Меню

Формула длины отрезка по координатам концов отрезка

Длина отрезка. Существует целая группа заданий (входящих в экзаменационные типы задач), связанная с координатной плоскостью. Это задачи начиная с самых элементарных, которые решаются устно (определение ординаты или абсциссы заданной точки, либо точки симметричной заданной и другие), заканчивая задачами в которых требуется качественное знание, понимание и хорошие навыки (задачи связанные с угловым коэффициентом прямой).

Постепенно мы с вами рассмотрим все их. В этой статье начнём с элементарных. Это простые задачи на определение: абсциссы и ординаты точки, длинны отрезка, середины отрезка, синуса или косинуса угла наклона прямой. Большинству эти задания будут не интересны. Но изложить их считаю необходимым.

Дело в том, что не все учатся в школе. Очень многие сдают ЕГЭ спустя 3-4 и более лет после её окончания и что такое абсцисса и ордината помнят смутно. Будем разбирать и другие задачи, связанные с координатной плоскостью, не пропустите, подпишитесь, на обновление блога. Теперь н емного теории.

Построим на координатной плоскости точку А с координатами х= 6, y=3.

Говорят, что абсцисса точки А равна шести, ордината точки А равна трём.

Если выразиться просто, то ось ох это ось абсцисс, ось оу это ость ординат.

То есть, абсцисса это точка на оси ох в которую проецируется точка заданная на координатной плоскости; ордината это точка на оси оу в которую проецируется оговоренная точка.

Длина отрезка на координатной плоскости

Формула для определения длины отрезка, если известны координаты его концов:

Как вы видите, длина отрезка — это длина гипотенузы в прямоугольными треугольнике с катетами равными

Середина отрезка. Её Координаты.

Формула для нахождения координат середины отрезка:

Уравнение прямой проходящей через две данные точки

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

Подставив значения координат в формулу, она приводится к виду:

y = kx + b, где k — это угловой коэффициент прямой

Эта информация нам понадобиться при решении другой группы задач связанных с координатной плоскостью. Статья об этом будет, не пропустите!

Угол наклона прямой (или отрезка) это угол между осью оХ и этой прямой, лежит в пределах от 0 до 180 градусов.

Из точки (6;8) опущен перпендикуляр на ось ординат. Найдите ординату основания перпендикуляра.

Основание перпендикуляра опущенного на ось ординат будет иметь координаты (0;8). Ордината равна восьми.

Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до оси ординат.

Расстояние от точки А до оси ординат равно абсциссе точки А.

Найдите ординату точки, симметричной точке A(6;8) относительно оси Ox.

Точка симметричная точке А относительно оси оХ имеет координаты (6;– 8).

Ордината равна минус восьми.

Найдите ординату точки, симметричной точке A(6;8) относительно начала координат.

Точка симметричная точке А относительно начала координат имеет координаты (– 6;– 8).

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8).

Для того, решить поставленную задачу необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка (0;0) и (6;8).

Получили (3;4). Абсцисса равна трём.

*Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив данный отрезок на координатной плоскости на листе в клетку. Середину отрезка несложно будет определить по клеткам.

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки A(6;8) и B(–2;2).

Для того, решить поставленную задачу необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка (–2;2) и (6;8).

Получили (2;5). Абсцисса равна двум.

*Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив данный отрезок на координатной плоскости на листе в клетку.

Найдите длину отрезка, соединяющего точки (0;0) и (6;8).

Длина отрезка при данных координатах его концов вычисляется по формуле:

в нашем случае имеем О(0;0) и А(6;8). Значит,

*Порядок координат при вычитании не имеет значения. Можно из абсциссы и ординаты точки О вычесть абсциссу и ординату точки А:

Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8), с осью абсцисс.

Угол наклона отрезка – это угол между этим отрезком и осью оХ.

Из точки А опустим перпендикуляр на ось оХ:

То есть, угол наклона отрезка это угол ВОА в прямоугольном треугольнике АВО.

