Меню Рубрики

Что значит нули функции 9 класс

Что такое нули функции? Ответит довольно прост — это математический термин, под которым подразумевают область определения заданной функции, на котором ее значение нулевое. Нули функции также называют корнями уравнения. Проще всего пояснить, что такое нули функции, на нескольких простых примерах.

Рассмотрим несложное уравнение у=х+3. Поскольку нуль функции — это значение аргумента, при котором у приобрел нулевое значение, подставим 0 в левую часть уравнения:

В данном случае -3 и есть искомый нуль. Для данной функции существует только один корень уравнения, но так бывает далеко не всегда.

Подставим 0 в левую часть уравнения, как и в предыдущем примере:

Очевидно, что в данном случае нулей функции будет два: х=3 и х=-3. Если бы в уравнении был аргумент третьей степени, нулей было бы три. Можно сделать простой вывод, что количество корней многочлена соответствует максимальной степени агрумента в уравнении. Однако многие функции, например у=х 3 , на первый взгляд противоречат этому утверждению. Логика и здравый смысл подсказывают, что у этой функции только один нуль — в точке х=0. Но на самом деле корней три, просто все они совпадают. Если решать уравнение в комплексной форме, это становится очевидным. х=0 в данном случае, корень, кратность которого 3. В предыдущем примере нули не совпадали, потому имели кратность 1.

Из представленных примеров видно, как определить нули функции. Алгоритм всегда один и тот же:

Сложность последнего пункта зависит от степени аргумента уравнения. При решении уравнений высоких степеней особенно важно помнить, что количество корней уравнения равно максимальной степени аргумента. Особенно это актуально для тригонометрических уравнений, где деление обоих частей на синус или косинус приводит к потере корней.

Уравнения произвольной степени проще всего решать методом Горнера, который был разработан специально для нахождения нулей произвольного многочлена.

Значение нулей функций может быть как отрицательным, так и положительным, действительным или лежащим в комплексной плоскости, единичным или множественным. Или же корней уравнения может и не быть. Например, функция у=8 не приобретет нулевого значения ни при каком х, потому что она не зависит от этой переменной.

Уравнение у=х 2 -16 имеет два корня, и оба лежат в комплексной плоскости: х1=4і, х2=-4і.

Частая ошибка, которую допускают школьники, еще не разобравшиеся толком в том, что такое нули функции, — это замена на ноль аргумента (х), а не значения (у) функции. Они уверенно подставляют в уравнение х=0 и, исходя из этого, находят у. Но это неправильный подход.

Другая ошибка, как уже упоминалось, сокращение на синус или косинус в тригонометрическом уравнении, из-за чего и теряется один или несколько нулей функции. Это не означает, что в таких уравнениях нельзя ничего сокращать, просто при дальнейших подсчетах необходимо учитывать эти «потерянные» сомножители.

Понять, что такое нули функции, можно с помощью математических программ, таких как Maple. В ней можно построить график, указав желаемое количество точек и нужный масштаб. Те точки, в которых график пересечет ось ОХ, и есть искомые нули. Это один из самых быстрых способов нахождения корней многочлена, особенно если его порядок выше третьего. Так что если есть необходимость регулярно выполнять математические расчеты, находить корни многочленов произвольных степеней, строить графики, Maple или аналогичная программа будет просто незаменима для осуществления и проверки расчетов.

источник

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а 2 +bx+c=0;

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x1=2
x2=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

источник

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида , где 0″ title=»a<>0″/> называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

aстарший коэффициент

bвторой коэффициент

ссвободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Если старший коэффициент a>0 , то ветви параболы напрaвлены вверх .

Если старший коэффициент a , то ветви параболы напрaвлены вниз .

Читайте также:  Как закрыть компот из кизила на зиму

Второй параметр для построения графика функции — значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции — это точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение .

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если 0″ title=»a>0″/>,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если 0″ title=»a>0″/>,то график функции выглядит примерно так:

3 . Если 0″ title=»D>0″/>,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:

,

Если 0″ title=»a>0″/>,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции — точка пересечения параболы с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции

1. Направление ветвей параболы.

Так как 0″ title=»a=2>0″/>,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена

0″ title=»D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0″/>

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:

,

3. Координаты вершины параболы:

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2 . Уравнение квадратичной функции имеет вид — в этом уравнении — координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции , и второй коэффициент — четное число.

