Меню Рубрики

Что делать если не понимаешь тригонометрию

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Привет самый умный и самый лучший ученик во вселенной!

Сегодня мы с тобой изучим, как решать одну из разновидностей уравнений – тригонометрические.

И станем на шаг ближе к заветной цели — сдать ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Чтобы освоить тему мы с тобой решим 11 простейших тригонометрических уравнений, 3 чуть более сложных и ты сам решишь еще 3 самостоятельно.

И этого будет достаточно чтобы добавить до 5 баллов из 30 на ЕГЭ!

Услышал новое слово? И, дай догадаюсь, это новое слово «тригонометрические»?

Ну, не беда! Если ты не знаком с этим понятием, повтори следующие разделы и ты будешь знать про них все что нужно!

Ну да ладно, совсем всё и не потребуется, мне важно лишь, чтобы ты знал.

— что такое синус, косинус, тангенс, котангенс.

— какие знаки принимает та или иная тригонометрическая функция в разных четвертях тригонометрической окружности,

— какие из этих функций нечётные, а какая – чётная,

— также совершенно необходимо знание значений тригонометрических функций в основных углах 1 четверти.

Ну да, правила арифметики (как складывать, умножать, делить и вычитать дроби и числа) тоже никто не отменял.

Этого будет вполне достаточно. Если это по ходу моего повествования окажется не так, то не сердись, придётся вспомнить что-нибудь ещё, не упомянутое здесь.

Что же это такое, как ты думаешь? Является ли, например, уравнение

Ты и сам прекрасно понимаешь, что нет! Потому что ни одной тригонометрической функции в нём и в помине нет!

А что насчёт вот такого уравнения?

и опять ответ отрицательный!

Это так называемое уравнение смешанного типа: оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную ( ). Некоторые типы подобных уравнений мы будем с тобой решать в следующих статьях по данной тематике. Но вернёмся к вопросу:

Тригонометрические уравнения — это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции!

Однако в данной статье мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:

Где – некоторое постоянное число. Например: и т. д.

– некоторая функция, зависящая от искомой переменной , например и т. д.

Такие уравнения называются простейшими!

Для этого, как правило, используют аппарат, который я описал в разделе «Формулы тригонометрии»

Так что очень важно, я бы даже сказал, жизненно необходимо научиться решать простейшие уравнения, ибо они – фундамент для решения сложных примеров.

Более того, простейшие тригонометрические уравнения могут встретиться ДО ЧЕТЫРЕХ РАЗ в заданиях ЕГЭ:

это может быть задача B5 (простейшее тригонометрическое уравнение – встречается время от времени),

  • B14 (в конечном счёте сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения – ОЧЕНЬ ЧАСТО ВСТРЕЧАЕТСЯ В ЕГЭ),
  • B12 (задача с прикладным содержанием, которая включает в себя решение тригонометрического уравнения – встречается изредка),
  • С1 (решение тригонометрического уравнения средней сложности – ОЧЕНЬ ЧАСТО, ПРАКТИЧЕСКИ ВСЕГДА!).

Так что, как ты понимаешь, при некоторых раскладах, навык решения данного вида уравнений может добавить в твою копилку аж 5 БАЛЛОВ ЕГЭ из 30!

Два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу. Мы будем решать через формулы.

В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы. Тут решать тебе самому, однако я всё же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.

Вначале мы начнём с «самых простейших» из простейших уравнений вида:

  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:

имеют смысл только тогда, когда

имеют смысл уже при всех значениях .

То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:

Корней не имеют.

Потому что они «не попадают» в промежуток от минус единицы до плюс единицы.

Ещё раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок.

Для остальных же случаев тригонометрические формулы такие как в этой таблице.

На самом деле в этой таблице данных немного больше, чем нужно.

Тебе нужно лишь запомнить первые два её столбца, другие столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений.

Я, допустим, никогда не утруждаю себя их запоминанием, а вывожу ответ из основных формул.

Глядя на таблицу, не возникло ли у тебя пары вопросов?

У меня бы возникли вот какие:

Отвечаю на все по порядку:

В чем уникальная особенность тригонометрических уравнений перед всеми остальными, которые ты изучал?

ОНИ ИМЕЮТ БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ. И число и служит для обозначения этой «бесконечности».

Конечно, вместо можно писать любую другую букву, только не забывай добавить в ответе: – что означает, что – есть любое целое число.

Теперь насчёт арксинуса и других «арок». Вообще, так записываются обратные тригонометрические функции и понимать, скажем, надо как «угол, синус которого равен )

  • – угол, синус которого равен
  • – угол, косинус которого равен
  • – угол, тангенс которого равен
  • – угол, котангенс которого равен
  • Первое — смотрим на то, что стоит под «аркой» – какое там число.
  • Второе – смотрим, какая у нас «арка» – для синуса ли, или для косинуса, тангенса…
  • Третье – смотрим, чему равен угол (1 четверти), для которого синус или косинус или… равен числу, стоящему под аркой.
  • Четвёртое – записываем ответ.
  1. Под аркой число
  2. Арка для функции косинус!
  3. Косинус какого угла равен ?
  4. Угла (или градусов!)
  5. Тогда

Всё ли я сказал про «арки»? Почти что да! Остался вот какой момент.

