Меню Рубрики

Что значит найти длину отрезка

Отрезок — это геометрическая фигура, которая имеет начало и конец, значит отрезки можно измерять.

Измерить отрезок — значит найти его длину (расстояние между его концами).

Для того, чтобы найти длину отрезка, его сравнивают с отрезком принятым за единицу измерения, который носит название единичный отрезок.

Если за единицу измерения принять сантиметр, то, чтобы определить длину отрезка, нужно узнать сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. На рис.1 в отрезке СD сантиметр укладывается ровно три раза, значит, длина отрезка СD равна 3 см, можно записать СD = 3 см. В данном случае, для измерения удобно использовать сантиметровую линейку.

Бывает, что единичный отрезок не укладывается целое число раз в измеряемый отрезок, тогда единичный отрезок делят на 10 равных частей и определяют сколько раз одна десятая часть укладывается в остатке измеряемого отрезка. На рис.2 в отрезке СВ сантиметр укладывается 2 раза и в остатке 3 раза укладывается одна десятая часть сантиметра, значит, длина отрезка СВ равна 3,3 см или, учитывая что для сантиметра десятая часть равна миллиметру, 3 см 3 мм, т.е. можно записать СВ = 3,3 см (СВ = 3 см 3 мм).

Может получится так, что и в миллиметрах остаток не укладывается целое число раз, тогда:

  • Если точность измерения не имеет большой роли, то, как видно на Рис.3, в отрезке СК сантиметр укладывается два раза с остатком, в остатке миллиметр укладывается 6 раз с остатком, говорят о приближенных значениях, т.е. длина отрезка приближенно равна 2,6 смили 2 см 6 мм, и записывают длина отрезка СК2,6 см(СК2 см 6 мм).
  • Если нужны более точные измерения, то процесс деления продолжается, т.е. миллиметр также можно разделить на 10 равных частей и т.д. Такая точность в повседневной жизни не нужна, поэтому пользуются приближенными значениями, но имеет важную роль при проведении каких-либо исследований для совершения научных открытий.

За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и другие отрезки, например, дециметр, метр и т.д.

Длина отрезка — это всегда какое-то положительное число.

Свойства длин отрезков:

  1. Равные отрезки имеют равные длины.
  2. Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков. Так на Рис.4 точка С делит отрезок АВ на два отрезка АС и СВ. Приложим линейку и видим, что АС = 4,5 см, СВ = 2,5 см, АВ = 7 см, т.е. АС + СВ = АВ.
  1. Если длина одного отрезка MN в n раз больше длины другого отрезка PQ, то записываютMN = nPQ. На Рис.5 даны два отрезка MN и PQ, приложим к ним линейку и видим, что MN = 8 см, PQ = 2 см, т.е. MN больше PQ в 4 раза, тогда можно записать, что MN = 4PQ.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

источник

Длину отрезка измеряем линейкой, рассчитывая по формуле: d=l*M, где l – длина отрезка на карте в см,

D – искомая длина в масштабе.

Сначала измеряем данный отрезок обычной линейкой на карте (более подробно в пункте 1.2). Таким образом, мы получаем длину отрезка l в см. Далее работаем с масштабом. В данном случае он 1:50 000. Это значит, что 1 см на карте соответствует 50 000 см на местности или 500 м.

Теперь проведем расчеты по формуле для отрезка А-В.

Его длина на карете составляет 3 см, это соответствует 1 в формуле:

А-В = l А-В *M = 3 см · 50 000см = 150 000см = 1 500м

Аналогично для остальных отрезков.

С-D = l С-D *M = 4 см · 50 000 см = 200 000см = 2 000м

M-N = l MN *M = 3 см · 50 000 см = 150 000см = 1 500м

E-F = l EF *M = 5 см · 50 000 см = 250 000см = 2 500м

O-L = l OL *M = 4 см · 50 000 см = 200 000см = 2 000м

Определяем длины отрезков аналитическим способом через координаты конечных точек, на которые опирается отрезок. Используем координаты точек в прямоугольной системе координат (результаты измерений прямоугольных координат точек приведены в таблице 3).

Рассчитаем длину отрезка А-В аналитическим способом. Сначала вычтем координату ХА из ХВ (руководствуемся правилом, что из большего вычитаем меньшее число), т.е.

ΔХ = ХВ — ХА = 6 082 200м – 6 081 000м = 1 200м

Теперь рассмотрим координаты YА и YВ. С ними проделаем ту же операцию, т.е.

