Меню Рубрики

Что значит сумма в математике

которая расшифровывается так

где — функция целочисленного аргумента. Здесь символ (большая греческая буква «сигма») означает суммирование. Запись внизу символа суммирования показывает, что переменная, которая меняет свои значения от слагаемого к слагаемому, обозначена буквой и что начальное значение этой переменной равно . Запись вверху обозначает последнее значение, которое принимает переменная .

1) .

2) . Так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом равным и знаменателем прогрессии равным , то эту сумму легко найти

3) .

4) .

5) .

В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида . Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому

С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:

где для трехмерного пространства , для плоскости .

Для единообразия будем считать, что

и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое.

в правой части никакой буквы нет, значит, и результат от не зависит.

Доказательство этого предложения предоставляется читателю.

Это предложение является частным случаем следующего утверждения.

Раскроем скобки в правой части этого равенства. Получим сумму элементов при всех допустимых значениях индексов суммирования. Слагаемые сгруппируем по-другому, а именно, сначала соберем все слагаемые, у которых первый индекс равен 1, потом, у которых первый индекс равен 2 и т.д. Получим

Заменив в этом равенстве в левой части его выражением через знаки суммирования, получим формулу (14.4).

Нужно помнить, что двойная сумма означает сумму элементов для всех допустимых значений индексов суммирования. По этой же причине, если встречается запись, содержащая подряд три или более символов суммирования, то порядок расстановки этих символов можно менять произвольно.

Если границы изменения всех индексов суммирования одинаковы, то можно для суммирования по нескольким индексам использовать запись вида

Иногда под символом суммы указывают дополнительные условия, налагаемые на индексы суммирования. Так запись

означает, что в сумму не включаются величины , . , то есть с равными индексами.

Иногда в записи суммы не указываются границы изменения индексов, например,

Такая запись используется, когда значения, которые могут принимать индексы, очевидны из предыдущего текста или будут оговорены сразу после окончания формулы.

источник

Числовой ряд является некой последовательностью, которая рассматривается совместно с другой последовательностью (ее еще называют последовательностью частичных сумм). Подобные понятия применяются в математическом и комплексном анализе.

Сумму числового ряда можно легко вычислить в Excel с помощью функции РЯД.СУММ. Рассмотрим на примере, как работает данная функция, а после построим график функций. Научимся применять числовой ряд на практике при подсчете роста капитала. Но для начала немного теории.

Числовой ряд можно рассматривать как систему приближений к числам. Для его обозначения применяют формулу:

Здесь показана начальная последовательность чисел ряда и правило суммирования:

  • ∑ — математический знак суммы;
  • ai — общий аргумент;
  • i — переменная, правило для изменения каждого последующего аргумента;
  • ∞ — знак бесконечности, «предел», до которого проводится суммирование.

Запись обозначает: суммируются натуральные числа от 1 до «плюс бесконечности». Так как i = 1, то подсчет суммы начинается с единицы. Если бы здесь стояло другое число (например, 2, 3), то суммировать мы начинали бы с него (с 2, 3).

В соответствии с переменной i ряд можно записать развернуто:

= а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + … (до «плюс бесконечности).

Определение суммы числового ряда дается через «частичные суммы». В математике они обозначаются Sn. Распишем наш числовой ряд в виде частичных сумм:

Сумма числового ряда – это предел частичных сумм Sn. Если предел конечен, говорят о «сходящемся» ряде. Бесконечен – о «расходящемся».

Сначала найдем сумму числового ряда:

Теперь построим в Excel таблицу значений членов ряда:

Общий первый аргумент берем из формулы: i=3.

Все следующие значения i находим по формуле: =B4+$B$1. Ставим курсор в нижний правый угол ячейки В5 и размножаем формулу.

Найдем значения. Делаем активной ячейку С4 и вводим формулу: =СУММ(2*B4+1). Копируем ячейку С4 на заданный диапазон.

Значение суммы аргументов получаем с помощью функции: =СУММ(C4:C11). Комбинация горячих клавиш ALT+«+» (плюс на клавиатуре).

Для нахождения суммы числового ряда в Excel применяется математическая функция РЯД.СУММ. Программой используется следующая формула:

  • х – значение переменной;
  • n – степень для первого аргумента;
  • m – шаг, на который увеличивается степень для каждого последующего члена;
  • а – коэффициенты при соответствующих степенях х.

Важные условия для работоспособности функции:

  • все аргументы обязательные (то есть все должны быть заполнены);
  • все аргументы – ЧИСЛОвые значения;
  • вектор коэффициентов имеет фиксированную длину (предел в «бесконечность» не подойдет);
  • количество «коэффициентов» = числу аргументов.

Та же функция РЯД.СУММ работает со степенными рядами (одним из вариантов функциональных рядов). В отличие от числовых, их аргументы являются функциями.

Функциональные ряды часто используются в финансово-экономической сфере. Можно сказать, это их прикладная область.

Например, положили в банк определенную сумму денег (а) на определенный период (n). Имеем ежегодную выплату х процентов. Для расчета наращенной суммы на конец первого периода используется формула:

На конец второго и последующих периодов – вид выражений следующий:

S2 = a (1 + x) 2 ; S3 = a (1 + x) 2 и т.д.

Sn = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Частичные суммы в Excel можно найти с помощью функции БС().

Исходные параметры для учебной задачи:

Используя стандартную математическую функцию, найдем накопленную сумму в конце срока сумму. Для этого в ячейке D2 используем формулу: =B2*СТЕПЕНЬ(1+B3;4)

Теперь в ячейке D3 решим эту же задачу с помощью встроенной функции Excel: =БС(B3;B1;;-B2)

Результаты одинаковые, как и должно быть.

