Меню Рубрики

Что характеризует a его числовое значение

Волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера, называется орбиталью. Для решения этого уравнения вводятся три квантовых числа (n, l и ml )

Главное квантовое число n. оно определяет энергию электрона и размеры электронных облаков. Энергия электрона главным образом зависит от расстояния электрона от ядра: чем ближе к ядру находится электрон, тем меньше его энергия. Поэтому можно сказать, что главное квантовое число n определя-

ет расположение электрона на том или ином энергетическом уровне. Главное квантовое число имеет значения ряда целых чисел от 1 до . При значении главного квантового числа, равного 1 (n = 1), электрон находится на первом энергетическом уровне, расположенном на минимально возможном расстоянии от ядра. Общая энергия такого электрона наименьшая.

Электрон, находящийся на наиболее удаленном от ядра энергетическом уровне, обладает максимальной энергий. Поэтому при переходе электрона с более удаленного энергетического уровня на более близкий выделяется энергия. Энергетические уровни обозначают прописными буквами согласно схеме:

Орбитальное квантовое число l. Согласно квантово-механическим расчетам электронные облака отличаются не только размерами, но и формой. Форму электронного облака характеризует орбитальное или побочное квантовое число. Различная форма электронных облаков обусловливает изменение энергии электрона в пределах одного энергетического уровня, т.е. ее расщепления на энергетические подуровни. Каждой форме электронного облака соответствует определенное значение механического момента движения электрона , определяемого орбитальным квантовым числом:

Определенной форме электронного облака соответствует вполне определенное значение орбитального момента количества движения электрона . Так как может принимать только дискретные значения, задаваемые квантовым числом l, то и формы электронных облаков не могут быть произвольными: каждому возможному значению l соответствует вполне определенная форма электронного облака.

Рис. 5. Графическая интерпретация момента движения электрона, гдеμ — орбитальный момент количества

Орбитальное квантовое число может иметь значения от до n — 1, всего n – значений.

Энергетические подуровни обозначены буквами:

Магнитное квантовое число ml. Из решения уравнения Шредингера следует, что электронные облака ориентированы определенным образом в пространстве. Пространственная ориентация электронных облаков характеризуется магнитным квантовым числом.

Магнитное квантовое число может принимать любые целочисленные значения как положительные, так и отрицательные в пределах от –l до +l, а всего это число может принимать (2l+1) значений для данного l, включая нулевое. Например, если l = 1, то возможны три значения m (–1,0,+1) орбитальный момент , есть вектор, величина которого квантована и определяется значением l. Из уравнения Шредингера следует, что не только величина µ, но и направление этого вектора, характеризующее пространственную ориентацию электронного облака, квантовано. Каждому направлению вектора заданной

длины соответствует определенное значение его проекции на ось z, характеризующее некоторое направление внешнего магнитного поля. Значение этой проекции характеризует ml.

Спин электрона. Изучение атомных спектров показало, что три квантовых числа n, l и ml не являются полной характеристикой поведения электронов в атомах. С развитием спектральных методов исследований и повышением разрешающей способности спектральных приборов была обнаружена тонкая структура спектров. Оказалось, что линии спектров расщепляются. Для объяснения этого явления было введено четвертое квантовое число, связанное с поведением самого электрона. Это квантовое число было названо спином с обозначением ms и принимающее всего два значения и –½ в зависимости от одной из двух возможных ориентаций спина электрона в магнитном поле. Положительное и отрицательное значения спина связаны с его направлением. Поскольку спин величина векторная, то его условно обозначают стрелкой, направленной вверх или ↑ или вниз ↓ .Электроны, имеющие одинаковое направление спина называются параллельными, при противоположных значениях спинов – антипараллельныи.

Наличие спина у электрона было доказано экспериментально в 1921 г., В. Герлахом и О. Штерном, которые сумели разделить пучок атомов водорода на две части, соответствующие ориентации электронного спина. Схема их эксперимента показана на рис. 6. Когда атомы водорода пролетают через область сильного магнитного поля, электрон каждого атома взаимодействует с магнитным полем, и это заставляет атом отклоняться от исходной прямолинейной траектории, Направление, в котором отклоняется атом, зависит от ориентации спина его электрона. Спин у электрона не зависит от внешних условий и не может быть уничтожен или изменен.

Таким образом, было окончательно установлено, что полностью состояние электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами n, l, ml. и ms,

Рис. 6. Схема эксперимента Штерна — Герлаха

источник

Первое квантовое число n называется главным квантовым числом, оно может принимать целые значения от 1 до бесконечности. В атоме водорода это число характеризует энергию электрона (в атомных единицах):

Е(n) = -ZR/(2∙n 2 ),

где Z – заряд ядра, R=109678,76 см -1 – постоянная Ридберга.