Лезть в таблицу – как бы не так! Для арок выполняются следующие формулы:

Чтобы запомнить, ориентируемся на обычные тригонометрические функции: грубо говоря, синус и тангенс мы смотрим на тригонометрической окружности по вертикальной оси, а косинус и котангенс – по горизонтальной.

Соответственно, для арксинуса и арктангенса выбираем две четверти по вертикали: первую и четвёртую (минусик выносится из аргумента и ставится перед функцией), а для арккосинуса и арккотангенса – по горизонтали: первую и вторую.

В первой и второй четвертях аргумент уже не может быть отрицательным, поэтому и получаются формулы не совсем похожими.

Ну всё, теперь мы можем приступать к решению простейших уравнений!

11 примеров решения простейших тригонометрических уравнений — прочитай их и ты решишь любое такое уравнение (+ на ЕГЭ!)

Ну что, давай решать вместе!

Снова по определению: Тогда запишу

Пример-ловушка! Невнимательный ученик бы записал ответ в лоб:

Но ты же внимательно читал мои пространные рассуждения, не так ли? И ты ведь не напишешь такую чушь? И ты понял, в чем здесь подвох?

А подвох вот в чем:

И снова по определению (теперь для уравнения другого вида)

Прежде всего вынесем «минус» по правилам для арккосинуса:

Ещё один пример-обманка! Хотя данное уравнение решения имеет, ибо:

  1. Най­ди­те корни урав­не­ния: .
    В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
  2. Най­ди­те корни урав­не­ния: .
    В ответ за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
  3. Ре­ши­те урав­не­ние .
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!

Если бы мы решали уравнение вида:

То мы бы записали вот такой ответ:

Но теперь в роли у нас выступаем вот такое выражение:

Наша с тобою цель – сделать так, чтобы слева стоял просто , без всяких «примесей»!

Давай постепенно от них избавляться!

Вначале уберём знаменатель при : для этого домножим наше равенство на :

Опять решаем, не взирая на сложный аргумент косинуса:

Решаем, не взирая на сложный аргумент тангенса.

Вот, вроде бы ничего сложного, не так ли?

Теперь попробуй самостоятельно решить следующие задачи.

  1. Ре­ши­те урав­не­ние .
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
  2. Ре­ши­те урав­не­ние .
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
  3. Ре­ши­те урав­не­ние .
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.

Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.

Ну что, всё правильно? Ох уж эти гадкие синусы, с ними всегда какие-то беды!

Ну что же, теперь ты умеешь решать простейшие тригонометрические уравнения!

Сверься с ответами:

Наименьший положительный корень получится, если положить , так как , то

Наименьший положительный корень получится при .

Эти знания помогут тебе решать многие задачи, с которыми ты столкнёшься в экзамене.

Если же ты претендуешь на оценку «5», то тебе просто необходимо перейти к чтению статьи для среднего уровня, которая будет посвящена решению более сложных тригонометрических уравнений (задание С1).

В этой статье я опишу решение тригонометрических уравнений более сложного типа и как производить отбор их корней. Здесь я буду опираться на следующие темы:

Рекомендую тебе прежде ознакомиться с содержанием этих двух статей, прежде чем приступать к чтению и разбору этого чтиво. Итак, все готово? Прекрасно. Тогда вперед. Более сложные тригонометрические уравнения – это основа задач С1. В них требуется как решить само уравнение в общем виде, так и найти корни этого уравнения, принадлежащие некоторому заданному промежутку.

Решение тригонометрических уравнений сводится к двум подзадачам:

  1. Решение уравнения
  2. Отбор корней

Следует отметить, что второе требуется не всегда, но все же в большинстве примеров требуется производить отбор. А если же он не требуется, то тебе скорее можно посочувствовать – это значит, что уравнение достаточно сложное само по себе.

Мой опыт разбора задач С1 показывает, что они как правило делятся на вот такие категории.

  1. Уравнения, сводящиеся к разложению на множители.
  2. Уравнения, сводящиеся к виду .
  3. Уравнения, решаемые заменой переменной.
  4. Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности или знаменателя.

Говоря по-простому: если тебе попалось одно из уравнений первых трех типов , то считай, что тебе повезло. Для них как правило дополнительно нужно подобрать корни, принадлежащие некоторому промежутку.

Если же тебе попалось уравнение 4 типа , то тебе повезло меньше: с ним нужно повозиться подольше и повнимательнее, зато довольно часто в нем не требуется дополнительно отбирать корни. Тем не менее данный тип уравнений я буду разбирать в следующей статье, а эту посвящу решению уравнений первых трех типов.

Читайте также:  Перга пчелиная с медом полезные свойства как принимать

Самое важное, что тебе нужно помнить, чтобы решать уравнения этого типа это

Как показывает практика, как правило, этих знаний достаточно. Давай обратимся к примерам:

Пример 1. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители​ с помощью формул приведения и синуса двойного угла

Здесь, как я и обещал, работают формулы приведения:

Тогда мое уравнение примет вот такой вид:

Что дальше? А дальше обещанный мною второй пункт программы – синус двойного угла:

Тогда мое уравнение примет следующую форму:

Недальновидный ученик мог бы сказать: а теперь я сокращу обе части на , получаю простейшее уравнение и радуюсь жизни! И будет горько заблуждаться!

