Меню

Если отрицательное число поделить на положительное

Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление — это действие, обратное умножению.

Если « a » и « b » положительные числа, то разделить число « a » на число « b », значит найти такое число « с », которое при умножении на « b » даёт число « a ».

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.

Поэтому, например, разделить число « −15 » на число 5 — значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число « −15 ». Таким числом будет « −3 », так как

Примеры деления рациональных чисел.

  1. 10 : 5 = 2 , так как 12 · 5 = 10
  2. (−4) : (−2) = 2 , так как 2 · (−2) = −4
  3. (−18) : 3 = −6 , так как (−6) · 3 = −18
  4. 12 : (−4) = −3 , так как (−3) · (−4) = 12

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками — число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками— число отрицательное (примеры 3, 4).

Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.

Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

  • модуль делимого разделить на модуль делителя;
  • перед результатом поставить знак « + ».

Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:

  • модуль делимого разделить на модуль делителя;
  • перед результатом поставить знак « − ».

Примеры деления чисел с разными знаками:

Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

Можно обратить внимание, что в числителе два знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.

Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.

  • а : 1 = a
  • а : (−1) = −a
  • а : a = 1

, где « а » — любое рациональное число.

Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):

  • если a · b = с; a = с : b; b = с : a;
  • если a : b = с; a = с · b; b = a : c

Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.

Пример нахождения неизвестного.

Разделим число « −5 » на « 6 » и число « 5 » на « −6 ».

Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби — это тот же знак деления, поэтому можно записать частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.

Таким образом знак «минус» в дроби может находиться:

  • перед дробью;
  • в числителе;
  • в знаменателе.

При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.

Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.

Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.

источник

В данной статье дадим определение деления отрицательного числа на отрицательное, сформулируем и обоснуем правило, приведем примеры деления отрицательных чисел и разберем ход их решения.

Напомним, в чем суть операции деления. Данное действие представляет собой нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному другому множителю. Число с называется частным от деления чисел a и b , если верно произведение c · b = a . При этом, a ÷ b = c .

Правило деления отрицательных чисел

Частное ои деления одного отрицательного числа на другое отрицательное число равно частному от деления модулей этих чисел.

Пусть a и b – отрицательные числа. Тогда

Данное правило сводит деление двух отрицательных чисел к делению положительных чисел. Оно справедливо не только для целых чисел, но также для рациональных и действительных чисел. Результат деления отрицательного числа на отрицательное есть всегда положительное число.

Приведем еще одну формулировку данного правила, подходящую для рациональных и действительных чисел. Она дается с помощью взаимно-обратных чисел и гласит: для деления отрицательного числа a на число undefined умножить на число b – 1 , обратное числу b .

Это же правило, сводящее деление к умножению, можно применять также и для деления чисел с разными знаками.

Равенство a ÷ b = a · b – 1 можно доказать, используя свойство умножения действительных чисел и определение взаимно обратных чисел. Запишем равенства:

a · b – 1 · b = a · b – 1 · b = a · 1 = a .

В силу определения операции деления, данное равенство доказывает, что есть частное от деления числа на число b.
Перейдем к рассмотрению примеров.

Начнем с простых случаяв, переходя к более сложным.

Пример 1. Как делить отрицательные числа

Разделим – 18 на – 3 .
Модули делителя и делимого соответственно равны 3 и 18 . Запишем:

– 18 ÷ – 3 = – 18 ÷ – 3 = 18 ÷ 3 = 6 .

Разделим – 5 на – 2 .
Аналогично, записываем по правилу:

– 5 ÷ – 2 = – 5 ÷ – 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2 .

Такой же результат получится, если использовать вторую формурировку правила с обратным числом.

– 5 ÷ – 2 = – 5 · – 1 2 = 5 · 1 2 = 5 2 = 2 1 2 .

Деля дробные рациональные числа удобнее всего представлять их в виде обыкновенных дробей. Однако, можно делить и конечные десятичные дроби.

Пример 3. Как делить отрицательные числа

Разделим – 0 , 004 на – 0 , 25 .

Сначала записываем модули этих чисел: 0 , 004 и 0 , 25 .

Теперь можно выбрать один из двух способов:

  1. Разделить десятичные дроби столбиком.
  2. Перейти к обыкновенным дробям и выполнить деление.

1. Выполняя деление десятичных дробей столбиком, перенесем запятую на две цифры вправо.

Ответ: – 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 0 , 016

2. Теперь приведем решение с переводом десятичных дробей в обыкновенные.