Как заполнить аргументы функции БС():

  1. «Ставка» — процентная ставка, под которую оформлен вклад. Так как в ячейке В3 установлен процентный формат, мы в поле аргумента просто указали ссылку на эту ячейку. Если было бы указано число, то прописывали бы его сотую долю (20/100).
  2. «Кпер» — число периодов для выплат процентов. В нашем примере – 4 года.
  3. «Плт» — периодические выплаты. В нашем случае их нет. Поэтому поле аргумента не заполняем.
  4. «Пс» — «приведенная стоимость», сумма вклада. Так как мы на время расстаемся с этими деньгами, параметр указываем со знаком «-».

Таким образом, функция БС помогла найти нам сумму функционального ряда.

В Excel есть и другие встроенные функции для нахождения разных параметров. Обычно это функции для работы с инвестиционными проектами, ценными бумагами и амортизационными платежами.

Построим график функций, отражающий рост капитала. Для этого нам нужно построить график функции являющейся суммой построенного ряда. За пример, возьмем те же данные по вкладу:

Дальше нам нужна функция для начисления сложных процентов — БС(). Мы узнаем будущею стоимость инвестиций при условии равных платежей и постоянной процентной ставке. Используя функцию БС(), заполним таблицу:

В первой строке показана накопленная сумма через год. Во второй – через два. И так далее.

Сделаем еще один столбец, в котором отразим прибыль:

Как мы считали – в строке формул.

На основании полученных данных построим график функций.

Выделим 2 диапазона: A5:A9 и C5:C9. Переходим на вкладку «Вставка» — инструмент «Диаграммы». Выбираем первый график:

Сделаем задачу еще более «прикладной». В примере мы использовали сложные проценты. Они начисляются на наращенную в предыдущем периоде сумму.

Возьмем для сравнения простые проценты. Формула простых процентов в Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

Добавим полученные значения в график «Рост капитала».

Какие именно выводы сделает инвестор – очевидно.

Математическая формула частичной суммы функционального ряда (с простыми процентами): Sn = a (1 + x*n), где а – первоначальная сумма вклада, х – проценты, n – период.

источник

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество), результат суммирования величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д. ). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Понятие суммы применяется к более сложным алгебраическим структурам. Сумма групп. Сумма линейных пространств. Сумма идеалов. И другие примеры. В теории категорий определяется понятие суммы объектов.

Пусть в первой группе находится A предметов некоторого рода, во второй, соответственно, B предметов (A и B — натуральные числа). Тогда арифметической суммой A+B будет количество предметов в группе, полученной при объединении двух исходных.

Пусть даны рациональные числа A и B такие, что (дроби несокращаемые). Тогда .

Это обозначение называют определённой [источник не указан 940 дней] (конечной) суммой по i от k до N.

Для удобства вместо иногда пишут , где — некоторое соотношение для , таким образом это конечная сумма всех , где

  1. — эта формула позволяет рекуррентно выводить арифметические выражения для формул вида

В математическом анализе определяется понятие ряда — суммы бесконечного числа слагаемых.

3.

4.

5.

6.

Неопределённой суммой по называется такая функция , обозначаемая , что .

Если найдена неопределённая сумма , то .

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

В Юникоде есть символ суммы U+2211 ∑ n-ary summation (HTML ∑ ∑ ).

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — седьмое. — М .: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.

источник

Слово «разность» может употребляться во многих значениях. Это может означать и разницу чего-либо, например, мнений, взглядов, интересов. В некоторых научных, медицинских и других профессиональных сферах этим термином обозначают разные показатели, к примеру, уровня сахара в крови, атмосферного давления, погодных условий. Понятие «разность», как математический термин тоже существует.

Основными арифметическими действиями в математике являются:

Каждый результат этих действий также имеет своё название:

  • сумма — результат, получившийся при сложении чисел;
  • разность — результат, получившийся при вычитании чисел;
  • произведение — результат умножения чисел;
  • частное — результат деления.

Более простым языком объясняя понятия суммы, разности, произведения и частного в математике, можно упрощённо записать их лишь как словосочетания:

  • сумма — прибавить;
  • разность — отнять;
  • произведение — умножить;
  • частное — разделить.

Рассматривая определения, что же такое разность чисел в математике, можно обозначить это понятие несколькими способами:

  • Разность чисел означает, насколько одно из них больше другого.
  • Разностью в математике называется итог, получившийся при отнимании друг от друга двух и более чисел.
  • Это вычитание одного числа из другого.
  • Это цифра, составляющая остаток при минусовании двух величин.
  • Это величина, являющаяся результатом вычитания двух значений.
  • Разность показывает количественное различие между двумя цифрами.
  • Это результат одного из четырёх арифметических действий, которым является вычитание.
  • Это то, что получится, если из уменьшаемого отнять вычитаемое.
Читайте также:  Как сажать лук чернушку под зиму

И все эти определения являются верными.

Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:

  • Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.

Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:

  • Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.

Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?

  • Уменьшаемое — это математическое число, от которого отнимают и оно уменьшается (становится меньше).
  • Вычитаемое — это математическое число, которое вычитают из уменьшаемого.

Теперь понятно, что разность состоит из двух чисел, которые для её вычисления должны быть известны. А как их найти тоже воспользуемся определениями:

  • Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
  • Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Опираясь на выведенные правила, можно рассмотреть наглядные примеры. Математика, интереснейшая наука. Мы здесь возьмём для решения лишь самые простые цифры. Научившись вычитать их, вы научитесь решать и более сложные значения, трёхзначные, четырёхзначные, целые, дробные, в степенях, корнях, другие.