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике является

отношение прилежащего катета к гипотенузе

Необходимо найти гипотенузу ОА.

По теореме Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Таким образом, косинус угла наклона равен 0,6

Из точки (6;8) опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите абсциссу основания перпендикуляра.

Через точку (6;8) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите ординату ее точки пересечения с осью оУ.

Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до оси абсцисс.

Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до начала координат.

Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6,8) относительно оси оУ.

Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6,8) относительно начала координат.

Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8).

Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки A (6;8) и B (-2;2).

Найдите ординату точки пересечения оси оУ и отрезка, соединяющего точки A (6;8) и B (- 6;0).

Найдите длину отрезка, соединяющего точки А(6;8) и В(-2;2).

Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8), с осью абсцисс.

Это даже не задача, а вопрос.

Частенько Александр Васильевич Суворов, встречая любого подчинённого, который случайно попадался ему на глаза задавал вопрос, порой неожиданный. Однажды спросил офицера своей армии:”Сколько вёрст до луны?”. Что тот ответил?

Первый, кто даст правильный ответ получит поощрительный приз — 100 рублей. Ответы пишите в комментариях.

источник

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .

Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B

И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C ) при заданных координатах концов отрезка ( A и B ), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B : необходимо определить координату x C .

Поскольку точка C является серединой отрезка А В , верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

| А С | = | С В | ⇔ x C – x A = x B – x C

Тогда возможно два равенства: x C – x A = x B – x C и x C – x A = – ( x B – x C )

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных – несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A ( x A ) и B ( x B ):

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y – проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y ).

Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

Читайте также:  Сколько лет живет слива в подмосковье

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A ( x A , y A ) и B ( x B , y B ) определяются как:

Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A ( x A , y A , z A ) и B ( x B , y B , z B ) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z – проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A ( x A , y A ) и B ( x B , x B ) . Точка C – середина отрезка A B .

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = ( x A , y A ) , O B → = ( x B , y B ) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C ( x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2 )

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А ( – 7 , 3 ) и В ( 2 , 4 ) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В .

Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .

x C = x A + x B 2 = – 7 + 2 2 = – 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ: координаты середины отрезка А В – 5 2 , 7 2 .

Исходные данные: известны координаты треугольника А В С : А ( – 1 , 0 ) , В ( 3 , 2 ) , С ( 9 , – 8 ) . Необходимо найти длину медианы А М .

  1. По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M :

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + ( – 8 ) 2 = – 3

  1. Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М ), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М :

A M = ( 6 – ( – 1 ) ) 2 + ( – 3 – 0 ) 2 = 58

Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 ( 1 , 1 , 0 ) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M ( 4 , 2 , – 4 ) . Необходимо рассчитать координаты точки А .

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А : x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M – x C 1 = 2 · 4 – 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M – y C 1 = 2 · 2 – 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M – z C 1 = 2 · ( – 4 ) – 0 = – 8

Ответ: координаты точки А ( 7 , 3 , – 8 ) .

источник

В этой статье мы поговорим о нахождении координат середины отрезка по координатам его концов. Сначала мы дадим необходимые понятия, далее получим формулы для нахождения координат середины отрезка, в заключении рассмотрим решения характерных примеров и задач.

Для того, чтобы ввести понятие середины отрезка, нам потребуются определения отрезка и его длины.

Понятие отрезка дается на уроках математики в пятом классе средней школы следующим образом: если взять две произвольных несовпадающих точки А и В , приложить к ним линейку и провести от А к В (или от В к А ) линию, то мы получим отрезок АВ (или отрезок В А). Точки А и В называются концами отрезка. Следуем иметь в виду, что отрезок АВ и отрезок ВА есть один и тот же отрезок.

