Меню

Что означает закономерность в математике

Тема: Закономерности в числах и фигурах

Всё в нашей жизни подчиняется каким-то правилам. Есть правила и в математике. Например, посмотрите на такой ряд чисел: 1, 2, 3. Числа стоят по порядку. Или такой ряд: 1, 3, 5: числа стоят через 1 число. 10, 20, 30: каждое следующее число больше предыдущего на 10. То есть при составлении какого-то последовательного ряда соблюдается какое-то правило. Это правило называется закономерность.

Закономерность – это правило, по которому что-то повторяется время от времени.

Повторяться могут изображения, буквы, числа и любые другие символы. Но обязательно в ряду должно быть не менее трёх чисел.

Например, 2, 3. Есть ли в этом ряду закономерность? Этого мы утверждать не можем. А если ряд 3, 6, 9, то какое число мы можем поставить дальше? Конечно. 12. Мы должны поставить это число по правилу данной закономерности (каждое число в ряду больше другого на 3).

В закономерности всегда не менее 3-х элементов!

На первых двух мы обычно предполагаем закономерность, а на третьем проверяем. Два элемента могут находиться рядом абсолютно случайно. А три – это уже правило.

Как находить закономерности?

1. Внимательно смотрим на ряд чисел, фигур или других картинок.

2. Если в этом ряду есть закономерность, то думаем, какая.

3. Проверяем, соблюдается ли это правило во всей последовательности чисел.

4. Вставляем числа (или фигуры), которые должны эту закономерность продолжить.

Рассмотрим пример с фигурами: В таблице размещены рожицы: квадрат, треугольник, круг. Две строки заполнены, а в третьей одна ячейка свободна. Сравним все ряды: в каждом полном ряду есть все три фигуры. Какую фигуру на надо вставить в пустую клеточку? Чего в этом ряду не хватает? Конечно, это квадрат. Мы нашли закономерность, задачу решили.

Как решать задания на закономерности, вы подробно можете посмотреть на сайте заочных школ на Методической страничке в пособии «Закономерности в цифрах и фигурах. Аналогичная закономерность». Скачайте и просмотрите. Там есть примеры аналогичных заданий.

Будьте очень внимательны при решении этих последовательностей!

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 по предмету «Математическая мозаика» для 1 класса

Фамилия _______________________________ Имя __________________

Школа _______________ Класс ______________

Задание 1. Назовите следующее число в ряду:

Задание 2. Помогите коту Мурзику выбрать из предлагаемых вариантов геометрическую фигуру, которую нужно поместить в пустую клетку.

Задание 3. Машенька – ужасная модница. У нее два ящика с красивыми косынками. В первом ящике: красная косынка, синяя косынка в белый горошек, желтая косынка в мухоморчик, красная косынка в рыбку, зеленая косынка с птичкой, зеленая косынка в мороженку. Во втором ящике: синяя косынка в белочку, красная косынка в горошек, зеленая косынка в мухоморчик. Сколько различных по цвету косынок у Машеньки? Ответ: ________

Задание 4. Определи, какую картинку надо вставить в пустую клетку.

А. Лодочка 2. Машинка 3. Ведёрко

Задание 5. Найдите числа, которых не хватает каждой змейке. Впишите цифры в ответе.

Ответ:

Жёлтая змейка (верхняя) – ____

Зелёная змейка (средняя) – ______

Малиновая змейка (нижняя) – _____

Задание 6. Какая фигура лишняя?

Задание 7. Какой пример соответствует картинке?

А) 4 + 4 = 8

источник

Слово закономерность английскими буквами(транслитом) – zakonomernost

Слово закономерность состоит из 14 букв: а е з к м н н о о о р с т ь

  • Буква а встречается 1 раз. Слова с 1 буквой а
  • Буква е встречается 1 раз. Слова с 1 буквой е
  • Буква з встречается 1 раз. Слова с 1 буквой з
  • Буква к встречается 1 раз. Слова с 1 буквой к
  • Буква м встречается 1 раз. Слова с 1 буквой м
  • Буква н встречается 2 раза. Слова с 2 буквами н
  • Буква о встречается 3 раза. Слова с 3 буквами о
  • Буква р встречается 1 раз. Слова с 1 буквой р
  • Буква с встречается 1 раз. Слова с 1 буквой с
  • Буква т встречается 1 раз. Слова с 1 буквой т
  • Буква ь встречается 1 раз. Слова с 1 буквой ь

ЗАКОНОМЕРНОСТИ — относительно устойчивые и регулярные взаимосвязи между явлениями и объектами реальности, обнаруживающиеся в процессах изменения и развития.

ЗАКОНОМЕРНОСТЬ – результат действия множества законов, один из которых выступает главным, определяющим для данного процесса. Она выражает связь между предметами и явлениями. Закономерность – объективно существующая, повторяющаяся…

Закономерность – необходимая, существенная, постоянно повторяющаяся взаимосвязь явлений реального мира, определяющая этапы и формы процесса становления, развития явлений природы, общества и духовной культуры.

ЗАКОНОМЕРНОСТЬ СОЦИАЛЬНАЯ – объективно существующая, повторяющаяся связь соц. явлений, выражающая возникновение, функционирование и развитие об-ва как целостной соц. системы либо его отдельных подсистем.

Российская социологическая энциклопедия

ЗАКОНОМЕРНОСТЬ ИСТОРИЧЕСКАЯ — объективно существующая, необходимая, постоянно воспроизводимая в пространстве и времени связь явлений общественной жизни.

ЗАКОНОМЕРНОСТЬ ИСТОРИЧЕСКАЯ — определенное объективно существующее необходимо повторяющееся отношение между явлениями и процессами обществ. жизни, вытекающее из их внутр. природы и выражающее поступательное развитие истории; известная правильность…

Советская историческая энциклопедия. – 1973-1982

ЗАКОНОМЕ́РНОСТЬ ОБЩЕ́СТВЕННАЯ — объективно существующая, необходимая, существенная, повторяющаяся связь явлений обществ, жизни, выражающая поступательное развитие истории.

Закономерность общественная, объективно существующая, повторяющаяся, существенная связь явлений общественной жизни или этапов исторического процесса, характеризующая поступательное развитие истории.

ЗАКОНОМЕРНОСТЬ ОБЩЕСТВЕННАЯ — закон общественный, объективно существующая, повторяющаяся, существ. связь явлений обществ. жизни или этапов историч. процесса, характеризующая поступат. развитие истории.

Советский философский словарь. – 1974

Содержание 1 Определения и обозначения 2 Интерпретируемость 2.1 Конъюнкции 2.2 Шары 2.3 Гиперплоскости 3 Информативность 4 Взаимодополняемость 5 Методы поиска закономерностей 6 Ссылки 7 Литература Логическая закономерность в задачах классификации —…

Эмпири́ческая закономе́рность (от греч. εμπειρια — опыт) — систематизированное знание, основывающееся только на экспериментальных данных. Обычно выражается в виде математической формулы, отражающей наблюдаемые результаты с достаточной точностью.

Закономерность искажения смысла информации

Закономерность искажения смысла информации Закономерность искажения смысла информации – объективная закономерность межличностных отношений. Эта закономерность действует тем сильнее…

Закономерность искажения смысла информации – объективная закономерность межличностных отношений. Эта закономерность действует тем сильнее, чем большее число людей использует какой-либо массив информации на входе и на выходе любого процесса.