Второе квантовое число l называется орбитальным числом. При определенном значении n оно может принимать целые значения от 0 до (n-1). Число l определяет одно из возможных значений орбитального момента количества движения электрона в атоме. Число l определяет форму орбитали. Каждому значению l сопоставляют букву (спектроскопические обозначения):

При обозначении состояния электрона (или орбитали) главное квантовое число пишут перед символом орбитального квантового числа в виде формулы: nl. Например:

4s означает электрон, у которого n=4 и l=0, т.е. электронное облако имеет форму шара;

2p означает электрон, у которого n=2и l=1 (электронное облако имеет форму гантели) и т.д.

Третье квантовое числоml характеризует пространственне расположение орбиталей. Оно называется магнитным квантовым числом и определяет величину проекции орбитального момента количества движения на выделенное направление (обычно ось z). mlпринимает целые значения от –l до +l. Число различных значений ml при определенном значении l равно N=(2l+1).

s-cостоянию электрона отвечает одна орбиталь

p-cостоянию электрона отвечает три орбитали

d-cостоянию электрона отвечает пять орбиталей

f-cостоянию электрона отвечает семь орбиталей

Таким образом орбиталь характеризуется определенным набором трех квантовых чисел: n, l, m.

Общее число орбиталей данного энергетического уровня равноN=n 2 .

При исследовании свойств электрона возникла необходимость ввести четвертое квантовое число, которое было названо спиновым квантовым числом ms.

Спин электрона характеризует вращение электрона вокруг собственной оси. Это вращение может происходить по часовой стрелке, или против неё относительно орбиты электрона. В зависимости от этого ms может принимать одно из двух значениий:

Спин электрона характеризует собственный вращательный момент электрона. В атоме водорода спиновый вращательный момент электрона добавляется к орбитальному моменту электрона.

Согласно принципу исключения Паули (швейцарский физик, 1925 год):никакие два электрона в атоме не могут иметь одинаковые наборы четырех квантовых чисел. Это значит, что если 2 электрона в атоме имеют одни и те же значения n, l и ml, то они должны иметь разные значения ms. Их спины должны быть направлены в разные стороны. На каждой орбитали могут максимально находится 2 электрона с противоположно направленными спинами.

Следствие из закона Паули: максимальное число электронов на уровне равно удвоенному значению квадрата главного квантового числа

Порядок заполнения орбиталей данного подслоя подчиняется правилу Хунда: Суммарное спиновое число электронов данного подслоя должно быть максимальным.

Иными словами, орбитали данного подслоя заполняется сначала по одному электрону, затем по второму электрону. Электроны с противоположными спинами на одной орбитали образуют двухэлектронное облако и их суммарный спин равен нулю.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 8601 — | 7067 — или читать все.

176.59.100.63 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

источник

Квантовое число – главное . Оно определяет энергию электрона в атоме водорода и одноэлектронных системах (He + , Li 2+ и т. д.). В этом случае энергия электрона

где принимает значения от 1 до ∞. Чем меньше , тем больше энергия взаимодействия электрона с ядром. При = 1 атом водорода находится в основном состоянии, при > 1 – в возбужденном.

В многоэлектронных атомах электроны с одинаковыми значениями образуют слой или уровень, обозначаемый буквами K, L, M, N, O, P и Q. Буква K соответствует первому уровню, L – второму и т. д.

Орбитальное квантовое число характеризует форму орбиталей и принимает значения от 0 до – 1. Кроме числовых имеет буквенные обозначения

= 1 2 3 4
=

Электроны с одинаковым значением образуют подуровень.

Квантовое число определяет квантование орбитального момента количества движения электрона в сферически симметричном кулоновском поле ядра.

Квантовое число называют магнитным . Оно определяет пространственное расположение атомной орбитали и принимает целые значения от – до + через нуль, то есть + 1 значений. Расположение орбитали характеризуется значением проекции вектора орбитального момента количества движения на какую-либо ось координат (обычно ):

Все вышесказанное можно представить таблицей:

Таблица 2.1

Орбитали одного подуровня ( = const) имеют одинаковую энергию. Такое состояние называют вырожденным по энергии . Так орбиталь – трехкратно, – пятикратно, а – семикратно вырождены.

Граничные поверхности орбиталей показаны на рис. 2.1.

сферически симметричны для любого и отличаются друг от друга только размером сферы. Их максимально симметричная форма обусловлена тем, что при = 0 и μ = 0.

существуют при ≥ 2 и = 1, поэтому возможны три варианта ориентации в пространстве: = –1, 0, +1. Все -орбитали обладают узловой плоскостью, делящей орбиталь на две области, поэтому граничные поверхности имеют форму гантелей, ориентированных в пространстве под углом 90° друг относительно друга. Осями симметрии для них являются координатные оси, которые обозначаются , , .