  • Пример 2. Найти уменьшаемое.
  • Пример 3. Найти вычитаемое значение.

Ответ: вычитаемое значение 10.

На примерах 1—3 рассмотрены действия с простыми целыми числами. Но в математике разницу вычисляют с применением не только двух, но и нескольких чисел, а также целых, дробных, рациональных, иррациональных, др.

  • Пример 4. Найти разницу трёх значений.

Даны целые значения: 56, 12, 4.

12 и 4 — вычитаемые значения.

Решение можно выполнить двумя способами.

1 способ (последовательное отнимание вычитаемых значений):

1) 56 — 12 = 44 (здесь 44 — получившаяся разница двух первых величин, которая во втором действии будет уменьшаемым);

2 способ (отнимание из уменьшаемого суммы двух вычитаемых, которые в таком случае называются слагаемыми):

1) 12 + 4 = 16 (где 16 — сумма двух слагаемых, которая в следующем действии будет вычитаемым);

Ответ: 40 — разница трёх значений.

  • Пример 5. Найти разницу рациональных дробных чисел.

Даны дроби с одинаковыми знаменателями, где

Чтобы выполнить решение, нужно повторить действия с дробями. То есть, надо знать как отнимать дроби с одинаковым знаменателем. Как обращаться с дробями, имеющими разные знаменатели. Их надо уметь привести к общему знаменателю.

Решение: 4/5 — 3/5 = (4 — 3)/5 = 1/5

  • Пример 6. Утроить разницу чисел.

А как выполнить такой пример, когда требуется удвоить или утроить разницу?

Вновь прибегнем к правилам:

  • Удвоенное число — это величина, умноженная на два.
  • Утроенное число — это величина, умноженная на три.
  • Удвоенная разность — это разница величин, умноженная на два.
  • Утроенная разность — это разница величин, умноженная на три.

2) 2 * 3 = 6. Ответ: 6 — разница чисел 7 и 5.

  • Пример 7. Найти разницу величин 7 и 18.

Вроде всё понятно. Стоп! Вычитаемое больше уменьшаемого?

И опять есть применяемое для конкретного случая правило:

  • Если вычитаемое больше уменьшаемого, разница окажется отрицательной.

Ответ: — 11. Это отрицательное значение и есть разница двух величин, при условии, что вычитаемая величина больше уменьшаемой.

Во Всемирной паутине можно найти массу тематических сайтов, которые ответят на любой вопрос. Точно так же в любых математических расчётах вам помогут онлайн-калькуляторы на любой вкус. Все расчёты, производимые на них, прекрасное подспорье для торопливых, нелюбознательных, ленивых. Математика для блондинок — один из таких ресурсов. Причём прибегаем к нему мы все, независимо от цвета волос, пола и возраста.

В школе подобные действия с математическими величинами нас учили вычислять в столбик, а позднее — на калькуляторе. Калькулятор — это также удобное подспорье. Но, для развития мышления, интеллекта, кругозора и других жизненных качеств, советуем производить арифметические действия на бумаге или даже в уме. Красота человеческого тела — это великое достижение современного фитнес-плана. Но мозг — это тоже мышца, которая требует иногда её качать. А значит, не откладывая, начинайте думать.

И пусть в начале пути вычисления сводятся к примитивным примерам, всё у вас впереди. А освоить придётся немало. Мы видим, что действий с разными величинами в математике множество. Поэтому кроме разницы необходимо изучить, как вычислить и остальные результаты арифметических действий:

  • сумму — сложением слагаемых;
  • произведение — умножением множителей;
  • частное — делением делимого на делитель.

Вот такая интересная арифметика.

источник

общее количество, совокупность товаров, денежных средств.

Всякое количество денег. Большие, малые суммы. Казенные, персыльные суммы. Сумач м. ниж. богач. У нас в Рыбном (Рыбинске) такие сумачи есть, что ну! Суммовать, слагать, подводить итоги. Суммация, выведенная окончательно сумма по сложении нескольких итогов (Наумов)

Число, представляющее результат сложения (мат.). Десять и пять дают в сумме пятнадцать.

Общее количество чего-н. (книжн.). Сила пролетариата в любой капиталистической стране несравненно больше, чем доля пролетариата в общей сумме населения. Ленин . К сумме разнородных впечатлений неожиданно прибавилось еще одно новое. Лесков . Вся сумма человеческих знаний.

Какое-н. количество денег. Вы, может быть, думаете, что сумма незначительная? Тургенев . Большая сумма. Казенные суммы. Неизрасходованные суммы. В сумме (взятое, взятые; книжн.) — в целом, в совокупности.

перен. Совокупность каких-н. явлений, черт. С. всех данных. Вся с. человеческих знаний.

Определенное, то или иное количество денег. Затрачены крупные суммы.

прил. суммовой, -ая, -ое (к 1 знач.; спец.).

Число, получаемое в результате сложения двух или нескольких величин.

Совокупность чего-л. однородного.

Определенное количество денег.

СУММА (лат. summa — итог, общее количество) результат сложения. Часто для краткости сумму n слагаемых а1+а2+. +аn обозначают(здесь ? — греч. буква «сигма» — символ суммы).

(от лат. summa ≈ итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства перестановочности, сочетательности, а также распределительности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

а + b = b + a, a + (b + с) = (a + b) + c, (a + b) с = ac + bc, с (a + b) = ca + cb.

