Меню Рубрики

Что такое тангенс и как его найти

Живущим людям на Земле
всегда хотелось знать,
как путь найти в пустыне, море,
и можно к звёздам ли попасть.

Хотелось труд свой облегчить,
создать машины, чтоб летать.
И чтоб вопросы разрешить,
пришлось про тангенс всем узнать.

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Впервые встречаясь с тригонометрией в восьмом классе на геометрии, школьники оглядываются на свою жизнь, задавая вопрос, насколько пригодится им эта область науки в дальнейшем.

Редко кто задумывается, что раздел математики, позволяющий рассказать о заданном треугольнике всё (найти все его стороны и углы, выделить особенности), позволил в своё время сделать великие открытия.

Тригонометрия, дав возможность строить корабли и самолёты, отправлять человека в космос, создавать приборы для ориентирования на море, в лесу, в пустыне, определять расстояния, не измеряя их непосредственно линейкой, шагами или чем-то иным, помогла упростить жизнь человечества, раскрыть новые горизонты знаний.

Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.

В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.

Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса.

Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.

Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.

Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.

Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).

Итак, есть два определения:

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan⁡(α).

Первое свойство тангенса вытекает из его определения как отношения катетов.

Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90º. Поэтому

Так как тангенс – это отношение катетов, то

Учитывая особенности некоторых треугольников (равностороннего, прямоугольного, равнобедренного), а также записанное свойство, была составлена таблица значений тангенса для углов 30º, 45º, 60º.

Задача нахождения других углов по значению тангенса была решена с помощью составления более обширных таблиц. За счёт появления современных вычислительных средств необходимость применения табулированных значений уменьшилась.

Учитывая первое определение, можно определить, как найти тангенс угла по клеточкам. Рисунок дополняется перпендикулярными линиями (строится высота), затем считается количество клеточек в полученном прямоугольном треугольнике на катетах, противолежащем и прилежащем искомому углу, а затем берётся их отношение.

Благодаря второму определению, задачу, как найти тангенс угла, можно решить, минуя таблицы и построение прямоугольных треугольников. Достаточно знать синус и косинус, связанные между собой основным тригонометрическим тождеством:

Из формулы тангенсов, записывающей кратко второе определение

и основного тригонометрического тождества можно понять, как найти тангенс, зная только косинус или синус угла.

Достаточно поделить основное тригонометрическое тождество на квадрат косинуса, подставить формулу тангенса. В результате получится зависимость тангенса и косинуса:

Если выразить в последнем случае косинус, то запишется связь между тангенсом и синусом:

источник

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла ( sin α ) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла ( cos α ) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла ( t g α ) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла ( c t g α ) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от — ∞ до + ∞ .

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).

Синус угла поворота α — это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α = х

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , — 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α .

Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )

Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Читайте также:  Как сделать блинный торт

Начальная точка на окружности — точка A c координатами ( 1 , 0 ).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

источник

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Понятия синуса ( ), косинуса ( ), тангенса ( ), котангенса ( ) неразрывно связаны с понятием угла. Чтобы хорошо разобраться в этих, на первый взгляд, сложных понятиях (которые вызывают у многих школьников состояние ужаса), и убедиться, что «не так страшен черт, как его малюют», начнём с самого начала и разберёмся в понятии угла.

Давай посмотрим на рисунке. Вектор «повернулся» относительно точки на некую величину. Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол .

Что же ещё необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!

Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

Углом в (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную части окружности. Таким образом, вся окружность состоит из «кусочков» круговых дуг, или угол, описываемый окружностью, равен .

То есть на рисунке выше изображён угол , равный , то есть этот угол опирается на круговую дугу размером длины окружности.

Углом в радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности. Ну что, разобрался? Если нет, то давай разбираться по рисунку.

Итак, на рисунке изображён угол , равный радиану, то есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина равна длине или радиус равен длине дуги ). Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:

, где — центральный угол в радианах.

Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью? Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:

Ну вот, теперь соотнесём эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен . То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что . Соответственно, . Как можно заметить, в отличие от «градусов», слово «радиан» опускается, так как единица измерения обычно ясна из контекста.

А сколько радиан составляют ? Всё верно !

Уловил? Тогда вперёд закреплять:

Возникли трудности? Тогда смотри ответы:

Итак, с понятием угла разобрались. А что же всё-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла? Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника? Всё верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза — это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона ); катеты – это две оставшиеся стороны и (те, что прилегают к прямому углу), причём, если рассматривать катеты относительно угла , то катет – это прилежащий катет, а катет — противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

Эти определения необходимо запомнить! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе. А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла . По определению, из треугольника : , но ведь мы можем вычислить косинус угла и из треугольника : . Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Для треугольника , изображённого ниже на рисунке, найдём .

Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла .

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным . Такая окружность называется единичной. Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.

Читайте также:  Как заготовить зеленый лук на зиму в домашних условиях

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси (в нашем примере, это радиус ).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси и координата по оси . А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, так как является перпендикуляром к оси .

