Меню Рубрики

Что такое нецелое число в математике

Натуральные числа определение – это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:

Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица — это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:

с — это всегда натуральное число.

Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:

с — это всегда натуральное число.

Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе — нет.

Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b

где с — натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a — делимое, b — делитель, c — частное.

Делитель натурального числа — это натуральное число, на которое первое число делится нацело.

Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

Единицу не считают простым числом.

Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:

Единицу не считают составным числом.

Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел:

переместительное свойство сложения

сочетательное свойство сложения

переместительное свойство умножения

сочетательное свойство умножения

распределительное свойство умножения

Целые числа — это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.

Числа, противоположные натуральным — это целые отрицательные числа, например:

Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.

Рациональные числа — это целые числа и дроби.

Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:

Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.

Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера:

Другой пример: рациональное число 9 может быть представлено в виде простой дроби как 18/2 или как 36/4.

Ещё пример: рациональное число -9 может быть представлено в виде простой дроби как -18/2 или как -72/8.

Множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.

Подробнее о рациональных числах в разделе Рациональные числа.

Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби. Примеры:

Подробнее об иррациональных числах в разделе Иррациональные числа.

Действительные числа – это все рациональные и все иррациональные числа.

Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R.

источник

Информация этой статьи формирует общее представление о целых числах. Сначала дано определение целых чисел и приведены примеры. Далее рассмотрены целые числа на числовой прямой, откуда становится видно, какие числа называются целыми положительными числами, а какие – целыми отрицательными. После этого показано, как при помощи целых чисел описываются изменения величин, и рассмотрены целые отрицательные числа в смысле задолженности.

Дадим определение целых чисел. Чтобы его понять, нужно знать про натуральные числа, а также иметь представление о противоположных числах.

Целые числа – это натуральные числа, число нуль, а также числа, противоположные натуральным.

Определение целых чисел утверждает, что любое из чисел 1 , 2 , 3 , …, число 0 , а также любое из чисел −1 , −2 , −3 , … является целым. Теперь мы легко можем привести примеры целых чисел. Например, число 38 – целое, число 70 040 – тоже целое, нуль – целое число (напомним, что нуль НЕ является натуральным числом, нуль – целое число), числа −999 , −1 , −8 934 832 – также являются примерами целых чисел.

Все целые числа удобно представлять как последовательность целых чисел, которая имеет следующий вид: 0, ±1, ±2, ±3, … Последовательность целых чисел можно записать и так: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Из определения целых чисел следует, что множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. Поэтому, любое натуральное число является целым, но не любое целое число является натуральным.

Давайте взглянем на координатную прямую, чтобы увидеть точки, соответствующие целым числам. Будем считать, что координатная прямая проведена горизонтально и направлена вправо.

Из построения координатной прямой следует, что началу отсчета и точкам, отмеченным штрихами, взаимно однозначно соответствуют целые числа. То есть, каждой из указанных точек соответствует единственное целое число, следовательно, несовпадающим точкам отвечают разные целые числа. Началу отсчета (точке O ) соответствует целое число нуль, а точкам, которые отмечены штрихами, соответствуют другие целые числа. Никаким другим точкам координатной прямой целые числа не соответствуют, и никакому целому числу не отвечает точка координатной прямой, отличная от указанных выше.

В любую точку, отмеченную штрихом (координатами этих точек являются целые числа), мы можем попасть, если от начала отсчета последовательно отложим некоторое количество единичных отрезков.

Изучив материал статьи положительные и отрицательные числа, мы из всех целых чисел можем выделить целые положительные и целые отрицательные числа.

Целые положительные числа — это целые числа со знаком плюс.

Например, число 5 – это целое положительное число. Другими примерами целых положительных чисел являются числа 11 , 501 , 40 000 003 .

Целые отрицательные числа – это целые числа со знаком минус.

Приведем несколько примеров целых отрицательных чисел. Числа −6 , −5 555 , −12 121 – целые отрицательные.

Число нуль (число 0 ) не является ни целым положительным, ни целым отрицательным числом. Нуль как бы отделяет целые отрицательные числа от целых положительных.

Вообще, в силу определения противоположных чисел, любое число, противоположное целому положительному числу, есть целое отрицательное число. И наоборот, любое число, противоположное целому отрицательному числу, есть целое положительное. Это утверждение позволяет дать определения целых положительных и целых отрицательных чисел на основе их сравнения с нулем (здесь нужно владеть материалом статьи сравнение целых чисел).

