Меню

Формула как найти сумму углов многоугольника

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять каких-либо точек и соединить их последовательно отрезками.

  • Точки – вершины многоугольника.
  • Отрезки – стороны многоугольника.

Многоугольник с сторонами называют -угольником.

Давай-ка нарисуем, какие бывают многоугольники.

А теперь вопрос: какой из этих многоугольников выпадает из ряда?

Посмотри внимательно на второй многоугольник – он по-существу отличается от всех остальных. Чем же? Он не выпуклый. Это конечно математическое название, но с человеческой интуицией не расходится.

Ну вот, а мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники, то есть такие, как 1),3),4) и т.п.

Итак, основной факт:

В любом многоугольнике сумма внутренних углов равна , где буква « » означает число углов многоугольника.

Ах да, про треугольник забыли.

А теперь давай все-таки разберемся, откуда же взялась формула . Зачем? Понимаешь, приемчик, который мы сейчас применим, часто оказывается полезным при решении разных задач. Несмотря на то, что теорема о сумме углов многоугольника верна для всякого многоугольника, доказательство красивое и простое только для выпуклых многоугольников. Итак, давай разделим многоугольник на треугольники.

Вот так: из одной точки проведем все диагонали, что можно. Сколько их будет? Считаем:

Всего вершин:
Из вершины можем провести диагонали во все вершины, кроме:

  • Самой вершины
  • Вершины
  • Вершины

Значит всего диагоналей . А на сколько треугольников распался наш многоугольник?

Представь себе: на . Порисуй, посчитай – удостоверься, что треугольников оказывается ровно на один больше.

Итак, у нас ровно треугольника. И сумма углов многоугольника просто равна сумме углов треугольников, на которые мы разбили многоугольник. Чему равна сумма углов треугольника? Помнишь? Конечно .

Ну вот, треугольника, в каждом по , значит:

Сумма углов многоугольника равна

Что же из этого может оказаться полезным? А вот что:

  1. Разделение на треугольники.
  2. Осознание того, что если провести какую-нибудь диагональ, то получится два новых многоугольника, сумма углов которых равна сумме углов большого многоугольника.
Его сумма углов . Провели диагональ, скажем :

Получился пятиугольник и семиугольник . Сумма углов равна , а сумма углов равна . А вместе : – все сошлось! Ну и на этом о произвольных многоугольниках – хватит.

Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны. Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.

Первый вопрос:

А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?

И ответ: можно!

Давай посмотрим на примере.

Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:

Сумма всех его углов равна . А сколько всего углов? Восемь конечно, и они все одинаковые.

Значит любой угол, скажем можно найти:

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

При этом центры этих окружностей совпадают.

И более того, всегда можно посчитать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей.

Давай опять на примере восьмиугольника. Посмотри на . В нем

Значит, – и это не только в восьмиугольнике!

Чему же равен в нашем случае ?

Ровно половине , представь себе!

Значит . Смешно? Но так и есть! Поэтому для восьмиугольника .

Может возникнуть еще один вопрос: а можно ли посчитать углы «около» точки ? И тот же ответ: конечно можно! Опять рассмотрим наш восьмиугольник. Вот мы хотим найти (то есть ).

Мы знаем, что в сумма углов равна . Значит:

И так можно все находить не только для восьмиугольника, но и для любого правильного многоугольника.

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять каких-либо точек и соединить их последовательно отрезками.

  • Точки – вершины многоугольника.
  • Отрезки – стороны многоугольника.

Многоугольник с сторонами называют -угольником .

Например: многоугольник c сторонами называют четырехугольником , многоугольник с сторонами – шестиугольником и так далее по аналогии.

Четырехугольник
Шестиугольник
  • Выпуклый многоугольник – многоугольник лежащий по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины.

Сумма внутренних углов выпуклого n -угольника равна или , где – внутренний угол многоугольника.

Правильный выпуклый многоугольник – многоугольник все стороны и внутренние углы которого равны.

Внутренний угол правильного -угольника равен .

  • Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и окружности, описанной около него, совпадают.

Если многоугольник такой, что в него можно вписать окружность, то его площадь выражается формулой: , где .

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте – нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

  1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье – Купить статью – 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника – Купить учебник – 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

источник

Цель: Вывести формулу для нахождения суммы углов выпуклого многоугольника;

  • исследовать вопрос о сумме внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине;
  • формировать положительную мотивацию к познавательной деятельности ;
  • развивать логическое мышление ;
  • развивать внимание, наблюдательность, умение анализировать чертеж;
  • формировать умение применять полученные знания для решения задач;
  • развивать коммуникативную культуру учащихся.

Великий русский ученый, гордость Земли Русской,

Читайте также:  Какое соцветие у укропа

Михайло Васильевич Ломоносов, сказал: “ Неусыпный труд препятствия преодолевает”. Я надеюсь, что сегодня на уроке наш с вами труд поможет нам преодолеть все препятствия.

1. Актуализация опорных знаний. (Фронтальный опрос.)

– Сформулируйте определение многоугольника, назовите его основные элементы.
– Определение выпуклого многоугольника.
– Приведите примеры известных вам четырехугольников, которые являются выпуклыми многоугольниками.
– Можно ли треугольник считать выпуклым многоугольником?
– Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?

2. Постановка проблемы (выход на тему урока).

Устная фронтальная работа.

Найдите сумму углов данных многоугольников (Слайды 5–6)

– треугольника; прямоугольника:
– трапеции; произвольного семиугольника.

В случае затруднения учитель задает вопросы:

– Сформулируйте определение трапеции.
– Назовите основания трапеции.
– Что можно сказать о паре углов А и Д, каким свойством они обладают?
– Можно ли еще назвать на чертеже пару внутренних односторонних улов?
– Смогли вы найти сумму углов семиугольника? Какой возникает вопрос? (Существует ли формула для нахождения суммы углов произвольного многоугольника?)

Итак, ясно, что наших знаний на сегодня не достаточно для решения этой задачи.

Каким образом можно сформулировать тему нашего урока? – Сумма углов выпуклого многоугольника.

3. Решение проблемы. Чтобы ответить на поставленный вопрос, давайте проведем небольшое исследование.

Мы уже знаем теорему о сумме углов треугольника. Можем ли мы ее каким либо образом применить?

– Что для этого надо сделать? (Разбить многоугольник на треугольники.)

– А каким образом многоугольник можно разбить на треугольники? Подумайте над этим, обсудите и предложите свои самые удачные варианты.

Идет работа в группах, каждая группа работает за отдельным компьютером, на котором установлена программа “Geo Gebra”.

По окончании работы учитель выводит на экран результаты работы групп. (Слайд 7)

– Давайте проанализируем предложенные варианты и попробуем выбрать самый оптимальный для нашего исследования.

Определимся с критериями отбора: что мы хотим получить в результате разбиения? (Сумма всех углов построенных треугольников должна быть равна сумме углов многоугольника.)

– Какие варианты можно сразу отбросить? Почему?

(Вариант 1, так как сумма углов всех треугольников не равна сумме углов многоугольника.)

– Какой вариант годиться больше всего? Почему? (Вариант 3.)

Как получили этот вариант? (Провели диагонали из одной вершины многоугольника

чертеж n – количество вершин многоугольника Количество диагоналей, проведенных из одной вершины Количество полученных треугольников
4
5
6
7
n

– Попробуем установить зависимость между количеством вершин многоугольника, количеством диагоналей, которые можно провести из одной вершины и количеством получаемых при этом треугольников.

Каждая группа получает таблицу, которую должны заполнить в процессе исследования.

После обсуждения в группах дети формулируют полученные выводы:
из одной вершины n-угольника можно провести n – 3 диагонали, (так как диагональ нельзя провести к самой выбранной вершине и к двум соседним). При этом получим n – 2 треугольника.

Следовательно, сумма углов выпуклого многоугольника равна 180 0 (n-2).