0 , 004 = 4 1000 ; 0 , 25 = 25 100 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 · 100 25 = 4 250 = 0 , 016

Полученные результаты совпадают.

В заключение отметим, что если делимое и делитель являются иррациональными числами и задаются в виже корней, степеней, логарифмов и т.д., результат деления записывается в виде числового выражения, приблизительное значение которого вычисляется в случае необходимости.

Пример 4. Как делить отрицательные числа

Вычислим частное от деления чисел – 0 , 5 и – 5 .

– 0 , 5 ÷ – 5 = – 0 , 5 ÷ – 5 = 0 , 5 ÷ 5 = 1 2 · 1 5 = 1 2 5 = 5 10 .

источник

В данной статье дается подробный обзор деления чисел с разными знаками. Сначала приведено правило деления чисел с разными знаками. Ниже разобраны примеры деления положительных чисел на отрицательные и отрицательных чисел на положительные.

В статье деление целых чисел было получено правило деления целых чисел с разными знаками. Его можно распространить и на рациональные числа, и на действительные числа, повторив все рассуждения из указанной статьи.

Итак, правило деления чисел с разными знаками имеет следующую формулировку: чтобы разделить положительное число на отрицательное или отрицательное число на положительное, надо модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным числом поставить знак минус.

Запишем это правило деления с помощью букв. Если числа a и b имеют разные знаки, то справедлива формула a:b=−|a|:|b| .

Из озвученного правила понятно, что результатом деления чисел с разными знаками является отрицательное число. Действительно, так как модуль делимого и модуль делителя есть положительнее числа, то их частное есть положительное число, а знак минус делает это число отрицательным.

Отметим, что рассмотренное правило сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел.

Можно привести другую формулировку правила деления чисел с разными знаками: чтобы разделить число a на число b , нужно число a умножить на число b −1 , обратное числу b . То есть, a:b=a·b −1 .

Это правило можно использовать, когда есть возможность выходить за пределы множества целых чисел (так как далеко не каждое целое число имеет обратное). Иными словами, оно применимо на множестве рациональных, а также на множестве действительных чисел.

Понятно, это правило деления чисел с разными знаками позволяет от деления перейти к умножению.

Это же правило используется при делении отрицательных чисел.

Осталось рассмотреть, как данное правило деления чисел с разными знаками применяется при решении примеров.

Рассмотрим решения нескольких характерных примеров деления чисел с разными знаками, чтобы усвоить принцип применения правил из предыдущего пункта.

Разделите отрицательное число −35 на положительное число 7 .

Правило деления чисел с разными знаками предписывает сначала найти модули делимого и делителя. Модуль числа −35 равен 35 , а модуль числа 7 равен 7 . Теперь нам нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, то есть, надо разделить 35 на 7 . Вспомнив, как выполняется деление натуральных чисел, получаем 35:7=5 . Остался последний шаг правила деления чисел с разными знаками – поставить минус перед полученным числом, имеем −5 .

Можно было исходить из другой формулировки правила деления чисел с разными знаками. В этом случае сначала находим число, обратное делителю 7 . Этим числом является обыкновенная дробь 1/7 . Таким образом, . Осталось выполнить умножение чисел с разными знаками: . Очевидно, мы пришли к такому же результату.

По правилу деления чисел с разными знаками имеем 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Полученному выражению соответствует отрицательная обыкновенная дробь (смотрите знак деления как черта дроби), можно провести сокращение дроби на 4 , получаем .

Запишем все решение кратко: .

.

При делении дробных рациональных чисел с разными знаками их обычно делимое и делитель представляют в виде обыкновенных дробей. Это связано с тем, что с числами в другой записи (например, в десятичной) не всегда удобно выполнять деление.

Разделите отрицательное смешанное число на положительную десятичную дробь 0,(23) .

Модуль делимого равен , а модуль делителя равен 0,(23) . Чтобы провести деление модуля делимого на модуль делителя, перейдем к обыкновенным дробям.

Осуществим перевод смешанного числа в обыкновенную дробь: , а также переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь: .

Осталось разделить обыкновенные дроби в скобках, на этом вычисления будут закончены: .

.

В заключение стоит отметить, что если делимое и (или) делитель является иррациональным числом, записанным как корень, степень, логарифм и т.п., то частное часто записывается в виде числового выражения. Выражение по возможности упрощается, а его значение вычисляется приближенно с требуемой точностью только при необходимости.

