Меню

Длина описанной окружности около равностороннего треугольника

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме , значит, каждый по .

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник:

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.
Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Это уже теперь должно быть совсем ясно

Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике.

Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, – это то, что все его углы известны – равны и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны: .

  • В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны .
  • В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины
  • Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.
  • Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка .
  • В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной: .

В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны :

  • Высота=медиане=биссектрисе :
  • Радиус описанной окружности :
  • Радиус вписанной окружности :
  • Площадь :
  • Периметр :

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте – нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

  1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье – Купить статью – 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника – Купить учебник – 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

источник

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Читайте также:  Как укоренить тую от веточки в воде

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Центр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы. Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

через катеты:

через катет и острый угол:

через гипотенузу и острый угол:

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности:

для r

для R –

для S –

для самих ra , rb , rс

Читайте также:  Как вывести тлю с комнатных растений

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Теорема тангенсов (формула Региомонтана):

источник

3 мая Ещё один вариант досрочного ЕГЭ по математике.

15 мая Повтори весь материал ЕГЭ на курсе Умскул и прибавь к результату 20 баллов.

14 апреля Вариант резервного дня ЕГЭ по математике.

13 апреля Вариант досрочного ЕГЭ по физике.

12 апреля Вариант досрочного ЕГЭ по информатике.

25 декабря На нашем сайте размещён курс русского языка Людмилы Великовой.

− Examer из Таганрога;
− Учитель Думбадзе
из школы 162 Кировского района Петербурга.

Наша группа ВКонтакте
Мобильные приложения:

Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Пусть меньшая часть окружности равна x, тогда

Больший угол опирается на большую дугу; вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, искомый угол равен половине от 5 · 40° или 100°.

Если нужно найти больший угол, то это развёрнутый угол по окружности от А до С. И он по любому больше 180 градусов. Считая по пропорции я вычислил, что он равен 200 градусам.

Вы нашли градусную меру большей дуги, а нужен был больший угол треугольника.

А угол треугольника “по любому больше 180 градусов” не бывает

Почему мы умножаем на дугу АС, если угол АВС лежил на дуге АВ+дуга ВС это получается не 5х, а 4 х, т.к. х+3Х=4Х.

Повторите, что значит «угол опирается на дугу».

Плоский угол, опирающийся на диаметр окружности, — прямой.

А угол B именно таким и является.

Данный угол не опирается на диаметр окружности.

Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Cумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°, поэтому

Угол A вписанный и опирается на дугу BCD, следовательно, он равен половине дуги BCD, значит, градусная мера дуги BCD равна 116°. Градусная мера дуги BAD равна Угол C вписанный и опирается на дугу BAD, следовательно, он равен половине дуги BAD, то есть 122°.

Стороны четырехугольника , , и стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно , , , Найдите угол этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит

источник

Треугольники и их элементы

Треугольник — это замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев, и часть плоскости, ею ограниченная (рис. 1).

— длины сторон треугольника соответственно;

— полупериметр треугольника ;

— величины углов треугольника соответственно;

— длины медиан треугольника соответственно;

— длины высот треугольника соответственно;

— длины биссектрис треугольника соответственно;

— радиус окружности, описанной около треугольника ;

— радиус окружности, вписанной в треугольник ;

— площадь треугольника .

Сторона треугольника — отрезок, соединяющий две его вершины.

Неравенство треугольника — в любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны: c’ alt=’a + b > c’ align=absmiddle>, a’ alt=’b + c > a’ align=absmiddle>, b’ alt=’a + c > b’ align=absmiddle>.

Пусть — наибольшая из трех сторон треугольника, тога если , то треугольник остроугольный; если , то треугольник прямоугольный; если a^2 + b^2 ‘ alt=’c^2 > a^2 + b^2 ‘ align=absmiddle>, то треугольник тупоугольный.

Угол — часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из вершины.

Теорема. Сумма углов треугольника равна : .

Следствие: В треугольнике не может быть более одного тупого или прямого угла.

Внешний угол — угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника (рис. 2).

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Биссектриса угла — прямая, делящая угол на две равные части.

Биссектриса угла треугольника — наибольший отрезок биссектрисы угла, лежащий внутри треугольника.

Теорема. Если точка лежит на биссектрисе треугольника, то она равноудалена от сторон угла.

Верно и обратное утверждение: если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла этого треугольника.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, называемой инцентром, и являющейся центром вписанной в этот треугольник окружности (рис.3). Радиус вписанной в треугольник окружности может быть найден по формулам: , .

Медиана — это отрезок, соединяющий какую-либо вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центроидом треугольника, и являющейся центром тяжести этого треугольника.

Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Длины высот находятся по следующим формулам: , .

Биссектриса угла треугольника лежит между медианой и высотой, проведенной из той же вершины, что и сама биссектриса (рис. 4).

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ], (рис. 5).

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

Теорема. Если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от его концов.

Верно и обратное утверждение: если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, описанной вокруг треугольника (рис. 6).