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

  • сначала построить график функции ,
  • затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
  • затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
  • а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент — четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат:

Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3 . Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда

2. Координаты вершины параболы:

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
— ширины графика функции от значения коэффициента ,
— сдвига графика функции вдоль оси от значения ,

— сдвига графика функции вдоль оси от значения
— направления ветвей параболы от знака коэффициента
— координат вершины параболы от значений и :

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

источник

Математическое представление функции показывает наглядно то, как одна величина всецело определяет значение иной величины. Традиционно рассматриваются числовые функции, которые ставят в соответствие одним числам другие. Нулем функции, обыкновенно называют значение довода, при котором функция обращается в нуль.

1. Для того, дабы обнаружить нули функции, нужно приравнять ее правую часть к нулю и решить полученное уравнение. Представим, вам дана функция f(x)=x-5.

2. Для нахождения нулей этой функции, возьмем и приравняем ее правую часть к нулю: x-5=0.

3. Решив это уравнение получим, что x=5 и это значение довода и будет нулем функции. То есть при значении довода 5, функция f(x) обращается в нуль.

Под представлением функции в математике понимают связь между элементами множеств. Если говорить больше верно, это «закон», по которому всему элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие определенный элемент иного множества (называемого областью значений).

Вам понадобится

  • Знания в области алгебры и математического обзора.

1. Значения функции это некая область, значения из которой может принимать функция. Скажем область значения функции f(x)=|x| от 0 до бесконечности. Дабы обнаружить значение функции в определенной точке нужно подставить взамен довода функции его числовой эквивалент, полученное число и будет значение м функции . Пускай дана функция f(x)=|x| – 10 + 4x. Обнаружим значение функции в точке x=-2. Подставим взамен x число -2: f(-2)=|-2| – 10 + 4*(-2) = 2 – 10 – 8 = -16. То есть значение функции в точке -2 равно -16.

Обратите внимание!
Раньше чем искать значение функции в точке – удостоверитесь, что она входит в область определения функции.

Полезный совет
Аналогичным методом дозволено обнаружить значение функции нескольких доводов. Различие в том, что взамен одного числа нужно будет подставить несколько – по числу доводов функции.

Функция представляет собой установленную связанность переменной у от переменной x. Причем всем значению х, называемого доводом, соответствует исключительное значение у – функции. В графическом виде функция изображается на декартовой системе координат в виде графика. Точки пересечения графика с осью абсцисс, на которой откладываются доводы х, именуются нулями функции. Поиск допустимых нулей – одна из задач по изысканию заданной функции. При этом учитываются все допустимые значения само­стоятельной переменной x, образующие область определения функции (ООФ).

1. Нуль функции – это такое значение довода х, при котором значение функции равно нулю. Впрочем нулями могут быть лишь те доводы, которые входят в область определения исследуемой функции. То есть в такое уйма значений, для которых функция f(x) имеет толк.

2. Запишите заданную функцию и приравняйте ее к нулю, скажем f(x) = 2х?+5х+2 = 0. Решите получившееся уравнение и обнаружьте его действительные корни. Корни квадратного уравнения вычисляются с поддержкой нахождения дискриминанта. 2х?+5х+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;х1 = (-b+?D)/2*а = (-5+3)/2*2 = -0,5;х2 = (-b-?D)/2*а = (-5-3)/2*2 = -2.Таким образом, в данном случае получены два корня квадратного уравнения, соответствующих доводам начальной функции f(x).

Читайте также:  Как сохранить натертую морковь на зиму

3. Все обнаруженные значения х проверьте на принадлежность к области определения заданной функции. Обнаружьте ООФ, для этого проверьте начальное выражение на наличие корней четной степени вида ?f (х), на присутствие дробей в функции с доводом в знаменателе, на наличие логарифмических либо тригонометрических выражений.

4. Рассматривая функцию с выражением под корнем четной степени, примите за область определения все доводы х, значения которых не обращают подкоренное выражение в негативное число (напротив функция не имеет смысла). Уточните, попадают ли обнаруженные нули функции в определенную область допустимых значений х.

5. Знаменатель дроби не может обращаться в нуль, следственно исключите те доводы х, которые приводят к такому итогу. Для логарифмических величин следует рассматривать лишь те значения довода, при которых само выражение огромнее нуля. Нули функции, обращающие подлогарифмическое выражение в нуль либо негативное число, обязаны быть отброшены из финального итога.