Закономерность искажения смысла информации – объективная закономерность межличностных отношений. Эта закономерность действует тем сильнее, чем большее число людей использует какой-либо массив информации на входе и на выходе любого процесса.

ЗАКОНЫ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗВИТИЯ ТЕХНИКИ

ЗАКОНЫ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗВИТИЯ ТЕХНИКИ – законы и закономерности, которые в зависимости от исторического времени смены моделей и поколений технических систем отражают и определяют для отдельных сходных технических систем объективно существующие…

Морфемно-орфографический словарь. — 2002

СТАТИСТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ — две осн. формы закономерной связи явлений, которые отличаются по характеру вытекающих из них предсказаний.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ — две осн. формы закономерной связи явлений, к-рые отличаются по характеру вытекающих из них предсказаний.

Советский философский словарь. – 1974

Закономерность или случайность… А разве в этом есть разница для конечного результата?

Выявленная закономерность и побудила ученых протестировать группу нематод Caenorhabidtis elegans.

Исследователи отметили, что у девушек такая же закономерность не проявилась.

Тем не менее вряд ли кто будет оспаривать закономерность победы “Бостона”.

Чтобы установить закономерность, исследователи 30 лет наблюдали за двумя группами испытуемых.

Заметил сложившуюся закономерность, чем больше ажиотаж, тем меньше потом оправдываются авансы.

источник

закономерность ряда простых чисел [Aug. 17th, 2006|01:50 pm]

ru_mathresearch
[ frontliner78 ]

Уважаемые математики, мне кажется, что я нашел закономерность в ряде простых чисел, у меня есть основная идея, на которой можно построить мат.закономерность(она очень просматривается), но я не являюсь участником мирового математического сообщества и вообще никакого отношения к кафедрам математики не имею,к проблеме подходил используя чистую логику. Не подскажите как простому смертному продемонстрировать свои догадки знающим людям?
Дмитрий.г.Москва

Я думаю, если Вы не знали о решете Эратосфена и сами до него додумались, то это как раз хорошо. Меня настораживает другое. Вы говорили о том, что нашли некую закономерность в распределении простых чисел. Можно ли считать решето Эратосфена такой закономерностью? Наверное, можно. Но не приходило ли Вам в голову, что само слово “закономерность” может употребляться в разных смыслах? Когда обычно говорят, что для простых чисел нет “формулы” или нет “закономерности”, то это не есть какое-то строгое утверждение. В принципе, как “формулы”, и “закономерности” есть ВСЕГДА; вопрос лишь в том, НАСКОЛЬКО ПРОСТЫМ ЯВЛЯЕТСЯ ИХ ОПИСАНИЕ.

Вот такой пример. Рассмотрим числа 1, 2, 6, 24, 120, 720, . . Есть ли “формула” для этого случая? Кажется, что за вопрос! Это же “факториалы”, т.е. формула — это n! Но ведь если вдуматься, то мы имеем дело с чистой воды фикцией. Никто не мешает ввести обозначения типа n? или n$ или n# и подразумевать под этим что угодно. Я возьму и обозначу n-ое простое число через n# — вот и “формула”.

Из всего этого я бы сделал такой вывод: наличие или отсутствие “формул” или “закономерностей” — это вещь УСЛОВНАЯ. Без разъяснения того, что стоит за утверждением наличия или отсутствия формул (закономерностей), такие утверждения следует считать БЕССМЫСЛЕННЫМИ.

Можно вычислить n# и без решета Эратосфена. Есть алгоритмы проверки чисел на простоту. Самый тривиальный — взять число m и делить на другие числа. Недавно были придуманы существенно более быстрые алгоритмы. Поэтому если мы хотим найти n#, то начинаем перебирать 2, 3, 4, 5, . проверяя каждое очередное число на простоту. Количество попавшихся нам простых чисел подсчитываем, и в какой-то момент обнаруживаем n-ое.

В любом случае речь должна идти не о формуле, не о закономерности, а об алгоритме. Формула — это лишь простейший вид алгоритма.

Алгоритмы можно сравнивать по скорости их работы. Этим занимается сейчас огромное число людей. Например, известно, что умножение чисел “столбиком” — алгоритм не самый быстрый. Если числа очень большие, а умножений производится много, то разница между быстрым и медленным алгоритмами хорошо заметна.

Для вычисления n! требуется никак не n действий, а намного больше. Дело в том, что при выполнении n последовательных умножений числа начинают расти со страшной силой. Перемножение их будет требовать всё больше и больше времени. В теории вычислений за отдельное действие принимают то, что может быть совершено за время, равное выбранной константе.

Из формулы Стирлинга следует, что n! растёт примерно как (n/e)^n, где n — основание натуральных логарифмов. Это очень высокий рост, превышающий экспоненту. Поэтому даже если требуется просто ВЫПИСАТЬ готовый ответ, то уже на это уйдёт более n шагов, так как число получается более чем n-значное.

источник

Каждый человек неоднократно в своей профессиональной деятельности или повседневной жизни ставит перед собой вопрос: «Какие последствия может повлечь определенная деятельность? Состоится то или иное событие? Как сделать прогноз его наступления?”. Как ни странно, но обычные математические закономерности и правила могут часто помогать нам в подобных вопросах. В данной статье будет рассмотрено, что такое закономерность, какие они бывают, как их можно использовать.

Сам факт предсказания или прогноза – это не основание верить в то, что у определенного индивида есть экстрасенсорные способности. Что это значит? Прогнозировать определенное событие можно только с использованием закономерности. Это является базисом прогнозирования. Используя остальные теории вероятностей, законы больших чисел, можно сделать точность прогноза наиболее максимальной. Но без использования закономерности – это невозможно.

В общем, закономерность – определенная повторяющаяся из одного цикла в следующий цикл взаимосвязь определенных явлений или процедур, с помощью которой возможно становление этапов и форм развития всей системы природы, общества, технологий. Без данных повторений существование именно такой системы будет невозможно. Без закономерностей система будет не только другой, но и нестабильной, переносящей постоянные хаотичные изменения всех процессов. Существует два вида закономерностей: динамическая и статистическая. Динамическая закономерность – это похожие причинно-следственные связи. Другими словами, это вид причинной связи, а также постоянной связи, когда конкретные показатели системы в каждом конкретном случае могут определить состояние этой системы и в будущем. Такая закономерность присуща всем тем явлениям, которые полностью подконтрольны физическим, химическим, биологическим и математическим законам.

Грубо говоря, динамическая закономерность позволяет определять определенные закономерности развития простых явлений. Из-за того, что все простые явления подчиняются законам физики, химии, термодинамики, биологии, при одинаковых условиях одно и то же явление будет закономерно повторяться.

Что такое закономерность в статике? Это такая закономерность, которая проявляется в массе однородных явлений при обобщении данных статистической совокупности и основана на действии закона больших чисел. Это такой вид причинной связи, при котором сказать что-то конкретное о состоянии системы в будущем невозможно. Можно только предположить долю вероятности, с которой тот или иной случай закономерности может наступить.

Такая закономерность присуща общественным явлениям. В данном случае большую роль играют человеческие поступки. Состояние индивида, его последующие действия после определенного воздействия не всегда можно предугадать. Человек не машина, поэтому закономерность определения человеческого поведения несколько отличается от прогнозирования закономерностей обычных и простых явлений.