Читайте также:  Как заговорить с мальчиком который тебе нравится и ты стесняешься

Разделите положительное число 5/7 на отрицательное число .

Обратившись к правилу деления чисел с разными знаками, мы можем записать равенство . Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем ответ .

.

Смотрите также материал статьи деление действительных чисел.

источник

Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел: по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель.

Например, разделить -12 на -4 – это значит найти такое число х, что -4-х = -12. Сначала найдём знак числа х. Так как при умножении -4 на х получилось отрицательное число -12, то множители -4 и x должны иметь разные знаки. Поэтому х – положительное число. Теперь найдём модуль числа х. Так как модуль произведения равен произведению модулей множителей, то |-12| = |-4| |х|. Отсюда |х| = |-12| : |-4|. Но так как х – положительное число, то х = |х|. Значит, х = 3.

Пишут: (-12) : (-4) = |-12| : |-4| = 3, или короче:

  • Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

Разделить -24 на 4 – это значит найти такое число х, что 4-х = -24. При умножении 4 на х получилось отрицательное число -24, значит, множители 4 и х должны иметь разные знаки. Поэтому х – отрицательное число. При этом должно выполняться равенство |4| |х| = |-24|.

Отсюда |х| = |-24| : |4| = 24: 4 = 6. Значит, х – отрицательное число с модулем 6, т. е. х = -6.

Рассуждая таким же образом, получим, что 24: (-4) = -6.

  • При делении чисел с разными знаками, надо:
    1) разделить модуль делимого на модуль делителя;
    2) поставить перед полученным числом знак «-».

Обычно вначале определяют и записывают знак частного, а потом уже находят модуль частного.

При делении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль. Делить на нуль нельзя!

Сформулируйте правило деления отрицательного числа на отрицательное.
Сформулируйте правило деления чисел, имеющих разные знаки.
Чему равно частное 0: а, где а ≠ 0?

1149. Верно ли выполнено деление:

1153. Найдите значение выражения:

а) (3m + 6m) : 9, если m = -12; -5,96;
б) (5,2а – 5,2b) : 5,2, если а = -27, b = -3,64.

1155. Решите уравнение и выполните проверку:

1157. Я задумал число, умножил его на 5, а затем из произведения вычел 2,7. В результате получил -21,7. Какое число я задумал?

1158. Найдите значение выражения:

1159. Найдите неизвестный член пропорции:

1161. При каких значениях множителей произведение ху равно нулю? не равно нулю?

1162. В каких случаях может быть верно равенство: а) х = х 2 ; б) х = х 3 ; в) х 2 = х 3 ?

1163. Проверьте на примерах справедливость равенства |ab| = |а| |b|. Попробуйте доказать, что это равенство верно при любых значениях а и b.

1165. Представьте числа 9; 16 и 25 в виде произведения двух равных множителей. Сколькими способами можно это сделать?

1166. Найдите значение выражения:

а) -2,3 0,1 + 35 (-0,01) – (-2,1) (-0,2);
б) (4,8 – 7,3 + 2,1 – 2,7 + 3,1) (-183).

1167. На рисунке 90 показана карта мира с часовыми поясами. Определите с её помощью: а) поясное время в Екатеринбурге и Владивостоке, если в Москве полночь; б) поясное время в Лондоне, Токио, Нью-Йорке и

Дели, если в Москве 11ч утра. Составьте сами и решите несколько задач на определение поясного времени.

1168. Костя и Вера вышли одновременно из одного и того же пункта в одном и том же направлении. Костя идёт со скоростью а км/ч, а Вера – со скоростью b км/ч. Какое расстояние будет между ними через t ч? Составьте формулу для решения задачи, обозначив искомое расстояние (в километрах) буквой s и зная, что а > b. Найдите по формуле:

1169. Решите предыдущую задачу, заменив в ней слова «в одном и том же направлении» на слова «в противоположных направлениях». Найдите по полученной формуле:

1170. При каких целых значениях х верно неравенство:

1171. Вычислите с помощью микрокалькулятора:

а) -3,82 0,375 – 3,8275; б) 4,15 (-1,236) + 3,0994.

1174. Найдите значение выражения:

1175. Из города одновременно в одном и том же направлении выехали два мотоциклиста. Скорость первого из них была больше скорости второго и составляла 72 км/ч. Через 25 мин расстояние между мотоциклистами было равно 5 км. Найдите скорость второго мотоциклиста.