ЗАПОМНИ: НИКОГДА НЕЛЬЗЯ СОКРАЩАТЬ ОБЕ ЧАСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ НА ФУНКЦИЮ, СОДЕРЖАЩУЮ НЕИЗВЕСТНУЮ! ТАКИМ ОБРАЗОМ, ТЫ ТЕРЯЕШЬ КОРНИ!

Так что же делать? Да все просто, переносить все в одну сторону и выносить общий множитель:

Ну вот, на множители разложили, ура! Теперь решаем:

Первое уравнение имеет корни:

Или его еще можно записать вот так:

Ну что, давай отбирать корни:

Вначале поработаем с первой серией (да и проще она, что уж говорить!)

Так как наш промежуток – целиком отрицательный, то нет нужды брать неотрицательные , все равно они дадут неотрицательные корни.

Возьмем , тогда – многовато, не попадает.

Пусть , тогда – снова не попал.

Еще одна попытка — , тогда – есть, попал! Первый корень найден!

Стреляю еще раз: , тогда – еще раз попал!

Ну и еще разок: : — это уже перелет.

Так что из первой серии промежутку принадлежат 2 корня: .

Работаем со второй серией (возводим в степень по правилу):

Таким образом, моему промежутку принадлежат вот такие корни:

Вот по такому алгоритму мы и будем решать все другие примеры. Давай вместе потренируемся еще на одном примере.

Опять пресловутые формулы приведения:

Опять не вздумай сокращать!

Первое уравнение имеет корни:

Теперь снова поиск корней.

Начну со второй серии, мне про нее уже все известно из предыдущего примера! Посмотри и убедись, что корни, принадлежащие промежутку следующие:

Теперь первая серия и она попроще:

Тогда корни будут следующие:

Ну что, техника тебе ясна? Решение тригонометрических уравнений уже не кажется таким сложным? Тогда быстренько прорешай следующие задачки самостоятельно, а потом мы с тобой будем решать другие примеры:

  1. Решите уравнение
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие промежутку .
  2. Ре­ши­те урав­не­ние
    Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку
  3. Ре­ши­те урав­не­ние
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку .

И снова формула приведения:

Начинаем отбор для промежутка

\displaystyle \frac

\displaystyle \frac <3\pi >

\displaystyle \frac<\pi ><4>+\pi =\frac

— перелет — перелет

Довольно хитрая группировка на множители (применю формулу синуса двойного угла):

Это общее решение. Теперь надо отбирать корни. Беда в том, что мы не можем сказать точное значение угла, косинус которого равен одной четверти. Поэтому я не могу просто так избавиться от арккосинуса – вот такая досада!

Что я могу сделать, так это прикинуть, что так как , то \frac<\pi ><3>«> .

Составим таблицу: промежуток:

— недолет Для : — недолет
Для : — попал
— пока еще недолет Для : — перелет
Для : — перелет
— еще недолет Перелет!
— уже перелет

Ну что же, путем мучительных поисков мы пришли к неутешительному выводу о том, что наше уравнение имеет один корень на указанном промежутке: \displaystyle arccos\frac<1><4>-5\pi

Уравнение 3. Проверка самостоятельной работы.

Уравнение пугающего вида. Однако решается довольно просто путем применения формулы синуса двойного угла:

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым и вынесем общие множители:

Ясно, что первое уравнение корней не имеет, а теперь рассмотрим второе:

Вообще я собирался чуть позже остановиться на решении таких уравнений, но раз уж подвернулось, то делать нечего, надо решать.

Данное уравнение решается делением обеих частей на :

Таким образом, наше уравнение имеет единственную серию корней:

Нужно найти те из них, которые принадлежат промежутку: .

Опять построим табличку, как я делал и ранее:

Ну вот, теперь самое время переходить ко второй порции уравнений, тем более, что я уже и так проболтался в чем состоит решение тригонометрических уравнений нового типа. Но не лишним будет повторить, что уравнение вида

Решается делением обеих частей на косинус:

Таким образом, решить уравнение вида

Мы только что рассмотрели, как это происходит на практике. Однако давай решим еще и вот такие примеры:

  1. Ре­ши­те урав­не­ние
    Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .
  2. Ре­ши­те урав­не­ние
    Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку .

Первое – ну совсем простое. Перенесем вправо и применим формулу косинуса двойного угла:

Ага! Уравнение вида: . Делю обе части на

— попал
— попал
— перелет!

Все тоже довольно тривиально: раскроем скобки справа:

Основное тригонометрическое тождество:

— попал
— попал
— перелет!

Ну как тебе техника, не слишком сложна? Я надеюсь, что нет. Сразу можно оговориться: в чистом виде уравнения, которые тут же сводятся к уравнению относительно тангенса, встречаются довольно редко. Как правило, этот переход (деление на косинус) является лишь частью более сложной задачи. Вот тебе пример , чтобы ты мог поупражняться:

  • Ре­ши­те урав­не­ние
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

Уравнение решается сразу же, достаточно поделить обе части на :

— маленький недолет на
— попал!
— снова в яблочко!
— и снова удача на нашей стороне!
— на сей раз уже перелет!