Обратите внимание!
При нахождение корней уравнения, могут возникнуть лишние корни. Проверить это легко: довольно подставить полученное значение довода в функцию и удостовериться обращается ли функция в нуль.

Полезный совет
Изредка функция не выражается в очевидном виде через свой довод, тогда легко нужно знать, что представляет собой эта функция. Примером этому может служить уравнение окружности.

источник

Д анная страница справочника представляет собой виртуальную шпаргалку по математике для учеников и методическое справочное пособие для репетиторов. Тема «свойства функций», адаптированное для разных уровней учащихся 8-9класов. В нем перечислены определения основных понятий и свойств, виды функций, термины и обозначения, принятые в математике. Репетитору по математике показаны образцы рисунков, которые должны остаться в теради ученика. Информация изложена как на строгом и формальном математическом языке (для среднего и сильного ученика), так на простом (бытовом) уровне, доступном для понимания широкому кругу посетителей сайта. Каждый такой перевод с математического языка на русский отмечен одним из следующих указателей: «пояснение репетитора по математике», «редакция репетитора по математике» или «уточнение репетитора по математике». В этих — переводах вы встретите несколько моих собственных уникальных дополнений и комментариев к классическим фомулировкам, которые я использую на занятиях со слабым учеником.

Определение функции: функцией или функциональной зависимостью называется такое соответствие f (x) при котором числу x из множества X сопоставляется некоторое единственное число из множества Y.

Редакция репетитора по математике: функцией называется закон или правило, по которому можно найти число y (значение какой-нибудь величины), если известно число x (значение какой-нибудь другой величины).

При этом букву x называют независимой переменной (или аргументом), а букву y — зависимой переменной. Число, которое подставляется вместо x, называется значением переменной (или значением аргумента), а число y, которому оно соответствует, называется значением функции.

График функции — множество точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Пояснение репетитора по математике Графиком функции называется линия на координатной плоскости, каждая точка которой имеет следующие координаты: первая (абсцисса) — это значение аргумента x , а вторая (ордината) — найденное для этого икса значение функции y.

1) Что такое область определения функции? Область определения функции (О.О.Ф) — это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие им значения функции.

Редакция репетитора по математике: область определения — множество значений переменной x, у которых можно найти y.

Обозначения области определения Для обозначения области определения используются следующие знаки:
Как найти область определения по графику? Область определения — это промежутки на оси Ох, над которыми (или под которыми) имеются части графика.

2) Что такое область значений функции? Областью значений функции (О.З.Ф) называется множество всех ее значений.
Редакция репетитора по математике:областью значений функции можно назвать часть оси ОY, состоящую из игреков, у которых есть соответствующие им иксы.

Как найти область значений по графику?: область значений функции — это промежутки на оси OY, слева или справа от которых (в горизонтальной полоске) находятся части графика.

3) Возрастание и убывание функции.
Какая функция называется возрастающей?Функция называется возрастающей, если для любой пары значений аргументов и из неравенства следует неравенство .

Редакция репетитора по математике: Функцию можно назвать возрастающей на промежутке, если, большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции. Для графика это будет означать то, что при движении по нему карандашом слева направо карандаш будет подниматься вверх.

Какая функция называется убывающей? Функция называется убывающей, если для любой пары значений аргументов и из неравенства следует неравенство f (x_2)’ style=’vertical-align:-30%’ f (x_1)>f (x_2)’/>.

Редакция репетитора по математике: Функцию можно назвать убывающей на промежутке, если большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует меньшее значение функции. Для графика это будет означать, что при движении по нему карандашом слева направо карандаш будет опускаться вниз.

Можно предложить еще один вариант этого определения: функция называется возрастающей на промежутке, если знак которым связаны любые два числа ее области определения, противоположен тому, которым связаны соответствующие им значения функции.

4) Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых функция имеет постоянный знак (положительный или отрицательный).

Пояснения репетитора по математике: Промежуток положительного знака — это множество значений переменной x, у которых соответствующие значения функции больше нуля (y>0 ).
Как найти все такие промежутки по графику? Определите промежутки оси ОХ, у которых соответствующие кусочки графика выше оси Ох.

Как их найти без графика? составьте и решите неравенство f (x)>0
Оформление: o ‘ style=’vertical-align:-5%’ y>o ‘/>, если

Промежуток отрицательного знака — это множество тех значений переменной х, у которых соответствующие значения функции меньше нуля (y

источник

Столичный учебный центр
г. Москва

Описание презентации по отдельным слайдам:

Функция. Свойства функции Учитель математики МОУ «Кукнурская СОШ» Конаков С.Н.