Целые положительные числа – это целые числа, которые больше нуля.

Целые отрицательные числа – это целые числа, которые меньше нуля.

Целые положительные и отрицательные числа можно также определить по их положению на координатной прямой. На горизонтальной координатной прямой точки, координатами которых являются целые положительные числа, лежат правее начала отсчета. В свою очередь точки с целыми отрицательными координатами располагаются левее точки O .

Понятно, что множество всех целых положительных чисел представляет собой множество натуральных чисел. В свою очередь множество всех целых отрицательных чисел – это множество всех чисел, противоположных натуральным числам.

Отдельно обратим Ваше внимание на то, что любое натуральное число мы можем смело назвать целым, а любое целое число мы НЕ можем назвать натуральным. Натуральным мы можем назвать лишь любое целое положительное число, так как целые отрицательные числа и нуль не являются натуральными.

Дадим определения целых неположительных чисел и целых неотрицательных чисел.

Все целые положительные числа вместе с числом нуль называют целыми неотрицательными числами.

Целые неположительные числа – это все целые отрицательные числа вместе с числом 0 .

Читайте также:  Смесь утки и гуся как называется

Другими словами, целое неотрицательное число – это целое число, которое больше нуля, либо равно нулю, а целое неположительное число – это целое число, которое меньше нуля, либо равно нулю.

Примерами целых неположительных чисел являются числа −511 , −10 030 , 0 , −2 , а в качестве примеров целых неотрицательных чисел приведем числа 45 , 506 , 0 , 900 321 .

Наиболее часто термины «целые неположительные числа» и «целые неотрицательные числа» используют для краткости изложения. Например, вместо фразы «число a целое, причем a больше нуля или равно нулю» можно сказать « a – целое неотрицательное число».

Пришло время поговорить о том, для чего вообще нужны целые числа.

Основное предназначение целых чисел заключается в том, что с их помощью удобно описывать изменение количества каких-либо предметов. Разберемся с этим на примерах.

Пусть на складе находится некоторое количество деталей. Если на склад привезут еще, к примеру, 400 деталей, то количество деталей на складе увеличится, а число 400 выражает это изменение количества в положительную сторону (в сторону увеличения). Если же со склада заберут, например, 100 деталей, то количество деталей на складе уменьшится, а число 100 будет выражать изменение количества в отрицательную сторону (в сторону уменьшения). На склад не будут привозить детали, и не будут увозить детали со склада, то можно говорить о неизменности количестве деталей (то есть можно будет говорить о нулевом изменении количества).

В приведенных примерах изменение количества деталей можно описать при помощи целых чисел 400 , −100 и 0 соответственно. Положительное целое число 400 показывает изменение количества в положительную сторону (увеличение). Отрицательное целое число −100 выражает изменение количества в отрицательную сторону (уменьшение). Целое число 0 показывает, что количество осталось без изменения.

Удобство использования целых чисел по сравнению с использованием натуральных чисел заключается в том, что не нужно явно указывать увеличивается количество или уменьшается, — целое число определяет изменение количественно, а знак целого числа указывает направление изменения.

Целые числа также могут выражать не только изменение количества, но и изменение какой-либо величины. Разберемся с этим на примере изменения температуры.

Повышение температуры, скажем, на 4 градуса выражается положительным целым числом 4 . Понижение температуры, например, на 12 градусов можно описать отрицательным целым числом −12 . А неизменность температуры – это ее изменение, определяемое целым числом 0 .

Отдельно нужно сказать о трактовке отрицательных целых чисел как величины долга. Например, если у нас есть 3 яблока, то целое положительное число 3 показывает количество яблок, которыми мы владеем. С другой стороны, если мы должны кому-либо отдать 5 яблок, а у нас их нет в наличии, то эту ситуацию можно описать при помощи отрицательного целого числа −5 . В этом случае мы «обладаем» −5 яблоками, знак минус указывает на долг, а число 5 определяет долг количественно.

Понимание отрицательного целого числа в качестве долга позволяет, например, обосновать правило сложения отрицательных целых чисел. Приведем пример. Если кто-то должен 2 яблока одному человеку и одно яблоко – другому, то общий долг составляет 2+1=3 яблока, поэтому −2+(−1)=−3 .

источник

Существуют множество разновидностей чисел, одни из них – это целые числа. Целые числа появились для того, чтобы облегчить счет не только в положительную сторону, но и в отрицательную.