– Вернемся к предложенным вариантам разбиения многоугольника на треугольники.

Можно ли использовать для доказательства этой теоремы вариант, предложенный на рисунке 4?

– Сколько треугольников получается при таком разбиении? (п штук)
– На сколько отличается сумма углов всех треугольников от суммы углов многоугольника? (На 360 0 )
– Каким образом можно сосчитать сумму углов многоугольника в этом случае?

(180п – 360 = 180 п – 180х2 = 180(п -2) )(Слайд 8)

– Удовлетворяет ли главному требованию, которое мы предъявляли к разбиению, вариант, предложенный на рисунке 2? (Да.)

– Почему не целесообразно его использование для нахождения суммы углов многоугольника? (Тяжелее подсчитать количество получаемых треугольников.)

Ну а теперь вернемся к задаче, которую мы не смогли решить вначале урока.

(Дети устно считают сумму углов семиугольника и еще два аналогичных упражнения.) (Слайд 9 и 10)

4. Применение полученных знаний.

Мы вывели формулу для нахождения суммы внутренних углов выпуклого многоугольника. А теперь поговорим о сумме внешних углов многоугольника, взятых по одной при каждой вершине.

Итак, задача: что больше: сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у выпуклого шестиугольника или у треугольника? (Слайд 11)

Дети высказывают свои предположения. Учитель предлагает провести исследование для решения этого вопроса.

Каждая группа получает задание для самостоятельного решения.

1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у правильного треугольника.
2) – У треугольника, градусные величины углов которого равны соответственно 70 0 , 80 0 и 30 0 .

1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у прямоугольника.
2) – У четырехугольника, внутренние углы которого равны соответственно 70 0 , 80 0 и 120 0 и 90 0 .

1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у правильного шестиугольника.
2) – У шестиугольника, внутренние углы которого равны соответственно 170 0 , 80 0 и 130 0 , 100 0 , 70 0 , 170 0.

После окончания работы дети сообщают свои результаты, учитель заносит их в таблицу и демонстрирует на экране. (Слайд 12)

Итак, какой вывод можно сделать из полученных результатов? (Сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у любого многоугольника равна 360 0. )

А теперь давайте попробуем доказать этот факт для любого н-угольника.

Если возникают трудности, коллективно обсуждается план доказательства:

1. Обозначить внутренние углы многоугольника через α, β, γ и т.д.
2. Выразить через введенные обозначения градусные меры внешних углов
3. Составить выражение для нахождения суммы внешних углов многоугольника
4. Преобразовать полученное выражение, использовать полученную ранее формулу для суммы внутренних углов многоугольника.

Доказательство записывается на доске:

(180 – α) + (180 – β) + (180 – γ) + …= 180 п – (α+ β +γ + …) = 180 п – 180(п – 2) = 360

Далее демонстрируется видео: как можно проиллюстрировать этот факт с помощью картонной модели. (Слайд 13)

5. Закрепление изученного материала. Решение задач.

Задача 1. Существует ли выпуклый многоугольник с такими внутренними углами: 45 0 , 68 0 , 73 0 и 56 0 ? Объясните свой ответ.

Проведем доказательство от противного. Если у выпуклого многоугольника четыре острых внутренних угла то среди его внешних углов четырех тупых, откуда следует, что сумма всех внешних углов многоугольника больше 4*90 0 = 360 0 . Имеем противоречие. Утверждение доказано.

В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные – 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?

Так как: для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n – 2), то 180(n – 2)=3*80 + x*150, где 3 угла по 80 градусов нам даны по условию задачи, а количество остальных углов нам пока неизвестно, значит, обозначим их количество через x.

Однако из записи в левой части мы определили количество углов многоугольника как n, поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то очевидно, что x=n-3.

Таким образом, уравнение будет выглядеть так: 180(n – 2) = 240 + 150(n – 3)

Решаем полученное уравнение

180n – 360 = 240 + 150n – 450

180n – 150n = 240 + 360 – 450

6. Подведение итогов урока.

