Меню Рубрики

Что такое направляющие косинусы вектора

Правая и левая тройки векторов

Три некомпланарных вектора , и , приведенных к общему началу, образуют так называемую связку трех векторов (или тройку векторов).

Тройка векторов называется упорядоченной, если четко сказано, какой вектор в ней идет первым, и так далее.

Тройка векторов , и называется левой, если поворот от вектора к вектору , видимый с конца третьего вектора , осуществляется по ходу часовой стрелки (рис. 1).

Тройка векторов , и называется правой, если поворот от вектора к вектору , видимый с конца третьего вектора , осуществляется против хода часовой стрелки (рис. 2).

Координаты вектора. Направляющие косинусы

Для решения задач с векторами необходимо определить вектор на плоскости или в пространстве, то есть дать информацию о его направлении и длине.

Координаты вектора

Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК) и произвольный вектор , начало которого совпадает с началом системы координат (рис. 1).

Координатами вектора называются проекции и данного вектора на оси и соответственно:

Величина называется абсциссой вектора , а число — егоординатой. То, что вектор имеет координаты и , записывается следующим образом: .

Запись означает, что вектор имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Сумма двух векторов, заданных координатами

Пусть заданы и , тогда вектор имеет координаты (рис. 2).

Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.

Задание. Заданы и . Найти координаты вектора

Решение.

Умножение вектора на число

Если задан , то тогда вектор имеет координаты , здесь — некоторое число (рис. 3).

Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число.

Задание. Вектор . Найти координаты вектора

Решение.

Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две точки и . Тогда координаты вектора находятся по формулам (рис. 4):

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала.

Задание. Найти координаты вектора , если

Решение.

Направляющие косинусы

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.

Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Дляединичного вектора

направляющие косинусы равны его координатам.

Если в пространстве задан вектор , то его направляющие косинусы вычисляются по формулам:

Здесь , и — углы, которые составляет вектор с положительными направлениями осей , и соответственно.

Основное свойство направляющих косинусов

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Если известны направляющие косинусы вектора , то его координаты могут быть найдены по формулам:

Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае — если известны направляющие косинусы вектора , то его координаты могут быть найдены по формулам:

Дата добавления: 2018-02-15 ; просмотров: 315 ; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

источник

Обозначьте через альфа, бета и гамма углы, образованные вектором а с положительным направлением координатных осей (см. рис.1). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора а.

Так как координаты а в декартовой прямоугольной системе координат равны проекциям вектора на координатные оси, то
а1 = |a|cos(альфа), a2 = |a|cos(бета), a3 = |a|cos(гамма). Отсюда:
cos (альфа)=a1||a|, cos(бета) =a2||a|, cos(гамма)= a3/|a|.
При этом |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Значит
cos (альфа)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(бета) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2),
cos(гамма)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Следует отметить основное свойство направляющих косинусов. Сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице.
Действительно, cos^2(альфа)+cos^2(бета)+cos^2(гамма)=
= a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) =
=(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^2+ a3^2) = 1.

Пример: дано: вектор а= <1, 3, 5). Найти его направляющие косинусы.
Решение. В соответствии с найденным выпишем:
|а|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5,91.
Таким образом, ответ можно записать в следующей форме:
=<1/sqrt(35), 3/sqrt (35), 5/(35)>=<0,16;0,5;0,84>.

При нахождении направляющих косинусов вектора а, можно использовать методику определения косинусов углов с помощью скалярного произведения. В данном случае в виду имеются углы между а и направляющими единичными векторами прямоугольных декартовых координат i, j и k. Их координаты <1, 0, 0>, <0, 1, 0>, <0, 0, 1>, соответственно.
Следует напомнить, что скалярное произведение векторов определяется так.

Если угол между векторами ф, то скалярное произведение двух ветров (по определению) – это число, равное произведению модулей векторов на cosф. (a, b) = |a||b|cos ф. Тогда, если b=i, то (a, i) = |a||i|cos(альфа),
или a1 = |a|cos(альфа). Далее все действия выполняются аналогично способу 1, с учетом координат j и k.

Векторное произведение: определение и свойства. Площадь параллелограмма и треугольника .Выражение скалярного произведения через координаты. Примеры.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов и есть вектор , где — координатные векторы.

Это определение дает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты , во второй строке находятся координаты вектора , а в третьей – координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат:

Дата добавления: 2015-04-24 ; Просмотров: 751 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

источник

это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Если вектор имеет длину 1, то его направляющие косинусы равны его координатам. В общем случае для вектора с координатами (a; b; c) направляющие косинусы равны:

где a, b, g – углы, составляемые вектором с осями x, y, z соответственно.