В теории множеств С. (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Су́мма в математике это результат операции сложение числовых величин ( чисел , функций , векторов , матриц ), либо результат последовательного выполнения нескольких операций сложения . Общими для всех случаев являются свойства коммутативности , ассоциативности , а также дистрибутивности по отношению к умножению , то есть выполнение соотношений:

В теории множеств суммой множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Операция сложение может быть определено для более сложных алгебраических структур . Сумма групп , сумма линейных пространств , сумма идеалов , и другие примеры. В теории категорий определяется понятие суммы объектов.

  • Сумма — общее количество, результат сложения со знаком , например:
    • Денежная сумма, сумма оплаты
    • Векторная сумма
    • Сумма идеалов
  • Сумма ( перен. , книжн. ) — итог, результат какой либо деятельности, например:
    • Контрольная сумма
    • Суммарный алфавит, принятый в СССР
    • Суммарный коэффициент рождаемости
  • Сумма — жанр научного или дидактического сочинения, например:
    • Сумма теологии
    • Сумма технологии
  • « Сумма » — российский холдинг.

Группа «Сумма» — российский диверсифицированный холдинг, объединяющий активы в портовой логистике, инжиниринге, строительстве, телекоммуникационном и нефтегазовом секторах. Штаб-квартира компании расположена в Москве . В компаниях группы, которые присутствуют в почти 40 регионах России и за рубежом, занято более 10 тысяч человек.

Головная компания — ООО «Группа Сумма».

До августа 2011 года носила название «Сумма Капитал».

Су́мма — литературная форма , или литературный жанр, соединяющий в себе признаки научного трактата и энциклопедического справочника. Исторически (особенно в XII—XIV веках) сочинение, обозначенное как «сумма», показывало намерение автора изложить предмет с максимальным охватом. Дидактические суммы представляли собой особую разновидность компиляции, автор которой излагал не свою позицию, а стремился привести как можно больше разных авторитетных точек зрения. Знаменитые примеры сочинений в жанре суммы: « Сумма теологии » и « Сумма против язычников » Фомы Аквинского , «Сумма логики» Уильяма Оккама .

Другие примеры средневековых сумм: «Summa de bono» Филиппа Канцлера , «Сумма музыки» Псевдо-Муриса , «Сумма логики и естественной философии» Дж. Дамблтона , «Сумма об искусстве стихосложения на народном языке» («Summa artis ritmici vulgaris dictaminis») Антонио да Темпо , «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций» Луки Пачоли , в наши дни « Сумма технологии » Станислава Лема (1964).

Термин summula использовался в Средние века также для обозначения компендиев по логике (= «диалектике», учебной дисциплине из цикла семи свободных искусств ).

В современной печати и в интернете сочетание «сумма против…» используется для критических статей вообще.

В итоге за все это удовольствие мне пришлось заплатить что-то около пятидесяти фунтов, — правда, включая в эту сумму четырнадцать шиллингов и десять пенсов абонентной платы.

А мы разделим между ними причитавшуюся абордажным командам сумму, и они успокоятся, — ответил Советник и улыбнулся.

Всякий раз заверял Емелю, что деньги придут в банк буквально завтра, а потом проходила неделя, и Абрамов как бы случайно возвращался как раз в тот день, когда нужная сумма оказывалась на счету.

Именно это определяло те огромные, по масштабам того времени, суммы, которые тратили внешнеполитические ведомства абсолютистских государств.

Согласно обиходному пониманию, идея есть не что иное, как абстракция отвлечения из суммы опытов.

Пирс, с которым Боден виделся без ведома Джейн каждый день, однажды сказал Бодену, что Доталлер уже делал кое-какие намеки Пирсу: если Аврелий будет найден и умрет, то Пирс получит большую сумму.

Так как персидские монеты чеканились с изображением стрелка из лука, Агесилай сказал, снимаясь с лагеря, что персидский царь изгоняет его из Азии с помощью десяти тысяч стрелков: такова была сумма, доставленная в Афины и Фивы и разделенная между народными вожаками, чтобы они подстрекали народ к войне со спартанцами.

Кстати, Генри, ты не возражаешь, если я попрошу тебя распорядиться, чтобы мисс Айвз выдала мне сумму наличными?

Сумма показалась мистеру Роулинсу настолько значительной, что он немедленно связался с Томом и заставил его установить пару панелей в небольшой аквариум и только после этого отправляться к мистеру Фолкнеру.

После проверки документов банк выплачивает сумму аккредитива продавцу 5а.

И если окажется, что документы не полностью соответствуют условиям аккредитива, банк, тем не менее, выплачивает всю сумму аккредитива и несет при этом полную ответственность.

Если же покупатель отказывается принимать несоответствующие условиям аккредитива документы, то продавец обязан вернуть сумму аккредитива своему банку.

При наличии более внушительной суммы, на которую совершается сделка, целесообразно настаивать на выставлении безотзывного и подтвержденного аккредитива, если клиент не готов платить авансом или предоставить банковскую гарантию.

Читайте также:  Оформление визы в испанию самостоятельно в москве

Сотрудники парижского офиса, должно быть, провели немало часов в приемных различных министерств и немало намотались из Парижа в Алжир и обратно, что обошлось фирме немалую сумму.

Если когда-нибудь позабудешь сумму углов треугольника или площадь в заколдованном круге, вернись сюда: амальгама зеркала в ванной прячет сильно сдобренный милой кириллицей волапюк и совершенно секретную мысль о смерти.