Рассмотрим пример:
Днем на улице была температура 3 градуса. К вечеру температура снизилась на 3 градуса.
3-3=0
На улице стало 0 градусов. А ночью температура снизилась на 4 градуса и стало показывать на термометре -4 градуса.
0-4=-4

Натуральными числами мы такую задачу описать мы не сможем, рассмотрим эту задачу на координатной прямой.

У нас получился ряд чисел:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Этот ряд чисел называется рядом целых чисел.

Ряд целых чисел состоит из положительных и отрицательных чисел. Справа от нуля идут натуральные числа или их еще называют целыми положительными числами. А слева от нуля идут целые отрицательные числа.

Нуль не является ни положительным ни отрицательным числом. Он является границей между положительными и отрицательными числами.

Целые числа – это множество чисел, состоящие из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и нуля.

Ряд целых чисел в положительную и в отрицательную сторону является бесконечным множеством.

Если мы возьмём два любых целых числа, то числа, стоящие между этими целыми числами, будут называться конечным множеством.

Например:
Возьмем целые числа от -2 до 4. Все числа, стоящие между этими числами, входят в конечное множество. Наше конечное множество чисел выглядит так:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Натуральные числа обозначаются латинской буквой N.
Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Все множество натуральных чисел и целых чисел можно изобразить на рисунке.

Неположительные целые числа другими словами – это отрицательные целые числа.
Неотрицательные целые числа – это положительные целые числа.

Вопросы по теме:
Как называются числа, находящиеся в ряду целых чисел: а) справа от нуля; б) слева от нуля?
Ответ: а) натуральные числа или целые положительные числа. Оба термина несут один и тот же смысл.
б) целые отрицательные числа.

Назовите наибольшее целое число?
Ответ: ряд положительных целых чисел бесконечен, поэтому наибольшего целого числа не существует.

Какое наименьшее целое число?
Ответ: ряд отрицательных чисел бесконечен, поэтому наименьшего целого числа не существует.

Пример №1:
Сколько целых чисел расположено между числами -33 и 102?
Решение:
У нас 32 отрицательных числа, есть нуль и 101 положительных чисел.
32+1+101=134
Ответ: 134

Пример №2:
Приведите пример целого числа.
Целое число: -16523, -100, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1009, 1984.

Пример №3:
Сколько четных целых чисел расположено между числами -4 и 5?
Ответ: -2, 2, 4.

источник

В данной статье определим множество целых чисел, рассмотрим, какие целые называются положительными, а какие отрицательными. Также покажем, как целые числа используются для описания изменения некоторых величин. Начнем с определения и примеров целых чисел.

Вначале вспомним про натуральные числа ℕ . Само название говорит о том, что это такие числа, которые естественно использовались для счета с незапамятных времен. Для того, чтобы охватить понятие целых чисел, нам нужно расширить определение натуральных чисел.

Определение 1. Целые числа

Целые числа — это натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль.

Множество целых чисел обозначается буквой ℤ .

Множество натуральных чисел ℕ — подмножество целых чисел ℤ . Любое натуральное число является целым, но не любое целое число является натуральным.

Из определения следует, что целым является любое из чисел 1 , 2 , 3 . . , число 0 , а также числа — 1 , — 2 , — 3 , . .

В соответствии с этим, приведем примеры. Числа 39 , — 589 , 10000000 , — 1596 , 0 являются целыми числами.

Пусть координатная прямая проведена горизонтально и направлена вправо. Взглянем на нее, чтобы наглядно представить расположение целых чисел на прямой.

Началу отсчета на координатной прямой соответствует число 0 , а точкам, лежащим по обе стороны от нуля соответствуют положительные и отрицательные целые числа. Каждой точке соответствует единственное целое число.

В любую точку прямой, координатой которой является целое число, можно попасть, отложив от начала координат некоторое количество единичных отрезков.

Из всех целых чисел логично выделить положительные и отрицательные целые числа. Дадим их определения.

Определение 2. Положительные целые числа

Положительные целые числа — это целые числа со знаком «плюс».

Например, число 7 — целое число со знаком плюс, то есть положительное целое число. На координатной прямой это число лежит справа от точки отсчета, за которую принято число 0 . Другие примеры положительных целых чисел: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

Читайте также:  Как обработать огурцы кефиром

Определение 3. Отрицательные целые числа

Отрицательные целые числа — это целые числа со знаком «минус».