ΔY = YВ — YА = 4 314 300м – 4 313 400м = 900м

Чтобы найти длину отрезка, надо извлечь корень квадратный из суммы изменения соответствующих координат, т.е.

А-В = ====1 500м

Аналогично для остальных отрезков:

ΔХ = ХС – ХD = 6 075 350м – 6 073 700м = 1 730м

ΔY = YD – YC = 4 321 650м – 4 320 700м = 1000м

С-D ==M-N =====1 500м

ΔХ = ХE – ХF = 6 074 000м – 6 072 400м = 1 600м

ΔY = YF – YE = 4 317 400м – 4 315 480м = 1 920м

E-F =====2 499м

ΔХ = ХO – ХL = 6 080 820м – 6 080 200м = 620м

ΔY = YL – YO = 4 321 100м – 4 319 200м =1 900м

O-L =====1 998м

источник

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Примечание:Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертёж

Отрезок это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приёмвынесение множителя из-под корня. В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.

Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце урока.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 9596 — | 7294 — или читать все.

176.59.100.63 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

источник

Длина отрезка. Существует целая группа заданий (входящих в экзаменационные типы задач), связанная с координатной плоскостью. Это задачи начиная с самых элементарных, которые решаются устно (определение ординаты или абсциссы заданной точки, либо точки симметричной заданной и другие), заканчивая задачами в которых требуется качественное знание, понимание и хорошие навыки (задачи связанные с угловым коэффициентом прямой).

Постепенно мы с вами рассмотрим все их. В этой статье начнём с элементарных. Это простые задачи на определение: абсциссы и ординаты точки, длинны отрезка, середины отрезка, синуса или косинуса угла наклона прямой. Большинству эти задания будут не интересны. Но изложить их считаю необходимым.

Дело в том, что не все учатся в школе. Очень многие сдают ЕГЭ спустя 3-4 и более лет после её окончания и что такое абсцисса и ордината помнят смутно. Будем разбирать и другие задачи, связанные с координатной плоскостью, не пропустите, подпишитесь, на обновление блога. Теперь н емного теории.

Читайте также:  Как прорастить семена мандарина

Построим на координатной плоскости точку А с координатами х= 6, y=3.

Говорят, что абсцисса точки А равна шести, ордината точки А равна трём.

Если выразиться просто, то ось ох это ось абсцисс, ось оу это ость ординат.

То есть, абсцисса это точка на оси ох в которую проецируется точка заданная на координатной плоскости; ордината это точка на оси оу в которую проецируется оговоренная точка.

Длина отрезка на координатной плоскости

Формула для определения длины отрезка, если известны координаты его концов:

Как вы видите, длина отрезка — это длина гипотенузы в прямоугольными треугольнике с катетами равными

Середина отрезка. Её Координаты.

Формула для нахождения координат середины отрезка:

Уравнение прямой проходящей через две данные точки

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

Подставив значения координат в формулу, она приводится к виду:

y = kx + b, где k — это угловой коэффициент прямой

Эта информация нам понадобиться при решении другой группы задач связанных с координатной плоскостью. Статья об этом будет, не пропустите!

Угол наклона прямой (или отрезка) это угол между осью оХ и этой прямой, лежит в пределах от 0 до 180 градусов.

Из точки (6;8) опущен перпендикуляр на ось ординат. Найдите ординату основания перпендикуляра.

Основание перпендикуляра опущенного на ось ординат будет иметь координаты (0;8). Ордината равна восьми.

Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до оси ординат.

Расстояние от точки А до оси ординат равно абсциссе точки А.

Найдите ординату точки, симметричной точке A(6;8) относительно оси Ox.

Точка симметричная точке А относительно оси оХ имеет координаты (6;– 8).

Ордината равна минус восьми.

Найдите ординату точки, симметричной точке A(6;8) относительно начала координат.

Точка симметричная точке А относительно начала координат имеет координаты (– 6;– 8).

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8).

Для того, решить поставленную задачу необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка (0;0) и (6;8).

Получили (3;4). Абсцисса равна трём.

*Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив данный отрезок на координатной плоскости на листе в клетку. Середину отрезка несложно будет определить по клеткам.

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки A(6;8) и B(–2;2).

Для того, решить поставленную задачу необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка (–2;2) и (6;8).