Чтобы более детально разобрать, что такое закономерность, необходимо немного изучить динамику. Вообще, динамика социальных явлений – это результат взаимодействий различных причин и условий как социального, так и природного детерминирующего характера. Когда изучают какую-либо закономерность, то используют также законы динамики и делают следующее:

  1. Характеристики, которые присущи явлению в разные отрезки времени.
  2. Использование систем статистического наблюдения.
  3. Нахождение показателя “тренда” (основная тенденция развития системы).
  4. Изменения показателей системы в микроуровнях (периодические колебания).
  5. Экстраполяция и прогнозирование

Как бы страшно ни звучало данное понятие, на самом деле все предельно просто. Данное понятие так же тесно связано с закономерностью. Что такое экстраполяция? Это анализ полученных закономерностей явлений и наложение их на гранично-допустимую точку времени в будущем. Это и есть прогнозирование, только более научным языком.

Экстраполяция невозможна без использования закономерностей. А закономерности не нужны без их дальнейшей экстраполяции.

источник

Это учебная статья по математике, перед началом занятий мы рекомендуем ознакомиться с вводной частью

В этом занятии речь пойдет о задачах, в которых нужно найти какую-то закономерность, продолжить последовательность или, используя найденную закономерность, ответить на вопрос задачи. Такие задачи развивают логику, внимание и фантазию.

Первая задача на отыскание закономерности на картинке. Решая задачи с рисунками, стоит посмотреть, чем отличаются соседние, какие картинки есть в каждом ряду, столбце, какой порядок рисунков.

Найдите закономерность и раскрасьте последний квадрат.

Можно заметить, что раскрашенных квадратов всего три различных вида: 1) левая половина чёрная, правая – белая; 2) левая половина белая, правая – крест; 3) левая половина – крест, правая – чёрная. Причём в первом и во втором ряду все квадраты разные. Поэтому и в третьем ряду квадраты тоже должны быть все разные. Второй и третий виды там есть, значит, не хватает первого.

В следующих задачах нужно продолжить последовательность. Обычно, если требуется продолжить числовую последовательность, то стоит посмотреть на разность соседних чисел, на их сумму или заметить ещё какое-то свойство.

Продолжите числовой ряд: 1, 2, 4, 7, 11, …

Посмотрим на разность соседних чисел. Разность первого и второго равна 1. Второго и третьего – 2. Третьего и четвёртого – 3 . Четвёртого и пятого – 4. Наверно, разница пятого и шестого 5.

А значит, шестое число равно 11 + 5 = 16.

Продолжите числовой ряд: 1, 2, 4, 8, …

Можно заметить, что 1 + 1 = 2, 2+ 2 = 4, 4 + 4 = 8. Значит, каждое число в два раза больше предыдущего – сумма предыдущего с самим собой. А тогда следующее число равно 8 + 8 = 16.

Более сложным является поиск закономерностей в нечисловых последовательностях. Например, в занятии «Зазеркалье» была следующая задача:

Установите закономерность и нарисуйте на месте многоточия очередную фигуру.

Поскольку эта задача была в теме «Зазеркалье», то логично предположить, что её решение, так или иначе, связано с зеркалом. Действительно, эти рисунки получены с помощью отражения в зеркале. Тонкие чёрные линии показывают, где подставляли зеркало. Именно в этом месте заканчивается основная фигура и начинается её зеркальное отражение.

Итак, если мы сотрём все зеркальные отражения фигур, то получим такую картинку:

В ней мы узнаем цифры в той их записи, которую используют на почтовых конвертах. Если посмотреть на конверт, то можно увидеть, как на нём записывается цифра 7. А теперь нарисуем её зеркальное отражение. Получим нужную нам следующую фигуру. Вы можете продолжить это упражнение с оставшимися цифрами.

Последовательность представляет собой цифры, записанные, как принято на почтовых конвертах, но вместе со своими отражениями. Очередная фигура:

До сих пор мы говорили о поиске закономерностей, если у нас имеется одна последовательность. Бывают случаи, когда вместо одной последовательности предлагаются 2—3 примера, показывающие, как по первым двум элементам определить третий. В частности, такие задания популярны при выполнении тестов, определяющих уровень IQ.

Найдите закономерность и нарисуйте третью фигурку в нижнем ряду.

Можно заметить, что третья фигурка в каждой строчке получается путем «слияния» двух первых. Поэтому для получения нужной картинки нужно совместить две первых картинки третьей строчки.

Ещё один вид заданий на нахождение закономерности представляет собой чаще всего числовые примеры, заключённые в какие-либо геометрические фигуры. Разберем на примере задачи.

Какое число должно стоять в третьем круге вместо вопросительного знака?

Рассмотрим внимательно, как расположены числа в кругах. Самые большие числа стоят внизу. Стоит проверить, может быть, это сумма двух других чисел? Проверяем: 5 + 1 = 6 – верно, 3 + 4 = 7 – верно. Наша гипотеза подтвердилась. Поэтому, так как 2 + 2 = 4, вместо знака вопроса должно стоять число 4.

Для самых умных и талантливых учеников мы проводим на сайте дистанционную интернет-олимпиаду. Сразу же после прохождения олимпиады показываются результаты и полный разбор задач для работы над ошибками. В зависимости от успехов олимпиадника выдаются электронные дипломы и похвальные грамоты.

Каждый участник получает электронный сертификат участника.

источник

Данная статья является реферативным изложением основной работы. Полный текст научной работы, приложения, иллюстрации и иные дополнительные материалы доступны на сайте III Международного конкурса научно-исследовательских и творческих работ учащихся «Старт в науке» по ссылке: https://www.school-science.ru/0317/7/29073.

«То, что мы знаем – ограничено»,

а то, что мы не знаем – бесконечно»

Математики во все времена мечтали о таком помощнике, который освободил бы их из плена долгих и утомительных вычислений. Сегодня такой помощник существует – это микрокалькулятор. Микрокалькулятор позволяет проводить вычисления чрезвычайно быстро: то, что раньше требовало многочасовой кропотливой работы, теперь может быть проделано за несколько минут. Для записи любого числа в десятичной системе счисления мы используем только десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которые расположены на клавиатуре микрокалькулятора и составляют числовой массив, в котором очевидны закономерности: в строке каждое следующее число на 1 больше предыдущего; в столбце каждое следующее число больше предыдущего на 3 (клавишу с цифрой 0 условимся не рассматривать) [3, с. 6].

Возникают вопросы: Существуют ли другие закономерности чисел, расположенных на клавиатуре микрокалькулятора? Может ли микрокалькулятор служить инструментом изучения свойств чисел?

Поскольку у нас нет полного понимания и ответов на поставленные вопросы, имеет место противоречие: с одной стороны мы видим, что микрокалькулятор кажется таким простым, с другой стороны – сколько разных значений имеет!? И скорее всего, имеются закономерности, связанные с расположением чисел на клавиатуре.

С учётом выявленного противоречия была сформулирована проблема: каковы закономерности чисел, расположенных на клавиатуре микрокалькулятора?

Выявленный недостаток в наших знаниях и понимании по данному вопросу сделал для нас актуальной эту проблему и вызвал необходимость разрешить возникшее противоречие.

Актуальность проблемы и недостаточное понимание вопроса определили тему нашего исследования: «Микрокалькулятор: закономерности чисел, расположенных на клавиатуре».

Цель исследования: выявление закономерностей чисел, расположенных на клавиатуре микрокалькулятора.