1176. Найдите значение выражения:

  • научить делить положительные и отрицательные числа
  • закрепить сложение, вычитание и умножение положительных и отрицательных чисел
  • развивать грамотную математическую речь
  • воспитывать интерес к предмету

Оборудование: ПК, мультимедийный проектор.

Учитель: Здравствуйте, садитесь. Сегодня мы будем изучать с вами новый материал, но с начала мы с вами повторим ранее изученный материал. Для этого нам нужно будет решить примеры.

а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)

1. Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел, т.е. по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель.

Кто может назвать компоненты деления?

Что значит -10: (-5) ? (Значит, найти такое число х, что при -5 · х = -10)

Теперь найдем знак числа х .

Как вы думаете, как это можно сделать?

Так как при умножении -5 на х получается отрицательное число -10 следовательно множители должны иметь разные знаки. Следовательно, х – положительное число.

Теперь найдем модуль числа х .

Так как модуль произведения равен произведению модулей множителей, следовательно . Следовательно , так как х – положительное число, то х = следователь х = 2

Правило: чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

2.2. Теперь разделим отрицательное число на положительное.

Что значит -24: 4 ? (Значит, найти такое число х , что при 4 · х = -24)

Теперь найдем знак числа х.

Так как при умножении 4 на х получается отрицательное число -24 следовательно х – отрицательное число.

Теперь найдем модуль числа х .

Как вы думаете, чему он будет равен?

так как х – отрицательное число с модулем 6 , то тогда х будет равен -6

Аналогично получается при делении 24: (-4) = -6

А теперь давайте проговорим алгоритм деления чисел с разными знаками. Итак:

  1. разделить модуль делимого на модуль делителя;
  2. поставить перед полученным числом знак минус.

3. При делении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль.

И самое главное правило: Делить на нуль нельзя!

1)
2)
3)
4)
5)
6)

2. Самостоятельная работа. На эту работу вам 8–10 минут.

а) -4 (-5) – (-30) : 6 = 25
б) 15: (-15) – (-24) : 8 = 2
в) -8 (-3 + 12) : 36 + 2 = 0
г) 2,3 (-6 – 4) : 5 = – 4,6
д) (-8 + 32) : (-6) – 7 = -11
е) -21 + (-3 – 4 + 5) : (-2) = – 20
ж) -6 4 – 64: (-3,3 + 1,7) = – 64
з) (-6 + 6,4 – 10) : (-8) (-3) = – 3

В центре внимания этой статьи находится деление отрицательных чисел . Сначала дано правило деления отрицательного числа на отрицательное, приведено его обоснования, а после этого приведены примеры деления отрицательных чисел с подробным описанием решений.

Прежде чем дать правило деления отрицательных чисел, напомним смысл действия деление. Деление по своей сути представляет нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному другому множителю. То есть, число c является частным от деления a на b , когда c·b=a , и наоборот, если c·b=a , то a:b=c .

Правило деления отрицательных чисел следующее: частное от деления одного отрицательного числа на другое равно частному от деления числителя на модуль знаменателя.

Запишем озвученное правило с помощью букв. Если a и b отрицательные числа, то справедливо равенство a:b=|a|:|b| .

Равенство a:b=a·b −1 легко доказать, отталкиваясь от свойств умножения действительных чисел и определения взаимно обратных чисел. Действительно, на этой основе можно записать цепочку равенств вида (a·b −1)·b=a·(b −1 ·b)=a·1=a , которая в силу смысла деления, упомянутого в начале статьи, доказывает, что a·b −1 есть частное от деления a на b .

А это правило позволяет от деления отрицательных чисел перейти к умножению.

Осталось рассмотреть применение рассмотренных правил деления отрицательных чисел при решении примеров.

Разберем примеры деления отрицательных чисел . Начнем с простых случаев, на которых отработаем применение правила деления.

Разделите отрицательное число −18 на отрицательное число −3 , после этого вычислите частное (−5):(−2) .

По правилу деления отрицательных чисел частное от деления −18 на −3 равно частному от деления модулей этих чисел. Так как |−18|=18 и |−3|=3 , то (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , осталось лишь выполнить деление натуральных чисел , имеем 18:3=6 .

Аналогично решаем вторую часть задания. Так как |−5|=5 и |−2|=2 , то (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . Этому частному отвечает обыкновенная дробь 5/2 , которую можно записать в виде смешанного числа .

Эти же результаты получаются, если использовать другое правило деления отрицательных чисел. Действительно, числу −3 обратно число , тогда , теперь выполняем умножение отрицательных чисел : . Аналогично, .

(−18):(−3)=6 и .