Получили (2;5). Абсцисса равна двум.

*Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив данный отрезок на координатной плоскости на листе в клетку.

Найдите длину отрезка, соединяющего точки (0;0) и (6;8).

Длина отрезка при данных координатах его концов вычисляется по формуле:

в нашем случае имеем О(0;0) и А(6;8). Значит,

*Порядок координат при вычитании не имеет значения. Можно из абсциссы и ординаты точки О вычесть абсциссу и ординату точки А:

Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8), с осью абсцисс.

Угол наклона отрезка – это угол между этим отрезком и осью оХ.

Из точки А опустим перпендикуляр на ось оХ:

То есть, угол наклона отрезка это угол ВОА в прямоугольном треугольнике АВО.

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике является

отношение прилежащего катета к гипотенузе

Необходимо найти гипотенузу ОА.

По теореме Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Таким образом, косинус угла наклона равен 0,6

Из точки (6;8) опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите абсциссу основания перпендикуляра.

Через точку (6;8) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите ординату ее точки пересечения с осью оУ.

Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до оси абсцисс.

Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до начала координат.

Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6,8) относительно оси оУ.

Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6,8) относительно начала координат.

Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8).

Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки A (6;8) и B (-2;2).

Найдите ординату точки пересечения оси оУ и отрезка, соединяющего точки A (6;8) и B (- 6;0).

Найдите длину отрезка, соединяющего точки А(6;8) и В(-2;2).

Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8), с осью абсцисс.

Это даже не задача, а вопрос.

Частенько Александр Васильевич Суворов, встречая любого подчинённого, который случайно попадался ему на глаза задавал вопрос, порой неожиданный. Однажды спросил офицера своей армии:»Сколько вёрст до луны?». Что тот ответил?

Первый, кто даст правильный ответ получит поощрительный приз — 100 рублей. Ответы пишите в комментариях.

источник

На практике часто приходится измерять отрезки, т. е. находить их длины.

Измерить отрезок — это значит сравнить его с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (его называют также масштабным отрезком).

Если, например, за единицу измерения принят сантиметр, то для определения длины отрезка узнают, сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. На рисунке 1 в отрезке АВ сантиметр укладывается ровно два раза. Это означает, что длина отрезка АВ равна 2 см. Обычно говорят кратко: «Отрезок АВ равен 2 см» — и пишут: АВ = 2 см.

Может оказаться, что отрезок, принятый за единицу измерения, не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке — получается остаток. Тогда единицу измерения делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и определяют, сколько раз одна такая часть укладывается в остатке. Например, на рисунке 1 в отрезке АС сантиметр укладывается 3 раза и в остатке ровно 4 раза укладывается одна десятая часть сантиметра (миллиметр), поэтому длина отрезка АС равна 3,4 см. Но возможно, что и взятая часть единицы измерения (в данном случае миллиметр) не укладывается в остатке целое число раз, и получается новый остаток. Так будет, например, с отрезком AD на рисунке 1, в котором сантиметр укладывается три раза с остатком, а в остатке миллиметр укладывается восемь раз вновь с остатком. В таком случае говорят, что длина отрезка AD приближенно равна 3,8 см. Для более точного измерения этого отрезка указанную часть единицы измерения (миллиметр) можно разделить на 10 равных частей и продолжить процесс измерения. Мысленно этот процесс можно продолжать и дальше, измеряя длину отрезка со все большей точностью. На практике, однако, пользуются приближенными значениями длин отрезков.

За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок.

Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом.

Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.

Если два отрезка равны, то единица измерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или ее часть) укладывается в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.

На рисунке 2 изображен отрезок АВ. Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Мы видим, что АС = 3 см, СВ = = 2,7 см, АВ = 5,7 см. Таким образом, АС + СВ = АВ. Также и во всех случаях, когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка.

Пример 1. Точка С — середина отрезка АВ. Найти длину отрезка АС, если длина отрезка АВ равна 32 см.

Решение. Имеем: АС + СВ = АВ или АС + СВ = 32. Так как С — середина отрезка АВ, то АС = С В и, значит, 2АС = 32, откуда АС = 16 (см).

Пример 2. Точка С — середина отрезка АВ, точка О — середина отрезка АС. Найти АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см.