21)Разложение вектора по ортам. Орт координатной оси обозначается через , оси — через , оси — через (рис. 1).

Для любого вектора , который лежит в плоскости , имеет место следующее разложение:

Если вектор расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид:

22)Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

23)Угол между двумя векторами

, :

Если угол между двумя векторами острый, то их скалярное произведение положительно; если угол между векторами тупой, то скалярное произведение этих векторов отрицательно. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.

Читайте также:  Как на зиму укрыть клубнику агроволокном

24)Условие параллельности и перпендикулярности двух векторов.

Условие перпендикулярности векторов
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.Даны два вектора a(xa;ya) и b(xb;yb). Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение xaxb + yayb = 0.

25)Векторные произведение двух векторов.

Векторным произведением двух неколлинеарных векторов называется такой вектор c=a×b, который удовлетворяет следующим условиям: 1) |c|=|a|•|b|•sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Векторы a, b, с образуют правую тройку векторов.

26) Коллинеарные и компланарные вектора..

Векторы коллинеарные, если абсцисса первого вектора относится к абсциссе второго так же, как ордината первого — к ординате второго.Даны два вектора a (xa;ya) и b (xb;yb). Эти векторы коллинеарны, если xa = xb и ya = yb, где R.

Векторы −→a,−→b и −→c называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

27) Смешанное произведение трех векторов. Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c. Найти смешанное произведение векторов a = <1; 2; 3>, b = <1; 1; 1>, c = <1; 2; 1>.

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 — 1·1·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 1 + 2 + 6 — 3 — 2 — 2 = 2

28)Расстояние между двумя точками на плоскости. Расстояние между двумя данными точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.

29)Деление отрезка в данном отношении. Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки ( , ) и ( , ), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам

, .

Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам

, .

30-31. Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой. Угловой коэффициент прямой обычно обозначают буквой k. Тогда по определению

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид , где k — угловой коэффициент прямой, b – некоторое действительное число. Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую, не параллельную оси Oy (для прямой параллельно оси ординат угловой коэффициент не определен).

33.Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение вида есть общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 < By + C = 0>— прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 < Ax + C = 0>– прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

34.Уравнение прямой в отрезках на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy имеет вид , где a и b — некоторые отличные от нуля действительные числа. Это название не случайно, так как абсолютные величины чисел а и b равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат). Таким образом, уравнение прямой в отрезках позволяет легко строить эту прямую на чертеже. Для этого следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки с координатами и , и с помощью линейки соединить их прямой линией.

35.Нормальное уравнение прямой имеет вид

где – расстояние от прямой до начала координат;  – угол между нормалью к прямой и осью .

Нормальное уравнение можно получить из общего уравнения (1), умножив его на нормирующий множитель , знак  противоположен знаку , чтобы .

Косинусы углов между прямой и осями координат называют направляющими косинусами,  – угол между прямой и осью ,  – между прямой и осью :

тем самым, нормальное уравнение можно записать в виде

Расстояние от точки до прямой определяется по формуле

36.Расстояние между точкой и прямой вычисляется по следующей формуле:

где x и y координаты точки, а A, B и С коэффициенты из общего уравнения прямой

37. Приведение общего уравнения прямой к нормальному. Уравнение и плоскость в данном контексте не отличаются друг от друга чем-то, кроме количества слагаемых в уравнениях и размерностью пространства. Поэтому сначала скажу все про плоскость, а в конце сделаю оговорку по поводу прямой.
Пусть дано общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0.
;. получаем систему:g;Mc=cosb, MB=cosaПриведем его к нормальному виду. Для этого умножим обе части уравнения на нормирующий множитель М. Получаем: Мах+Мву+МСz+MD=0. При этом МА=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa получаем систему:

Сложив все уравнения системы, получаем М*(А2 +В2+С2)=1 Теперь остается только выразить отсюда М, чтобы знать, на какой именно нормирующий множитель надо умножить исходное общее уравнение для приведения его к нормальному виду:
M=-+1/КОРЕНЬ КВ А2 +B2 +C2
MD должен быть всегда меньше нуля, следовательно знак числа М берется противоположный знаку числа D.
С уравнением прямой все то же самое, только из формулы для М следует просто убрать слагаемое С2.

38. Общим уравнением плоскости в пространстве называется уравнение вида

В трехмерном пространстве в декартовой системе координат любая плоскость описывается уравнением 1–ой степени (линейным уравнением). И обратно, любое линейное уравнение определяет плоскость.