Объект исследования: Натуральные числа от одного до девяти, расположенные на клавиатуре микрокалькулятора.

Предмет исследования: Закономерности чисел, расположенных на клавиатуре микрокалькулятора.

Гипотеза исследования: так как на клавиатуре микрокалькулятора расположены только цифры, которые мы используем для записи любого числа в десятичной системе счисления и расставлены они строго по порядку, то в образованном числовом массиве существуют определенные числовые закономерности.

1. ознакомиться с источниками, содержащими сведения по теме исследования;

2. исследовать закономерности, зависящие от расположения натуральных чисел на клавиатуре микрокалькулятора; проанализировать выявленные закономерности, выяснить, обнаруживаются ли в исследуемом массиве чисел закономерности стоклеточного квадрата;

3. исследовать закономерности, не зависящие от расположения натуральных чисел на клавиатуре микрокалькулятора; проанализировать выявленные закономерности;

4. сделать вывод по проделанной работе;

5. создать проект учебного пособия «Микрокалькулятор: закономерности чисел расположенных на клавиатуре. Исследовательские задачи по математике».

1-й этап – подготовительный – включал обоснование актуальности исследования, выявление проблемы, определение объектной области, объекта и предмета исследования, выбор темы, изучение литературы и уточнение формулировки темы, формулирование гипотезы, формулирование цели и задач исследования;

2-й этап – собственно исследование – состоял в исследовании числовых закономерностей, как зависящих от расположения цифр на клавиатуре, так и не зависящих от этого;

3-й этап – аналитический – включал анализ проделанной работы и создание проекта учебного пособия «Микрокалькулятор: закономерности чисел расположенных на клавиатуре. Исследовательские задачи по математике» в виде тетради с печатной основой, использование которой возможно при изучении натуральных чисел на уроках математики, а также на занятиях по внеурочной деятельности.

Закономерности, зависящие от расположения чисел на клавиатуре микрокалькулятора

Числа на клавиатуре микрокалькулятора расположены в определенном порядке (в строке каждое следующее число на 1 больше предыдущего, в столбце каждое следующее число больше предыдущего на 3) и образуют числовой массив (рис. 1).

Равенство сумм четвёрок чисел. Легко заметить, что суммы отмеченных на рис. 2–4 чисел одинаковы и равны двадцати. При исследовании различных комбинаций четверок чисел, дающих сумму двадцать, найдено двенадцать вариантов (Приложение I).

Равенство сумм троек чисел. Суммы отмеченных рис. 5–7 чисел одинаковы и равны пятнадцати. Исследование различных комбинаций троек чисел, дающих сумму пятнадцать, показало: существует, по крайней мере, восемь таких вариантов (Приложение II).

Перебирая различные комбинации чисел, дающих одинаковую сумму в исследуемом массиве, замечено, что если найден один из вариантов, то легко найти второй – он симметричен первому, как показано на рис. 8–9.

Это можно объяснить тем, что в десятичной системе счисления сумма не изменяется тогда, когда к одному из слагаемых прибавляется некоторое число, а из второго слагаемого вычитается это же число:

Возможно, существуют ещё варианты, нам не удалось найти формулу для точного подсчета количества имеющихся вариантов. Была попытка связать нашу задачу с комбинаторными задачами [1, с. 347]. На первый взгляд исследование различных четверок (троек) чисел, дающих одинаковую сумму в квадрате три на три – есть задача комбинаторики («особая примета» комбинаторных задач – перебор вариантов), но мы не нашли с ними связи, так как комбинаторные задачи предполагают перестановки одних и тех же элементов, а в нашем случае числа разные, а сумма одинаковая.

Очевидны следующие закономерности…

Равенство разностей трёхзначных чисел, составленных из цифр, расположенных по соседним вертикальным линиям. Разность чисел, составленных из цифр, расположенных по соседним вертикальным линиям равна 111 (рис.10), т.к. каждое следующее число в строке на 1 больше предыдущего:

Равенство разностей трёхзначных чисел, составленных из цифр, расположенных по соседним горизонтальным линиям. Разность чисел, составленных из цифр, расположенных по соседним горизонтальным линиям равна 333 (рис.11), т.к. каждое следующее число в столбце на 3 больше предыдущего:

…Другие закономерности более удивительны.

Равенство разностей двузначных обращённых чисел, составленных из цифр, расположенных по вертикальным линиям. Возьмем двузначное число, составленное из цифр, расположенных по вертикальной линии, например 74. Поменяем цифры местами – 47 (Обращенное число – число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке) [3,с. 7] и вычтем полученное число из 74 (рис. 12). Получим 27. Составим аналогичные разности, исследуем, всегда ли разность составляет 27?

Результат всегда – 27: в разности двузначных чисел, составленных из цифр, расположенных по вертикальной линии количество десятков и количество единиц отличается на 3, значит, разность равна 30 – 3 = 27.

Составив разности следующим образом: 71–17; 82–28; 93–39 и вычислив их, замечаем, что разность всегда равна 54 (количество десятков и количество единиц в числах отличается на 6, значит, разность равна 60 – 6 = 54).

Равенство разностей двузначных обращённых чисел, составленных из цифр, расположенных по горизонтальным линиям. Возьмем двузначное число, составленное из цифр, расположенных по горизонтальной линии, например 98. Вычтем из него обращенное число – 89 (рис.13). Получим 9. В аналогичных разностях результат всегда равен 9, т.к. количество десятков и количество единиц отличается на 1, значит, разность равна 10–1=9.

Составив разности: 97–79; 64–46; 31–13 и вычислив их замечаем, что разность всегда равна 18 (количество десятков и количество единиц в числах отличается на 2, значит разность равна 20 – 2 = 18).

Равенство разностей трёхзначных обращённых чисел, составленных из цифр, расположенных по вертикальным линиям. Возьмем трехзначное число, составленное из цифр, расположенных по вертикальной линии, например 741. Вычтем из него обращенное число – 147. Получим 594 (рис.14).

Составим и исследуем аналогичные разности. Результат всегда равен 594 (в полученных разностях количество сотен и количество единиц отличается на 6, количество десятков одинаково, значит, разность равна 600 – 6 = 594).

Равенство разностей трёхзначных обращённых чисел, составленных из цифр, расположенных по горизонтальным линиям. Возьмем трехзначное число, составленное из цифр, расположенных по горизонтальной линии, например 987. Вычтем из 987 число, обращенное ему – 789 (рис.15). Получим 198. В аналогичных разностях результат всегда равен 198, т.к. количество сотен и количество единиц отличается 2, количество десятков одинаково, значит, разность равна 200 – 2 = 198.

Делимость суммы обращённых двузначных чисел, составленных из цифр, расположенных по вертикальным линиям на 11. Возьмем двузначное число, составленное из цифр, расположенных по вертикальной линии, например 74. Сложим его с обращенным числом – 47 (рис. 16). Получим 121. Составив аналогичные суммы и исследуя их, мы заметили: результат каждой суммы делится на 11 (складываются два числа десятков и те же два числа единиц, 10 + 1 = 11: в сумме число десятков равно числу единиц).

Делимость суммы обращённых двузначных чисел, составленных из цифр, расположенных по горизонтальным линиям на 11. Рассмотрим аналогичные суммы чисел по горизонтальным линиям (рис.17):

Результат каждой суммы, также как и на вертикальных линиях делится на 11 (Вывод аналогичен).