Если отрезок АВ бесконечно продолжить в обе стороны от концов, то мы получим прямую АВ (или прямую ВА ). Отрезок АВ представляет собой часть прямой АВ , заключенную между точками А и В . Таким образом, отрезок АВ – это объединение точек А , В и множества всех точек прямой АВ , находящихся между точками А и В . Если взять произвольную точку М прямой АВ , находящуюся между точками А и В , то говорят, что точка М лежит на отрезке АВ .

Длиной отрезка АВ называется расстояние между точками А и В при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка АВ будем обозначать как .

Точка С называется серединой отрезка АВ , если она лежит на отрезке АВ и находится на одинаковом расстоянии от его концов.

То есть, если точка С является серединой отрезка АВ , то она лежит на нем и .

Далее нашей задачей будет нахождение координат середины отрезка АВ , если заданы координаты точек А и В на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Пусть нам задана координатная прямая Ох и две несовпадающих точки А и В на ней, которым соответствуют действительные числа С .

Так как точка С – середина отрезка АВ , то справедливо равенство А и В .

Итак, формула для нахождения координаты середины отрезка АВ с концами Введем прямоугольную декартову систему координат Оxyz на плоскости. Пусть нам даны две точки С .

Рассмотрим сначала случай, когда точки А и В не совпадают и не лежат одновременно на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Пусть По построению прямые .

По этим формулам можно вычислять координаты середины отрезка АВ и в случаях, когда точки А и В лежат на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Оставим эти случаи без комментариев, а приведем графические иллюстрации.

Таким образом, середина отрезка АВ на плоскости с концами в точках Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz и заданы две точки Пусть По теореме Фалеса Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy и точка С – середина отрезка АВ , причем По геометрическому определению операций над векторами справедливо равенство .

Абсолютно аналогично могут быть найдены координаты середины отрезка АВ через координаты его концов в пространстве. В этом случае, если С – середина отрезка АВ и

Начнем с примера, в котором лишь требуется применить формулу.

На плоскости заданы координаты двух точек Пусть точка С – середина отрезка АВ . Ее координаты равны полусуммам соответствующих координат точек А и В :

Таким образом, середина отрезка АВ имеет координаты .

.

Часто с нахождением координат середины отрезка связаны задачи, в которых фигурирует термин «медиана».

Найдите длину медианы АМ в треугольнике АВС , если известны координаты его вершин .

Так как АМ – медиана, то точка М является серединой стороны ВС . Найдем координаты середины этого отрезка по известным координатам его концов:

Таким образом, .

Осталось воспользоваться формулой для вычисления расстояния между точками А и М :

.

Существуют различные задачи, в которых известны координаты середины отрезка и одного из его концов, а требуется найти координаты другого конца. Рассмотрим решение одной из них.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства дан параллелепипед Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке, и эта точка является серединой каждой из этих диагоналей. Таким образом, мы можем утверждать, что точка М является серединой отрезка . Из формул для нахождения координат середины отрезка имеем

Итак, точка А имеет координаты .

.

Формулы для нахождения координат середины отрезка также используются в задачах, связанных с симметрией. Примерами таких задач являются задачи на нахождения точек, симметричных точкам относительно точек, прямых или плоскостей. Их решение не должно вызвать у Вас проблем, если Вы усвоили материал этой статьи.

источник

Если вы хорошо заточенным карандашом прикоснетесь к тетрадному листу, то останется след, который дает представление о точке. (рис. 3 ).

Отметим на листе бумаги две точки A и B. Эти точки можно соединить различными линиями (рис. 4 ). А как соединить точки A и B самой короткой линией? Это можно сделать с помощь линейки (рис. 5 ). Полученную линию называют отрезком.

Точка и отрезок − примеры геометрических фигур.

Точки A и B называют концами отрезка.

Существует единственный отрезок, концами которого являются точки A и B. Поэтому отрезок обозначают, записывая точки, которые являются его концами. Например, отрезок на рисунке 5 обозначают одним из двух способов : AB или BA. Читают: “отрезок AB” или “отрезок BA”.