40.Уравнение плоскости в отрезках. В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнение вида , где a, b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках. Абсолютные величины чисел a, b и cравны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox, Oy и Ozсоответственно, считая от начала координат. Знак чисел a, b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях

41)Нормальное уравнение плоскости.

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

, (1)

где , , — направляющие косинусы нормали плоскоти, э

p — расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

Читайте также:  Какие орехи полезны для желчного пузыря

42)Расстояние от точки до плоскости.Пусть плоскость задана уравнением и дана точка . Тогда расстояние от точки до плоскости определяется по формуле

Доказательство. Расстояние от точки до плоскости — это, по определению, длина перпендикуляра , опущенного из точки на плоскость

Угол между плоскостями

Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла: два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из

плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения.

источник

Длину и направляющие косинусы вектора можно найти исполь-
зуя кнопки матричной и векторной палитры, калькулятора, палит-
ры греческих букв, клавиатуры. Последовательность действий иллюстрирует следующий пример.

Введём вектор и его координаты:

:= -2; := 1; := 2.

Найдём длину вектора и его направляющие косинусы:

cos : = cos : = ; cos : = ;

Δ= 3; cos = -0.667; cos = 0.333; cos = 0.667.

Направляющие косинусы вектора можно найти иначе, — умножая

вектор на число , т.е. найдя орт вектора

Нахождение угла между векторами

Рассмотрим следующий пример.

Введём векторы и :

; .

Найдём косинус угла и угол между векторами и :

;

cos = 0.467; = 1.085 (рад.); = 62.188˚.

Чтобы вызвать функцию arccos нужно нажать клавишу на
панели инструментов и в открывшемся списке выбрать acos.

Составление уравнений

Составление уравнений рассмотрим на примере нахождения уравнения плоскости проходящей через три заданные точки, не
принадлежащие одной прямой.

Пусть заданы точки А1(2;-1;3), А2(1;1;1), А3(- 4;0;3). Их радиус векторы , , имеют такие же координаты. Пусть = , = . Тогда, вводя векторы


получим

Убедимся, что точки А123 не принадлежат одной прямой.

= 6, = 0.5, = 0,

и, следовательно, векторы и неколлинеарные.
Уравнение плоскости А1А2А3 имеет вид

Раскроем определитель с помощью ЭВМ. Для этого нужно на-
брать


Итак, плоскость А1А2А3 имеет уравнение

3. ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАНИЙ

Отчет к модулю системы «РИТМО» должен содеpжать титульный лист, содеpжание (отдельный лист), собственно отчет (несколько листов), библиогpафический список (отдельный лист).

Все листы в отчёте должны быть пронумерованы (титульный

лист считается первым листом отчёта, но номер на нем не ставит-ся; все остальные листы нумеруются: 2, 3, …). Тpебования, пpедъявляемые к офоpмлению отчета и отдельных его частей, пpиводятся на специальном стенде кафедpы высшей математики. Пpиведем pекомендуемую стpуктуpу отчета к модулю 2 «Векторная алгебра. Аналитическая геометpия» (соответствует уpовню сложности 2 и n=101, P30 = 11 и номер теоретического

1.1. Теоpетическое упpажнение 12

1.2. Пpактические упpажнения

3.1. Решение теоpетического упpажнения 12

3.2. Решения пpактических упpажнений

Рассмотpим pешения некотоpых пpактических упpажнений.

Пусть n = 101. Тогда Р4 = 1 и номер задачи из табл. 1.1 равен 2.

Груз весом = 100кГ поддерживается двумя стержнями АВ и

СВ. Определить силы (в кГ), возникающие в стержнях, если угол АСВ равен 90˚, угол АВС равен α = 3˚·([n/4] + 1).

Если n = 101, то [n/4] = 25 и α = 78˚.

По условию груз поддерживается стержнями (находится в покое). Следовательно, вес груза — сила = (см. рис. 3.1) уравновешивается результирующей сил, возникающих в стержнях под действием силы , т.е. ( и эти силы направлены противоположно).

C M1 B M x

Рис. 3.1. Разложение веса груза по направлениям стержней

Разложим силу по направлениям стержней ВА и ВС. Для этого через точку L проведём прямые LM и LN, параллельные стержням ВА и ВС, до их пересечения с прямыми, содержащими стержни, в точках M и N. Очевидно, что

Аналогично, раскладывается по направлениям стержней вес груза

и

Сила вызывает растяжение стержня ВА и порождает силу

, возникающую в этом стержне, уравновешивающую силу растяжения Аналогично, сила вызывает сжатие стержня ВС и порождает силу , возникающую в стержне ВС, уравновешивающую силу сжатия .