определяются квантовым числом = 2 ( ≥ 3), при котором = –2, –1, 0, +1, +2, то есть характеризуются пятью вариантами ориентации в пространстве. , ориентированные лопастями по осям координат, обозначаются и , а ориентированные лопастями по биссектрисам координатных углов – , , .

Семь , соответствующих = 3 ( ≥ 4), изображаются в виде граничных поверхностей, приведенных на рис. 2.1.

Квантовые числа , и не полностью характеризуют состояние электрона в атоме. Экспериментально установленно, что электрон имеет еще одно свойство – спин. Упрощенно спин можно представить как вращение электрона вокруг собственной оси. Спиновое квантовое число имеет только два значения = ±1/2, представляющие собой две проекции углового момента электрона на выделенную ось. Электроны с разными обозначаются стрелками, направленными вверх и вниз .

В многоэлектронных атомах, как и в атоме водорода, состояние электрона определяется значениями тех же четырех квантовых чисел, однако в этом случае электрон находится не только в поле ядра, но и в поле других электронов. Поэтому энергия в многоэлектронных атомах определяется не только главным, но и орбитальным квантовым числом, а вернее их суммой: энергия атомных орбиталей возрастает по мере увеличения суммы + ; при одинаковой сумме сначала заполняется уровень с меньшим и большим . Энергия атомных орбиталей возрастает согласно ряду

Итак, четыре квантовых числа описывают состояние электрона в атоме и характеризуют энергию электрона, его спин, форму электронного облака и его ориентацию в пространстве. При переходе атома из одного состояния в другое происходит перестройка электронного облака, то есть изменяются значения квантовых чисел, что сопровождается поглощением или испусканием атомом квантов энергии.

источник

При рассмотрении простейшей водородоподобной системы собственные функции уравнения Шредингера, т.е. Ψ–функции, содержат три целочисленных параметра – n, l, m:

где n называют главным квантовым числом(это то же число, что и в формуле для E n ), l – орбитальное квантовое число, а m – магнитное квантовое число, определяющие модель момента импульса и его проекцию.

Каждое из квантовых чисел принимает только целочисленные значения и определяет, то есть предсказывает результаты измерения основных физических величин в заданном квантовом состоянии атома.

1) Главное квантовое число n. Это квантовое число принимает значения

и определяет полную энергию электрона в любом квантовом состоянии и степень его отдаления от ядра (номер энергетического уровня).

2) Орбитальное (азимутальное) квантовое число l . В квантовых состояниях с заданным значением главного квантового числа n азимутальное квантовое число может иметь следующие значения:

Также орбитальное квантовое число определяет форму атомной орбитали.

В любом квантовом состоянии атом обладает определенным значением момента импульса, причем модуль орбитального момента импульса движущегося в атоме электрона однозначно определяется орбитальным квантовым числом:

Сравнивая ее с условием квантования момента импульса движущегося электрона в теории Бора, можно заметить, что эти условия не совпадают. Принципиальное отличие этих соотношений состоит в том, что в квантовой механике возможны состояния атома с нулевым моментом импульса. Во всех s-состояниях и, в частности, в основном 1s-состоянии, когда l =0 получаем L=0.

Так как движущийся вокруг ядра электрон является заряженной частицей, то такое движение обуславливает протекание некоторого замкнутого тока в атоме, который можно охарактеризовать орбитальным магнитным моментом μ l .

С позиции классической теории во время полного оборота электрона, соответствует замкнутый ток

который можно охарактеризовать величиной магнитного момента

Связь механического и магнитного моментов при этом определяется гиромагнитным отношением

Так как заряд электрона отрицателен, то для орбитального движения направление вектора магнитного момента μ l противоположно направлению вектора механического момента импульса.

В любом квантовом состоянии атом обладает не только механическим моментом L, но и магнитным моментом:

Здесь µ Б = eħ/2m универсальная постоянная — магнетон Бора .

3) Магнитное квантовое число m. В квантовом состоянии с заданным значением орбитального квантового числа l , магнитное квантовое число может принимать (2 l +1) различных значений из ряда

Физический смысл магнитного квантового числа вытекает из того, что волновая функция Ψ n l m (r,θ,ϕ), описывающая квантовое состояние электрона в атоме, является собственной функцией оператора проекции момента импульса, причем

Отсюда следует, что проекция момента импульса электрона на выделенное в пространстве направление z может иметь только определенные значения, равные

Отсюда следует что, квантование проекции механического момента соответствует вполне определенным направлениям ориентации в пространстве вектора, то эту формулу называют обычно формулой пространственного квантования .

Магнитное квантовое число m определяет ориентацию орбитали в пространстве относительно внешнего магнитного или электрического поля. Его значения изменяются от + l до — l , включая 0. Например, при l = 1 число m принимает 3 значения: +1, 0, -1, поэтому существуют 3 типа р-орбиталей: р x , р y , р z .