Источник: библиотека Максима Мошкова

Транслитерация: summa
Задом наперед читается как: аммус
Сумма состоит из 5 букв

источник

которая расшифровывается так

где — функция целочисленного аргумента. Здесь символ (большая греческая буква «сигма») означает суммирование. Запись внизу символа суммирования показывает, что переменная, которая меняет свои значения от слагаемого к слагаемому, обозначена буквой и что начальное значение этой переменной равно . Запись вверху обозначает последнее значение, которое принимает переменная .

2) . Так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом равным и знаменателем прогрессии равным , то эту сумму легко найти

В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида . Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому

С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:

где для трехмерного пространства , для плоскости .

Для единообразия будем считать, что

и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое.

в правой части никакой буквы нет, значит, и результат от не зависит.

Доказательство этого предложения предоставляется читателю.

Это предложение является частным случаем следующего утверждения.

Раскроем скобки в правой части этого равенства. Получим сумму элементов при всех допустимых значениях индексов суммирования. Слагаемые сгруппируем по-другому, а именно, сначала соберем все слагаемые, у которых первый индекс равен 1, потом, у которых первый индекс равен 2 и т.д. Получим

Заменив в этом равенстве в левой части его выражением через знаки суммирования, получим формулу (14.4).

Нужно помнить, что двойная сумма означает сумму элементов для всех допустимых значений индексов суммирования. По этой же причине, если встречается запись, содержащая подряд три или более символов суммирования, то порядок расстановки этих символов можно менять произвольно.

Если границы изменения всех индексов суммирования одинаковы, то можно для суммирования по нескольким индексам использовать запись вида

Иногда под символом суммы указывают дополнительные условия, налагаемые на индексы суммирования. Так запись

означает, что в сумму не включаются величины , . , то есть с равными индексами.

Иногда в записи суммы не указываются границы изменения индексов, например,

Такая запись используется, когда значения, которые могут принимать индексы, очевидны из предыдущего текста или будут оговорены сразу после окончания формулы.

источник

Слово сумма английскими буквами(транслитом) — summa

Слово сумма состоит из 5 букв: а м м с у

СУММА (лат. summa— итог)— созданный схоластикой жанр философской литературы, до конца 12 в. краткий компенпий, затем огромный по объему и строгий по композиции обзорно-итоговый труд, приводящий к сложному единству многообразие тем.

СУММА (лат. summa — итог), созданный схоластикой жанр филос. литературы; до кон. 12 в. краткий компендий, затем огромный по объёму и строгий по композиции обзорно-итоговый труд, приводящий к сложному единству многообразие тем.

СУММА (лат. summa — итог), созданный схоластикой жанр филос. лит-ры; до кон. 12 в. краткий компендий, затем огромный по объёму и строгий по композиции обзорноитоговый труд, приводящий к сложному единству многообразие тем.

Советский философский словарь. — 1974

Сумма (от лат. summa — итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства перестановочности, сочетательности…

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности.

Прямая сумма — производный математический объект, создаваемый по определённым ниже правилам из базовых объектов. В качестве базовых чаще всего выступают векторные пространства или абелевы группы.

ПРЯМАЯ СУММА — конструкция, широко используемая в теориях таких математич. структур, категории к-рых близки к абелевым категориям;в неабелевом случае конструкция прямой суммы обычно наз. дискретным прямым произведением.

Математическая энциклопедия. — 1977-1985

ВЫКУПНАЯ СУММА (англ. cash surrender value) – сумма денежных средств, подлежащая выплате страхователю (или другому лицу, определенному в договоре страхования) при досрочном прекращении договора долгосрочного страхования жизни.

Финансово-кредитный энциклопедический словарь / Под общ. ред. А.Г. Грязновой. — 2004

ВЫКУПНАЯ СУММА Подлежащая выплате страхователю часть образовавшегося по договору долгосрочного страхования жизни резерва взносов на день прекращения им уплаты месячных страховых взносов.

Выкупная сумма — в долгосрочном страховании жизни — часть резерва взносов, подлежащая выплате страхователю на день досрочного расторжения им договора.

Страховая сумма — определённая договором страхования или установленная законом денежная сумма, в пределах которой страховщик при наступлении страхового случая обязуется выплатить страховое возмещение по договору имущественного страхования.

Страховая сумма (от англ. insurance sum) — сумма, определённая договором страхования или установленная законом, в пределах которой страховщик при наступлении страхового случая обязуется выплатить страховое возмещение по договору имущественного…

Страховая сумма — определенная договором страхования или установленная законом денежная сумма, на которую застрахованы материальные ценности (в имущественном страховании), жизнь, здоровье, трудоспособность (в личном страховании).

Паушальная сумма, паушальная цена — общая сумма (цена) без дифференциации её составляющих. Немецкоязычный термин «нем. die Pauschale», родственный «нем. der Bausch» (буф рукава, толстый кусок чего-либо), восходит к средневерхненемецкому «busch».

Паушальная сумма Общая сумма без дифференцирования отдельных ее составляющих. Слово происходит от немецкого “pauschal” (на круг, в общем, всего). Применяется в сделках в тех случаях…

Словарь по патентным операциям. — 1998

Zustandssumme — сумма по состояниям) — важная величина в статистической физике, содержащая информацию о статистических свойствах системы в состоянии термодинамического равновесия.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА — функция, используемая в равновесной статистич. физике, равная нормировочной константе в выражении для плотности (или матрицы плотности — в случае квантовой системы)…

Математическая энциклопедия. — 1977-1985

СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА — величина, обратная нормирующему множителю каноническогораспределения Гиббса в квантовой статистич. физике и равная сумме поквантовым состояниям: где Е п — энергия системы в квантовом состоянии п, абс. темп-pa.

