужно. А выше кто-то говорит что ряд тоже медленный. Надо узнать его про быстрый способ, а вообще, почему бы не посмотреть как это в glibc например

почему бы не посмотреть как это в glibc например

Там ясно как – тупо FPU. Кстати, уже к теме не относится, но какой алгоритм работы FPU у x86 или у ARM? Как-то туго гуглится, но мне это интересно. Знаю только про https://ru.wikipedia.org/wiki/CORDIC но в FPU может что-то другое.

Чето не очень считает, более менее точно от 0.0 до 3.0:

Вплоть до 35 дБ мне точности хватает!

Точность ряда тейлора определяется следующим членом последовательности.

Тоесть чтобы точность была скажем a=1/1000, необходмо, чтобы x^/(n+1)! ★ ( 05.02.16 17:38:15 )

См. код вычисления экспоненты http://www.netlib.org/fdlibm/e_exp.c Как видишь, все очень просто.

1) Сначала приводим аргумент x к отрезку [0,ln(2)/2=0.34658], вычитая из x целое k ln(2). Теперь функция выглядит как exp(ln(2)*k+r) = exp(ln(2)*k) * exp(r) = 2^k * exp(r)

2) потом аппроксимируем полиномом exp(r) на этом отрезке, а результат домножаем на 2^k. Вот и все.

А вот вместо ряда Тейлора лучше получить минимаксный полином. https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_Ремеза, функция MiniMaxApproximation в Mathematica.

Посчитать квадратный корень, корень из корня etc. Взять двоичное представление степени и умножить нужные.

И чем он будет лучше полинома, полученного по МНК в данном случае?

Только в продакшн такое не пихай. Вот так правильнее:

При итерировании дальше 14 int переполняется.

1) 10^(x)=8^(2^(-N)*[2^(N)*log8(10)*x]), выделяешь целую часть выражения в квадратных скобках и возводишь в нее число 8^(2^(-N)) или 8^(2^(N)), а потом 1.0 делишь на результат.

2) Выбираешь шаг точности A(близким, но не равным 1.0, можно рациональное число) 10^(x)=A^(logA(10)*x), опять берешь целую часть и возводишь в эту степень.

3) Составляешь таблицу и ищешь в ней делением пополам. Ответ подставляешь в разложение экспоненциальной функции. если 10^(F-h) ( 07.02.16 07:42:30 )

Нужен ли матан и диплом программисту?

Можно и МНК, но речь выше шла о Тейлоре, которого обычно использовать не нужно.

Как-то идея с рядом Тейлора мне не по душе. Ну, разложишь [latex](1+x)^a[/latex] по степеням x, а там проблема, что число в дробной степени плохо считается при приближении числа к нулю. В данном примере, при [latex]x=-1[/latex]. Как следствие — малый радиус сходимости ряда Тейлора (в данном примере — единица).

Не знаю исходные условия, но если есть функция sqrt, то лучше свести задачу к возведению числа в квадрат и вычислению sqrt. С большой точностью дробную степень можно представить как ряд из степеней двойки (включающий также и отрицательные степени). Переход от степеней к числу элементарен: сумму заменяем на умножение, увеличение в два раза — возведение в квадрат, уменьшение в два раза — вычисление корня (sqrt).

Читайте также:  Как платить за электроэнергию на даче

Это, конечно, так. Просто получать «на лету» равномерные приближения сильно затратнее чем среднеквадратичные.

В данном случае на лету ничего вычислять не нужно, функция заранее известна и не меняется. Можно хоть неделю потратить на поиск наилучшего полинома.

Никаких продакшенов, суть сишного кода просто алгоритм отработать. Твой вариант обязательно попробую 🙂

источник

Калькулятор степеней поможет просто и быстро возвести число в степень онлайн. При этом показатель степени может быть как положительным, так и отрицательным!

то есть число равно числу умноженному само на себя раз.

Число обычно называют показателем степени, а число — основанием степени.

Чтобы понять, как возводить число в степень, рассмотрим несколько простых примеров.

Возведём в пятую степень число то есть вычислим значение выражения По определению, данному выше,

Вычислим, чему равно то есть чему равно число возведённое в третью степень.

Показатели степени могут быть не только положительными, но и отрицательными.

Калькулятор помогает возводить число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые целые числа и десятичные дроби. Показатель степени тоже может быть любой десятичной дробью, однако следует помнить о том, что для отрицательных чисел не определена операция возведения в нецелую степень.

При записи дробных чисел можно использовать как точку, так и запятую. В ответе большие числа записываются в так называемом «научном формате», то есть число выглядит как e . Например, , а

Какой полезный калькулятор! Обязательно буду заходить сюда, чтобы возвести в степень

источник

Возведение в степень — это арифметическая операция повторяющегося умножения. Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.