Равенство суммы цифр разности обращённых двузначных чисел девяти. Можно заметить закономерность, связанную с вычислениями в п.1.5, 1.6, однако, это не сразу бросается в глаза. Вычислялась разность обращенных двузначных чисел. В результате вычислений получены числа: 9, 18, 27, 54 – у всех сумма цифр равна 9. Анализ результата исследования разности любых обращенных двузначных чисел (например: 84–48=36, 94–49=45, 92–29=63 и т.д.) показывает, что сумма цифр разности обращенных двузначных чисел всегда равна 9.

Закономерности, не зависящие от расположения чисел на клавиатуре микрокалькулятора

Умножение на 9. Так, как число 9 на единицу меньше 10 (10 – основание нашей (десятичной) системы счисления) обнаруживается еще одна удивительная закономерность, связанная с этим числом – можно сказать прием быстрого умножения: чтобы умножить какое-нибудь число на 9, нужно увеличить его в 10 раз и от полученного результата отнять само данное число. Умножим, например, 87 на 9. Нужно выполнить следующие действия: 87х10=870. Остается вычесть из 870 87, получим 783. Значит, 87х9=783.

Исследуя произведения различных чисел на 9, замечена интересная закономерность:

Получение этой закономерности объясняется следующим образом:

Нахождение наибольшего произведения чисел, составленных из набора цифр от 1 до 9 по одному разу. Возникает вопрос: какое наибольшее произведение может получиться, если нажать по одному разу каждую из клавиш

Один из способов ответить на этот вопрос – перебрать все возможные варианты.

Исследования с наименьшим набором клавиш с цифрами 1, 2, 3 (Приложение 3) показали, что произведение 3х21 является наибольшим.

Аналогичные исследования с набором клавиш с цифрами 1, 2, 3, 4 (Приложение 4) позволяют сделать вывод, что наибольшим произведением является произведение 41 на 32.

Чтобы произведение было наибольшим, нужно, конечно, перемножить наибольшие числа, составленные из предложенного набора цифр. Число будет наибольшим, если в высшем разряде стоит цифра, порядок которой выше остальных. Потом – порядок, которой также выше остальных и т.д. Из перебора вариантов нами исключены произведения чисел однозначных на трехзначные, т.к. получаемые произведения всегда меньше произведений двухзначных чисел. Исходя из вышесказанного, исследования сводятся до минимума.

Исследования с набором клавиш с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 (Приложение 5) показали, что произведение 431х52 является наибольшим, а для набора клавиш с цифрами от 1 д о 6 наибольшее произведение дают числа 631 и 542.

Наблюдения показывают (Приложения 6,7), что, если записать полученные числа в столбик, начиная с высшего разряда, можно нарисовать схему, по которой они составлены:

Анализ полученных произведений и схем позволяет выработать общий метод для нахождения наибольшего произведения для набора из всех ненулевых клавиш:

Таким образом, по предложенной схеме, можно для любого набора клавиш составить числа, произведение которых будет наибольшим.

В полученных числах мы увидели и другой способ их составления: зная числа наибольшего произведения из меньшего набора клавиш, например для клавиш от одного до 4 (41х32), можно легко составить числа для набора клавиш от 1 до 5: высший разряд меньшего числа (3), ставится на второе место в большее число (431), а добавляемая цифра (5) на место высшего разряда в меньшее число (52). Имеем произведение 431 на 52. Для большего набора клавиш действия аналогичные.

источник

Занятие направлено на развитие логического мышления у детей, умение выделять закономерности в ряде чисел и фигурах, сравнивать, квалифицировать, строить умозаключения, рассуждать и делать выводы. Например, на доске записан пример 1,2,4,8,? 16,32 . пытаемся определить пло какому принципу построент ряд чисел и записать 3 последующихчисла.

Вложение Размер
zakonomernost.docx 539.36 КБ
zakonomernost.docx 539.36 КБ

Тема: «Закономерности в числах и фигурах»

  • развивать логическое мышление;
  • учить выделять закономерности;
  • сравнивать, классифицировать, строить умозаключения, рассуждать, делать выводы;

Игра на внимание Игра «Бом»

Ученики поочередно называют числа по порядку. Если число делится на 3 или содержит в себе цифру 3, ученик говорит «Бом». Ученик допустивший ошибку садится. Игра продолжается до победителя.

2.Актуализация знаний обучающихся

-На доске записаны числовые ряды. Но это не просто числовые ряды, а числовые ряды с закономерностями, т. е. числа в них связаны между собой по определенному правилу. Я вам предлагаю найти закономерность построения 1 ряда и продолжить числовой ряд: назвать два следующих числа.

Картинки расставили в определённом порядке (в виде закономерности). Подумай, какой элемент будет следующим и заполни пустую клетку:

Записываю на доске правильные ответы и в скобках указываю, выполнением

каких действий образован ряд

4) 4,9,16,25,? 36,49 (2Х2,3Х3, 4Х4,5х5,6Х6, 7х7)

3.Составление алгоритма «Как решать числовые ряды» (6—7 мин).

Затем предлагается составить алгоритм, как решать числовые ряды.

Шаг 1: узнать разницу между двумя рядом стоящими числами.

Шаг 2: определить правило построения ряда.

Шаг 3: проверить это правило на другой паре чисел.

Шаг 4: используя это правило, определить следующее число в ряду.

4.Первичное закрепление. Фронтальная работа.

на доске правильные ответы

31, 24, 18, 13, ? 9, 6 (-7, -6, -5, -4, -3)

4, 9, 16, 25, ? 36, 49 (2*2, 3*3, 4*4, 5*5, 6*6, 7*7)

4, 12, 48, ? 240, 1440 (*2, *3, *4, *5, *6)

5. Повторение и закрепление изученного материала по определению закономерности в ряде чисел .

1.Крутить шеей так, чтобы шея не двигалась (поворачивать весь корпус).

2. Хлопнуть в ладоши одной рукой (хлопнуть, объединившись с соседом).

3. Погладить себя по голове, не касаясь ее рукой (погладить себя каким-то

предметом или рукой соседа).

4. Поднять руки выше головы, но ниже парты (поднять руки и присесть на

Каждая пара получает 3-4 рисунка на нахождение закономерности в рядах с фигурами.

На доске серия рисунков. Необходимо выбрать недостающую фигуру из четырех пронумерованных и объяснить свой выбор.

8.Рефлексия. Подведение итогов занятия.

– Какое задание вызвало у вас затруднение?

Что мы учились делать на занятии?

– Что у вас хорошо получилось?

– Дополните ответы: «Я сегодня узнал (запомнил, научился, удивился, повторил) ….»

– Отразите своё настроение от занятия в смайликах.

1. Светлана Гин «Мир логики»

2. Дополнительное образование и воспитание», №10 за 2006

4. А.Гин «Задачки-сказки от кота Потряскина»

5. Сборник статей для учителей, воспитателей и менеджеров образования

«Педагогика + ТРИЗ» № 5, Москва, изд. Витта,2001

Тема: «Закономерности в числах и фигурах»

  • развивать логическое мышление;
  • учить выделять закономерности;
  • сравнивать, классифицировать, строить умозаключения, рассуждать, делать выводы;

Игра на внимание Игра «Бом»

Ученики поочередно называют числа по порядку. Если число делится на 3 или содержит в себе цифру 3, ученик говорит «Бом». Ученик допустивший ошибку садится. Игра продолжается до победителя.