На рисунке 6 изображены три отрезка. Длина отрезка AB равна 1 см. Он помещается в отрезке MN ровно три раза, а в отрезке EF − ровно 4 раза. Будем говорить, что длина отрезка MN равна 3 см, а длина отрезка EF − 4 см.

Также принято говорить: “отрезок MN равен 3 см”, “отрезок EF равен 4 см”. Пишут : MN = 3 см , EF = 4 см.

Длины отрезков MN и EF мы измерили единичным отрезком, длина которого равна 1 см. Для измерения отрезков можно выбрать и другие единицы длины, например: 1 мм, 1 дм, 1 км. На рисунке 7 длина отрезка равна 17 мм. Он измерен единичным отрезком, длина которого равна 1 мм, с помощью линейки с делениями. Также с помощью линейки можно построить (начертить) отрезок заданной длины (см. рис. 7 ).

Вообще, измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нем помещается.

Длина отрезка обладает следующим свойством.

Если на отрезке AB отметить точку C, то длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и CB (рис. 8 ).

На рисунке 9 изображены два отрезка AB и CD. Эти отрезки при наложении совпадут.

Два отрезка называют равными, если они совпадут при наложении.

Следовательно отрезки AB и CD равны. Пишут : AB = CD.

Равные отрезки имеют равные длины.

Из двух неравных отрезков бОльшим будем считать тот, у уоторого длина больше. Например, на рисунке 6 отрезок EF больше отрезка MN.

Длину отрезка AB называют расстоянием между точками A и B.

Если несколько отрезков расположить так, как показано на рисунке 10, то получится геометрическая фигура, которую называют ломаная . Заметим, что все отрезки на рисунке 11 ломаную не образуют. Считают, что отрезки, образуют ломаную, если конец первого отрезка совпадает с концом второго, а другой конец второго отрезка − с концом третьего и т. д.

Точки A, B, C, D, E − вершины ломаной ABCDE, точки A и E − концы ломаной , а отрезки AB, BC, CD, DE − ее звенья (см. рис. 10 ).

Длиной ломаной называют сумму длин всех ее звеньев.

На рисунке 12 изображены две ломаные, концы которых совпадают. Такие ломаные называют замкнутыми.

Пример 1 . Отрезок BC на 3 см меньше отрезка AB, длина которого равна 8 см (рис. 13 ). Найдите длину отрезка AC.

Решение. Имеем : BC = 8 − 3 = 5 (см).

Воспользовавшись свойством длины отрезка, можно записать AC = AB + BC. Отсюда AC = 8 + 5 = 13 (см).

Пример 2 . Известно, что MK = 24 см , NP = 32 см , MP = 50 см (рис. 14 ). Найдите длину отрезка NK.

источник

Проекцией отрезка на ось () называется отрезок , где и ) соответственно проекции точек и на ось ().

Если две произвольные точки плоскости , а – расстояние между ними, то вычисляется из соотношения .

Утверждение теоремы следует из определения проекций отрезка и теоремы Пифагора.

Длина проекции отрезка на ось абсцисс (ординат) равна , где – координаты точки , – координаты точки .

Если – произвольные разные точки плоскости , то координаты середины отрезка вычисляют по формулам

и – произвольные точки плоскости .

Пусть не параллелен оси , т. е. . Проведем через точки , , прямые, параллельные оси . Они пересекут ось в точках . По теореме Фалеса точка – середина отрезка , то есть или |. Отсюда либо , либо . Первое равенство невозможно, так как , а второе дает Если , то и равенство остается верным. Ордината точки находится аналогичными построениями и рассуждениями. Следовательно, Теорема доказана.

Если – произвольные разные точки плоскости , то координаты любой точки отрезка могут быть вычислены по формулам где и наоборот, любая точка , где и найдены по этим формулам, является точкой отрезка при .