В слайдах этого не было но существует еще одно квантовое число:
4) Спиновое квантовое число s для электрона может принимать лишь два возможных значения +1/2 и -1/2. Они соответствуют двум возможным и противоположным друг другу направлениям собственного магнитного момента электрона, называемого спином (от англ. веретено). Для обозначения электронов с различными спинами используются символы: ↓ и ↑.

источник

В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера удовлетворяют собственные функции , определяемые набором трёх квантовых чисел: главного n, орбитального l и магнитного m.

Главное квантовое числоn характеризует расстояние электрона от ядра – радиус орбиты.

Согласно (7.1.4) n определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения, начиная с единицы.

В атомной физике состояния электрона, соответствующие главному квантовому числу n, (n = 1, 2, 3, 4,…) принято обозначать буквами K, L, M, N,….

Орбитальное квантовое число l = 0, 1, 2, . n–1 характеризует эллиптичность орбиты электрона (рис. 7.3) и определяет момент импульса электрона .

Квадрат модуля функции характеризует вероятность найти электрон в заданной точке. Область пространства, в которой высока вероятность обнаружить электрон (не менее 0,95), называют орбиталью. Основные типы орбиталей обозначают буквами s, p, d, f , … (от слов sharp, principal, diffuse, fundamental).

Два типа орбиталей s (она одна), p (их три), по которым «размазан» электронный заряд, показаны на рис. 7.4.

Орбитали часто называют подоболочками оболочек, поскольку они характеризуют формы разных орбит, на которых можно обнаружить электроны, находящиеся в одной оболочке (при заданном квантовом числе n).

Решая последовательно задачу об электроне в прямоугольной потенциальной яме, мы доказали, что энергия и положение электрона квантуются, т.е. принимают дискретные значения.

Решая уравнения Шредингера для атома, можно получить выражения для энергии, момента импульса и других динамических переменных электрона без привлечения каких-либо постулатов.

Рассмотрим (без вывода) движение электрона в потенциальном поле .

Обратимся вновь к стационарному уравнению Шредингера:

Так как электрическое поле – центрально-симметрично, то для решения этого уравнения воспользуемся сферической системой с координатами (r, θ, φ), которые связаны с декартовыми координатами, как это следует из рис. 7.5, соотношениями:

Подставим в (7.2.1) выражение оператора Лапласа в сферических координатах и получим уравнение Шредингера в следующем виде:

Уравнение (7.2.2) имеет решение при всех значениях полной энергии E > 0, что соответствует свободному электрону. При Е

источник

Азимутальное (орбитальное) квантовое числоl определяет форму орбиталей и поэтому получило дополнительное название орбитального квантового числа.

В зависимости от формы электронных облаков электроны одного и того же энергетического уровня (т.е. характеризующиеся одним и тем же значением главного квантового числа n) могут находиться в разных энергетических состояниях.

Поэтому энергетическое состояние электрона в зависимости от формы его электронного облака и характеризует орбитальное квантовое число l.

Принято считать, что все электроны в атоме, характеризующиеся одинаковым значением орбитального квантового числа l, находятся на одном энергетическом подуровне.

Таким образом, подуровеньэто совокупность энергетических сос-тояний электронов с одинаковым значением орбитального квантового числа l. Орбитальное квантовое число указывает, на каком подуровне находится электрон.

Орбитальное квантовое число зависит от значений главного квантового числа n.

При данном значении главного квантового числа n орбитальное квантовое число может принимать целочисленные значения от 0 до n-1. Эти строгие граничные условия вытекают из решения волнового уравнения Шредингера, т.е. l = 0, 1, 2, 3, …(n –1).

Так, на первом энергетическом уровне при n = 1, l = 0; на втором энергетическом уровне при n = 2 орбитальное квантовое число принимает два значения l =0,1; на третьем энергетическом уровне n = 3, l =0, 1, 2; на четвертом n = 4, l =0, 1, 2, 3.

Таким образом, из вышеизложенного нетрудно видеть, что орбита-льное квантовое число принимает столько значений при данном главном квантовом числе, сколько единиц содержится в главном квантовом числе. Каждому значению орбитального квантового числа соответствует подуровень в энергетическом уровне. Следовательно, число подуровней в каждом энергетическом уровне равно численному значению главного квантового числа n. Так, на первом энергетическом уровне – один подуровень, на втором – два, на третьем – три, на четвертом – четыре и т.д.

Энергетические подуровни обозначают буквами в зависимости от значений орбитального квантового числа. Так, энергетический подуро-вень, характеризующийся орбитальным квантовым числом

l = 0, обозначают буквой s; l = 1 – буквой р;

l = 2 – буквой d; l = 3 – буквой f и т.д.,

при l = 0, 1, 2, 3 им соответствуют буквы s, p, d, f

Таким образом, на каждом энергетическом уровне первый, ближайший к ядру подуровень, называют s-подуровень, второй – р-подуровень, третий – d-подуровень, четвертый – f-подуровень, а соот-ветствующие этим подуровням электроны соответственно называют s-, p-, d-, f- электронами.