2.Актуализация знаний обучающихся

-На доске записаны числовые ряды. Но это не просто числовые ряды, а числовые ряды с закономерностями, т. е. числа в них связаны между собой по определенному правилу. Я вам предлагаю найти закономерность построения 1 ряда и продолжить числовой ряд: назвать два следующих числа.

Картинки расставили в определённом порядке (в виде закономерности). Подумай, какой элемент будет следующим и заполни пустую клетку:

Записываю на доске правильные ответы и в скобках указываю, выполнением

каких действий образован ряд

4) 4,9,16,25,? 36,49 (2Х2,3Х3, 4Х4,5х5,6Х6, 7х7)

3.Составление алгоритма «Как решать числовые ряды» (6—7 мин).

Затем предлагается составить алгоритм, как решать числовые ряды.

Шаг 1: узнать разницу между двумя рядом стоящими числами.

Шаг 2: определить правило построения ряда.

Шаг 3: проверить это правило на другой паре чисел.

Шаг 4: используя это правило, определить следующее число в ряду.

4.Первичное закрепление. Фронтальная работа.

на доске правильные ответы

31, 24, 18, 13, ? 9, 6 (-7, -6, -5, -4, -3)

4, 9, 16, 25, ? 36, 49 (2*2, 3*3, 4*4, 5*5, 6*6, 7*7)

4, 12, 48, ? 240, 1440 (*2, *3, *4, *5, *6)

5. Повторение и закрепление изученного материала по определению закономерности в ряде чисел .

1.Крутить шеей так, чтобы шея не двигалась (поворачивать весь корпус).

2. Хлопнуть в ладоши одной рукой (хлопнуть, объединившись с соседом).

3. Погладить себя по голове, не касаясь ее рукой (погладить себя каким-то

предметом или рукой соседа).

4. Поднять руки выше головы, но ниже парты (поднять руки и присесть на

Каждая пара получает 3-4 рисунка на нахождение закономерности в рядах с фигурами.

На доске серия рисунков. Необходимо выбрать недостающую фигуру из четырех пронумерованных и объяснить свой выбор.

8.Рефлексия. Подведение итогов занятия.

– Какое задание вызвало у вас затруднение?

Что мы учились делать на занятии?

– Что у вас хорошо получилось?

– Дополните ответы: «Я сегодня узнал (запомнил, научился, удивился, повторил) ….»

– Отразите своё настроение от занятия в смайликах.

1. Светлана Гин «Мир логики»

2. Дополнительное образование и воспитание», №10 за 2006

4. А.Гин «Задачки-сказки от кота Потряскина»

5. Сборник статей для учителей, воспитателей и менеджеров образования

«Педагогика + ТРИЗ» № 5, Москва, изд. Витта,2001

Этот урок предназначен для учащихся 2 класса по программе “Планета знаний”.

Контрольная работа по математике для 3 класса “Числа и фигуры”. УМК Планета знаний.

Конспект внеурочного занятия в ТРИЗ технологии. Формирует у школьников умение видеть закономерности, учит составлять закономерности и формирует алгоритм решения закономерностей.

Цель: Образовательная: повторить знания числовых рядов с закономерностями, сформировать умения и навыки в решений заданий по алгоритму, решения логических задач.Развивающая: развить внимание, мышление.

технологическая карта к занятию по внеурочной деятельности по направлению “Логика”. Занятие развивает логическое мышление; учит выделять закономерности; сравнивать, классифицировать, строить умоз.

Цели урока:закрепление навыков определения рода, числа имени прилагательного в согласовании с именем существительным;развитие умений правильно изменять форму прилагательного (окончание) при согл.

Урок в игровой форме. Классификация фигур. Построение фигур. Вычисление периметра различных фигур.

источник

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Так постепенно, в течение тысячелетий, формировалось понятие числа. Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона). Люди учились называть и записывать числа, проводить с ними вычисления и создали тот пласт математической культуры, который в дальнейшем был назван арифметикой. Пояснение: Для скачивания книги (с Гугл Диска), нажми сверху справа – СТРЕЛКА В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ . Для чтения – просто листай колесиком страницы вверх и вниз. Значительную часть этого многовекового пути мы уже прошли в начальной школе – подобно тому, как за 9 месяцев каждый из нас из зародыша превратился в человека, проделав путь, на который природе понадобились миллионы лет. Емия Президента РФ в области образования за 2002 год). Теперь нам предстоит “прожить” еще несколько веков развития математики и прежде всего изучить арифметику дробных чисел – научиться сравнивать дроби между собой, совершать с ними арифметические действия, а главное – использовать эти числа при решении пргпстических задач. Натуральные числа служат, прежде всего, для счета предметов.

Открытый УМК «Школа 2(ХЮ. » включает в себя ненрерывиый курс математики «Учусь учиться» и любые учебники Федеральных перечней по другим учебным предметам на основе деятельностного метода обучения. Рекомендуется использование учебного пособия «Построй спою математику», 5 класс (эталоны -правила, формулы, алгоритмы, снособы действий учащихся ио всем темам данного учебника). Но вначале нам необходимо вспомнить некоторые важные сведения о натуральных числах и дробях, известные из начальной школы. Они получаются и при измерении величин, – но только тогда, когда выбранная мерка укладывается в измеряемой величине целое число раз. УДК 3 ББК 22.1я721 Курсовую подготовку учителей к реализации деятельностного метода обучения осуществляют Центр системно-деятельностной педагогики «Школа 2000. » АПК и ППРО РФ, Институт системно-деятельностной педагогики 125212 Москва, Головинское шоссе, д. 2 Тел./факс: (495) 797-89-77, 452-22-33 E-mail: info(‘^sch2000Интернет: 978-5-85429-042-.’> (8-й завод) (О Издатольстно «Ювепта», Л. Например, число 5 – это количество кошек на рисунке и длина отрезка АВ в сантиметрах: В АВ = 5 см Множество натуральных чисел обозначают буквой N. Как нам уже известно, для записи натуральных чисел обычно пользуются десятичной позиционной системой записи чисел. Для ответа на более сложные вопросы – например, сколько овец в двух стадах, у кого из двух земледельцев урожай больше – понадобилось научиться складывать числа, сравнивать их между собой.

Петерсон МАТЕМАТИКА Учебник для 5 класса Часть 2 V ИЗД,\ТЕЛЬСТВО ЮВЕНТА Москва 2011 J в книге используются условные обозначения: – задачи по новой теме для работы в классе, 0 О О задачи для домашней работы, повторение ранее пройденного. ”: сколько овец в стаде, сколько мер зерна собрано с поля, сколько верст от села до уездного центра и т. Человечеству понадобилось придумать новые – дробные – числа, то есть придумать дроби. Понятие дроби С самых древних времен для решения жизненно важных вопросов людям приходилось считать предметы и измерять величины, то есть отвечать на вопрос “Сколько? Как иногда в шутку говорят математики, “Бог создал натуральные числа, а все остальное – дело рук человеческих”. И еще долгое время после того, как мамонты вымерли, разделив три лепешки поровну на пятерых своих детей, их мама не могла сказать, сколько же лепешек получил каждый. Так, убив мамонта и разделив его поровну, 10 охотников не могли сказать, “сколько мамонтов” получил каждый. Любые два натуральных числа можно сравнить по величине, можно сложить или перемножить.