Решение. Так как С — середина отрезка АВ, то, как и в предыдущем примере, АС = СВ = 1/2 • АВ, или АС = СВ = 1/2 • 2 = 1 (см). Так как точка О — середина отрезка АС = 1 см, то АО= ОС = 0,5 см. Наконец, ОВ = ОС + СВ = 0,5 + 1 = 1,5 (см).

Пример 3. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС = 5 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см?

Решение. Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то больший из отрезков АВУ ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма двух других (АВ + ВС) равна 7 см. Поэтому точки А, В и С не лежат на одной прямой.

источник

УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И СТРУКТУРА УРОКА МАТЕМАТИКИ В ПЯТОМ КЛАССЕ НА ТЕМУ

«ОТРЕЗОК. ДЛИНА ОТРЕЗКА. ТРЕУГОЛЬНИК»

УЧЕБНЫЙ ПАРАГРАФ

Отрезок. На этом уроке вы познакомитесь с некоторыми понятиями геометрии. Геометрия – наука об «измерении земли». Это слово происходит от латинских слов: geo – земля и metr – мера, мерить. В геометрии изучаются различные геометрические объекты, их свойства и связи с окружающим миром. Простейшие геометрические объекты – это точка, линия, поверхность. Более сложные геометрические объекты – геометрические фигуры и тела.

Читайте также:  Как называют людей которые много читают

Длина отрезка. Если приложить к двум точкам А и В линейку и вдоль нее провести линию, соединяющую эти точки, то мы получим отрезок, который называют АВ или ВА (читаем: «а – бэ», «бэ– а»). Точки А и В называются концами отрезка (рисунок 1). Расстояние между концами отрезка, измеренное в единицах длины, называется длиной отрезка. .рис1

Единицы длины. Единицы длины: м – метр, см — сантиметр, дм – дециметр, мм – миллиметр, км – километр и др. (1 км = 1000 м; 1м =10 дм; 1 дм = 10 см; 1 см = 10 мм). Для измерения длины отрезков используют линейку, рулетку. Измерить длину отрезка, значит, выяснить, сколько раз в нем укладывается та или иная мера длины.

Равные отрезки. Равными называются два отрезка, которые можно совместить, наложив один на другой (рисунок 2). Например, можно вырезать реально или мысленно один из отрезков и приложить к другому так, чтобы совпали их концы. Если отрезки АВ и СК равны, то пишут АВ = СК. Равные отрезки имеют равные длины. Верно обратное: два отрезка, имеющие равные длины, равны. Если два отрезка имеют различные длины, то они не равны. Из двух неравных отрезков меньше тот, который составляет часть другого отрезка. Сравнивать отрезки наложением можно, используя циркуль.

Прямая и луч. Если мысленно продлить отрезок АВ в обе стороны до бесконечности, то мы получим представление о прямой АВ (рисунок 3). Любая точка, лежащая на прямой, разбивает ее на два луча (рисунок 4). Точка С разбивает прямую АВ на два луча СА и СВ. Точка С называется началом луча.

Треугольник. Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, то получим фигуру, называемую треугольником. Данные точки называются вершинами треугольника, а отрезки, их соединяющие, сторонами треугольника (рисунок 5). FNM — треугольник, отрезки FN, NM, FM – стороны треугольника, точки F, N, M – вершины треугольника. Стороны всех треугольников обладают следующим свойством: длина любой из сторон треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.

Плоскость. Если мысленно продлить во все стороны, например, поверхность крышки стола, то получим представление о плоскости. Точки, отрезки, прямые, лучи располагаются на плоскости (рисунок 6).

Мир, в котором мы живем, все, что нас окружает, древние называли природой или космосом. Пространство, в котором мы живем, считается трехмерным, т.е. имеет три измерения. Их часто называют: длина, ширина и высота (например, длина комнаты 4 м, ширина комнаты 2 м и высота 3 м).

Представление о геометрической (математической) точке дает нам звезда на ночном небе, точка в конце этого предложения, след от иглы и т.д. Однако все перечисленные объекты имеют размеры, в отличие от них размеры геометрической точки считаются равными нулю (её измерения равны нулю). Поэтому реальную математическую точку можно лишь мысленно представить. Можно также сказать, в каком месте она находится. Поставив авторучкой в тетради точку, мы не изобразим геометрическую точку, но будем считать, что построенный объект есть геометрическая точка (рисунок 7). Точки обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, (читают «точка а, точка бэ, точка цэ, точка дэ»)

Провода, висящие на столбах, видимая линия горизонта (граница между небом и землей или водой), русло реки, изображенное на карте, гимнастический обруч, струя воды, бьющая из фонтана дают нам представление о линиях (рисунок 8). Различают замкнутые и незамкнутые линии, гладкие и негладкие линии, линии с самопересечением и без самопересечения (рисунок 9).