Итак, давайте подведем итоги. Сформулируйте свои вопросы для ребят из другой группы по материалам сегодняшнего урока.

Какой вопрос вы считаете наиболее удачным?

Обсудите степень участия каждого члена группы в коллективной работе, назовите самых активных.

Чья работа в группе была самой результативной?

В многоугольнике три угла по 113 градусов, а остальные равны между собой и их градусная мера – целое число. Найти количество вершин многоугольника.

Читайте также:  Как заблокировать от ребенка нежелательные сайты

2. п.114 стр.169–171, Погорелов А.В. “Геометрия 7–9”.

источник

Данные геометрические фигуры окружают нас повсюду. Выпуклые многоугольники бывают природными, например, пчелиные соты или искусственными (созданными человеком). Эти фигуры используются в производстве различных видов покрытий, в живописи, архитектуре, украшениях и т.д. Выпуклые многоугольники обладают тем свойством, что все их точки располагаются по одну сторону от прямой, что проходит через пару соседних вершин этой геометрической фигуры. Существуют и другие определения. Выпуклым называется тот многоугольник, который расположен в единой полуплоскости относительно любой прямой, содержащей одну из его сторон.

Вершины многоугольника называют соседними, в том случае если они представляют собой концы одной из его сторон. Геометрическая фигура, у которой имеется n-е число вершин, а значит, и n-е количество сторон, называется n-угольником. Саму ломаную линию называют границей или контуром этой геометрической фигуры. Многоугольной плоскостью или плоским многоугольником называют конечную часть любой плоскости, им ограниченной. Соседними сторонами этой геометрической фигуры называют отрезки ломаной линии, исходящие из одной вершины. Они будут не соседними, если исходят их разных вершин многоугольника.

• каждый отрезок, что соединяет две любые точки внутри него, полностью лежит в нем;

• внутри него лежат все его диагонали;

• любой внутренний угол не превышает 180°.

Многоугольник всегда разбивает плоскость на 2 части. Одна из них – ограниченная (она может быть заключена в круг), а другая – неограниченная. Первую называют внутренней областью, а вторую – внешней областью этой геометрической фигуры. Данный многоугольник является пересечением (иными словами – общей составляющей) нескольких полуплоскостей. При этом каждый отрезок, имеющий концы в точках, которые принадлежат многоугольнику, полностью принадлежит ему.

Правильный четырехугольник – квадрат. Правильный треугольник называют равносторонним. Для таких фигур существует следующее правило: каждый угол выпуклого многоугольника равен 180° * (n-2)/ n,

где n – число вершин этой выпуклой геометрической фигуры.

Площадь любого правильного многоугольника определяют по формуле:

где p равно половине суммы всех сторон данного многоугольника, а h равно длине апофемы.

Предположим, что Р – данный выпуклый многоугольник. Берем 2 произвольные точки, например, А, В , которые принадлежат Р. По существующему определению выпуклого многоугольника эти точки расположены в одной стороне от прямой, что содержит любую сторону Р. Следовательно, АВ также имеет это свойство и содержится в Р. Выпуклый многоугольник всегда возможно разбить на несколько треугольников абсолютно всеми диагоналями, которые проведены из одной его вершины.

Углы выпуклого многоугольника – это углы, что образованы его сторонами. Внутренние углы находятся во внутренней области данной геометрической фигуры. Угол, что образован его сторонами, которые сходятся в одной вершине, называют углом выпуклого многоугольника. Углы, смежные с внутренними углами данной геометрической фигуры, называют внешними. Каждый угол выпуклого многоугольника, расположенный внутри него, равен:

где х – величина внешнего угла. Эта простая формула действует в отношении любых геометрических фигур такого типа.

В общем случае, для внешних углов существует следующие правило: каждый угол выпуклого многоугольника равен разности между 180° и величиной внутреннего угла. Он может иметь значения в пределах от -180° до 180°. Следовательно, когда внутренний угол составляет 120°, внешний будет иметь величину в 60°.