Резкой границы в величинах энергий электронов различных подуровней нет. В пределах данного энергетического уровня (при опре-деленном значении n) s-подуровень отвечает наиболее низкому энергетическому состоянию электронов, р-подуровень – более высокому и т.д.

Каждому значению орбитального квантового числа соответствует строго определенная форма электронного облака. В зависимости от того, на каком подуровне находится электрон, его электронное облако имеет различную форму. Так, при нахождении электрона на s-подуровне (l = 0) его электронное облако имеет сферически симметричную форму, т.е. форму шара. Ядро атома находится в центре шара.

На энергетической диаграмме атома это выглядит следующим образом:

n = 1

При нахождении электрона на р-подуровне (l = 1) электронное облако имеет форму объемной восьмерки (гантели). Ядро атома находится в центре гантели.

При нахождении электрона на d- и f- подуровнях их электронные облака имеют более сложные формы.

1.3.5. Магнитное квантовое число ml

Третье квантовое число ml определяет ориентацию электронного облака в пространстве. Оно получило название магнитного квантового числа.

Магнитное квантовое число ml зависит от орбитального квантово-го числа и может иметь целочисленные значения, от – l через 0 до +l, всего (2l + 1) значений.

Так, при l = 0; ml = 0 (единственное значение).

При l = 1; ml = –1, 0, +1; при l = 2 ml = –2, –1, 0, +1, +2.

Магнитное квантовое число является вектором, т.е. ему соот-ветствует не только определенное числовое значение, но и направление, в котором вытянуто электронное облако в пространстве, отображаемое знаками «+» и «–».

Таким образом, магнитное квантовое число характеризует число возможных ориентаций электронного облака данной формы в прост-ранстве относительно магнитного поля. В зависимости от числа этих ориентаций подуровень подразделяется на энергетические состояния, называемые атомными или просто орбиталями.

Орбиталью называется электронное облако определенного размера, формы и ориентации (положения) в пространстве; орбиталь характери-зуется тремя квантовыми числами:

главным квантовым числом n, определяющим размер электрон-ного облака и его общую энергию;

орбитальным квантовым числом l, определяющим форму электрон-ного облака;

магнитным квантовым числом ml, определяющим ориентацию электронного облака в пространстве.

На d-подуровне (l = 2) возможное число орбиталей 2 . 2 + 1 = 5, т.е. 5 d-орбиталей, (–2, –1, 0, +1, +2).

На f-подуровне (l = 3) возможное число орбиталей 2 . 3 + 1 = 7, т.е. 7 f-орбиталей (–3, –2, –1, 0, +1, +2, +3).

Таким образом, на s-подуровне – 1 орбиталь;

Это очень важное положение для дальнейшего изучения электронных оболочек атомов.

Общее число орбиталей данной формы, т.е. отвечающих одному и тому же значению орбитального квантового числа в данном подуровне, равно (2l + 1). То есть, на s-подуровне (l = 1) возможна только одна орбиталь 2 . 0 + 1 = 1, т.е. одна s-орбиталь; на р-подуровне (l = 1) ml = 2 . 1 + 1 = 3 возможно наличие трех р-орбиталей (–1, 0, +1):

1.3.6. Спиновое квантовое число ms

Чтобы понять его физический смысл, нужно представить себе электрон как маленькую частицу, которая имеет электрический заряд и совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через ее центр. Тогда электрон будет эквивалентен маленькому магниту, ориен-тация которого зависит от направления вращения.

Вращение электрона вокруг собственной оси может быть как по часовой стрелке, так и против нее. Две возможные ориентации соот-ветствуют двум значениям квантового числа ms, связанного со спином:

Спин электрона графически изображают стрелками: либо ­, либо ¯.

При нахождении на орбитали одного электрона его называют неспаренным и обозначают:

Два электрона, спиновые квантовые числа которых имеют протии-воположные знаки, называются электронами с антипараллельными спинами. Такие электроны взаимно притягиваются друг к другу и обра-зуют дублет.

Спин электрона – такое же фундаментальное свойство его, как масса и заряд.

Таким образом, вращение электрона вокруг собственной оси называют спином (от англ. спин — веретено). Энергетическое состояние электрона в атоме может быть охарактеризовано совокупностью четы-рех квантовых чисел (n, l, ml, ms).

Однако, чтобы характеризовать строение электронных оболочек атомов, необходимо изучить закономерности, определяющие максимально возможное число электронов на орбиталях, подуровнях и энергетических уровнях.

Заполнение электронных слоев и оболочек в атоме подчиняется трем правилам:

3) принципу минимума энергии (правилам В.М. Клечковского).