Примеры целых отрицательных чисел: — 528 , — 2568 , — 1 .

Число 0 разделяет положительные и отрицательные целые числа и само не является ни положительным, ни отрицательным.

Любое число, противоположное положительному целому числу, в силу определения, является отрицательным целым числом. Справедливо и обратное. Число, обратное любому отрицательному целому числу, есть положительное целое число.

Можно дать другие формулировки определений отрицательных и положительных целых чисел, используя их сравнение с нулем.

Определение 4. Положительные целые числа

Положительные целые числа — это целые числа, которые больше нуля.

Отрицательные целые числа — это целые числа, которые меньше нуля.

Соответственно, положительные числа лежат правее начала отсчета на координатной прямой, а отрицательные целые числа находятся левее от нуля.

Ранее мы уже говорили, что натуральные числа — это подмножество целых. Уточним этот момент. Множество натуральных чисел составляют целые положительные числа. В свою очередь, множество отрицательных целых чисел является множеством чисел, противоположных натуральным.

Любое натуральное число можно назвать целым, но любое целое число нельзя назвать натуральным. Отвечая на вопрос, являются ли являются ли отрицательные числа натуральными, нужно смело говорить — нет, не являются.

Определение 6. Неотрицательные целые числа

Неотрицательные целые числа — это положительные целые числа и число нуль.

Неположительные целые числа — это отрицательные целые числа и число нуль.

Как видим, число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Примеры неотрицательных целых чисел: 52 , 128 , 0 .

Примеры неположительных целых чисел: — 52 , — 128 , 0 .

Неотрицательное число — это число, большее или равное нулю. Соответственно, неположительное целое число — это число, меньшее или равное нулю.

Термины «неположительное число» и «неотрицательное число» используются для краткости. Например, вместо того, чтобы говорить, что число a — целое число, которое больше или равно нулю, можно сказать: a — целое неотрицательное число.

Для чего используются целые числа? В первую очередь, с их помощью удобно описывать и определять изменение количества каких-либо предметов. Приведем пример.

Пусть на складе хранится какое-то количество коленвалов. Если на склад привезут еще 500 коленвалов, то их количество увеличится. Число 500 как раз и выражает изменение (увеличение) количества деталей. Если потом со склада увезут 200 деталей, то это число также будет характеризовать изменение количества коленвалов. На этот раз, в сторону уменьшения.

Если же со склада ничего не будут забирать, и ничего не будут привозить, то число 0 укажет на неизменность количества деталей.

Очевидное удобство использования целых чисел в отличие от натуральных в том, что их знак явно указывает на направление изменения величины (увеличение или убывание).

Понижение температуры на 30 градусов можно охарактеризовать отрицательным числом — 30 , а увеличение на 2 градуса — положительным целым числом 2 .

Приведем еще один пример с использованием целых чисел. На этот раз, представим, что мы должны отдать кому-то 5 монет. Тогда, можно сказать, что мы обладаем — 5 монетами. Число 5 описывает размер долга, а знак «минус» говорит о том, что мы должны отдать монеты.

Если мы должны 2 монеты одному человеку, а 3 — другому, то общий долг ( 5 монет) можно вычислить по правилу сложения отрицательных чисел:

источник

Итак, рассмотрим, какие числа называют целыми.

Если вспомнить курс математики, то целыми числами являются натуральные числа, нуль и числа, противоположные натуральным.

Таким образом, целыми будут обозначаться такие числа: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$ и т.д.

Множество натуральных чисел есть подмножеством множества целых чисел, т.е. любое натуральное будет являться целым числом, но не любое целое является натуральным числом.

Целыми положительными числами являются целые числа со знаком плюс.

Числа $3, 78, 569, 10450$ – целые положительные числа.

Целыми отрицательными числами являются целые числа со знаком минус.

Числа $−3, −78, −569, -10450$ – целые отрицательные числа.

Число ноль не относится ни к целым положительным, ни к целым отрицательным числам.

Целыми положительными числами являются целые числа, большие нуля.

Целыми отрицательными числами являются целые числа, меньшие нуля.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Множество натуральных целых чисел являет собой множество всех целых положительных чисел, а множество всех противоположных натуральным числам являет собой множество всех целых отрицательных чисел.

Все целые положительные числа и число нуль называются целыми неотрицательными числами.

Целыми неположительными числами являются все целые отрицательные числа и число $0$.