Определение функции. Функция – одно из важнейших математических понятий Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у. Переменную x называют независимой переменной Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х

D(y) и E(y) функции Все значения независимой переменной х образуют область определения функции – D(y) Все значения , которые принимает зависимая переменная у образуют область значений функции – E(y)

Найти D(y) и E(y) функции: y = 3x-5 y = -2x/3 y = 3/2x y = √1-2x y = 11sin x y = lg (4x-1) x Є R x Є R y Є R y Є R x Є (-∞;0)U(0; ∞) x Є (-∞;0,5] x Є R x Є (0,25; ∞) y Є [0; ∞) y Є [-11; 11] y Є R у Є (-∞;0)U(0; ∞)

Способы задания функций 1. Аналитический 2. Графический 3. Табличный 4. Описательный 1. y=2x-5; 2. 3. Функция на [-2; -1] возрастает, на [0; 4] убывает, на [-1; 0] равна 5. x 1 2 5 6 y 1 4 25 36

График функции Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты- соответствующим значениям функции.

Читайте также:  Как правильно вырастить капусту брокколи

Определите какие из кривых являются графиками функций Рис 1 Рис 2 Рис 3 y x y x y x да да нет

Свойства функций 1. Чётность: Свойство графика Функция называется чётной если: D(y) симметрична относительно 0, для любого х из D(y) выполняется условие f(x)= f(-x) График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Свойства функций Нечётность Свойство графика Функция называется нечётной если D(y) симметрична относительно 0, для любого х из D(y) выполняется условие f(-x)= -f(x) График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Свойства функций Монотонность Свойство графика Функция возрастает [или убывает] на промежутке I, если для любого х Є I выполняется условие : при х1>х2 f(х1)>f(х2) [при х1>х2 f(х1) 11 слайд

Свойства функций Знакопостоянство Свойство графика Промежутки, на которых функция сохраняет постоянный знак, называются промежутками знакопостоянства + + — — —

Графи к функции Функция у: Область определения – D(y)= [ — 4; 8]. Область значений – E(y)= [- 2; 5]. х у -2 4 0 3 7 y D(y) E(y)

Свойства функций 2. Периодичность Свойство графика Функцию f называют периодической с периодом Т≠0, если для любого х из области её определения выполняется равенство: f(x+T)=f(x)=f(x-T) Т Т Т

Область определения-? Область значений-? Нули функции-? Точки пересечения с осями? Промежутки знакопостоянства? 6. Промежутки возрастания? 7. Промежутки убывания? 8. Наибольшее значение функции? 9. Наименьшее значение функции?

Использованные материалы: 1. Алгебра 9 класс, учебник, авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. 2. Алгебра и начала анализа 10-11 класс, автор: Колмогоров А.Н.

Столичный учебный центр
г. Москва

ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ: хотите организовать и вести кружок по ментальной арифметике в своей школе? Спрос на данную методику постоянно растёт, а Вам для её освоения достаточно будет пройти один курс повышения квалификации (72 часа) прямо в Вашем личном кабинете на сайте «Инфоурок».

Пройдя курс Вы получите:
— Удостоверение о повышении квалификации;
— Подробный план уроков (150 стр.);
— Задачник для обучающихся (83 стр.);
— Вводную тетрадь «Знакомство со счетами и правилами»;
— БЕСПЛАТНЫЙ доступ к CRM-системе, Личному кабинету для проведения занятий;
— Возможность дополнительного источника дохода (до 60.000 руб. в месяц)!

Пройдите дистанционный курс «Ментальная арифметика» на проекте «Инфоурок»!

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

источник

Темы: «Цифры: 5, 6, 7, 8, 9, 0», «Сравнение чисел», «Сложение чисел», «Вычитание чисел».

Что должны уметь ученики 1 класса по математике к концу учебного года. Итоговая контрольная работа по математике предназначена для проверки знаний, умений и навыков, полученных учениками к концу первого года обучения.

Темы: «Отрезок, углы», «Умножение и деление», «Решение текстовых задач», «Умножение и деление чисел на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9», «Вычисление значений выражений», «Порядок выполнения действий», «Правила раскрытия скобок», «Вне табличное умножение и деление с числами до 100», «Окружность, круг, радиус и диаметр».