Принцип Паули

Распределение электронов по различным разрешенным уровням энергии подчиняется принципу, известному как принцип исключения (правило запрета) или принцип Паули.

Согласно принципу Паули, два электрона одного атома не могут иметь четыре одинаковых квантовых числа, что ограничивает максима-льную заселенность каждого уровня и подуровня. Действительно, если электронная волновая функция характеризуется тремя определенными значениями квантовых чисел n, l, ml, она может соответствовать только двум электронам, спины которых антипараллельны. Или другими слова-ми, на одной орбитали могут находиться только два электрона. Например, на первом энергетическом уровне (n = 1) энергетическое состояние двух электронов можно охарактеризовать следующей комбинацией квантовых чисел:

Квантовое число n l ml ms
1-й электрон +1/2
2-й электрон –1/2

Видно, что на первом энергетическом уровне (К-оболочка) n = 1 при одинаковых значениях n, l, ml могут находиться два электрона с антипараллельными спинами.

Вам уже известно, что комбинацией трех квантовых чисел n, l, ml характеризуется атомная орбиталь, т.е. электронное облако определенного размера, формы и ориентации (положения) в пространстве. Волновые функции с l = 0 называются s-орбиталями, волновые функции с l = 1 называются р-орбиталями, волновые функции с l = 2 называются d-орбиталями, волновые функции с l = 3 f-орбиталями; функции с l = 4, 5, …, называются соответственно g-, h- орбиталями.

Орбиталь, характеризуемую тремя определенными значениями квантовых чисел n, l, ml, обычно называют «квантовой ячейкой» и графически обозначают или ; в каждой ячейке могут помещаться максимум два электрона с антипараллельными спинами, что обозначается знаком , и это непосредственно вытекает из принципа Паули.

Зная, что на каждой орбитали может максимально находиться только два электрона с различными значениями спинового числа ms (+ 1/2 и –1/2), рассмотрим закономерности, определяющие распределение электро-нов в электронной оболочке атома по энергетическим уровням и под-уровням.

источник

Математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х , принимающей конечное число значений х i с вероятностями р i , называется сумма:

(6а)

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей f(x):

(6б)

Несобственный интеграл (6б) предполагается абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что математическое ожидание М ( Х ) не существует). Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины Х. Его размерность совпадает с размерностью случайной величины.

Свойства математического ожидания:

(7)

Дисперсия. Дисперсией случайной величины Х называется число:

(8)

Дисперсия является характеристикой рассеяния значений случайной величины Х относительно ее среднего значения М ( Х ). Размерность дисперсии равна размерности случайной величины в квадрате. Исходя из определений дисперсии (8) и математического ожидания (5) для дискретной случайной величины и (6) для непрерывной случайной величины получим аналогичные выражения для дисперсии:

(9)

(10)

Среднее квадратичное отклонение:

(11)

Так как размерность среднего квадратичного отклонения та же, что и у случайной величины, оно чаще, чем дисперсия, используется как мера рассеяния.

Моменты распределения. Понятия математического ожидания и дисперсии являются частными случаями более общего понятия для числовых характеристик случайных величин – моментов распределения. Моменты распределения случайной величины вводятся как математические ожидания некоторых простейших функций от случайной величины. Так, моментом порядка k относительно точки х 0 называется математическое ожидание М ( Хх 0 ) k . Моменты относительно начала координат х = 0 называются начальными моментами и обозначаются:

(12)

Начальный момент первого порядка есть центр распределения рассматриваемой случайной величины:

(13)

Моменты относительно центра распределения х = m называются центральными моментами и обозначаются:

(14)

Из (7) следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю:

(15)

Центральные моменты не зависят от начала отсчета значений случайной величины, так как при сдвиге на постоянное значение С ее центр распределения сдвигается на то же значение С, а отклонение от центра не меняется: Хm = (ХС) – (mС).
Теперь очевидно, что дисперсия – это центральный момент второго порядка:

(16)

Асимметрия. Центральный момент третьего порядка:

(17)

служит для оценки асимметрии распределения. Если распределение симметрично относительно точки х = m, то центральный момент третьего порядка будет равен нулю (как и все центральные моменты нечетных порядков). Поэтому, если центральный момент третьего порядка отличен от нуля, то распределение не может быть симметричным. Величину асимметрии оценивают с помощью безразмерного коэффициента асимметрии:

(18)

Знак коэффициента асимметрии (18) указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию (рис. 2).


Рис. 2. Виды асимметрии распределений.

Эксцесс. Центральный момент четвертого порядка:

(19)

служит для оценки так называемого эксцесса, определяющего степень крутости (островершинности) кривой распределения вблизи центра распределения по отношению к кривой нормального распределения. Так как для нормального распределения, то в качестве эксцесса принимается величина:

(20)

На рис. 3 приведены примеры кривых распределения с различными значениями эксцесса. Для нормального распределения Е = 0. Кривые, более островершинные, чем нормальная, имеют положительный эксцесс, более плосковершинные – отрицательный.