В первую очередь степень — это повторяющееся умножение. Число 13 4 — это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя. Если умножить 13 4 на 13 2 , то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 13 6 . Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:

Если разделить 13 4 на 13 2 , то нам потребуется вычислить дробь вида:

Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 13 2 . Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей. Второе правило действий со степенями математически выглядит так:

Теперь давайте возведем 11 4 в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются. Третье правило записывается так:

Это основные правила работы со степенными выражениями. Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую. Какой результат даст выражение 15 0 ? Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 15 4 на 15 4 , что запишется как дробь:

Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу. Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 15 0 . Следовательно:

Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице. Выглядит это правило так:

При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 8 2 на 8 4 и запишем выражение в виде дроби.

Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8 -2 . В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате. Таким образом:

При этом для значения -1 правило трансформируется в элегантную формулу:

И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях. Что мы можем сделать с выражением 7 (1/2) . Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка. Степень 1/2 — это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число. Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3? Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат. Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель — возведение в степень. Математически это выглядит как:

a (m/n) есть корень n-ной степени из a m .

Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.

Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени. Рассмотрим пару примеров.

Если мы положим на банковский депозит $1 000 под годовую ставку в размере 9% годовых, то сколько денег на счету будет через 20 лет? Рост с течением времени рассчитываются по экспоненциальной формуле вида:

где a – начальное значение, e – константа, равная 2,718; k – коэффициент роста; t – время.

Для решения банковской задачи нам потребуется возвести 2,718 в степень, равную 20 × 0,09 = 1,8. Воспользуемся нашим калькулятором и введем в ячейку «Число, x =» значение 2,718, а в ячейку «Степень, n =» значение 1,8. Мы получим ответ, равный 6,049. Теперь, для подсчета суммы на банковском счету нам необходимо умножить начальное значение $1 000 на прирост в размере 6,049. В итоге, через 20 лет на депозите будет $6 049.

Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x 2,5 . Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции. Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5. После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588. Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам.

Возведение в степень — арифметическая операция последовательного умножения. Степени имеют больше значение в прикладных науках, так как большинство реальных процессов описываются при помощи степенных функций. Используйте наш калькулятор для расчетов любых практических или школьных задач.

источник

Математика – это очень просто, даже проще, чем мы можем себе представить. Сложной математику делают сами математики.

Если число необходимо возвести в дробную степень, например, 2,71 в степени 1,32, тогда нужно воспользоваться калькулятором. Для получения результата возведения числа в дробную степень используем кнопочку “икс в степени игрек”.

Делается всё достаточно просто, на уровне дрессированных обезьян, но порядок нажимания кнопочек нужно знать, иначе результат получится не правильным. В отличии от обезьяны, я сам устанавливал порядок нажимания кнопочек, используя метод научного тыка и анализируя полученный результат. Вот что у меня получилось.


Набираем число 2,71, потом нажимаем кнопочку х^у (икс в степени игрек), набираем число 1,32 (показатель степени), нажимаем кнопочку равно. Всё, операция по добыче дробной степени числа победоносно завершилась.

2,71 ^ 1,32 = 3,72837394175188

Что бы не писать столько цифр в тетрадь, результат нужно округлить. Мне захотелось округлить результат до четырех цифр после запятой, получилось 3,7284. Это гораздо более удобописаемый вид.

Я обезьяна любопытная, по этому на калькуляторе я нашел ещё одну кнопочку, которую решил попробовать – корень игрек из числа икс. Как я предполагал, результат должен получиться точно таким же. Набираю число, нажимаю кнопочку корня, ввожу в калькулятор показатель степени корня и нажимаю равно. Получаю облом – число вылезло совсем другое.


Вот что нас отличает от дрессированных обезьян, так это умение анализировать полученный результат. Если вы не умеете анализировать полученный результат, значит вы ничем не отличаетесь от дрессированной обезьяны. Такова суровая правда жизни.

Включаю свой аналитический аппарат под названием “мозги” и начинаю соображать. Из двух полученных результатов один явно не правильный. Калькулятор – штука умная, но тупая. Он гораздо лучше меня умеет считать, но он не понимает, что именно мне посчитать нужно. Типичная дрессированная обезьяна – тупо выполняет те команды, которые я ему даю. Значит нужно думать мне.

Число у нас больше единицы, показатель степени то же больше единицы, значит при возведении такого числа в такую степень результат должен быть больше первоначального числа. Ведь 2,71 в первой степени равно 2,71 – это нижний предел. А если 3 возвести в квадрат, то есть в степень 2, получится 9. Вот где-то в этом диапазоне, от 2,71 до 9 должен находиться нужный мне ответ. Получается, что первый ответ 3,7284 правильный, а второй 2,1282 – нет.

Почему второй результат не правильный? Вот тут я вспомнил математику. Если к числу прицепить корень, то это будет означать показатель степени меньше единицы, а точнее единицу, деленную на показатель степени. Квадратный корень – это число в степени 1/2. Во втором случае я возвел число 2,71 в степень 1/1,32. Поскольку показатель степени меньше единицы, то и результат получился меньше первоначального числа. Действительно, 2,1282 меньше, чем 2,71. Калькулятор тупо выполнил то, что я его попросил. Вау! Я такой умный в некоторых местах, аж самому страшно.

источник

Adblock
detector