Так или иначе, нам еще предстоит встретиться с уравнениями того вида, которые мы только что разобрали. Однако нам еще рано закругляться: остался еще один «пласт» уравнений, которые мы не разобрали. Итак:

Здесь все прозрачно: смотрим пристально на уравнение, максимально его упрощаем, делаем замену, решаем, делаем обратную замену! На словах все очень легко. Давай посмотрим на деле:

  • Решить уравнение: .
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

Ну что же, здесь замена сама напрашивается к нам в руки!

Тогда наше уравнение превратится вот в такое:

Первое уравнение имеет корни:

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку

Для : — подходит!
Для : — выскочил за интервал
Для : — подходит!
Для : — снова выскочил за интервал!
Выскочил за интервал Выскочил за интервал

Давай вместе разберем чуть более сложный пример :

  • Ре­ши­те урав­не­ние
  • Ука­жи­те корни дан­но­го урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку .

Здесь замена сразу не видна, более того, она не очень очевидна. Давай вначале подумаем: а что мы можем сделать?

Можем, например, представить

Тогда мое уравнение примет вид:

Давай разделим обе части уравнения на :

Внезапно мы с тобой получили квадратное уравнение относительно ! Сделаем замену , тогда получим:

Уравнение имеет следующие корни:

Неприятная вторая серия корней, но ничего не поделаешь! Производим отбор корней на промежутке .

Нам также нужно учитывать, что

— маловато — маловато
— подойдет — подойдет
2,5\pi «> — перебор — перебор

Для закрепления, прежде чем ты сам будешь решать задачи, вот тебе еще упражнение :

  • Ре­ши­те урав­не­ние
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку .

Здесь нужно держать ухо востро: у нас появились знаменатели, которые могут быть нулевыми! Поэтому надо быть особо внимательными к корням!

Прежде всего, мне нужно преобразовать уравнение так, чтобы я мог сделать подходящую замену. Я не могу придумать сейчас ничего лучше, чем переписать тангенс через синус и косинус:

Теперь я перейду от косинуса к синусу по основному тригонометрическому тождеству:

И, наконец, приведу все к общему знаменателю:

Теперь я могу перейти к уравнению:

Теперь все готово для замены:

Однако обрати внимание, что если , то при этом !

Кто от этого страдает? Беда с тангенсом, он не определен, когда косинус равен нулю (происходит деление на ноль).

Таким образом, корни уравнения следующие:

Теперь производим отсев корней на промежутке :

Таким образом, наше уравнение имеет единственный корень на промежутке , и он равен .

Видишь: появление знаменателя (также, как и тангенса, приводит к определенным затруднениям с корнями! Тут нужно быть более внимательным!).

Ну что же, мы с тобой почти закончили разбор тригонометрических уравнений, осталось совсем немного – самостоятельно решить две задачи. Вот они.

  1. Решите уравнение
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .
  2. Ре­ши­те урав­не­ние
    Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

Решил? Не очень сложно? Давай сверяться:

    Работаем по формулам приведения:

    Подставляем в уравнение:

    Перепишем все через косинусы, чтобы удобнее было делать замену:

    Теперь легко сделать замену:

    Ясно, что — посторонний корень, так как уравнение решений не имеет. Тогда:

    Ищем нужные нам корни на промежутке

    Для : — подходит
    Для : — подходит
    Для : — выскочил
    Для : — тем более выскочил


Здесь замена видна сразу:

Тогда или

или

Отбор корней на промежутке :

— подходит! — подходит!
— подходит! — подходит!
— много! — тоже много!

Ну вот, теперь все! Но решение тригонометрических уравнений на этом не заканчивается, за бортом у нас остались самые сложные случаи: когда в уравнениях присутствует иррациональность или разного рода «сложные знаменатели». Как решать подобные задания мы рассмотрим в статье для продвинутого уровня.

В дополнение к рассмотренным в предыдущих двух статьях тригонометрическим уравнениям, рассмотрим еще один класс уравнений, которые требуют еще более внимательного анализа. Данные тригонометрические примеры содержат либо иррациональность, либо знаменатель, что делает их анализ более сложным . Тем не менее ты вполне можешь столкнуться с данными уравнениями в части С экзаменационной работы. Однако нет худа без добра: для таких уравнений уже, как правило, не ставится вопрос о том, какие из его корней принадлежат заданному промежутку. Давай не будем ходить вокруг да около, а сразу тригонометрические примеры.

Решить уравнение и найти те корни, которые принадлежат отрезку .

У нас появляется знаменатель, который не должен быть равен нулю! Тогда решить данное уравнение – это все равно, что решить систему

Решим каждое из уравнений:

Теперь давай посмотрим на серию:

Ясно, что нам не подходит вариант , так как при этом у нас обнуляется знаменатель (см. на формулу корней второго уравнения)

Если же – то все в порядке, и знаменатель не равен нулю! Тогда корни уравнения следующие: , .