где n – число вершин n-угольника.

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется довольно просто. Рассмотрим любую такую геометрическую фигуру. Для определения суммы углов внутри выпуклого многоугольника необходимо соединить одну из его вершин с другими вершинами. В результате такого действия получается (n-2) треугольника. Известно, что сумма углов любых треугольников всегда равна 180°. Поскольку их количество в любом многоугольнике равняется (n-2), сумма внутренних углов такой фигуры равняется 180° х (n-2).

Сумма углов выпуклого многоугольника, а именно любых двух внутренних и смежных с ними внешних углов, у данной выпуклой геометрической фигуры всегда будет равна 180°. Исходя из этого, можно определить сумму всех ее углов:

Сумма внутренних углов составляет 180° * (n-2). Исходя из этого, сумму всех внешних углов данной фигуры устанавливают по формуле:

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда будет равна 360° (независимо от количества его сторон).

Внешний угол выпуклого многоугольника в общем случае представляется разностью между 180° и величиной внутреннего угла.

Помимо основных свойств данных геометрических фигур, у них есть и другие, которые возникают при манипуляциях с ними. Так, любой из многоугольников может быть разделен на несколько выпуклых n-угольников. Для этого необходимо продолжить каждую из его сторон и разрезать эту геометрическую фигуру вдоль этих прямых линий. Разбить любой многоугольник на несколько выпуклых частей можно и таким образом, чтобы вершины каждого из кусков совпадали со всеми его вершинами. Из такой геометрической фигуры можно очень просто сделать треугольники путем проведения всех диагоналей из одной вершины. Таким образом, любой многоугольник, в конечном счете, можно разбить на определенное количество треугольников, что оказывается весьма полезным при решении различных задач, связанных с такими геометрическими фигурами.

Отрезки ломаной линии, называемые сторонами многоугольника, чаще всего обозначаются следующими буквами: ab, bc, cd, de, ea. Это стороны геометрической фигуры с вершинами a, b, c, d, e. Сумма длины всех сторон этого выпуклого многоугольника называют его периметром.

Выпуклые многоугольники могут быть вписанными и описанными. Окружность, касающаяся всех сторон этой геометрической фигуры, называется вписанной в нее. Такой многоугольник называют описанным. Центр окружности, которая вписана в многоугольник, представляет собой точку пересечения биссектрис всех углов внутри данной геометрической фигуры. Площадь такого многоугольника равняется:

где r – радиус вписанной окружности, а p – полупериметр данного многоугольника.

Окружность, содержащую вершины многоугольника, называют описанной около него. При этом данная выпуклая геометрическая фигура называется вписанной. Центр окружности, которая описана около такого многоугольника, представляет собой точку пересечения так называемых серединных перпендикуляров всех сторон.

Число диагоналей выпуклого многоугольника играет важную роль в элементарной геометрии. Число треугольников (К), на которые возможно разбить каждый выпуклый многоугольник, вычисляется по следующей формуле:

Количество диагоналей выпуклого многоугольника всегда зависит от числа его вершин.

В некоторых случаях для решения геометрических задач необходимо разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников с непересекающимися диагоналями. Эту проблему можно решить путем выведения определенной формулы.

Определение задачи: назовем правильным некое разбиение выпуклого n-угольника на несколько треугольников диагоналями, пересекающимися только в вершинах этой геометрической фигуры.

Решение: Предположим, что Р1, Р2 , Р3 … , Pn – вершины этого n-угольника. Число Xn – количество его разбиений. Внимательно рассмотрим полученную диагональ геометрической фигуры Pi Pn. В любом из правильных разбиений Р1 Pn принадлежит определенному треугольнику Р1 Pi Pn, у которого 1 17 апреля, 2014

источник

Определение многоугольника
Диагонали n – угольника
Внешний угол многоугольника
Свойства углов треугольника
Свойства углов многоугольника
Свойства углов правильного n – угольника
Доказательства теорем о свойствах углов многоугольника

причём таких, что два любых отрезка, имеющих общий конец, не лежат на одной прямой (рис.1).