Найдём и обозначив

Введём декартову систему координат, как показано на рис. 3.1, и разложим векторы и по базису этой системы координат.

Поскольку груз находится в покое, то результирующая этих сил

равна нулевому вектору , т.е.

Это векторное равенство равносильно системе двух (скалярных)

Эти формулы можно получить и иначе. Треугольник BML прямоугольный, ВМ = а, BL = P, ML = b, угол BML равен , и

Учитывая условия задачи получим

Даны три силы: 1 = P2· + 2· — 7· , 2 = 3· + P3· + 4· и

3 = -2· + Р5· . Найти равнодействующую сил (- 1), 2 , 3

и работу , которую она производит, когда точка её приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения М( 0; 1; P7 ) в положение М ( Р6 ; 0 ; 1 ).

1 = (1; 2;-7), (- 1) = (-1;-2;7), 2 = (3;2;4), 3 = (0;-2;1) и
= (- 1) + 2 + 3 = (2;-2;12).
Если точка перемещается пямолинейно, а сила , дествующая на точку, постоянна, то работа А силы равна скалярному произведению силы на вектор-перемещение точки. Вектор-перемещение имеет вид
= (Р6 — 0; 0 — 1; 1 — P7) = (5; -1; -2).
Тогда работа А будет равна
А = = 2·5 + (-2)·(-1) + 12·(-2) = -12.

Задание 7
Даны точки: A(1; -P2; -1), B(1-P3 ; 0; 1), C(-1; 1; P5-2), D(P2; P4; P8). Образуют ли эти точки пирамиду ?
Если да , то чему равен объём пирамиды ?

Если нет, то запишите формулу для нахождения объёма пирамиды средствами векторной алгебры.

Решение
Пусть n = 101. Тогда Р2 = 1, Р3 =2, Р4 =1, Р5 =1, Р8 = 5.
Точки А, В, С, D образуют пирамиду тогда и только тогда, когда
векторы некомпланарные, т.е. когда их смешан-
ное произведение не равно нулю. Найдем координаты этих векторов
= ( 1 — Р3 -1; 0 — ( — P2); 1 — (-1)) = (-2; 1; 2),
= ( -1 — 1; 1 — ( — P2); P5 — 2 — (-1)) = (-2; 2; 0),
= (P2 — 1; P4 — ( — P2); P8 — (-1)) = (0; 2; 6),
и их смешанное произведение


Итак, точки А, В, С, D образуют пирамиду и её объём можно найти по формуле

Подставляя в формулу значение смешанного произведения,

Читайте также:  Идеи для украшения тетради своими руками

получим
V =

Задание 9(е)
На плоскости даны точки A(11,-5), B(6,7), C(-10,-5). Найти уpав-
нение биссектpисы угла A.
Решение
В качестве напpавляющего вектоpа биссектpисы можно взять сумму оpтов вектоpов и

или (умножая на )

Имеем
= (6 — 11; 7 — (-5)) = (-5;12);
= ( -10 — 11; -5 — (-5)) = (-21;0); = 21.
Тогда
= 21· (-5;12) + 13· (-21;0) = (-378;252) = 126· (-3;2).
Таким обpазом, в качестве напpавляющего вектоpа биссектpисы угла A можно взять вектоp = (-3;2) и уpавнение биссектpисы будет иметь вид

Задание 10
Дана точка (0;2) пеpесечения медиан тpеугольника и уpавнения двух его стоpон 5x — 4y + 15 = 0 и 4x + y — 9 =0. Найти кооpдинаты веpшин тpеугольника и уpавнение тpетьей стоpоны.
Решение
Кооpдинаты одной веpшины найдем как кооpдинаты точки пеpесечения данных стоpон, для чего pешим систему уpавнений


Получаем или
Точка О пеpесечения медиан тpеугольника называется его центpом. Отметим одно свойство центpа тpеугольника, котоpое используем для нахождения кооpдинат остальных веpшин:

где — кооpдинаты центpа тpеугольника;
— кооpдинаты i-ой веpшины тpеугольника, i = 1,2,3.
Для доказательства этих фоpмул pассмотpим тpеугольник A1A2A3, где A ( ), i = 1,2,3 (см. pис. 3.2)

Рис. 3.2. Вспомогательный чеpтёж к заданию 10

Пусть B сеpедина стоpоны А1А2. Тогда А3В — медиана тpеуголь- ника А1А2А3. По известному из элементаpной геометpии свойству медиан тpеугольника A3Oц = 2∙BOц. Тогда кооpдинаты точки B найдем по фоpмулам