При делении дробных рациональных чисел удобнее всего работать с обыкновенными дробями. Но, если удобно, то можно делить и конечные десятичные дроби .

Выполните деление числа −0,004 на −0,25 .

Модули делимого и делителя равны соответственно 0,004 и 0,25 , тогда по правилу деления отрицательных чисел имеем (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .

  • либо выполнить деление десятичных дробей столбиком ,
  • либо перейти от десятичных дробей к обыкновенным, после чего разделить соответствующие обыкновенные дроби.

Чтобы разделить столбиком 0,004 на 0,25 сначала перенесем запятую на 2 цифры вправо, при этом придем к делению 0,4 на 25 . Теперь выполняем деление столбиком:

Таким образом, 0,004:0,25=0,016 .

А теперь покажем, как бы выглядело решение, если бы мы решили осуществить перевод десятичных дробей в обыкновенные . Так как и , то , и выполняем

источник

Цели:

  • научить делить положительные и отрицательные числа
  • закрепить сложение, вычитание и умножение положительных и отрицательных чисел
  • развивать грамотную математическую речь
  • воспитывать интерес к предмету

Оборудование: ПК, мультимедийный проектор.

Учитель: Здравствуйте, садитесь. Сегодня мы будем изучать с вами новый материал, но с начала мы с вами повторим ранее изученный материал. Для этого нам нужно будет решить примеры.

а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)

1. Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел, т.е. по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель.

Читайте также:  Какие цветы можно сеять в зиму

Кто может назвать компоненты деления?

Что значит -10 : (-5) ? (Значит, найти такое число х, что при -5 · х = -10)

Теперь найдем знак числа х.

Как вы думаете, как это можно сделать?

Так как при умножении -5 на х получается отрицательное число -10 следовательно множители должны иметь разные знаки. Следовательно, х – положительное число.

Теперь найдем модуль числа х.

Как вы думаете, чему он будет равен?

Так как модуль произведения равен произведению модулей множителей, следовательно . Следовательно , так как х – положительное число, то х = следователь х = 2

Правило: чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

2.2. Теперь разделим отрицательное число на положительное.

Что значит -24 : 4 ? (Значит, найти такое число х, что при 4 · х = -24)

Теперь найдем знак числа х.

Так как при умножении 4 на х получается отрицательное число -24 следовательно х – отрицательное число.

Теперь найдем модуль числа х.

Как вы думаете, чему он будет равен?

так как х – отрицательное число с модулем 6 , то тогда х будет равен -6

Аналогично получается при делении 24 : (-4) = -6

А теперь давайте проговорим алгоритм деления чисел с разными знаками. Итак:

  1. разделить модуль делимого на модуль делителя;
  2. поставить перед полученным числом знак минус.

3. При делении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль.

И самое главное правило: Делить на нуль нельзя!

1)
2)
3)
4)
5)
6)

2. Самостоятельная работа. На эту работу вам 8–10 минут.

источник

Деление отрицательных чисел.

Частное двух отрицательных чисел есть число положительное. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.

Так как частное двух положительных чисел — это тоже число положительное, то делаем ВЫВОД:

Частное двух чисел с одинаковыми знаками есть число положительное. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.

Пример 1. Выполнить деление (устно):

а) -24:(-10); б) -370: (-1000); в) -253: (-11); г) -18,72: (-6).

Решение. Знак результата «+» (по правилу деления отрицательных чисел). В примерах а) и б) используем правило деления числа на 10, 100, 1000 и т. д. Если забыли — смотрите здесь. В примере в) вспомните, как умножается двузначное число на 11 (цифры двузначного числа раздвигаются и между ними ставится число, равное сумме двух крайних цифр).

а) -24:(-10)=2,4; б) -370: (-1000)=0,37; в) -253: (-11)=23; г) -18,72: (-6)=3,12.

Пример 2. Вычислить:

Решение. По правилу деления отрицательных чисел результат будет положительным числом. Модуль частного в примерах а) и б) вычисляем по правилу деления на десятичную дробь. Повторить это можно здесь. В примерах в) и г) вначале обращаем смешанные числа в неправильные дроби, а затем используем правило деления обыкновенных дробей. Если забыли, как это делается, смотрите здесь!

Деление чисел с разными знаками.

Частное двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.

ВЫВОД: и при умножении и при делении двух чисел с разными знаками — ответ будет со знаком «-».

Пример 3. Найти частное чисел:

Решение. Применяйте правила, решайте самостоятельно и только потом сверяйтесь с приведенным ниже решением.