Теперь производим отбор корней, принадлежащих промежутку .

— не подходит — подходит
— подходит — подходит
перебор перебор

Видишь, даже появление небольшой помехи в виде знаменателя существенно отразилось на решении уравнения: мы отбросили серию корней, нулящих знаменатель. Еще сложнее может обстоять дело, если тебе попадутся тригонометрические примеры имеющие иррациональность.

Ну хотя бы не надо отбирать корни и то хорошо! Давай вначале решим уравнение, не взирая на иррациональность:

И что, это все? Нет, увы, так было бы слишком просто! Надо помнить, что под корнем могут стоять только неотрицательные числа. Тогда:

Решение этого неравенства:

Теперь осталось выяснить, не попала ли ненароком часть корней первого уравнения туда, где не выполяется неравенство .

Для этого можно опять воспользоваться таблицей:

Таким образом, у меня «выпал» один из корней! Он получается, если положить . Тогда ответ можно записать в следующем виде:

Видишь, корень требует еще более пристального внимания! Усложняем: пусть теперь у меня под корнем стоит тригонометрическая функция.

Как и раньше: вначале решим каждое отдельно, а потом подумаем, что же мы наделали.

Теперь самое сложное – выяснить, не получаются ли отрицательные значения под арифметическим корнем, если мы подставим туда корни из первого уравнения:

Число надо понимать как радианы. Так как радиана – это примерно градусов, то радианы – порядка градусов. Это угол второй четверти. Косинус второй четверти имеет какой знак? Минус. А синус? Плюс. Так что можно сказать про выражение:

А значит – не является корнем уравнения.

Сравним это число с нулем.

Котангенс – функция убывающая в 1 четверти (чем меньше аргумент, тем больше котангенс). радианы – это примерно градусов. В то же время

Может ли быть еще сложнее? Пожалуйста! Будет труднее, если под корнем по-прежнему тригонометрическая функция, а вторая часть уравнения – снова тригонометрическая функция.

Чем больше тригонометрических примеров, тем лучше, смотри дальше:

– корень не годится, ввиду ограниченности косинуса

В то же время по определению корня:

Надо вспомнить единичную окружность: а именно те четверти, где синус меньше нуля. Какие это четверти? Третья и четвертая. Тогда нас будут интересовать те решения первого уравнения, которые лежат в третьей или четвертой четверти.

Первая серия дает корни, лежащие на пересечении третьей и четвертой четверти. Вторая же серия – ей диаметрально противоположная – и порождает корни, лежащие на границе первой и второй четверти. Поэтому эта серия нам не подходит.

И опять тригонометрические примеры с «трудной иррациональностью» . Мало того, что у нас снова под корнем тригонометрическая функция, так теперь она еще и в знаменателе!

Ну, ничего не поделаешь – поступаем как и раньше.

Теперь работаем со знаменателем:

Я не хочу решать тригонометрическое неравенство, а потому поступлю хитро: возьму и подставлю в неравенство мои серии корней:

так как , то все углы вида лежат в четвертой четверти. И снова сакральный вопрос: каков знак синуса в четвертой четверти? Отрицательный. Тогда неравенство

В какой четверти лежит угол ? Это угол второй четверти. Тогда все углы – снова углы второй четверти. Синус там положительный. Как раз то, что надо! Значит, серия:

Точно так же разбираемся со второй серией корней:

Подставляем в наше неравенство:

– углы первой четверти. Синус там положительный, значит серия подходит. Теперь если – нечетное , то:

Ну вот, теперь записываем ответ!

Ну вот, это был, пожалуй, наиболее трудоемкий случай. Теперь я предлагаю тебе задачи для самостоятельного решения.


    Первое уравнение:
    или
    ОДЗ корня:

    Второе уравнение:

    Отбор корней, которые принадлежат промежутку

    Принадлежит?
    \displaystyle \pm \frac <\pi >

    да
    нет
    нет

или
или
Но

Рассмотрим: . Если – четное, то
– не подходит!
Если – нечетное, : – подходит!
Значит, наше уравнение имеет такие серии корней:
или
Отбор корней на промежутке :

— не подходит — подходит
— подходит — много
— подходит много
  • или
    Так как , то при тангенс не определен. Тут же отбрасываем эту серию корней!

    Вторая часть:

    В то же время по ОДЗ требуется, чтобы

    Проверяем найденные в первом уравнении корни:

    Если знак :

    – углы первой четверти, где тангенс положительный. Не подходит!
    Если знак :

    – угол четвертой четверти. Там тангенс отрицательный. Подходит. Записываем ответ:

  • Мы вместе разобрали в этой статье сложные тригонометрические примеры, но тебе стоит прорешать уравнения самому.

    Тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.

    Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

    Первый способ — с использованием формул.

    Второй способ — через тригонометрическую окружность.

    Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

    Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

    Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

    Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

    Проблема в том, что этого может не хватить…

    Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

    Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

    Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

    Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

    Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

    НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

    На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

    Тебе нужно будет решать задачи на время.

    И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

    Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

    Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

    Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

    Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

    1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье — Купить статью — 299 руб
    2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника — Купить учебник — 899 руб

    Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

    Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

    И в заключение.

    Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

    “Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

    источник

    Страшный зверь по имени «Тригонометрия» становится совсем ручным и послушным, если относиться к нему с пониманием. А для этого его нужно вырастить буквально с «младенчества».

    Типичные ошибки:

    1) некоторые уч-ся плохо понимают, что такое тригонометрическая окружность, как с нею связаны тригонометрические функции;

    2) не владеют умением распознавать разные типы тригонометрических уравнений и применять нужные алгоритмы для их решения, выбирать решения уравнения, принадлежащие заданному интервалу;

    3) допускают ошибки при определении знаков тригонометрических функций;

    4) неправильно наносят точки поворота на целое число радиан;

    5) пользоваться формулами приведения, не заучивая их,

    6) находить значения тригонометрических функций некоторых углов не только первой четверти,

    7) вычислять значения тригонометрических выражений ( незнание формул или неумение их применять);

    8) что такое обратные функции и как их находить;

    Методические рекомендации по предупреждению ошибок:

    1. Типичная ошибка: при нахождении одной из тригонометрических функций через заданное значение другой не учитываются знаки тригонометрических функций в зависимости от положения угла.

    1. Упражнение. Найти ctg α, если sin α = 0,8.

    Комментарий: здесь ошибка заключается в том, что при извлечении корня мы можем получить как положительное значение, так и отрицательное, то есть ctg α = ± 3/4, поэтому необходимо искать решение отдельно в каждой четверти.

    Так как sin α > 0, то α может находиться только в I или во II четверти, значит:

    1) если α – угол первой четверти, то ctg α = 3/4;

    2) если α – угол второй четверти, то ctg α = – 3/4.

    Комментарий: При объяснении данной темы необходимо как можно больше внимания уделять единичной окружности, работе с ней. Учащиеся должны четко усвоить, что от того, в какой четверти может находиться искомая функция, зависит не только значение, но и знак функции, которую находим.

    Во избежание подобных ошибок я использую многократное повторение и решение подобных упражнений, вырабатываю у учащихся навык работы с единичной окружностью.

    2.При упрощении тригонометрических выражений необходимо не только хорошо знать тригонометрические формулы, но и владеть навыками преобразования алгебраических выражений: правилами раскрытия скобок и заключения в скобки, формулами сокращенного умножения и т.п. Именно недостаточное знание формул курса алгебры провоцирует неправильное решение упражнений.

    Пример. Упростить выражение: .

    Решение: Перепишем выражение в виде: ·(1-

    Здесь мы представили дробь в виде произведения, затем первый множитель заменили, используя формулу, и получили произведение суммы двух выражений на неполный квадрат разности этих выражений – формулу суммы кубов двух выражений.

    Комментарий: Трудности и ошибки при упрощении данного выражения возникают именно из-за незнания, либо плохого владения умением применить формулу суммы кубов двух выражений, а также неумения преобразовать дробь в произведение. Поэтому необходимо постоянное повторение формул с помощью упражнений для устного счета, выполнения тестовых заданий и т.п.

    3.При доказательстве тригонометрических тождеств учащиеся из-за незнания некоторых тригонометрических формул «придумывают свои», неправильно выполняют преобразования: раскрывают скобки либо выносят за скобки, производят неправильное сокращение дробей, а также не учитывают область допустимых значений.

    Пример: Доказать тождество:

    В данном тождестве некоторые учащиеся, например, производили неверное сокращение синусов, что свидетельствует о незнании правил сокращения дробей, а также не учитывали область допустимых значений.

    Комментарии: перед изучением темы разрабатываю комплекс устных, тестовых и письменных упражнений с целью минимализации подобных ошибок. При объяснении материала акцентирую внимание учащихся на том, что тождество справедливо лишь при допустимых значениях переменных.

    4. В тригонометрических уравнениях, как и в уравнениях других видов, причиной многих ошибок становится невнимательное отношение к области допустимых значений неизвестного, ошибки по причине невнимательного отношения ко всем заданным в уравнении условиям; учащиеся также часто забывают, что сокращение всех членов уравнения на функцию, содержащую неизвестное, нередко приводит к потере корней уравнения. Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке. Следует не забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических уравнений часто удобно использовать единичную окружность.

    Комментарий: этих и других ошибок можно избежать путем многократного решения однотипных уравнений. Нужно также учить не формальному подходу к решению уравнений, а рассуждать, объяснять ход своего решения.

    Пример. Решить уравнение cos x (2sin 2x – 1) = cos x sin 2x.

    cos x (2sin 2x – 1) – cos x sin 2x = 0;

    cos x (2sin 2x – 1 – sin 2x) = 0;

    1) cos x = 0; x = π/2 + πn, n ∈ Z;

    2) sin 2x – 1 = 0; sin 2x = 1; 2x = π/2 + 2πk, k ∈ Z; x = π/4 + πk, k ∈ Z.

    Ответ: π/2 + πn, n ∈ Z; π/4 + πk, k ∈ Z.

    Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке. Следует не забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических уравнений часто удобно использовать единичную окружность.