Пусть – заданный отрезок, где . Предположим . Тогда прямая не параллельна осям координат. Проведем через точки , и прямые, параллельные оси ординат. Они пересекут ось абсцисс в точках соответственно. По теореме 4.13 имеем или или Отсюда либо или , либо . Но если – середина отрезка, то по теореме 10.3 и второе равенство преобразуется к равенству , что противоречит предположению.

Если , то и равенство остается верным.

Аналогично доказывается, что ордината точки удовлетворяет равенству . Пусть теперь точка – произвольная точка плоскости, координаты которой удовлетворяют заданным равенствам, где и – координаты двух разных заданных точек и соответственно в плоскости . Длина отрезка С учетом, что , . Длина отрезка Таким образом . Отсюда на основании аксиомы 1.4 и теоремы 5.5 имеем, что точка принадлежит отрезку . Теорема доказана.

источник

Урок по теме: «Координаты середины отрезка в пространстве».

Цель: вывести и закрепить формулы координат середины отрезка; содействовать формированию навыков и умений учащихся применять их при решении задач;

– способствовать развитию логического мышления обучающихся;

– способствовать воспитанию эстетических норм чертежа.

Начать урок я хочу с вопроса к вам. Как вы думаете, что самое ценное на Земле? (выслушиваются варианты ответов учеников). Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный учёный Аль – Бируни: «Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит» . Пусть эти слова станут девизом нашего урока.

3 Сообщение темы и целей урока.

4. Актуализация знаний. Проверка д/з.

Сколько чисел надо указать, чтобы задать положение точки в пространстве? (три)

Как называется первое из чисел, задающих положение точки в пространстве? (абсцисса)

Как называется третье из чисел, задающих положение точки в пространстве? (аппликата)

Запишите обозначение точки Р, если её абсцисса равна 0, а ордината 5, аппликата 0. Где лежит точка Р? (Р (0; 5; 0), на оси ординат)

Чему равна ордината точки А (- 1; – 4; 1)? (- 4)

Как называются числа, задающие положение точки в пространстве? (абсцисса и ордината, аппликата)

Сколько чисел надо указать, чтобы задать положение точки в пространстве? (три)

Читайте также:  Как быстро научиться понимать на слух английскую речь

Как называется второе из чисел, задающих положение точки на координатной плоскости? (ордината)

Запишите обозначение точки С, если её абсцисса равна 6, а ордината 0, аппликата 0. Где лежит точка С? (С (6; 0; 0), на оси абсцисс)

Чему равна аппликата точки М(-2; – 3; 0)? (0)

Сообщение: Рене Декарт (1596 – 1650 г.).

В 1637 г. во Франции вышла книга, которая принесла её автору невероятную известность. По обычаям того времени она имела довольно длинное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода». Автор книги Рене Декарт (1596 – 1650 г.). В ней он ввел прямоугольную систему координат, поставил каждой точке в соответствие пару чисел – её координаты. Этот прогрессивный метод позволил решить ряд геометрических задач алгебраическим методом, что оказалось очень удобным. Тем самым он установил связь между алгеброй и геометрией и был основоположником аналитической геометрии. Поэтому прямоугольную систему координат иногда называют «декартовой системой координат».

У Декарта имелись лишь далекие намеки на возможность распространения метода координат с двумерного пространства (плоскости) на трехмерное. Потребовалось ещё почти 100 лет, чтобы идея пространственных координат была сформирована, постоянно и и широко использовалась.

z – Что представляет собой система координат в

Система координат в пространстве представляет

A xz A собой три взаимно перпендикулярные прямые

х, y , z , пересекающиеся в одной точке.

О А у у x , y , z – координатные оси,

A x A xy xy , yz , xy – координатные плоскости.

x Координатные плоскости делят все пространство

– Как определяются координаты точки А ?

Через точку А проведем плоскость, параллельную плоскости yz . Она пересекает ось x в точке А x . Координатой х точки А называется число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОА х . Аналогично определяются и другие координаты. Таким образом, точке А в пространстве ставится в соответствие тройка чисел – её координаты.