Если треугольник остроугольный, центр описанной окружности лежит строго внутри треугольника. Если треугольник прямоугольный, центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Если треугольник тупоугольный, центр описанной окружности лежит вне треугольника.

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам: , .

Три замечательные точки треугольника: центр описанной окружности, точка пересечения медиан и точка пересечения высот лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Эйлера.

Теорема синусов. Отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла для данного треугольника есть величина постоянная и равная диаметру описанной около треугольника окружности:

Читайте также:  Как использовать негашеную известь для кислой почвы

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: .

Теорема тангенсов. Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу их полусуммы: .

Признаки подобия треугольников

Подобными называются треугольники, у которых углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: , , где — коэффициент подобия (рис. 7).

I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

II признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

III признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Следствие: Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: .

Признаки равенства треугольников

Равными называют треугольники, у которых соответствующие стороны равны.

Теорема (первый признак равенства треугольников).

Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (второй признак равенства треугольников).

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (третий признак равенства треугольников).

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой ее противоположной стороны.

  • Медиана, проведенная из вершины треугольника, делит его на два равновеликих: (рис. 8).
  • Медианы пересекаются в одной точке, называемой центроидом треугольника, и точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины (рис. 9).

  • Отрезки медиан, соединяющие вершины с центроидом, делят треугольник на три равновеликих: (рис. 10).

  • Пересекаясь, медианы делят треугольник на шесть равновеликих: (рис. 11).

  • Длина медианы, проведенной к стороне c равна: (рис. 12).

Биссектрисой угла называется прямая, делящая угол на две равные части.

Биссектрисой угла треугольника называется наибольший отрезок биссектрисы угла, лежащий внутри треугольника.

  • Биссектриса — множество точек, равноудаленных от сторон угла.
  • Биссектриса делит сторону, к которой она проведена на отрезки, пропорциональные боковым сторонам: (рис. 13).

Примечание. В обозначениях на рисунке имеем: , .

  • Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношении суммы сторон треугольника, образующих угол, в котором проведена биссектриса, к третьей стороне: (рис. 13).
  • Длина биссектрисы, делящей угол пополам, равна удвоенному произведению сторон, деленному на их сумму и умноженному на косинус половины угла между ними: (рис. 13).
  • Длина биссектрисы равна: (рис. 13).

  • Длина биссектрисы внешнего угла треугольника равна: , при (рис. 14).
  • Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности. Радиус вписанной окружности может быть найден по формулам: , .

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны: .

  • Все углы равностороннего треугольника равны и равны : .
  • Медианы, биссектрисы и высоты равностороннего треугольника совпадают и равны : .
  • Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности: .
  • Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности: .
  • Площадь равностороннего треугольника: .

Равнобедренный треугольник и его свойства

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны (рис. 15). Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием треугольника.

Теоремы:

  • Углы при основании равны: .
  • Медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой: .
  • Площадь равнобедренного треугольника: .

Прямоугольный треугольник и его свойства

Теорема Пифагора: .

Решение прямоугольного треугольника:

;

;

.

  • Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных и подобных исходному треугольнику. Для любых сходственных элементов (медиана, биссектриса, радиусы вписанной и описанной окружностей и т. п.) исходного и полученных треугольников справедливо соотношение (рис. 17).
  • Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки: (рис. 16). Эти отрезки являются проекциями катетов на гипотенузу.
  • Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: (рис. 16).
  • Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна отношению произведения длин катетов и гипотенузы: .
  • Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Ее основание является центром описанной около прямоугольного треугольника окружности (рис. 18). Радиус описанной окружности равен этой медиане и равен половине гипотенузы: .
  • Радиус вписанной окружности равен половине суммы катетов, уменьшенной на гипотенузы: .
  • Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: или вычисляется по любой из следующих формул: , , , , , , .

Теоремы о площади треугольника

  • Площадь треугольника равна: .
  • Площадь треугольника равна: .
  • Формула Герона: .

  • Площадь треугольника равна: .
  • Площадь треугольника равна: .
  • Площадь треугольника равна: .
  • Площадь треугольника равна: .
  • Площадь треугольника равна: , где , , — радиусы вневписанных окружностей.
  • Если в треугольнике одну из сторон изменить в раз, а другую в раз, оставив без изменения угол между ними, то площадь получившегося треугольника измениться в раз.
  • Отношение площадей двух треугольников, у которых одна вершина общая, а другие вершины расположены на двух прямых, проходящих через , равно отношению произведений двух сторон каждого треугольника, содержащих вершину .

Теоремы об отрезках в треугольнике

Теорема Чевы. Пусть на сторонах треугольника выбраны точки, [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ], [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ], (рис. 19). Тогда отрезки [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] пресекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ].

Обобщенная теорема Чевы. Пусть прямые проходят через вершины треугольника и пересекают прямые в точках [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] соответственно. Тогда прямые пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда имеет место равенство: [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] (рис. 20).

Теорема Менелая. Пусть дан треугольник и точки [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] принадлежат соответственно прямым (рис. 21). Точки [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство: [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ].

источник

Adblock
detector