Редуцированная страховая сумма

Редуцированная страховая сумма Редуцированная страховая сумма — в страховании жизни — страховая сумма, уменьшенная в связи с досрочным прекращением страхователем уплаты очередных страховых взносов.

Редуцированная страховая сумма — в страховании жизни — страховая сумма, уменьшенная в связи с досрочным прекращением страхователем уплаты очередных страховых взносов.

Редуцированная страховая сумма — в страховании жизни — страховая сумма, уменьшенная в связи с досрочным прекращением страхователем уплаты очередных страховых взносов.

Правила сумм (квантовая хромодинамика)

ПРАВИЛА СУММ — теоретич. соотношения, фиксирующие значение нек-рой суммы (интеграла) матричных элементов, характеризующих переходы между состояниями рассматриваемой системы.

Правила сумм в квантовой хромодинамике — непертурбативный метод, позволяющий выразить статические свойства адронов через величины КХД конденсатов.

Морфемно-орфографический словарь. — 2002

В июле 2013 года упадет цена на доллар до 7,9 грн, а в Крыму эта сумма может быть еще ниже.

Пять лет назад переход Данни обошелся в 30 миллионов, но теперь та сумма лишь четвертая.

Общая площадь жилых помещений рассчитывается как сумма общих площадей жилых помещений.

Соглашение рассчитано на четыре года, а сумма контракта оценивается в 40 миллионов фунтов.

Молдавскую сторону не устраивает сумма, которую намерены платить украинцы.

Общая сумма сделки по покупке Smithfield вместе с ее долгами составит 7,1 миллиардов долларов.

Общая сумма финансовой помощи Греции от МВФ составит уже более 6,5 миллиарда евро.

Соглашение будет рассчитано на три года, а сумма сделки составит 20 миллионов евро.

Сумма трансфера составила 60 млн евро, что является рекордом для французской лиги.

Сумма трансфера составит 16 млн. евро, другие детали договора пока не раскрываются.

источник

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Размер занимаемой памяти: 3.5 мегабайта.

Страница сгенерирована за 0.067 секунд. Запросов: 19.

Математика для школьников и студентов, обучение и образование

Определение. Пусть дана последовательность чисел и натуральные числа и , причем .

(сумма по от до ) — сумма всех членов последовательности, номера которых не меньше и не больше .

Замечание. Сумма, состоящая из одного слагаемого, считается равной этому слагаемому.

Пример. .

Свойства знака

1. .

2. .

3. .

4. .

Пример. Вычислим .

Просуммируем левую и правую части по от до

1. Найти

2.

3.

4.

5.

6. Найти сумму первых членов последовательности, если ее -ый член

7. Найти (пятерок — ).

8. .

3/2 + 8/3 + 15/4 + 24/5 = (90 + 160 + 225 + 288)/60 = 763/60

Наверное у вас просто опечатка

Куб суммы: . Можете просто скобки раскрыть

Это как раз таки понятно, я имел ввиду другое. Не понятно, почему Вы взяли именно куб суммы и как это связано с суммой k^2.

Поняла. Это догадка. Логически не объяснить… Искусственный прием. Кто-то, даже не знаю кто, придумал.

Т.е. примеры из данной главы тоже решать основываясь на догадках и интуиции? Меня немного смутил способ, которым я решил первую задачу.

Перебирая всевозможные варианты, я заметил, что сумма последовательности k^3 равна сумме последовательности k, возведенной во вторую степень, т.е. (k(k+1)/2)^2 и доказал это методом мат. индукции.

Основываться на догадках и интуиции Вы всегда имеете полное право. В том случае, если Вашу догадку Вы потом строго докажете. То, что Вы написали, является решением. А еще можно было бы рассмотреть

второй вроде решается с помощью формулы для суммы членов геометрической прогрессии или есть другой способ?

Сентябрь 4th, 2012 at 21:40

Да, верно. Хорошо бы с выводом формулы

Здравствуйте! У меня вопрос по суммированию: чему равна простая бесконечная сумма 0+0+…+0 ?

Мы знаем, что ноль иногда причисляют к натуральным числам, а иногда – нет. Известны два подхода к определению натуральных чисел: перечисление предметов (первый, второй, третий и т.д.) и обозначение количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета и т.д.). Очевидно, если используется количественная характеристика чисел, то ноль считают натуральным числом.

Если мы говорим, 0 – это нет такого предмета, нет другого предмета и вообще нет никакого предмета, то можем считать, что 0 – это «ничего». И, возвращаясь к нашей сумме, если сложить «ничего» с самим собой два, три и более раз, хоть бесконечное число раз, то мы, видимо, получим «ничего», т.е. 0. Итак, указанная сумма равна нулю? Или она равна чему-то другому, например, бесконечности, или вообще неопределена?

Все-таки меня учили классически, и ноль для меня всегда целое число, а не натуральное.

Что касается суммы бесконечного числа нулей. Если это сумма вида , т.е. сумма счетного числа нулей, то она равна нулю. Если же мы рассматриваем неопределенность вида , то здесь могут быть разные варианты.

Читайте также:  Как долго жарить курицу на сковороде

Да, советские математики, а затем и российские не считают ноль натуральным числом. Для зарубежных – это не так. Например, французы Бурбаки определяют натуральные числа как мощности конечных множеств. Поэтому у них ноль (мощность пустого множества) тоже натуральное число.

Что касается суммы нулей, мне тоже хочется, чтобы сумма счетного числа нулей была равна нулю. Но посмотрите на эти преобразования:

Получаем неопределенность. И что с этим делать, понятия не имею.