Частное чисел а и 6 — это такое число с, что Ьс = а. Это определения разности и частного натуральных чисел. С помощью знака равносильности их можно записать так: а-Ъ = сос Ъ = а а : Ь = с с Ь = а – Ь : Ь 0 а а В ь • ь Вычитание и деление являются обратными действиями по отношению к сложению и умножению соответственно, то есть: (а -&) & = а (а :&)•& = а <а Ъ) - Ь = а <а • Ъ) : Ь = а (при условии, что данные действия вычитания и деления выполнимы на множестве N). Глава 3, §1, п.1 В отличие от сложения и умножения, вычитание и деление натуральных чисел можно выполнить не всегда.

  • Тогда каждый получит по 3 -I- , или, как обычно записывают, 3 яблока.
  • Вторая запись при этом называется смешанным числом (или смешанной дробью) — “целое число дробь”.
  • Ясно, что при любом из рассмотренных способов дележа каждый получит 7 1 7 1 од но и то же количество яблок, значит, числа “2 При этом оба числа могут быть преобразованы друг в друга по следующим правилам.
  • Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, числитель делят на знаменатель с остатком: частное дает целую часть, остаток – числитель, а делитель – знаменатель дробной части.
  • В нашем примере: _ 7 I 2 — знаменатель дробной части 6 3 — целая часть 1 — числитель дробной части Обратно, чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, можно: 1) знаменатель умножить на целую часть; 2) к произведению прибавить числитель дробной части; 3) полученную сумму записать в числитель, а знаменатель оставить без изменений.
  • А именно: 3 1 _ 7 2 2‘ Эти правила можно использовать для любых смешанных чисел и неправиль- 39 4 ных дробей. 1) *1***и9**; 2) 27** и 30**; 3) 99*** и *8***; 4)***5и***6.

Например, нельзя число 7 разделить на 2 — нет такого натурального числа с, для которого с • 2 = 7. С другой стороны, на практике 7 одинаковых яблок можно разделить поровну между 2 детьми.

Но в этом случае неизбежно появляется половина яблока – дробное число яблок, для математического обозначения которого вводится дробь . Тогда при дележе яблок каждый получит 7 половинок, или от целого яблока, и мы видим, что применение дробных чисел позволяет ответить на вопрос “Сколько?

Для того чтобы математическая теория могла отвечать на практические вопросы, во всех таких случаях вводятся в рассмотрение новые – дробные -числа, или дроби. С помощью дробей можно представить результат деления любого натурального числа на любое натураль- ное число, например: 7:2 = 3 : 7 = 1®. 2 7 24 И вообще, для любых натуральных чисел тип можно записать: т т п = —. П т п п неправильные: В дроби ^ (читается: “эм на эн” или “эм энных”) число т, находящееся над чертой, называется числителем, а число л, находящееся под чертой, – знаменателем.

Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили единицу (“целое”), ачислитель показывает, сколько таких частейвзяли. Если натуральные числа дополнить нулем, то, взяв т = О, будем считать, что О : п = — (п ФО). Если числитель дроби равен ее знаменателю, то п : п Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь называют правильной, а если он больше или равен знаменателю, то дробь называют неправильной. 1 2 7 Например, дробь — – правильная, а дроби -г и — 2 2 2 Правильные дроби меньше 1, а неправильные — больше или равны 1. Глава 3, §1, п.1 При делении 7 яблок на двоих детей ответ можно получить и другим способом: раздать каждому по 3 яблока и одно оставшееся разделить пополам.

Например, — = 5 у, так как при делении 39 на 7 получается част- к .47-5 4 39 ное 5 и остаток 4. Если числитель неправильной дроби делится на знаменатель без остатка, то 18 эта дробь преобразовывается в натуральное число: — = 18 : 3 = 6. Глава 3, §1, п.1 а Запиши цифрами число: 1) следующее за числом восемьсот пять миллионов двести семьдесят девять тысяч девятьсот девяносто девять; 2) предшествующее числу семьдесят четыре миллиарда пятьдесят шесть миллионов две тысячи девятьсот; 3) предшествующее числу 35001 400 000; 4) следующее за числом 192 939 495 999. Прочитай определение и назови определяемое понятие: Произведением числа а на число ЫЬ 1) называется сумма Ь слагаемых, каждое из которых равно а: а‘ Ь ^ а а . О Натуральные и дробные числа можно изображать точками числового (координатного) луча. а, где а, Ь ^ N h раз а т а Почему при Ь = 1 и ft = о данное определение не имеет смысла? Это луч, на котором расположены числа по следующему правилу: выбран единичный отрезок, начало луча соответствует числу О, а все остальные точки соответствуют числам, равным расстояниям от этой точки до начала луча. Как определяется понятие произведения в этих случаях? Прочитай в тексте данного пункта учебника определения разности и частного. А Е М С »——-1–1—1 • I—–1—1——–1————-1-^ h 0 2 3 3| 4 6 8 Глава 3, §1, п.1 Число, соответствующее некоторой точке числового луча, называется координатой этой точки. Пользуясь ими, найди, если возможно, значения выражений: а – 0, а – а, а : 1, а: а, 0 : а, а: 0. Счет-тест (10 мин) 1) 938 790 475 I 13 076 225 542; 3) 67 190 • 40 500; 2) 210 521 052 105 – 209 286 484 215; 4) 5 925 100 800 : 976.

Например, координатой точки Е является число 1, координатой А – число , координатой М – число 3 —, а координатой С – число 7. По расположению двух точек на числовом луче можно сравнивать числа: большее из двух чисел расположено правее, а м[еньшее — левее. Запиши в тетрадь буквенные равенства, выражающие свойства сложения и умножения: переместительное, сочетательное, распределительное – и объясни их смысл. На числовом луче можно также изображать сложение и вычитание чисел: _2 4 -Ь- 0 ^ ^. 2) Что означает цифра 3 в записи получившегося числа? Используя эти свойства, реши примеры наиболее удобным способом: 1) 201 202 4- 203 204 205 206 -Ь 207 -Ь 208 -1- 209; 2) 400 -Ь (24 589 927) (3600 73 411); 3) 4-5-376-2*25-5*2; 4) 2-(14-2-8)-(125-5-3-5); ^ 5) 974-385 5-385-Ь385-21; 6) 5084 – 23 5084 t 976 – 5084. 11 4 4 4 _2 — ^ 2 I- 0 -I- 1 4 4f 5 6 7-2i -4i Вместе с тем, числовой луч обычно используют для сравнения, сложения и вычитания чисел тогда, когда числа несложно изобразить. Алгоритмы сравнения и операций над натуральными числами и числом О нам уже хорошо известны. Любое натуральное число в десятичной позиционной системе счисления можно записать с помощью десяти цифр. а) Составь и расположи в порядке возрастания все возможные трехзначные числа, которые можно записать с помощью цифр 7,1,9 (цифры в записи числа не повторяются). Мы познакомились также с некоторыми правилами сравнения дробей, научились складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями. б) Некоторые натуральные числа записываются с помощью трех цифр. з) Каждое натуральное число на единицу меньше следующего за ним. б) Составь и расположи в порядке убывания все возможные пятизначные числа, которые можно записать с помощью трех четверок и двух нулей.