Чему равен из треугольника ? Всё верно . Кроме того, нам ведь известно, что – это радиус единичной окружности, а значит, . Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

А чему равен из треугольника ? Ну конечно, ! Подставим значение радиуса в эту формулу и получим:

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка , принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что и — это просто числа? Какой координате соответствует ? Ну, конечно, координате ! А какой координате соответствует ? Всё верно, координате ! Таким образом, точка .

А чему тогда равны и ? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что , а .

А что, если угол будет больше ? Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Что же изменилось в данном примере? Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник : угол (как прилежащий к углу ). Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла ? Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате ; значение косинуса угла – координате ; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси . До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы, а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет или . А можно повернуть радиус-вектор на или на ? Ну конечно, можно! В первом случае, , таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении или .

Во втором случае, , то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении или .

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на или (где – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол . Это же изображение соответствует углу и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой или (где – любое целое число)

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:

Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в соответствует точка с координатами , следовательно:

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в соответствуют точки с координатами , соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

А вот значения тригонометрических функций углов в и , приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:

Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла ( ), а также значение тангенса угла в . Зная эти значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:

, зная это можно восстановить значения для . Числитель « » будет соответствовать , а знаменатель « » соответствует . Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего значения из таблицы.

А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота?

Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки.

Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

Нам дано, что точка — центр окружности. Радиус окружности равен . Необходимо найти координаты точки , полученной поворотом точки на градусов.

Как видно из рисунка, координате точки соответствует длина отрезка . Длина отрезка соответствует координате центра окружности, то есть равна . Длину отрезка можно выразить, используя определение косинуса:

Тогда имеем, что для точки координата .

По той же логике находим значение координаты y для точки . Таким образом,

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

— координаты центра окружности,

— угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

1. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на .

2. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на .

3. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на .

4. Точка — центр окружности. Радиус окружности равен . Необходимо найти координаты точки , полученной поворотом начального радиус-вектора на .

5. Точка — центр окружности. Радиус окружности равен . Необходимо найти координаты точки , полученной поворотом начального радиус-вектора на .

Реши эти пять примеров (или разберись хорошо в решении) и ты научишься их находить!

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Читайте также:  Как определить какая почва на садовом участке

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

  1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье — Купить статью — 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника — Купить учебник — 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Какой координате соответствует sinα \sin \alpha sinα? Ну, конечно, координате x xx! А какой координате соответствует sinα \sin \alpha sinα? вот здесь опечатка, вместо синуса и косинуса два раза — синус

источник

ТАНГЕНС (Tg α) острого угла в прямоугольном треугольнике равняется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)

α (радианы) π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2
α (градусы) 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
tg α (Тангенс) 1/3 1 3
Полная таблица тангенсов для углов от 0° до 360°

Угол в градусах tg (Тангенс)
0.0175
0.0349
0.0524
0.0699
0.0875
0.1051
0.1228
0.1405
0.1584
10° 0.1763
11° 0.1944
12° 0.2126
13° 0.2309
14° 0.2493
15° 0.2679
16° 0.2867
17° 0.3057
18° 0.3249
19° 0.3443
20° 0.364
21° 0.3839
22° 0.404
23° 0.4245
24° 0.4452
25° 0.4663
26° 0.4877
27° 0.5095
28° 0.5317
29° 0.5543
30° 0.5774
31° 0.6009
32° 0.6249
33° 0.6494
34° 0.6745
35° 0.7002
36° 0.7265
37° 0.7536
38° 0.7813
39° 0.8098
40° 0.8391
41° 0.8693
42° 0.9004
43° 0.9325
44° 0.9657
45° 1
46° 1.0355
47° 1.0724
48° 1.1106
49° 1.1504
50° 1.1918
51° 1.2349
52° 1.2799
53° 1.327
54° 1.3764
55° 1.4281
56° 1.4826
57° 1.5399
58° 1.6003
59° 1.6643
60° 1.7321
61° 1.804
62° 1.8807
63° 1.9626
64° 2.0503
65° 2.1445
66° 2.246
67° 2.3559
68° 2.4751
69° 2.6051
70° 2.7475
71° 2.9042
72° 3.0777
73° 3.2709
74° 3.4874
75° 3.7321
76° 4.0108
77° 4.3315
78° 4.7046
79° 5.1446
80° 5.6713
81° 6.3138
82° 7.1154
83° 8.1443
84° 9.5144
85° 11.4301
86° 14.3007
87° 19.0811
88° 28.6363
89° 57.29
90°
Таблица тангенсов для углов от 91° до 180°