Таким образом, целым неотрицательным числом являются целые числа, большие нуля или равные нулю, а целым неположительным числом – целые числа, меньшие нуля или равные нулю.

Например, целые неположительные числа: $−32, −123, 0, −5$, а целые неотрицательные числа: $54, 123, 0, 856 342.$

Целые числа применяются для описания изменения числа каких-либо предметов.

Пусть в магазине продается какое-то число наименований товара. Когда в магазин поступит $520$ наименований товаров, то число наименований товара в магазине увеличится, а число $520$ показывает изменение числа в положительную сторону. Когда в магазине продастся $50$ наименований товара, то число наименований товара в магазине уменьшится, а число $50$ будет выражать изменение числа в отрицательную сторону. Если в магазин не будут ни привозить, ни продавать товар, то число товара будет оставаться неизменным (т.е. можно говорить о нулевом изменении числа).

В приведенном примере изменение числа товара описывается с помощью целых чисел $520$, $−50$ и $0$ соответственно. Положительное значение целого числа $520$ указывает на изменение числа в положительную сторону. Отрицательное значение целого числа $−50$ указывает на изменение числа в отрицательную сторону. Целое число $0$ указывает на неизменность числа.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Целые числа удобно использовать, т.к. не нужно явное указание на увеличение числа или уменьшение, – знак целого числа указывает на направление изменения, а значение – на количественное изменение.

С помощью целых чисел можно выразить не только изменение количества, но и изменение любой величины.

Рассмотрим пример изменения стоимости товара.

Повышение стоимости, например, на $20$ рублей выражается с помощью положительного целого числа $20$. Понижение стоимости, например, на $5$ рублей описывается с помощью отрицательного целого числа $−5$. Если изменений стоимости нет, то такое изменение определяется с помощью целого числа $0$.

Отдельно рассмотрим значение отрицательных целых чисел как размера долга.

Например, у какого-либо человека есть $5 000$ рублей. Тогда с помощью целого положительного числа $5 000$ можно показать количество рублей, которые у него есть. Человек должен оплатить квартплату в размере $7 000$ рублей, но у него таких денег нет, в таком случае подобная ситуация описывается отрицательным целым числом $−7 000$. В таком случае человек имеет $−7 000$ рублей, где «–» указывает на долг, а число $7 000$ показывает количество долга.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

источник

Множество — это набор каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества.

Например: множество школьников, множество машин, множество чисел .

В математике множество рассматривается намного шире. Мы не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку она относится к высшей математике и на первых порах может создавать трудности для обучения. Мы рассмотрим только ту часть темы, с которой уже имели дело.

Читайте также:  Какие духи самые стойкие и шлейфовые мужские

Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы — строчными. При этом элементы заключаются в фигурные скобки.

Например, если наших друзей зовут Том, Джон и Лео , то мы можем задать множество друзей, элементами которого будут Том, Джон и Лео.

Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву F ( friends ), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:

Пример 2 . Запишем множество делителей числа 6.

Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D

затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6

Если какой-то элемент принадлежит заданному множеству, то эта принадлежность указывается с помощью знака принадлежности ∈ . К примеру, делитель 2 принадлежит множеству делителей числа 6 (множеству D ). Записывается это так:

Читается как: «2 принадлежит множеству делителей числа 6»

Если какой-то элемент не принадлежит заданному множеству, то эта не принадлежность указывается с помощью зачёркнутого знака принадлежности ∉. К примеру, делитель 5 не принадлежит множеству D . Записывается это так:

Читается как: «5 не принадлежит множеству делителей числа 6″

Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг Том:

Зададим множество, которое состоит из одного числа 2

Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5

Это первое множество с которым мы начали работать. Натуральными числами называют числа 1, 2, 3 и т.д.

Натуральные числа появились из-за потребности людей сосчитать те иные объекты. Например, посчитать количество кур, коров, лошадей. Натуральные числа возникают естественным образом при счёте.

В прошлых уроках, когда мы употребляли слово «число» , чаще всего подразумевалось именно натуральное число.

В математике множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N.

Например, укажем, что число 1 принадлежит множеству натуральных чисел. Для этого записываем число 1, затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что единица принадлежит множеству N

Читается как: «единица принадлежит множеству натуральных чисел»

Множество целых чисел включает в себя все положительные и отрицательные числа, а также число 0.

Множество целых чисел обозначается заглавной латинской буквой Z .