Лист бумаги, лазерный диск, оболочка футбольного мяча, картон упаковочной коробки, новогодняя пластиковая маска и т.д. дают нам представление о поверхностях (рисунок 10). Когда красят пол комнаты или автомобиль, то покрывают краской именно поверхность пола или автомобиля.

Тело человека, камень, кирпич, головка сыра, мяч, ледяная сосулька и т.д. дают нам представление о геометрических телах (рисунок 12).

Наиболее простая из всех линий – это прямая. Приложим к листу бумаги линейку и проведем карандашом вдоль неё прямую линию. Мысленно продолжив эту линию до бесконечности в обе стороны, мы получим представление о прямой. Считают, что прямая имеет одно измерение – длину, а два других ее измерения равны нулю (рисунок 13).

При решении задач прямую изображают в виде линии, которую проводят вдоль линейки карандашом или мелом. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, n, m (рисунок 13). Можно обозначать прямую также двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую n на рисунке 13 можно обозначить: АВ или ВА, АD или DА, DВ или ВD.

Точки могут лежать на прямой (принадлежать прямой) и не лежать на прямой (не принадлежать прямой). На рисунке 13 изображены точки A, D, B, лежащие на прямой AB (принадлежащие прямой AB). При этом пишут . Читают: точка A принадлежит прямой AB, точка В принадлежит AB, точка D принадлежит АВ. Точка D принадлежит также и прямой m, ее называют общей точкой. В точке D прямые AB и m пересекаются. Точки P и R не принадлежат прямым AB и m:

Через любые две точки всегда можно провести прямую и причем только одну. Из всех видов линий, соединяющих любые две точки, наименьшую длину имеет отрезок, концами которого служат данные точки (рисунок 14).

Фигура, которая состоит из точек и соединяющих их отрезков называется ломаной (рисунок 15). Отрезки, образующие ломаную, называются звеньями ломаной, а их концы — вершинами ломаной. Называют (обозначают) ломаную, перечисляя по порядку все ее вершины, например, ломаная ABCDEFG. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев. Значит, длина ломаной ABCDEFG равна сумме: AB + BC + CD + DE + EF + FG.

Замкнутая ломаная называется многоугольником, ее вершины называются вершинами многоугольника, а ее звенья сторонами многоугольника (рисунок 16). Называют (обозначают) многоугольник, перечисляя по порядку все его вершины, начиная с любой, например, многоугольник (семиугольник) ABCDEFG , многоугольник (пятиугольник) RTPKL: рис17

Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника и обозначается латинской буквой p (читаем: пэ). Периметры многоугольников на рисунке 16:

PABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

PRTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.

Мысленно продлив поверхность крышки стола или оконного стекла до бесконечности во все стороны, получим представление о поверхности, которая называется плоскостью (рисунок 17). Обозначают плоскости малыми буквами греческого алфавита: α, β, γ, δ,… (читаем: плоскость альфа, бетта, гамма, дельта, и т.д.). рис 18

источник

Длина отрезка и ее измерение.

  • Свойства измерения отрезков

Измерить отрезок – значит найти его длину. Длина отрезка – это расстояние между его концами.

Измерение отрезков производится путём сравнения данного отрезка с другим отрезком, принятым за единицу измерения. Отрезок, принятый за единицу измерения, называется единичным отрезком.

Если за единичный отрезок принят сантиметр, то для определения длины данного отрезка надо узнать, сколько раз в данном отрезке помещается сантиметр. В этом случае измерение удобно производить с помощью сантиметровой линейки.

Начертим отрезок AB и измерим его длину. Приложим шкалу сантиметровой линейки к отрезку AB так, чтобы её нулевая точка (0) совпала с точкой A:

Если при этом окажется, что точка B совпадает с некоторым делением шкалы – например, 5, то говорят: длина отрезка AB равна 5 см, и пишут: AB = 5 см.

Свойства измерения отрезков

Когда точка делит отрезок на две части (на два отрезка), длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Точка C делит его на два отрезка: AC и CB. Мы видим, что AC = 3 см, CB = 4 см и AB = 7 см. Таким образом, AC + CB = AB.

Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.

Величина угла и её измерение

Величиной угла называется положительная величина, определенная для каждого угла так, что: 1) равные углы имеют равные величины; 2) если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.

Эти свойства лежат в основе измерения величины угла. Оно аналогично измерению длины отрезка и состоит в сравнении измеряемой величины угла с величиной угла, принятой за единицу. Единичный угол, а если нужно и его доли, откладываются на угле, величина кото­рого измеряется. В результате получается численное значение величины угла или мера величины угла при данной единице измерения.

Число, которое получается в результате измерения величины угла, должно удовлетворять ряду требований — они аналогичны требованиям, предъявляемым к числовому значению длины отрезка.

На практике за единицу величины угла принимают градус — часть прямого угла. Один градус записывают так: 1°. Величина прямого угла равна 90°, величина развернутого — 180°.

Читайте также:  Рис с овощами как приготовить

Градус делится на 60 минут, а минута на 60 секунд. Одну минуту обозначают 1′, одну секунду – 1». Так, если мера величины угла равна 5 градусам 3 минутам и 12 секундам, то пишут 5°3’12». Если нужна большая точность в измерении величин углов, используют и доли секунды. Заметим, что часто вместо «величина угла» говорят «угол». Например, вместо «величина угла равна 45 градусам» говорят, что «угол равен 45 градусам».

На практике величины углов измеряют с помощью транспортира. Для более точных измерений пользуются и другими приборами.

Площадь многоугольника.

Площадь произвольной плоской фигуры и её измерение.

Формула Герона

3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Формулы площади квадрата

1. Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

2. Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

Формулы площади ромба

1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
S = a · h

2. Формула площади ромба по длине стороны и углу
S = a 2 · sin α

3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей

1. Формула Герона для трапеции

S = a + b √(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)
|a — b|

2. Формула площади трапеции по длине основ и высоте
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

Формулы площади круга

Формула площади круга через радиус
S = π r 2

Площадь круга

Длина отрезка и ее измерение.

  • Свойства измерения отрезков

Измерить отрезок – значит найти его длину. Длина отрезка – это расстояние между его концами.

Измерение отрезков производится путём сравнения данного отрезка с другим отрезком, принятым за единицу измерения. Отрезок, принятый за единицу измерения, называется единичным отрезком.

Если за единичный отрезок принят сантиметр, то для определения длины данного отрезка надо узнать, сколько раз в данном отрезке помещается сантиметр. В этом случае измерение удобно производить с помощью сантиметровой линейки.

Начертим отрезок AB и измерим его длину. Приложим шкалу сантиметровой линейки к отрезку AB так, чтобы её нулевая точка (0) совпала с точкой A:

Если при этом окажется, что точка B совпадает с некоторым делением шкалы – например, 5, то говорят: длина отрезка AB равна 5 см, и пишут: AB = 5 см.

Свойства измерения отрезков

Когда точка делит отрезок на две части (на два отрезка), длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Точка C делит его на два отрезка: AC и CB. Мы видим, что AC = 3 см, CB = 4 см и AB = 7 см. Таким образом, AC + CB = AB.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

источник

Назовем длиной отрезка положительную величину такую, что

1) равные отрезки будут иметь равные длины

2) если отрезок разбить на конечное число отрезков, то его длина будет равна сумме длин этих отрезков.

Основные свойства длин отрезков:

1) При выбранной единице длина отрезка выражается положительным действительным числом. И для каждого действительного числа существует отрезок, длина которого выражена этим числом.

2) Если два отрезка равны, то численные значения их длин т.ж. равны и обратно, при равенстве численных значений длин двух отрезков получаем равенство самих отрезков.

3) Если данный отрезок есть сумма нескольких отрезков, то численное значения его длины равно сумме численных значений длин отрезков слагаемых. Если численное значение длины отрезка = сумме численных значений нескольких значений, то и сам отрезок равен сумме этих отрезков: c = a+ b (c) = (a) + (b)

4) Если длины отрезков a и b таковы, что b = хa, где х– положительное действительное число, и длина а измерена при помощи единицы е , то, чтобы найти численное значение длины b при единице е, достаточно число х умножить на численное значение длины a:

b = хa, (b) = х (a)

5) При замене единицы длины численное значение длины увеличивается( уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

6) Если длина отрезка а больше длины отрезка b, то численное значение отрезка а больше численного значения отрезка b
при выбранной единице е : a > b (a) > (b)

7) Если данный отрезок есть разница двух отрезков, то численное значение его длины равно разности численных значений длин отрезков, составляющих разность и обратно: c = a – b (c) =

= (a) – (b)

8) Положительное число х есть отношение длин отрезков а и b при выбранной единице е: х = а : b x = (a) : (b)

источник

Статья посвящена вопросу как найти длину отрезка на координатной прямой. Автор рассказывает как определить длину отрезка, как сравнить два отрезка. Прилагается пошаговая инструкция и рассматриваются конкретные примеры.