Угол tg (Тангенс)
91° -57.29
92° -28.6363
93° -19.0811
94° -14.3007
95° -11.4301
96° -9.5144
97° -8.1443
98° -7.1154
99° -6.3138
100° -5.6713
101° -5.1446
102° -4.7046
103° -4.3315
104° -4.0108
105° -3.7321
106° -3.4874
107° -3.2709
108° -3.0777
109° -2.9042
110° -2.7475
111° -2.6051
112° -2.4751
113° -2.3559
114° -2.246
115° -2.1445
116° -2.0503
117° -1.9626
118° -1.8807
119° -1.804
120° -1.7321
121° -1.6643
122° -1.6003
123° -1.5399
124° -1.4826
125° -1.4281
126° -1.3764
127° -1.327
128° -1.2799
129° -1.2349
130° -1.1918
131° -1.1504
132° -1.1106
133° -1.0724
134° -1.0355
135° -1
136° -0.9657
137° -0.9325
138° -0.9004
139° -0.8693
140° -0.8391
141° -0.8098
142° -0.7813
143° -0.7536
144° -0.7265
145° -0.7002
146° -0.6745
147° -0.6494
148° -0.6249
149° -0.6009
150° -0.5774
151° -0.5543
152° -0.5317
153° -0.5095
154° -0.4877
155° -0.4663
156° -0.4452
157° -0.4245
158° -0.404
159° -0.3839
160° -0.364
161° -0.3443
162° -0.3249
163° -0.3057
164° -0.2867
165° -0.2679
166° -0.2493
167° -0.2309
168° -0.2126
169° -0.1944
170° -0.1763
171° -0.1584
172° -0.1405
173° -0.1228
174° -0.1051
175° -0.0875
176° -0.0699
177° -0.0524
178° -0.0349
179° -0.0175
180°
Таблица тангенсов для углов от 181° до 270°

Угол tg (Тангенс)
181° 0.0175
182° 0.0349
183° 0.0524
184° 0.0699
185° 0.0875
186° 0.1051
187° 0.1228
188° 0.1405
189° 0.1584
190° 0.1763
191° 0.1944
192° 0.2126
193° 0.2309
194° 0.2493
195° 0.2679
196° 0.2867
197° 0.3057
198° 0.3249
199° 0.3443
200° 0.364
201° 0.3839
202° 0.404
203° 0.4245
204° 0.4452
205° 0.4663
206° 0.4877
207° 0.5095
208° 0.5317
209° 0.5543
210° 0.5774
211° 0.6009
212° 0.6249
213° 0.6494
214° 0.6745
215° 0.7002
216° 0.7265
217° 0.7536
218° 0.7813
219° 0.8098
220° 0.8391
221° 0.8693
222° 0.9004
223° 0.9325
224° 0.9657
225° 1
226° 1.0355
227° 1.0724
228° 1.1106
229° 1.1504
230° 1.1918
231° 1.2349
232° 1.2799
233° 1.327
234° 1.3764
235° 1.4281
236° 1.4826
237° 1.5399
238° 1.6003
239° 1.6643
240° 1.7321
241° 1.804
242° 1.8807
243° 1.9626
244° 2.0503
245° 2.1445
246° 2.246
247° 2.3559
248° 2.4751
249° 2.6051
250° 2.7475
251° 2.9042
252° 3.0777
253° 3.2709
254° 3.4874
255° 3.7321
256° 4.0108
257° 4.3315
258° 4.7046
259° 5.1446
260° 5.6713
261° 6.3138
262° 7.1154
263° 8.1443
264° 9.5144
265° 11.4301
266° 14.3007
267° 19.0811
268° 28.6363
269° 57.29
270°
Таблица тангенсов для углов от 271° до 360°

Угол tg (Тангенс)
271° -57.29
272° -28.6363
273° -19.0811
274° -14.3007
275° -11.4301
276° -9.5144
277° -8.1443
278° -7.1154
279° -6.3138
280° -5.6713
281° -5.1446
282° -4.7046
283° -4.3315
284° -4.0108
285° -3.7321
286° -3.4874
287° -3.2709
288° -3.0777
289° -2.9042
290° -2.7475
291° -2.6051
292° -2.4751
293° -2.3559
294° -2.246
295° -2.1445
296° -2.0503
297° -1.9626
298° -1.8807
299° -1.804
300° -1.7321
301° -1.6643
302° -1.6003
303° -1.5399
304° -1.4826
305° -1.4281
306° -1.3764
307° -1.327
308° -1.2799
309° -1.2349
310° -1.1918
311° -1.1504
312° -1.1106
313° -1.0724
314° -1.0355
315° -1
316° -0.9657
317° -0.9325
318° -0.9004
319° -0.8693
320° -0.8391
321° -0.8098
322° -0.7813
323° -0.7536
324° -0.7265
325° -0.7002
326° -0.6745
327° -0.6494
328° -0.6249
329° -0.6009
330° -0.5774
331° -0.5543
332° -0.5317
333° -0.5095
334° -0.4877
335° -0.4663
336° -0.4452
337° -0.4245
338° -0.404
339° -0.3839
340° -0.364
341° -0.3443
342° -0.3249
343° -0.3057
344° -0.2867
345° -0.2679
346° -0.2493
347° -0.2309
348° -0.2126
349° -0.1944
350° -0.1763
351° -0.1584
352° -0.1405
353° -0.1228
354° -0.1051
355° -0.0875
356° -0.0699
357° -0.0524
358° -0.0349
359° -0.0175
360°

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите нужную часть таблицы, на выделенном фоне нажмите правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

— Ищем в таблице соответствующее значение. Правильный ответ: 0.5774

источник