Извините, в формуле между 1 и 0 не пропечатался знак умножения, а также многоточие. Может, такой знак сойдет за умножение: .

В пояснениях к набору формул в LaTex не нашел ни знака умножения, ни многоточия.

Ничего страшного. Спасибо, исправила.

Дело в том, что неопределенности можно раскрывать. И в Вашем примере она раскрывается как нуль, поскольку бесконечность – сумма счетного числа единиц.

Здравствуйте! Спасибо за корректировку моих текстов. Жаль, нет возможности это сделать самому, поскольку в громоздких формулах ошибки практически неизбежны. И не всегда администратор может их исправить, да и незачем нагружать его этим.

Относительно рассматриваемой суммы, конечно, бесконечность бесконечности рознь, и некоторые неопределенности можно раскрывать. Но ноль, все-таки, «он и в Африке ноль». И в данном случае меня «гложет сомнение». Смотрите, что получается:

В итоге мы раскрыли неразрешимую неопределенность. Где-то ошибка, или здесь первое равенство недопустимо, или сумма счетного числа нулей не равна нулю.

Если будет ошибка, пишите, я исправлю.

По поводу неопределенности. Она может быть раскрыта, если известно, какая неопределенность. У Вас с первым равенством все в порядке, второе равенство не всегда является равенством, только для рассматриваемого случая это так.

Извините, но Вы меня совсем запутали. Разве равенство 0/0 = 0 может быть верно для какого-то особого случая? На мой взгляд, такое равенство либо всегда верно, либо всегда ложно. И справедливо, конечно, последнее.

Смотрите, — неопределенность. Я имею в виду, скажем, такие соотношения: , , . Все это неопределенности вида . Однако в первом случае предел равен , во втором — , а в третьем — .

Здравствуйте, Елизавета Александровна! Конечно, 0/0 – это неопределенность, и Ваши примеры с пределами доходчиво иллюстрируют роль бесконечно малых различных порядков. Мне хотелось проанализировать неопределенность 0/0 с помощью бесконечно малых и бесконечно больших констант, и здесь помогла статья на Вашем сайте http://hijos.ru/diskussionnyj-klub/analiz-myortv-da-zdravstvuet-analiz/.

Неопределенность 0/0 как деление двух бесконечно малых констант можно свести к сумме счетного числа нулей лишь в том случае, когда в числителе бесконечно малая такого же или большего порядка, чем в знаменателе. Если числитель и знаменатель – бесконечно малые первого порядка, то после преобразования

, заменив далее бесконечность на сумму счетного числа конечных величин и раскрыв скобки, мы в итоге получим бесконечную сумму нулей, а точнее счетное число бесконечно малых первого порядка. Такая сумма равна не нулю, а произвольному конечному числу. Это как разбить конечный отрезок любой длины на бесконечно большое число бесконечно малых частей, т.е. частей нулевой длины, а затем эти части (нули) обратно сложить.

Сумма счетного числа нулей равна нулю, если среди слагаемых нет счетного числа бесконечно малых первого порядка. К такой сумме можно преобразовать неопределенность 0/0, если числитель – бесконечно малая второго и большего порядка, а знаменатель – бесконечно малая первого порядка.

PS. Похоже (или я не прав?), в любой сумме слагаемых может быть конечное число или счетное, но никак не континуум. Знак “+” сам по себе играет роль разделителя суммируемых и, следовательно, подсчитываемых величин, число которых поэтому не более, чем счетно.

Добрый вечер! Если мы разобьем отрезок на части нулевой длины, то таких частей будет не счетное число. Вот тут, например, доказано, что множество вещественных чисел несчетно (теорема 2):http://sernam.ru/lect_math2.php? >

Здравствуйте, Елизавета Александровна! В прошлом моем комментарии ссылка с ошибкой, повторились кавычки. Если можно, уберите лишнюю кавычку в тексте атрибута href.

Конечно, множество вещественных чисел несчетно, а множество рациональных чисел счетно, но мы не об этом. Если разбивается конечный отрезок вещественной оси на бесконечно большое число бесконечно малых частей, это не значит, что отрезок расщепляется на отдельные точки (наверное, это и невозможно в силу непрерывности).

Процитирую отрывок из того же автора: «бесконечно малая никак и ничем по размеру не отличима от нуля, её размер никак не ощутим и не наблюдаем. Поэтому она точно равна нулю в смысле обычного равенства чисел. Но, тем не менее, бесконечно малая не совпадает с нулём тождественно и в этом смысле равна нулю лишь приближённо».

Мы работаем с бесконечной малой окрестностью конечного числа, в каждой такой окрестности число точек несчетно, но количество самих окрестностей уже счетно. Выделяя окрестности, мы уходим от непрерывности вещественных чисел, уходим от континуума.

Нельзя-ли здесь воспользоваться функциональными уравнениями вида

выражению под знаком суммирования?

Рассмотрим приведенный выше пример

Соответствующее функциональное уравнение

Предположим, что решением будет полином 3-й степени.

Мне вот только не очень понятно, из чего следует, что нужно так, а не как-нибудь иначе?

Меня терзают смутные сомнения Reply:

Елизавета Александровна, позвольте сформулировать вопрос по-другому:

Не существует-ли какого-либо стандартного подхода, приема, может-быть трюка, позволяющего решать функциональные уравнения именно этого вида

для большинства ?

Это значительно упростило-бы решение задач на суммирование последовательностей, включая приведенные на этой странице.

Числовой ряд является некой последовательностью, которая рассматривается совместно с другой последовательностью (ее еще называют последовательностью частичных сумм). Подобные понятия применяются в математическом и комплексном анализе.