    Пример. Решить уравнение sin x + cos x = 1.

    sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 1;

    Комментарий. Так как при решении обе части исходного уравнения возводили в квадрат, а его левая часть может быть как положительной, так и отрицательной величиной, могли появиться посторонние корни, следовательно, проверка обязательна.

    Дополню приведенное выше решение следующими рассуждениями.

    Значениям x = πn/2, n ∈ Z соответствуют четыре точки, отмеченные на единичной окружности. Причем зеленые точки соответствуют корням уравнения, а красные – посторонним корням.

    Так как зеленой точке на Ох соответствуют значения n = 4k, где k ∈ Z, а на оси Оу – значения n = 4m + 1, гдеm ∈ Z, то

    Ответ: 2πk, k ∈ Z и π/2 + 2πm, m ∈ Z.

    5. Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися. Поэтому стараюсь последовательно, от простого к сложному, формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

    Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

    Особый упор делаю на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

    Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств ввожу , используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учу решать тригонометрические неравенства на окружности.

    Пример. Решите неравенство

    Решение.Все решения данного неравенства являются решениями двойного неравенства откуда получаем, что Ответ:

    Комментарий. Здесь при решении тригонометрических неравенств допускались ошибки, связанные с неправильным чтением числовых промежутков, изображенных на единичной окружности.

    источник

    Еще в 1905 г. русские читатели могли прочесть в книге Уильяма Джеймса “Психология” его рассуждения о том, “почему зубрение представляет такой дурной способ учения?”

    “Знания, приобретенные путем простого зубрения, почти неизбежно забываются совершенно бесследно. Наоборот, умственный материал, набираемый памятью постепенно, день за днем, в связи с различными контекстами, связанный ассоциативно с другими внешними событиями и неоднократно подвергший обсуждению, образует такую систему, вступает в такую связь с остальными сторонами нашего интеллекта, легко возобновляется в памяти массою внешних поводов, что остается надолго прочным приобретением”.

    С тех пор прошло более 100 лет, а слова эти поразительно остаются злободневными. В этом каждодневно убеждаешься, занимаясь со школьниками. Массовые пробелы в знаниях настолько велики, что можно утверждать: школьный курс математики в дидактическом и психологическом отношениях – не система, а некое устройство, поощряющее кратковременную память и нисколько не заботиться о памяти долговременной.

    Знать школьный курс математики – значит владеть материалом каждого из направлений математики, быть в состоянии актуализировать любое из них в любое время. Чтобы достичь этого, нужно систематически обращаться каждому из них, что порой не всегда возможно из-за сильной загруженности на уроке.

    Есть другой путь долговременного запоминания фактов и формул – это опорные сигналы.

    Тригонометрия – один из больших разделов школьной математики, изучаемой в курсе геометрии 8, 9 классов и в курсе алгебры 9 класса, алгебры и начал анализа в 10 классе.

    Самый большой объем изучаемого материала по тригонометрии приходится на долю 10 класса. Большую часть этого материала из тригонометрии можно изучить и запомнить на тригонометрическом круге (окружность единичного радиуса с центром в начале прямоугольной системы координат). Приложение1.ppt

    Это следующие понятия тригонометрии:

    • определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла;
    • радианное измерение углов;
    • область определения и область значений тригонометрических функций
    • значения тригонометрических функций для некоторых значений числового и углового аргумента;
    • периодичность тригонометрических функций;
    • четность и нечетность тригонометрических функций;
    • возрастание и убывание тригонометрических функций;
    • формулы приведения;
    • значения обратных тригонометрических функций;
    • решение простейших тригонометрических уравнений;
    • решение простейших неравенств;
    • основные формулы тригонометрии.

    Рассмотрим изучение этих понятий на тригонометрическом круге.

    1) Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

    После введения понятия тригонометрического круга (окружность единичного радиуса с центром в начале координат), начального радиуса (радиус окружности по направлению оси Ох), угла поворота, учащиеся самостоятельно получают определения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса на тригонометрическом круге, используя определения из курса геометрии, то есть, рассматривая прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 1.

    Косинусом угла называется абсцисса точки на окружности при повороте начального радиуса на данный угол.

    Синусом угла называется ордината точки на окружности при повороте начального радиуса на данный угол.

    2) Радианное измерение углов на тригонометрическом круге.

    После введения радианной меры угла (1 радиан – это центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности), учащиеся делают вывод, что радианное измерение угла – это числовое значение угла поворота на окружности, равное длине соответствующей дуги при повороте начального радиуса на заданный угол. .

    Тригонометрический круг разделен на 12 равных частей диаметрами окружности. Зная, что угол радианам, можно определить радианное измерение для углов кратных .

    А радианные измерения углов, кратных, получаются аналогично:

    3) Область определения и область значений тригонометрических функций.

    Будет ли соответствие углов поворота и значений координат точки на окружности функцией?

    Каждому углу поворота соответствует единственная точка на окружности, значит данное соответствие – функция.

    Получаем функции

    На тригонометрическом круге видно, что область определения функций – множество всех действительных чисел, а область значений — .

    Введем понятия линий тангенсов и котангенсов на тригонометрическом круге.