Обозначение: А( x ; y ; z ). (Название координаты z найти самостоятельно).

Рассмотрим координаты частного расположения точек в пространстве.

А х (х;0;0) А х y (х; y ;0) О (0;0;0) Где находятся данные точки?

Задача 1. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин.

z

Задача 2 : Даны точки: А(4; 2; 0), В(0; 10; -8). Найдите длину отрезка АВ

5. Изучение нового материала

Пусть отрезок АВ имеет концы А(х 1 ; у 1 ) и В(х 2 ; у 2 ) и пусть М(х ; у ) — середина отрезка АВ (рис. 133), тогда MD — средняя линия трапеции с основаниями х 1 и х 2 , МС — средняя линия трапеции с основаниями у 1 и у 2 . По свойству средней линии трапеции имеем:

, .

Задача на повторение. Найдите координаты середины отрезка АВ и длину отрезка АВ, если:

(Проверку работ осуществить на боковых досках).

Аналогичные формулы для координат середины отрезка применяют в пространстве.

Решение: Обозначим в пространстве точки A, B и С – середину отрезка AB. Пусть А(х 1 ; у 1; z 1 ) и В(х 2 ; у 2 ; z 2 ) и пусть С(х; у; z ) Координаты точки C находятся, как полусумма координат концов отрезка AB – точек A и B. Найдем координаты точки С:

, , .

Решение упражнений по теме.

Найдите координаты середины отрезка АВ.

Пусть С – середина отрезка АВ, тогда С (; ; ), С (2;0;0)

Задача №2. Дано: С– середина отрезка АВ, С(2; 6; -4), А(4; 2; 0). Найдите координаты точки В, длину отрезка АВ (Ответ. В(0; 10; -8))

Эти формулы вы должны научиться применять в разных задачах, связанных с серединой отрезка. Давайте вспомним, где встречается понятие “середина”.

Это: 1. Медиана треугольника (делит сторону пополам)

2. Средняя линия треугольника и средняя линия трапеции (соединяет середины сторон)

3. Точка пересечения диагоналей параллелограмма (делит диагонали пополам)

4. Центр окружности (середина диаметра)

В треугольнике АВС А(3;-1;1), В(-5;3;1), С(1;5;3). Найти координаты точки М, если:

1 вариант АМ 1 – медиана. М 1 (-2;4;2)

2 вариант ВМ 2 – медиана. М 2 (2;-2;2)

3 вариант СМ 3 – медиана. М 3 (-1;1;1)

Задача №4. Докажите, что четырехугольник АВСD является параллелограммом, если координаты вершин А(2;1;3), В(1;0;7), С(-2;1;5), D(-1;2;1) (Середина О(0;1;4))

Задача №5. В трапеции АВСD проведена средняя линия MN. Найти координаты точек А и N, если В(-6;-2; 2), С(-1;-4;2), D(13;2;4), М(-4;3;4)

MN средняя линия трапеции АВСD АМ = МВ и DN = NC

8 . Самостоятельная работа.

1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если:

2. Проверьте, является ли точка М (4; 2) серединой отрезка АВ, если:

3. Определите координаты центра окружности, диаметром которой является отрезок АВ, если А (4; – 2; 12), В (1; 3; -8).

9. Д/з. Итоги урока. Рефлексия.

– Что нового узнали на уроке? – Чему научились?

Волшебная лестница знаний”

Попробуйте определить, насколько хорошо вы усвоили новое знание по “Волшебной лестнице знаний”:

– красный цвет, если испытываете затруднение;

– жёлтый цвет, если усвоили новое знание, но затрудняетесь применить его на практике; – зелёный цвет, если усвоили новое знание и научились применять его на практике.

источник

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Примечание:Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертёж

Отрезок это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приёмвынесение множителя из-под корня. В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.

Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце урока.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома – страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8415 – | 6987 – или читать все.

176.59.112.64 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

источник

Adblock
detector