Пример 4. Вычислить:

Желаю успехов в учебе!

источник

Деление отрицательных чисел

Чем больше мы размышляем, тем более убеждаемся, что ничего не знаем.

Отрицательные числа. Координатная прямая Координаты точек на числовой оси Сложение отрицательных чисел Вычитание отрицательных чисел Умножение отрицательных чисел Деление отрицательных чисел

Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление – это действие, обратное умножению.

Если a и b положительные числа, то разделить число a на число b, значит найти такое число с, которое при умножении на b даёт число a.

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.

Поэтому, например, разделить число (- 15) на число 5 – значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число (- 15). Таким числом будет (- 3), так как

Примеры деления рациональных чисел.

1. 10 : 5 = 2, так как 2 • 5 = 10

2. (- 4) : (- 2) = 2, так как 2 • (- 2) = – 4

3. (- 18) : 3 = – 6, так как (- 6) • 3 = – 18

4. 12 : (- 4) = – 3, так как (- 3) • (- 4) = 12

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками – число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками – число отрицательное (примеры 3,4).

Правила деления отрицательных чисел

Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.

Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

модуль делимого разделить на модуль делителя;

перед результатом поставить знак “+”.

Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:

(- 9) : (- 3) = + 3

6 : 3 = 2

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:

модуль делимого разделить на модуль делителя;

перед результатом поставить знак “-“.

Примеры деления чисел с разными знаками:

(- 5) : 2 = – 2,5

28 : (- 2) = – 14

Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.

Правило знаков при делении

При вычислении “длинных” выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

Можно обратить внимание, что в числителе 2 знака “минус”, которые при умножении дадут “плюс”. Также в знаменателе три знака “минус”, которые при умножении дадут “минус”. Поэтому в конце результат получится со знаком “минус”.

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.

Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.

а : 1 = a

а : (- 1) = – a

а : a = 1

, где а – любое рациональное число.

Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):

если a • b = с; a = с : b; b = с : a;

если a : b = с; a = с • b; b = с : a

Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.

Пример нахождения неизвестного.

Разделим число (- 5) на 6 и число 5 на (- 6).

Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби – это тот же знак деления, и запишем частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.

Таким образом знак “минус” в дроби может находиться:

перед дробью;

в числителе;

в знаменателе.

При записи отрицательных дробей знак “минус” можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.

Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака “минуса” перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.

Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.

источник

В этой статье я расскажу о том, как правильно находить остаток от деления отрицательных чисел. Этой теме, к сожалению, уделяется очень мало внимания в школе, хотя для понимания учеником базовых основ математики она чрезвычайно важна. Именно поэтому, как репетитор по математике, на своих занятиях я разбираю это материал с учениками во всех подробностях. Это значительно упрощает дальнейшую подготовку к ЕГЭ, ОГЭ, вступительным экзаменам и олимпиадам по математике.

Здесь — делимое, — делитель, — неполное частное, — остаток. Сразу обращаем внимание, что остаток — это неотрицательное число. Понятно, что условие возникает потому, что деление на нуль невозможно. Деление с остатком положительного целого числа на положительное целое число.

Звучит довольно сложно, но на самом деле в этой теореме нет ничего сложного. Допустим, что требуется разделить с остатком 27 на 4. Следовательно, остаток от деления 27 на 4 составляет 3: ост. Деление с остатком отрицательного целого числа на положительное целое число. Вопрос состоит в том, сколько раз число 4 содержится в числе 27? Что если требуется найти остаток от деления отрицательного целого числа -15 на положительное целое число 4? Но мы знаем, что нет такого целого числа, на которое можно умножить 4, чтобы получить 27. На какое число нужно умножить 4, чтобы получить число, максимально близкое к 27, но не превзойти его? Начнём с того, что неполное частное должно получиться отрицательным, поскольку при делении отрицательного числа на положительное, результат получается отрицательным. Кто-нибудь может предположить, что неполное частное в данном случае должно быть равно -3. И чтобы получить исходное делимое -15, нужно к результату -12 прибавить число -3, которое не может быть остатком, потому что остаток не может быть отрицательным! В этом случае, умножая -4 на делитель 4, мы получаем -16.

И теперь, чтобы получить исходное делимое -15, нужно к этому результату прибавить число 1. Деление положительного целого числа на отрицательное целое число. Оно неотрицательно и меньше модуля делителя (то есть 4). Рассмотрим теперь пример деления с остатком положительного целого числа 113 на отрицательное целое число -3. Неполное частное, как и в предыдущем примере, должно быть отрицательным, потому что при делении положительного числа на отрицательное, результат отрицателен.