    1) Пусть Введем вспомогательную прямую, параллельную оси Оу, на которой определяются тангенсы для любого числового аргумента.

    2) Аналогично получаем линию котангенсов. Пусть у=1, тогда . Значит, значения котангенса определяются на прямой, параллельной оси Ох.

    На тригонометрическом круге без труда можно определить область определения и область значений тригонометрических функций:

    для тангенса —

    для котангенса —

    4) Значения тригонометрических функций на тригонометрическом круге.

    Катет , противолежащий углу в равен половине гипотенузы, то есть Другой катет по теореме Пифагора:

    Значит по определению синуса, косинуса, тангенса, котангенса можно определить значения для углов кратных или радианам. Значения синуса определяются по оси Оу, косинуса по оси Ох, а значения тангенса и котангенса можно определить по дополнительным осям, параллельным осям Оу и Ох соответственно.

    Табличные значения синуса и косинуса расположены на соответствующих осях следующим образом:

    Табличные значения тангенса и котангенса —

    5) Периодичность тригонометрических функций.

    На тригонометрическом круге видно, что значения синуса, косинуса повторяются через каждые радиана, а тангенса и котангенса – через радиан.

    6)Четность и нечетность тригонометрических функций.

    Это свойство можно получить, сравнивая значения положительных и им противоположных углов поворота тригонометрических функций. Получаем, что

    Значит, косинус – четная функция, все остальные функции – нечетные.

    7) Возрастание и убывание тригонометрических функций.

    По тригонометрическому кругу видно, что функция синус возрастает и убывает

    Аналогично рассуждая, получаем промежутки возрастания и убывания функций косинуса, тангенса и котангенса.

    За угол берем меньшее значение угла на тригонометрическом круге. Все формулы получаются в сравнении значений тригонометрических функций на катетах выделенных прямоугольных треугольников.

    Алгоритм применения формул приведения:

    1) Определить знак функции при повороте на заданный угол.

    При повороте на угол функция сохраняется, при повороте на угол — целое, нечетное число, получается кофункция (

    9) Значения обратных тригонометрических функций.

    Введем обратные функции для тригонометрических функций, пользуясь определением функции.

    Каждому значению синуса, косинуса, тангенса и котангенса на тригонометрическом круге соответствует только одно значение угла поворота. Значит, для функции область определения , область значений — Для функции область определения — , область значений — . Аналогично получаем область определения и область значений обратных функций для косинуса и котангенса.

    Алгоритм нахождения значений обратных тригонометрических функций:

    1) нахождение на соответствующей оси значения аргумента обратной тригонометрической функции;

    2) нахождение угла поворота начального радиуса с учетом области значений обратной тригонометрической функции.

    Например:

    10) Решение простейших уравнений на тригонометрическом круге.

    Чтобы решить уравнение вида , найдем точки на окружности, ординаты которых равны и запишем соответствующие углы с учетом периода функции.

    Для уравнения , найдем точки на окружности, абсциссы которых равны и запишем соответствующие углы с учетом периода функции.

    Аналогично для уравнений вида Значения определяются на линиях тангенсов и котангенсов и записываются соответствующие углы поворота.

    Чтобы решить неравенства вида , необходимо найти точки на окружности с ординатой и прочитать соответствующее неравенство против часовой стрелки с учетом периода функции.

    Чтобы решить неравенства вида , необходимо найти точки на окружности с абсциссой и прочитать соответствующее неравенство против часовой стрелки с учетом периода функции.

    Чтобы решить неравенства вида , необходимо найти точку на линии тангенсов с координатой и прочитать соответствующее неравенство против часовой стрелки с учетом области определения и периода функции.

    Аналогично для неравенств с котангенсом.

    Необходимо практиковать чтение промежутков на тригонометрическом круге, тогда решения неравенств определяются безошибочно.

    12) Основные формулы тригонометрии.

    1) Основные тригонометрические тождества.

    Очевидны выводы формул которые получаются в прямоугольном треугольнике на тригонометрическом круге.

    2) Формулы сложения выводятся с использованием скалярного произведения векторов начального и “конечного” радиусов.

    Другие формулы сложения получаются с использованием предыдущей, формул приведения и свойств четности и нечетности тригонометрических функций.

    Почти все формулы тригонометрии являются следствиями этих основных формул.

    Все понятия и формулы тригонометрии получают сами ученики под четким руководством учителя с помощью тригонометрического круга. В дальнейшем этот “круг” будет служить для них опорным сигналом или внешним фактором для воспроизведения в памяти понятий и формул тригонометрии.

    Изучение тригонометрии на тригонометрическом круге способствует:

    • выбору оптимального для данного урока стиль общения, организации учебного сотрудничества;
    • целевые ориентиры урока становятся личностно значимыми для каждого ученика;
    • новой материал опирается на личный опыт действия, мышления, ощущения учащегося;
    • урок включает в себя различные формы работы и способы получения и усвоения знаний; присутствуют элементы взаимо- и самообучения; само- и взаимоконтроля;
    • имеет место быстрое реагирование на непонимание и ошибку (совместное обсуждение, опоры-подсказки, взаимоконсультации).

    источник