А вот остальные действия с дробными числами и их свойства нам еще предстоит изучить. в) Из двух натуральных чисел больше то, у которого больше первая цифра. и) Натуральное число может быть больше своего квадрата. 8 Глава 3, §1, п,1 ш и т Используя все цифры, причем каждую только один раз, составь и прочитай наименьшее возможное натуральное число, в разряде сотен миллионов которого стоит цифра 5, а единицы разряда десятков тысяч отсутствуют. Зачеркни три цифры так, чтобы получилось: 1) наименьшее возможное натуральное число; 2) наибольшее возможное натуральное число. Г) Некоторые четырехзначные натуральные числа больше некоторых пятизначных натуральных чисел. В сказочном государстве Бусирия люди знают только натуральные числа и о, умеют их складывать и вычитать, а “умножают” их по бусирскому правилу: а0Ь = а Ь а Ь.

Представь себя учеником бусргрской школы и выполни контрольную работу: 1) Вычисли значения выражений: 203, 409, 00712, 508, 208-h308. 2) Докажи, что бусирское умножение “ О ” обладает переместительным свойством. 3) Выясни, обладает ли оно сочетательным свойством.

4) Проверь, выполняется ли распределительное свойство: (а Ь)0с = a(S)c Ь(^)с. Нарисуй чертеж, иллюст- ОН 3 4 7 рирующий дробь: а) —; б) —; в) —. 5) Какое число обладает свойством единицы (при обычном умножении: а • 1 = а)? 8 4 6 Запиши с помощью дробей, какие части фигур закрашены. Какие из этих частей можно выразить натуральными числами, а какие – с помощью процентов? У 7 \ / \ 7 \ Z / 7 7 7 7 7 Глава 3, §1, п.1—————————————————- НО Прочитай дроби. Какая дробь в каждой из групп а, б и в может быть «лишней». ^ 3’ 7’ 9’13’ f-425 15 10 47, ^ 7 ’ 14’21’18 ^ 28 ^ VS ’ 13’ 13’ 11 т Запиши с помощью дроби: 1) Какую часть метра составляют 1 дм, 9 дм, 1 см, 27 см? 2) Какую часть тонны составляют 1 кг, 16 кг, 1 ц, 85 ц? г) Любая правильная дробь меньше любой неправильной, д) Неправильная дробь может быть меньше 2.

3) Какую часть часа составляют 1 мин, 3 мин, 1 с, 49 с? [ 21 I Запиши частные 3 : 25, 17:6, 4:1, 20:2, 7:7 в виде 1 ^ 24 8 72 45 дроби, а дроби ±,

, 2., 1В., ^ в виде частного. 10 Глава 3, §1, п.1 24 ИЮ 26 i Сколько седьмых долей в единице? ОН Какую часть отрезка АВ составляет отрезок CD7 Какую часть отрезка CD составляет отрезок АВ? п 1 1 1 I ОН 2^ Найди множество значений переменной х (х е N), при которых: ^ будет неправильной. 4 7 11 1 9 45 Реши уравнения: 2)^^=16; 3)^ 8; 4) 336 29 п = 7. Представь единицу в виде дроби со знаменателем 5, 67, 89, 100, л. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, k замени равными им дробями сначала со знаменателем 9, затем – 11, а затем – со знаменателем 100. Запиши две какие-нибудь дроби с одинаковыми чис- 2 8 лителями и сравни их. 8 7 11 15 19 1) Выдели целую часть из дробей —, —, -тг»• Проиллюстрируй решение 6 6 6 6 с помощью числового луча. 1) А*—*—-1111——–1—н В 2)Ак—I—I■ I -■I—1—1—I—’В D *D 03 Какую часть каждый из отрезков АВ, CD и EF составляет от других отрезков? X — 4 а) дробь —;;— будет правильной; б) дробь 7\^ jr л л л Л-МЯ ля у КЯ ^ X i ^ Какие высказывания истинны? Образец: § = 2оа = 8-2оа = 16 О 1) Ленту длиной 3 метра разрезали на 4 равные части. Как записать с помощью знака процента сотые доли величины? 2) Выдели целую часть из дробей —, —, —, 5^ 9769 7 12 18 1 1) 19 кг халвы разложили поровну в 4 коробки. Знак какого арифметического действия пропущен в записи смешанного числа между его целой и дробной частью?

Сколько кошек каждой породы на выставке, если всего их 77? Какая часть участников ансамбля уехала на гастроли? 3) Какую часть центнера составляют 1 кг, 9 кг, 1 г, 547 г? 2) На вопрос учеников о прошедшей контрольной работе учитель ответил: “Пятерок на 3 больше, чем двоек, троек на одну меньше, чем четверок, а четверок в 4 раза больше, чем двоек”. 4) Какую часть суток составляет 1 ч, 5 ч, 1 мин, 32 мин? Сколько человек получили пятерки и сколько четверки, если в классе 32 человека? Девочки составляют у количества всех учеников класса. 2) В шахматном турнире приняли участие 48 человек, что составило 6% всех учеников школы. 5 С одной пасеки собрали 1350 кг меда, что составляет — меда, собранного со О второй пасеки. А) (283 195)-83; б) (549 678)-478; в) 756-(256 36); г) 842 – 396 – 4; 12 Глава 3, §1, п.1 Ш ш [43] 5] Ш О li U 1) Если задуманное число вычесть из числа 777, результат уменьшить в 7 раз, а затем увеличить на 7, то получится число, которое на 7 больше, чем наименьшее трехзначное число. 2) Задумали число, разделили на него 555, полученное частное вычли из 55, результат увеличили в 5 раз и получили число, в 10 раз большее квадрата числа 5. На какой пасеке было больше ульев и на сколько, если с каждого улья получили по 90 кг меда? 55 I Реши уравнения: =9; У 2) y = 9; 3)^4-^ = 23; 4) 7-^^= 72. Во сколько раз скорость лодки меньше скорости теплохода, плывуш;его по той же реке в том же направлении со скоростью 27 км/ч? D ” 176 237 413 У21 Выдели целую часть дробей: __ к 2 5 9 53 I Представь смешанное число в виде неправильной дроби: 9 —; 4 — ; 2 —. Через сколько времени теплоход догонит лодку, если сейчас между ними 36 км? Обе дроби равны между собой, но при этом числитель и знаменатель второй дроби в 5 раз превышает числитель и знаменатель первой дроби.

57 I Дбдка вдвое сильнее бабки, бабка втрое сильнее внучки, внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее кошки, кошка вшестеро сильнее мышки. Жучка и кошка вместе с мышкой могут вытащить репку, а без мышки — не могут. Полученное равенство можно записать двумя способами: 5 5 : 5 _ 1 2 2-5 10 10 10 : 5 2 ‘ Если числитель и янаменателъ дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь: а _ а • п а _ а : п h п Ъ : п а, Ь,п е N Это верно и для любых других дробей. Сколько надо позвать мышек, чтобы они смогли сами вытащить репку? Действительно, для натуральных чисел ранее было доказано, что а : Ь = (а • п) : <Ь • п) и а : Ь = <а : п) : (Ь : п) (п. Продолжи ряд на две фигуры, сохраняя закономерность: Ф Е 14 Глава 3, §1, п.2 2. С другой стороны, нам известно, что знак деления можно j заменить чертой дроби (п. Мы получили утверждение, которое называют основным свойством дроби. Второе равенство позволяет упрощать дроби, например: 36 _ 36 : 4 44 44:4 11 ‘ Такое преобразование называют сокращением дроби. Полученную дробь —— сократить нельзя, так как 9 и 11 -44 11 взаимно простые числа (то есть НОД (9; 11) = 1).

источник

Читайте также:  Как рассадить детку орхидеи
Adblock
detector