Давайте думать, чему конкретно равно неполное частное. Действительно, при умножении -37 на -3 получается 111. Деление с остатком отрицательного целого числа на отрицательное целое число. Отрицательное целое число -15 требуется поделить с остатком на отрицательное целое число -7. Теперь к этому числу нужно прибавить положительное и меньшее модуля -7 (то есть 7) число 6, чтобы получить наше исходное делимое -15. Теперь, чтобы получить исходное делимое, нужно прибавить к этому результату число 2, которое неотрицательно и меньше модуля делителя (то есть модуля -3, что равно 3). Неполное частное должно быть положительно по знаку, потому что при делении отрицательных чисел результат получается положительным. Следовательно, остаток от деления отрицательных чисел -15 на -7 равен: ост. Найдите самостоятельно остаток от деления отрицательных чисел: а) -16 на 7; б) 8 на -9; в) -114 на -4. При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби Можно обратить внимание, что в числителе два знака «минус», которые при умножении дадут «плюс».

  • The Floyd–Warshall algorithm) — алгоритм для нахождения длин кратчайших путей между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе.
  • Работает корректно, если в графе нет циклов отрицательной величины, а если же такой цикл есть, позволяет найти хотя бы один такой цикл.
  • — это числа, которые используются при счёте предметов или при указании порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.
  • Любое натуральное число в десятичной системе счисления записывается с помощью цифр В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с ноля.
  • Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет).
  • В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход.
Читайте также:  Как сохранить морковь до весны в погребе

Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше: Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления. Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби — это тот же знак деления, поэтому можно записать частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби. Таким образом знак «минус» в дроби может находиться: Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками. Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.

Сдвигают биты в переменной влево или вправо на указанное число.

При этом на освободившиеся позиции устанавливаются нули (кроме сдвига вправо отрицательного числа, в этом случае на свободные позиции устанавливаются единицы, так как числа представляются в двоичном дополнительном коде и необходимо поддерживать знаковый бит). Сдвиг влево может применяться для умножения числа на два, сдвиг вправо — для деления. Эта замена не повлияет на результат, так как максимальное значение в любой группе из четырех битов данного числа равно четырем, то есть требует только трех битов для записи, и выполнение суммирования не повлечет за собой переполнения и выхода за пределы четверок.

Таким образом, мы получили код, приведенный в начале раздела. Чтобы получить биты числа Более подробно про то, что за константы выбраны для данного алгоритма, можно прочитать в разделе подсчет количества единичных битов. Для работы с подмножествами удобно использовать битовые маски. Применяя побитовые операции легко сделать следующее: найти дополнение Алгоритм Флойда–Уоршелла (англ.

Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра ноль или натуральное число, которое делится на 2, то есть оно заканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6 или 8. Такие числа называют Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8. Можно сформулировать подобные признаки и для деления на 16, 32, 64 и любой другой натуральной степени числа 2. Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр, занимающих нечётные места в записи числа, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число кратное 11.

Существуют признаки делимости и на другие числа кроме перечисленных выше, но эти признаки, как правило, сложнее. К примеру Примеры.1) сумма 12 450 54 делится на 2, т.к. Каждое слагаемое делится на 2;2) сумма 12 450 45 не делится на 2, т.к. Из трёх слагаемых только одно слагаемое, 45, не делится на 2;3) произведение 25 · 74 · 12 · 395 делится на 3, так как нашёлся множитель, 12, делящийся на 3;4) число 14 640делится на 2, т.к. оканчивается числом 40, которое делится на 4,делится на 8, т.к.

Оканчивается числом 640, которое делится на 8;делится на 3, т.к. 1 4 6 4 0 = 15, и число 15 делится на 3;не делится на 9, т.к.

1 4 6 4 0 = 15, и число 15 не делится на 9;делится на 6, т.к. Делится одновременно на 2 и на 3;делится на 5 и на 10, т.к. не заканчивается парой 00;5) числа 473 и 90 728 делятся на 11, т.к. В первом случае: 4 3 = 7,во втором: (9 7 8) – (0 2) = 24 – 2 = 22 — число кратное 11.6) число 817 делится на 19, т.к.