Рис. 3. Кривые распределения с различной степенью крутости (эксцессом).

Моменты более высоких порядков в инженерных приложениях математической статистики обычно не применяются.

Мода дискретной случайной величины – это ее наиболее вероятное значение. Модой непрерывной случайной величиныназывается ее значение, при котором плотность вероятности максимальна (рис. 2). Если кривая распределения имеет один максимум, то распределение называется унимодальным. Если кривая распределения имеет более одного максимума, то распределение называется полимодальным. Иногда встречаются распределения, кривые которых имеют не максимум, а минимум. Такие распределения называются антимодальными. В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. В частном случае, для модального, т.е. имеющего моду, симметричного распределения и при условии, что существует математическое ожидание, последнее совпадает с модой и центром симметрии распределения.

Медиана случайной величины Х – это ее значение Ме , для которого имеет место равенство: т.е. равновероятно, что случайная величина Х окажется меньше или больше Ме. Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь под кривой распределения делится пополам (рис. 2). В случае симметричного модального распределения медиана, мода и математическое ожидание совпадают.

источник

Строение атомов. Понятие о квантовых числах. Атомные орбитали . Принцип Паули. Электронные формулы.

В начале XX века физическими исследованиями было установлено, что атом является сложной частицей и состоит из ядра и вращающихся вокруг него электронов. В целом атом электро нейтрален, т.е. заряд ядра равен суммарному заряду электронов.

1. Ядро состоит из протонов и нейтронов. Заряд ядра равен числу протонов.

2. Основная масса атома сосредоточена в ядре, поскольку масса электрона ничтожно мала и составляет 1/1840 часть от а.е.м .

Округленная до ближайшего целочисленного значения атомная масса элемента называется массовым числом. Поэтому число нейтронов в ядре A-Z=N, где A — массовое число, Z — заряд ядра, N — число частиц. Для обозначения химического элемента слева от его символа

внизу заряд ядра, вверху массовое число.

Изотопы — разновидности атомов данного элемента, обладающие одинаковым зарядом ядра, но различающиеся по атомной массе.

Изобары — изотопы различных элементов, имеющих равную атомную массу. Изобары различаются по химическим свойствам.

Химический элемент — это совокупность атомов, имеющих одинаковый заряд ядра, строение электронных оболочек атомов.

И в 1913 году Бор предложил постулаты, в которых были предложены условия устойчивости атомов:

1) Электрон может вращаться вокруг ядра, не излучая и не поглощая энергии лишь на так называемых стационарных орбитах. Каждой такой орбите соответствует определенное значение энергии. Чем ближе к ядру находится электрон, тем меньшим запасом энергии он обладает.

2) Переход электрона с одной стационарной орбиты на другую сопровождается излучением или поглощением энергии.

В 1923 — 1924 годах происходило развитие квантовой механики и квантовой химии.

Классическая механика относится к объектам макромира, квантовая механика и квантовая химия к объектам микромира. Квантовая механика и квантовая химия имеют 3 основных отличия.

1) Дискретность вещества и квантование энергии.

2) Корпускулярно — волновой дуализм.

3) Вероятностный характер законов микромира.

Первоначально корпускулярно-волновой дуализм был предписан фотонам — частицам света. Де Бройль использовал уравнение Эйнштейна, которое описывает E = mc 2 энергию электрона как частицы ( m ). С другой стороны он использовал уравнение Планка Е = h l ( l — частота колебаний. Получил уравнение для фотона:

В нем взаимосвязаны характеристики электрона как частицы, как и волны. В последствии это уравнение получило экспериментальное подтверждение .

, где u — скорость электрона.

Таким образом, был получен ответ на вопрос к теории Бора. В момент перехода с одной стационарной орбиты на другую электрон проявляет волновые свойства, т.е. может находиться в любой части пространства вокруг ядра. Т.о. под корпускулярно-волновым дуализмом фотона, электрона и других объектов микромира понимают, как способность проявлять корпускулярные или волновые свойства или и те и другие одновременно в зависимости от внешних условий.

Таким образом, электрон — это частица, если речь идет о дискретности и электрон — это волна, если речь идет о характере его движения. Экспериментально было установлено, что электрон способен к явлению интерференции и дифракции.

В 1927 году немецкий ученый Гейзенберг выдвинул принцип неопределенностей:

D px — неопределенность (ошибка в определении импульса микрочастицы по координате х.

D x — неопределенность положения микрочастицы по этой координате.