Укажем, к примеру, что число −5 принадлежит множеству целых чисел:

Укажем, что 10 принадлежит множеству целых чисел:

Укажем, что 0 принадлежит множеству целых чисел:

В будущем все положительные и отрицательные числа мы будем называть одним словосочетанием — целые числа.

Рациональные числа, это те самые обыкновенные дроби, которые мы изучаем по сей день.

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — числитель дроби, b — знаменатель.

В роли числителя и знаменателя могут быть любые числа, в том числе и целые (за исключением нуля, поскольку на нуль делить нельзя).

Например, представим, что вместо a стоит число 10, а вместо b — число 2

10 разделить на 2 равно 5. Видим, что число 5 может быть представлено в виде дроби , а значит число 5 входит во множество рациональных чисел.

Легко заметить, что число 5 также относится и ко множеству целых чисел. Стало быть множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А значит, во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби, но и целые числа вида −2, −1, 0, 1, 2.

Теперь представим, что вместо a стоит число 12, а вместо b — число 5.

12 разделить на 5 равно 2,4. Видим, что десятичная дробь 2,4 может быть представлена в виде дроби , а значит она входит во множество рациональных чисел. Отсюда делаем вывод, что во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби и целые числа, но и десятичные дроби.

Мы вычислили дробь и получили ответ 2,4. Но мы могли бы выделить в этой дроби целую часть:

При выделении целой части в дроби , получается смешанное число . Видим, что смешанное число тоже может быть представлено в виде дроби . Значит во множество рациональных чисел входят и смешанные числа.

В итоге мы приходим к выводу, что множество рациональных чисел содержат в себе:

  • целые числа
  • обыкновенные дроби
  • десятичные дроби
  • смешанные числа

Множество рациональных чисел обозначается заглавной латинской буквой Q.

Например укажем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел. Для этого записываем саму дробь , затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел:

Q

Укажем, что десятичная дробь 4,5 принадлежит множеству рациональных чисел:

Укажем, что смешанное число принадлежит множеству рациональных чисел:

Q

Вводный урок по множествам завершён. В будущем мы рассмотрим множества намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

источник

Словосочетание «числовые множества» довольно часто встречается в учебниках математики. Там очень часто можно встретить фразы такого плана:

«Бла-бла-бла, где принадлежит множеству натуральных чисел».

Частенько вместо окончания фразы можно увидеть вот такую запись . Она означает то же что и текст немного выше — число принадлежит множеству натуральных чисел. Многие довольно часто не придают внимания в каком множестве определена та или иная переменная. В результате применяться совершенно неверные методы при решении задачи или доказательстве теоремы. Это происходит из-за того, что свойства чисел принадлежащих различным множествам могут иметь различия.

Числовых множеств не так уж и много. Ниже можно увидеть определения различных числовых множеств.

Множество натуральных чисел включает в себя все целые числа больше нуля — положительные целые числа.

Например: 1, 3, 20, 3057. Множество не включает в себя цифру 0.

В это числовое множество входят все целые числа больше и меньше нуля, а так же ноль.

Рациональные числа, вообще говоря, представляют собой множество дробей, которые не сокращаются (если дробь сокращается, то это уже будет целое число, и для этого случая не стоит вводить еще одно числовое множество).

Пример чисел входящих в рациональное множество: 3/5, 9/7, 1/2.

,

где – конечная последовательность цифр целой части числа, принадлежащего множеству вещественных чисел. Эта последовательность является конечной, то есть количество цифр в целофй части вещественного числа конечное количество.

– бесконечная последовательность чисел, стоящих в дробной части вещественного числа. Выходит, что в дробной части присутствует бесконечное количество чисел.

Такие числа невозможно представить в виде дроби. В противном случае, подобное число можно было бы отнести к множеству рациональных чисел.

Примеры вещественных чисел:

Давайте рассмотрим значение корня из двух внимательнее. В целочисленной части представлена только одна цифра — 1, поэтому мы можем записать:

В дробной части (после точки) последовательно идут числа 4, 1, 4, 2 и так далее. Поэтому для первых четырех цифр можно записать:

.

Смею надеяться, что теперь запись определения множества вещественных чисел стала понятней.

Следует помнить, что одна и та же функция может проявлять совершенно разные свойства в зависимости от того к какому множеству будет принадлежать переменная. Так что помните основы – они вам пригодятся.

источник