Определение 1 . Ломаной линией с n звеньями называют фигуру L , составленную из отрезков (1), то есть фигуру, заданную равенством

В случае, когда точки A1 и An +1 совпадают, ломаную линию называют замкнутой ломаной линией (рис. 2), в противном случае её называют незамкнутой (рис.1).

Определение 2 . Многоугольником называют часть плоскости, ограниченную замкнутой ломаной линией без самопересечений (рис. 3). Отрезки, составляющие ломаную линию ( звенья ), называют сторонами многоугольника. Концы отрезков называют вершинами многоугольника.

Определение 3 . Многоугольник называют n – угольником , если он имеет n сторон.

Читайте также:  Как в автозагрузку поместить файл

Таким образом, многоугольник, имеющий 3 стороны, называют треугольником , многоугольник, имеющий 4 стороны, называют четырёхугольником и т.д.

Определение 4 . Периметром многоугольника называют сумму длин всех сторон многоугольника.

Величину, равную половине периметра, называют полупериметром .

Число диагоналей n – угольника равно

Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника

Фигура Рисунок Описание
Диагональ
многоугольника
Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника
Диагонали
n – угольника, выходящие из одной вершины
Диагонали, выходящие из одной вершины
n – угольника, делят n – угольник на
n – 2 треугольника
Все диагонали
n – угольника
Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины

Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника

Все диагонали n – угольника

Число диагоналей n – угольника равно

Определение 5 . Два угла называют смежными , если они имеют общую сторону, и их сумма равна 180° (рис.1).

Определение 6 . Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с внутренним углом многоугольника (рис.2).

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним

Сумма углов многоугольника равна

Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°

Сумма углов многоугольника равна

Внешние углы n – угольника

Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°

Все углы правильного n – угольника равны

Все внешние углы правильного
n – угольника
равны

Все углы правильного n – угольника равны

Внешние углы правильного n – угольника

Все внешние углы правильного
n – угольника
равны

Теорема 1 . В любом треугольнике сумма углов равна 180° .

Доказательство . Проведем, например, через вершину B произвольного треугольника ABC прямую DE, параллельную прямой AC, и рассмотрим полученные углы с вершиной в точке B (рис. 3).

Углы ABD и BAC равны как внутренние накрест лежащие. По той же причине равны углы ACB и CBE . Поскольку углы ABD , ABC и CBE в сумме составляют развёрнутый угол, то и сумма углов треугольника ABC равна 180° . Теорема доказана.

Теорема 2 . Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство . Проведём через вершину C прямую CE, параллельную прямой AB, и продолжим отрезок AC за точку C (рис.4).

Углы ABC и BCE равны как внутренние накрест лежащие. Углы BAC и ECD равны как соответственные равны как соответственные . Поэтому внешний угол BCD равен сумме углов BAC и ABC . Теорема доказана.

Замечание . Теорема 1 является следствием теоремы 2.

Теорема 3 . Сумма углов n – угольника равна

Доказательство . Выберем внутри n – угольника произвольную точку O и соединим её со всеми вершинами n – угольника (рис. 5).

Сумма углов всех этих треугольников равна сумме всех внутренних углов n – угольника плюс сумма всех углов с вершиной в точке O . Поэтому сумма всех углов n – угольника равна

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360° .

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

В соответствии рисунком 6 справедливы равенства

источник

В основном курсе геометрии доказывается, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180° (n-2). Оказывается, что это утверждение справедливо и для невыпуклых многоугольников.

Теорема 3. Сумма углов произвольного n-угольника равна 180° (n – 2).

Доказательство. Разобьем многоугольник на треугольники, проведением диагоналей (рис. 11). Число таких треугольников равно n-2, и в каждом треугольнике сумма углов равна 180°. Поскольку углы треугольников составляют углы многоугольника, то сумма углов многоугольника равна 180° (n – 2).