Невозможно одновременно с достаточной точностью определить положение и импульс любого микрообъекта. Если с достаточной точностью определить координаты микрообъекта то мы получим большую ошибку в определении его энергии (то есть импульса) и наоборот, если объект имеет определенное значение энергии, то его координаты остаются неопределенными. Это связано с вероятностным характером положения электрона и его энергии.

Следствие 1 : движение электронов в атоме — это движение без траектории, поэтому понятие орбита движения электрона, введенное Бором оказалось неприемлемым. Можно говорить лишь о вероятности нахождения электрона в той или иной части пространства электронного облака — та часть пространства вокруг ядра, в котором наиболее вероятно нахождение электрона. Поэтому электронное облако не имеет резко очерченных границ, границы его размыты.

Следствие 2: электрон в атоме не может упасть на ядро. Падение электрона на ядро сильно уменьшило бы неопределенность его координаты (в 10 5 раз), так как радиус атома 10 -1 нм, а радиус ядра 10 -6 нм. Такое уменьшение неопределенности координаты вызвало бы резкое увеличение неопределенности энергии. Был бы очень большой разброс по значениям энергии. Энергия электрона в атоме водорода 10 2 кДж/моль, а в случае неопределенности энергии, минимальная энергия электрона 10 11 кДж/моль. Разница составляет 10 9 кДж/моль. В этом случае электрон должен был бы покинуть атом.

В 1926 — 1927 годах немецкий ученый Шредингер вывел уравнение, в котором движение электрона в атоме под действием электростатического поля ядра описывается так называемой волновой функцией. y ( x , y , z ) — волновая функция, то есть функция пространственных координат электрона, которые не зависят от времени.

Е — полная энергия электрона;

Еп — потенциальная энергия;

Ñ 2 — сумма вторых частных производных по независимым переменным координатам электрона x , y , z ;

¶ 2 — вторая частная производная.

Решение этого уравнения производят на ЭВМ, что позволяет найти с достаточно высокой точностью энергию и плотность электронного облака на различных расстояниях от ядра. Плотность электронного облака характеризуется плотностью вероятности, то есть ç y 2 ç — модулем квадрата волновой функции. Та часть пространства, где значение y 2 максимальна и будет местом вероятного пребывания электрона. Из решения уравнения вытекает появление целочисленных параметров, ограничивающих энергетические характеристики электрона, получивших название квантовых чисел.

Все квантовые числа имеют целочисленные значения, кроме спинового квантового числа. Любая энергетическая характеристика электрона пропорциональна кванту энергии.

n — главное квантовое число;

l — побочное (орбитальное) квантовое число;

ml — магнитное квантовое число;

ms — спиновое квантовое число;

Главное, орбитальное и магнитное квантовые числа описывают энергетическое состояние электрона в электронном облаке. n характеризует размер электронного облака, l — форму электронного облака, ml — ориентацию электронного облака в пространстве.

Главное квантовое число ( n )

Характеризует запас энергии электрона (энергетический уровень) и размер электронного облака. Может принимать целочисленные значения от 1 до бесконечности (теоретически). Теоретически границы периодической системы являются неопределенными. А практически, в соответствии с существующими границами периодической системы, главное квантовое число может принимать все целочисленные значения от 1 до 7. Исхода из значения n , можно вычислить максимальное число элдектронов на на данном энергетическом уровне по формуле 2n 2 . Число значений n , т.е. число энергетических уровней совпадаетс номером периода в периодической системе:

1 период: n = 1, Nmax = 2 электрона;

2 период: n = 1, 2, Nmax = 8 электрона;

3 период: n = 1, 2, 3, Nmax = 18 электрона;

4 период: n = 1, 2, 3, 4, Nmax = 32 электрона.

Формулу 2 n 2 можно применять для значений n от 1 до 4. Для элементов 6 преиода : n = 5 соответствует предвнешнему энергетическому уровню, n = 6 — последнему уровню. Для этих уровней экспериментально установлены ограничения числа электронов: на предвнешнем Nmax = 18 электронов, на внешнем Nmax = 8 электронов.

Побочное квантовое число ( l )

Характеризует энергетический подуровень электрона. В пределах одного энергетического уровня электроны обладают примерно одинаковым запасом энергии, но их электронные облака различаются по форме, т.е. энергетический уровень разделяется на подуровни.

l может принимать все целочисленные значения от 0 до n — 1.

Количество подуровней равно номеру уровня. Например:

Исходя из значения l , можно рассчитать максимальное количество электронов на энергетическом подуровне по формуле 2(2l +1):

l = 0, Nmax = 2, s-подуровень — 2 электрона;

l = 1, Nmax = 6, p-подуровень — 2 электрона;

l = 2, Nmax = 10, d-подуровень — 2 электрона;

l = 3, Nmax = 14, f-подуровень — 2 электрона.

Максимальное заполнение электронами энергетических уровней и подуровней:

источник

Читайте также:  На скутер нужны права или нет до 50 кубов