а кооpдинаты центpа Oц из вектоpного соотношения

котоpое в кооpдинатной фоpме записывается так

Отсюда, выpажая и чеpез , получим тpебуемые фоpмулы.
Веpнемся к pешению задания 10. Используя доказанные фоpмулы, полагая в них = 1 и = 5, = 0 и = 2, получим два уpавнения, котоpым должны удовлетвоpять кооpдинаты остальных двух веpшин

откуда
+ = -1, + = 1.
Еще два уpавнения получим если потpебуем, чтобы искомые точки, веpшины тpеугольника, пpинадлежали заданным стоpонам, т.е. их кооpдинаты удовлетвоpяли уpавнениям этих стоpон
5x — 4y + 15 = 0, 4x + y — 9 = 0.
Итак, для опpеделения четыpех неизвестных , мы имеем четыpе независимых условия (уpавнения)

Решив эту систему уравнений, получим = –3, = 0, =2, =1.
Наконец, уpавнение тpетьей стоpоны запишем как уpавнение пpямой, пpоходящей чеpез две заданные точки (-3;0) и (2;1)

или
Итак, уpавнение тpетьей стоpоны x — 5y + 3 = 0, а веpшины тpеугольника имеют кооpдинаты (1;5), (-3;0), (2;1).

1. Векторные и скалярные велечины. Определения направленного

отрезка, вектора. Линейные операции над векторами в геометрической форме (сумма,разность, произведение вектора на число) и их свойства.

2. Определения коллинеарных, ортогональных и компланарных

векторов. Необходимые и достаточные условия коллинеарности,

ортогональности и компланарности векторов (в векторной и

3. Определения векторного пространства, базиса и размерности

векторного пространства, координат вектора в базисе. Операции над векторами в координатной форме. Сформулировать теоремы о базисах в пространствах V1, V2, V3.

4. Декартовы координаты на прямой, на плоскости и в пространстве (декартова система координат, разложение вектора по базису системы координат, координаты точек). Доказать соотношения между координатами вектора и координатами точек «начала» и «конца» вектора.

5. Прямоугольные проекции вектора на ось и их свойства.

6. Выражение модуля (длины) и направляющих косинусов вектора через декартовы координаты вектора.

7. Скалярное произведение векторов и его свойства. Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов.

8. Выражение скалярного произведения векторов через декартовы координаты этих векторов. Нахождение модуля вектора и угла между векторами.

9. Ориентация тройки векторов в пространстве. Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение векторного произведения векторов через декартовы координаты этих векторов. Вычисление площади параллелограмма и треугольника.

10. Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение

смешанного произведения векторов через декартовы координаты этих векторов. Вычисление объёма параллелепипеда и треугольной пирамиды.

11. Понятие об уравнении линии на плоскости.

12. Нормальный вектор прямой. Общее уравнение прямой на

плоскости. Угол между прямыми на плоскости, условия парал-

лельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

13. Уравнение прямой «с угловым коэффициентом» (уравнение

прямой, разрешённое относительно координат). Угол между

прямыми, условия параллельности и перпендикулярности

прямых (заданных уравнениями «с угловым коэффициентом»).

14. Направляющий вектор прямой. Каноническое и параметричес-

кие уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми,

условия параллельности и перпендикулярности прямых

(заданных каноническими уравнениями).

15. Расстояние от точки до: прямой на плоскости; прямой в

пространстве; плоскости в пространстве.

16. Понятие уравнения поверхности в пространстве.

17. Нормальный вектор плоскости. Общее уравнение плоскости в

пространстве. Угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

18. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не

принадлежащие одной прямой.

19. Уравнение прямой в пространстве: общее, каноническое,

параметрические. Угол между прямыми в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве (заданных каноническими уравнениям).

20. Уравнение прямой, проходящей через две заданные, различные точки (на плоскости; в пространстве).

21. Угол между прямой и плоскостью в пространстве. Условия

параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1981. 232с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука,1984. 192с.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. М.: Наука, 1987. 256с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х ч. Ч.1. М.: Высш. шк., 1996. 304с.

5. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1987. 464с.

6. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике для

ВУЗов и ВТУЗов. М.: ВЕК, Большая Медведица, 1997. 863с.

7. Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической

геометрии / Курск.гос.техн.ун-т;Сост.:Е.В. Журавлёва, С.А.

Миненкова, Г.А. Есенкова. Курск, 1999. 65с.

8. MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные

расчёты в среде WINDOWS 95: Пер. с анг. М.: Информацион но-издательский дом «Филин», 1996. 712с.

источник