81 2 · 7 = 95 и 9 2 · 5 = 19 — число делящееся на 19. Заметим, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Перечень первых 1229-ти простых чисел приведён в таблице простых и парных простых чисел, не превосходящих 10000. Некоторые свойства простых чисел, полезные при решении задач, можно посмотреть здесь. Любое составное натуральное число можно разложить на простые множители, и только единственным образом. При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости и применяют запись столбиком, при которой делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывается под делимым.

Например, для числа 360 разложение на простые множители будет иметь вид:$$\left.\begin360\\180\\90\\45\\15\\5\\1\end\right|\begin2\\2\\2\\3\\3\\5\\

360=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5.$$ нескольких чисел называется число, служащее делителем для каждого из них. Понятно, что для любого конечного набора натуральных чисел количество общих делителей конечно, а значит среди них можно выбрать наибольший. Это число называется Например, для чисел 72 и 96 имеем:делители 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72;делители 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96;общие делители 72 и 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24;наибольший общий делитель 72 и 96: 24 или : чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим из имеющихся показателем.(3780; 7056).$$\left.\begin3780\\1890\\945\\315\\105\\35\\7\\1\\

\end$$$$3780=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7,

7056=2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2$$$$HOD(3780;7056)=2^2 \cdot 3^2 \cdot 7=252.$$Ответ: Например, для чисел 12 и 15 имеем:кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, .

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо сначала перенести запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.14,5097;\\

22,1:0,13=22=170. Любое количество процентов можно записать в виде десятичной дроби или натурального числа. Для этого нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100. Чтобы записать десятичную дробь или натуральное число в виде процентов, надо это число умножить на 100 и к результату приписать знак %. Если Вы ищите репетитора по математике для Вашего ребёнка, то это объявление для Вас. Бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой разность между всем числом после запятой и числом после запятой до периода, а знаменатель состоит из «девяток» и «нулей», причем, «девяток» столько, сколько цифр в периоде, а «нулей» столько, сколько цифр после запятой до периода. Для нахождения медианы данного ряда, нужно расположить данные числа в порядке возрастания или убывания. Предлагаю скайп-репетиторство: подготовка к ОГЭ, ЕГЭ, ликвидация пробелов в знаниях. Не секрет, что некоторые дети испытывают трудности при умножении и делении в столбик. Скоро вы столкнетесь (или уже столкнулись) с необходимостью решать задачи на проценты. В этом вам поможет моя книга «Как решать задачи на проценты». Примеры: 1) 0,41 (6)=(416-41)/900=375/900=5/12 2) 0,10 (6)=(106-10)/900=96/900=8/75 3) 0,6 (54)=(654-6)/990=648/990=36/55 4) 0,(15)=(15-0)/99=15/99=5/33 5) 0,5 (3)=(53-5)/90=48/90=8/15. Число, оказавшееся в середине полученного ряда, и будет медианой данного ряда чисел. Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми.

Ваши выгоды очевидны: 1) Ваш ребенок находится дома, и Вы можете быть за него спокойны; 2) Занятия проходят в удобное для ребенка время, и Вы даже можете присутствовать на этих занятиях. Я рада предложить вам скачать бесплатно справочные материалы по математике для 5 класса. Чаще всего это связано с недостаточным знанием таблицы умножения. Такие задачи начинают решать в 5 классе и заканчивают. Эти задачи встречаются и на контрольных, и на экзаменах: как переводных, так и ОГЭ и ЕГЭ. Если количество данных чисел четное, то медиана ряда равна среднему арифметическому двух чисел, стоящих посередине упорядоченного по возрастанию или убыванию ряда. Нахождение алгебраической суммы подобных слагаемых называется приведением подобных слагаемых. Промежуток между точками, соответствующими заданным на координатной прямой числам a и b, изображает числовой промежуток между числами a и b. Правило нахождения функции, обратной данной: 1) из данного равенства выражают x через y; 2) в полученном равенстве вместо x пишут y, а вместо y пишут x. Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой вида y=kx, где x – независимая переменная, k – коэффициент прямой пропорциональности. Объясняю я просто и доступно на всем привычной школьной доске. Предлагаю подучить таблицу умножения с помощью лото. Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть. Виды числовых промежутков: интервал, отрезок, полуинтервал, луч, открытый луч. Графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных углов). Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой вида y=k/x, где x – независимая переменная, отличная от нуля, k — коэффициент обратной пропорциональности. 3) Другие важные преимущества скайп-занятий додумаете сами! Решения числовых неравенств можно изобразить на числовых промежутках. Графиком обратной пропорциональности является гипербола, состоящая из двух ветвей.

источник

Adblock
detector