Рассмотрим теперь произвольные замкнутые ломаные, возможно с самопересечениями A1A2…AnA1 (рис. 12, а). Такие самопересекающиеся ломаные будем называть звездчатыми многоугольниками (рис. 12, б-г).

Зафиксируем направление подсчета углов против часовой стрелки. Заметим, что углы, образованные замкнутой ломаной, зависят от направления ее обхода. Если направление обхода ломаной меняется на противоположное, то углами многоугольника будут углы, дополняющие углы исходного многоугольника до 360°.

Если M – многоугольник, образован простой замкнутой ломаной, проходимой в направлении по часовой стрелке (рис. 13, а), то сумма углов этого многоугольника будет равна 180° (n – 2). Если же ломаная проходится в направлении против часовой стрелки (рис. 13, б), то сумма углов будет равна 180° (n + 2).

Таким образом, общая формула суммы углов многоугольника, образованного простой замкнутой ломаной, имеет вид = 180° (n 2), где – сумма углов, n – число углов многоугольника, «+» или «-» берется в зависимости от направления обхода ломаной.

Наша задача состоит в том, чтобы вывести формулу суммы углов произвольного многоугольника, образованного замкнутой (возможно самопересекающейся) ломаной. Для этого введем понятие степени многоугольника.

Степенью многоугольника называется число оборотов, совершаемой точкой при полном последовательном обходе его сторон. Причем обороты, совершаемые в направлении против часовой стрелки, считаются со знаком «+», а обороты по часовой стрелке – со знаком «-».

Ясно, что у многоугольника, образованного простой замкнутой ломаной, степень равна +1 или -1 в зависимости от направления обхода. Степень ломаной на рисунке 12, а равна двум. Степень звездчатых семиугольников (рис. 12, в, г) равна соответственно двум и трем.

Аналогичным образом понятие степени определяется и для замкнутых кривых на плоскости. Например, степень кривой, изображенной на рисунке 14 равна двум.

Для нахождения степени многоугольника или кривой можно поступать следующим образом. Предположим, что, двигаясь по кривой (рис. 15, а), мы, начиная с какого-то места A1, совершили полный оборот, и попали в ту же точку A1. Удалим из кривой соответствующий участок и продолжим движение по оставшейся кривой (рис. 15,б). Если, начиная с какого-то места A2, мы снова совершили полный оборот и попали в ту же точку, то удаляем соответствующий участок кривой и продолжаем движение (рис. 15, в). Считая количество удаленных участков со знаками «+» или «-», в зависимости от их направления обхода, получим искомую степень кривой.

Теорема 4. Для произвольного многоугольника имеет место формула

где – сумма углов, n – число углов, m – степень многоугольника.

Доказательство. Пусть многоугольник M имеет степень m и условно изображен на рисунке 16. M1, …, Mk – простые замкнутые ломаные, проходя по которым, точка совершает полные обороты. A1, …, Ak – соответствующие точки самопересечения ломаной, не являющиеся ее вершинами. Обозначим число вершин многоугольника M, входящих в многоугольники M1, …, Mk через n1, …, nk соответственно. Поскольку, помимо вершин многоугольника M, к этим многоугольникам добавляются еще вершины A1, …, Ak, то число вершин многоугольников M1, …, Mk будет равно соответственно n1+1, …, nk+1. Тогда суммы их углов будут равны 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Плюс или минус берется в зависимости от направления обхода ломаных. Сумма углов многоугольника M0, оставшегося от многоугольника M после удаления многоугольников M1, …, Mk, равна 180° (n-n1- …-nk+k2). Суммы углов многоугольников M0, M1, …, Mk дают сумму углов многоугольника M и в каждой вершине A1, …, Ak дополнительно получим 360°. Следовательно, имеем равенство

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1- …-nk+k2)=+360°k.

где m – степень многоугольника M.

В качестве примера рассмотрим вычисление суммы углов пятиконечной звездочки (рис. 17, а). Степень соответствующей замкнутой ломаной равна -2. Поэтому искомая сумма углов равна 180.

источник

Adblock
detector