Сумму числового ряда можно легко вычислить в Excel с помощью функции РЯД.СУММ. Рассмотрим на примере, как работает данная функция, а после построим график функций. Научимся применять числовой ряд на практике при подсчете роста капитала. Но для начала немного теории.

Числовой ряд можно рассматривать как систему приближений к числам. Для его обозначения применяют формулу:

Здесь показана начальная последовательность чисел ряда и правило суммирования:

  • ∑ — математический знак суммы;
  • ai — общий аргумент;
  • i — переменная, правило для изменения каждого последующего аргумента;
  • ∞ — знак бесконечности, «предел», до которого проводится суммирование.

Запись обозначает: суммируются натуральные числа от 1 до «плюс бесконечности». Так как i = 1, то подсчет суммы начинается с единицы. Если бы здесь стояло другое число (например, 2, 3), то суммировать мы начинали бы с него (с 2, 3).

В соответствии с переменной i ряд можно записать развернуто:

= а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + … (до «плюс бесконечности).

Определение суммы числового ряда дается через «частичные суммы». В математике они обозначаются Sn. Распишем наш числовой ряд в виде частичных сумм:

Сумма числового ряда – это предел частичных сумм Sn. Если предел конечен, говорят о «сходящемся» ряде. Бесконечен – о «расходящемся».

Сначала найдем сумму числового ряда:

Теперь построим в Excel таблицу значений членов ряда:

Общий первый аргумент берем из формулы: i=3.

Все следующие значения i находим по формуле: =B4+$B$1. Ставим курсор в нижний правый угол ячейки В5 и размножаем формулу.

Найдем значения. Делаем активной ячейку С4 и вводим формулу: =СУММ(2*B4+1). Копируем ячейку С4 на заданный диапазон.

Значение суммы аргументов получаем с помощью функции: =СУММ(C4:C11). Комбинация горячих клавиш ALT+«+» (плюс на клавиатуре).

Для нахождения суммы числового ряда в Excel применяется математическая функция РЯД.СУММ. Программой используется следующая формула:

  • х – значение переменной;
  • n – степень для первого аргумента;
  • m – шаг, на который увеличивается степень для каждого последующего члена;
  • а – коэффициенты при соответствующих степенях х.

Важные условия для работоспособности функции:

  • все аргументы обязательные (то есть все должны быть заполнены);
  • все аргументы – ЧИСЛОвые значения;
  • вектор коэффициентов имеет фиксированную длину (предел в «бесконечность» не подойдет);
  • количество «коэффициентов» = числу аргументов.

Та же функция РЯД.СУММ работает со степенными рядами (одним из вариантов функциональных рядов). В отличие от числовых, их аргументы являются функциями.

Функциональные ряды часто используются в финансово-экономической сфере. Можно сказать, это их прикладная область.

Например, положили в банк определенную сумму денег (а) на определенный период (n). Имеем ежегодную выплату х процентов. Для расчета наращенной суммы на конец первого периода используется формула:

На конец второго и последующих периодов – вид выражений следующий:

Sn = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Частичные суммы в Excel можно найти с помощью функции БС().

Исходные параметры для учебной задачи:

Используя стандартную математическую функцию, найдем накопленную сумму в конце срока сумму. Для этого в ячейке D2 используем формулу: =B2*СТЕПЕНЬ(1+B3;4)

Теперь в ячейке D3 решим эту же задачу с помощью встроенной функции Excel: =БС(B3;B1;;-B2)

Результаты одинаковые, как и должно быть.

Как заполнить аргументы функции БС():

  1. «Ставка» — процентная ставка, под которую оформлен вклад. Так как в ячейке В3 установлен процентный формат, мы в поле аргумента просто указали ссылку на эту ячейку. Если было бы указано число, то прописывали бы его сотую долю (20/100).
  2. «Кпер» — число периодов для выплат процентов. В нашем примере – 4 года.
  3. «Плт» — периодические выплаты. В нашем случае их нет. Поэтому поле аргумента не заполняем.
  4. «Пс» — «приведенная стоимость», сумма вклада. Так как мы на время расстаемся с этими деньгами, параметр указываем со знаком «-».

Таким образом, функция БС помогла найти нам сумму функционального ряда.

В Excel есть и другие встроенные функции для нахождения разных параметров. Обычно это функции для работы с инвестиционными проектами, ценными бумагами и амортизационными платежами.

Построим график функций, отражающий рост капитала. Для этого нам нужно построить график функции являющейся суммой построенного ряда. За пример, возьмем те же данные по вкладу:

Дальше нам нужна функция для начисления сложных процентов — БС(). Мы узнаем будущею стоимость инвестиций при условии равных платежей и постоянной процентной ставке. Используя функцию БС(), заполним таблицу:

В первой строке показана накопленная сумма через год. Во второй – через два. И так далее.

Сделаем еще один столбец, в котором отразим прибыль:

Как мы считали – в строке формул.

На основании полученных данных построим график функций.

Выделим 2 диапазона: A5:A9 и C5:C9. Переходим на вкладку «Вставка» — инструмент «Диаграммы». Выбираем первый график:

Сделаем задачу еще более «прикладной». В примере мы использовали сложные проценты. Они начисляются на наращенную в предыдущем периоде сумму.

Возьмем для сравнения простые проценты. Формула простых процентов в Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

Добавим полученные значения в график «Рост капитала».

Какие именно выводы сделает инвестор – очевидно.

Математическая формула частичной суммы функционального ряда (с простыми процентами): Sn = a (1 + x*n), где а – первоначальная сумма вклада, х – проценты, n – период.

источник