Контрольные работы за все четверти на темы: «Умножение и деление чисел», «Уравнения», «Решение текстовых задач на умножение и деление», «Периметр и площадь фигур»

Контрольные работы по учебнику Н.Я. Виленкина по темам: «Доли и дроби обыкновенные, правильные и неправильные», «Сложение и вычитание обыкновенных дробей», «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Выражения, уравнения и решение уравнений», «Квадрат и куб числа», «Площадь, объем, формулы измерения площади и объема».

Контрольные работы на темы: «Пропорции», «Масштаб», «Длина окружности и площадь круга», «Координаты на прямой», «Противоположные числа», «Модуль числа», «Сравнение чисел».

Контрольные работы на темы: «»Математический язык и математическая модель», «Линейная функция», «Системы двух линейных уравнений (метод постановки и метод сложения)», «Степень с натуральным показателем и её свойства», «Одночлены», «Многочлены», «Разложение многочлена на множители», «Функция $y=x^2$».

Контрольные работы на темы: «Алгебраические дроби», «Функция $у=\sqrt<х>«, «Квадратичная функция», «Квадратные уравнения», «Неравенства».

Контрольные работы на темы: «Неравенства с одной переменной», «Системы неравенств», «Неравенства с модулями. Иррациональные неравенства», «Уравнения и неравенства с двумя переменными», «Системы уравнений: иррациональные, однородные, симметричные».

Темы: «Числа от 0 до 20», «Сравнение чисел», «Сложение и вычитание чисел».

Темы: «Умножение и деление», «Сложение и вычитание чисел от 1 до 100», «Скобки, порядок выполнения действий», «Отрезок, угол, прямоугольник».

Задачи и примеры для самостоятельных работ по математике по учебнику М. И. Моро для 3 класса, 3 и 4 четверти

Темы: «Отрезок, углы», «Умножение и деление»,»Решение текстовых задач».

Темы: «Умножение и деление чисел», «Уравнения», «Решение текстовых задач на умножение и деление», «Периметр и площадь фигур».

Темы: «Окружность и круг», «Дроби обыкновенные, десятичные и смешанные», «Сравнение дробей», «Сложение и вычитание обыкновенных и смешанных дробей».

Темы: «Пропорции», «Масштаб», «Длина и площадь круга», «Координаты», «Противоположные числа», «Модуль числа», «Сравнение чисел».

Темы: «Числовые и алгебраические выражения», «Математический язык и математическая модель», «Линейное уравнение с одной переменной», «Координатная прямая и плоскость», «Линейные уравнения с двумя переменными», «Линейная функция и ее график».

Темы: «Числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10», «Сравнение», «Сложение и вычитание», «Решение текстовых задач».

Темы: «Сложение и вычитание», «Решение текстовых задач», «Умножение и деление».

Темы: «Умножение и деление чисел от 0 до 100», «Решение текстовых задач».

Задания по учебнику Моро на темы: «Умножение и деление чисел», «Уравнения», «Решение текстовых задач на умножение и деление», «Периметр и площадь фигур».

Темы: «Окружность и круг. Обыкновенные дроби», «Сравнение дробей», «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Округление чисел».

Темы: «Делители и кратные», «Признаки делимости», «Наибольший общий делитель», «Наибольшее общее кратное», «Свойство дробей», «Сокращение дробей», «Действия с дробями: сложение, вычитание, сравнение».

Темы: «Числовые и алгебраические выражения», «Математический язык и математическая модель», «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными», «Степень с натуральным показателем и её свойства», «Одночлены, операции над одночленами – сложение, вычитание, умножение, возведение в степень», «Умножение одночленов», «Возведение одночлена в натуральную степень», «Деление одночлена на одночлен».

Тема: «Устный счет и устные вычисления».
1. Выполни сложение устно:

5 + 48 = 14 + 6 = 8 + 58 = 29 + 3 =
4 + 14 = 29 + 5 = 18 + 3 = 6 + 53 =
37 + 4 = 5 + 63 = 87 + 6 = 4 + 59 =

Задачи на тему: «Порядок действий, скобки, выражения и примеры со скобками»
1. Используя текстовое описание, составь выражения со скобками и реши эти выражения.
Из числа 16 вычти сумму чисел 8 и 6.
Из числа 34 вычти сумму чисел 5 и 8.
Сумму чисел 13 и 5 вычесть из числа 39.
Разность чисел 16 и 3 прибавь к числу 36.
Разность чисел 48 и 28 прибавь к числу 16.

источник