Отрезок — геометрическое место точек, находящихся на одной прямой и заключенных в пределах его концов. Концами отрезка являются точки. Отрезок является замкнутым множеством, следовательно, можно определить его размер. Мерой размера для отрезка является его длина. Вычислить длину отрезка можно точно и приблизительно. Для приблизительного вычисления необходимо использовать подручные средства. Как найти длину отрезка используя линейку? Достаточно приложить начало линейки к началу отрезка и посмотреть на какой цифре кончается отрезок. Это и будет его длина. Но следует учесть некоторые нюансы: . Длину отрезка невозможно абсолютно точно вычислить. . Масштабы и единицы измерения могут не совпадать

Но как найти длину отрезка с высокой или абсолютной точностью? Для пространства каждой размерности существуют свои формулы. Рассмотрим простейший, одномерный случай. Декартовой системой для одномерного случая является обыкновенная координатная прямая. В реальной жизни мы сталкиваемся с сотнями примеров различных координатных прямых. Это и линейки, и строительные рулетки, и лента портного и даже трасса, где каждый километр отмечен порядковым номером. Нет ничего проще, чем измерить отрезок в одномерном пространстве. Особо легко, если начало отрезка совпадает с началом отсчёта (нулём) координатной прямой. В таком случае его длина будет совпадать с модулем координаты его конца. К примеру: если отрезок выходит из нуля, а конец его имеет координату 5, то длина отрезка будет равна пяти.

Также нет задачи легче, чем как сравнить два отрезка, исходящих из нуля. Больше будет тот отрезок, модуль чьей координаты будет большим. Например: из нуля на координатной плоскости в разные стороны выходят два отрезка. Координата отрезка, выходящего влево равна -7, а выходящего вправо — 4. Модуль первого отрезка равен 7 со знаком «+» , а модуль второго — 4 с тем же знаком. Следовательно первый отрезок длиннее второго. Если отрезок начинается не в нуле, тогда следует пользоваться универсальной формулой вычисления длины для одномерного пространства. Звучит она следующим образом: «Для того чтобы найти длину отрезка в одномерном пространстве необходимо из значения координаты правого конца вычесть значение координаты левого конца».

Задача схожа с тем, как найти координаты середины отрезка, только в нашем случае координаты вычитаются, а не складываются и делятся пополам. Рассмотрим пример. Пусть отрезок имеет начало в точке 2, а конец в точке 11. Найти длину отрезка. Для этого вычтем из правой координаты значение левой: 11-2 = 9. Ответ: 9. Следует отметить, что можно наоборот, вычитать координату правого конца из левого, но тогда придётся брать результат по его абсолютному значению (модулю) . 2-11 = -9. Модуль -9 равен 9. Результат не изменился. Такой приём может помочь в решении специальных задач. Также следует рассмотреть примеры для двумерного пространства.

Для двумерного пространства существуют специальные формулы, которые являются обобщением одномерного случая. Сразу рассмотрим конкретный пример, по пути решения объясняя формулы. Для её решения необходимо знать как называется отрезок, соединяющий 2 точки окружности. Такой отрезок называется хордой. Дана хорда с концами А (1;1) и B (4;5) . Найти длину отрезка AB. Длина отрезка АВ будет равна арифметическому квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат точек. Эта форму выводится из теоремы Пифагора. Теперь по порядку. Чтобы найти разность соответствующих координат необходимо из x-координаты точки В вычесть x-координату точки А. Получим 4-1 = 3. Проводим такую же операцию и для y-координаты. Получим 5-1 = 4. Теперь каждую полученную разность возводим в квадрат: 3*3=9,4*4=16. Полученные результаты складываем: 9+16=25. Далее извлекаем квадратный корень. Корень из 25 = 5. Ответ: длина АВ = 5.

источник