Меню

Чему равны все углы ромба

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\) .

Свойства ромба:

\(\blacktriangleright\) Те же, что и у параллелограмма:

\(\sim\) Противоположные стороны попарно равны;

\(\sim\) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

\(\sim\) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна \(180^\circ\) ;

\(\blacktriangleright\) Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Признаки ромба.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – ромб:

\(\blacktriangleright\) все стороны равны;

\(\blacktriangleright\) диагонали взаимно перпендикулярны и он является параллелограммом;

\(\blacktriangleright\) диагонали являются биссектрисами углов и он является параллелограммом.

Площадь ромба

1. Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула площади. Таким образом, площадь ромба равна произведению высоты на основание, к которому эта высота проведена.

2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

В ромбе \(ABCD\) : \(\angle ACD = 26^<\circ>\) . Найдите \(\angle ABD\) . Ответ дайте в градусах.

В ромбе диагонали перпендикулярны, тогда \(\angle CDB = 90^ <\circ>– \angle ACD = 64^<\circ>\) .

\(BC = CD\) , тогда \(\angle CBD = \angle CDB = 64^<\circ>\) .

Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то \(\angle ABD = \angle CBD = 64^<\circ>\) .

Найдите большую диагональ ромба \(ABCD\) , если \(AB = 2\sqrt<3>\) , а острый угол равен половине тупого.

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^<\circ>\) , то сумма острого и тупого углов ромба равна \(180^<\circ>\) .

Так как в данном ромбе острый угол равен половине тупого, то острый угол ромба \(ABCD\) равен \(60^<\circ>\) .

Треугольник \(ABD\) – равнобедренный, один из углов которого равен \(60^<\circ>\) , тогда треугольник \(ABD\) – равносторонний и \(BD = 2\sqrt<3>\) .

Пусть \(O\) – точка пересечения диагоналей ромба, тогда \(OD = 0,5 BD = \sqrt<3>\) , следовательно, по теореме Пифагора находим: \(AO^2 + OD^2 = AD^2\) , тогда \(AO^2 + 3 = 12\) , откуда находим \(AO = 3\) . В ромбе, как и в любом другом параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, \(AC = 6\) .

Острый угол ромба \(ABCD\) равен \(60^<\circ>\) , одна из его сторон равна 10. Найдите меньшую из диагоналей этого ромба.

Пусть \(\angle A = 60^<\circ>\) . В ромбе все стороны равны, тогда треугольник \(ABD\) – равнобедренный, у которого один из углов равен \(60^<\circ>\) , следовательно, треугольник \(ABD\) – равносторонний и \(BD = 10\) .

Треугольник \(ABC\) – тупоугольный. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда \(AC > AB = BD\) , значит, \(BD\) – меньшая из диагоналей.

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно \(3\) , а острый угол ромба равен \(60^\circ\) . Найдите большую диагональ ромба.

Пусть в ромбе \(ABCD\) : \(O\) – точка пересечения диагоналей, \(OH\) – расстояние до стороны \(AB\) , \(\angle DAB = 60^\circ\) , тогда \(\angle OAB = 30^\circ\) . Получаем, что \(OH\) – катет лежащий напротив угла в \(30^\circ\) , значит \(AO = 2\cdot OH = 6\) . Т.к. \(AC\) и есть большая диагональ, то \(AC = 2\cdot AO = 12\) .

Сторона ромба равна \(4\) . Расстояние от точки пересечения его диагоналей до одной из сторон равно \(1\) . Найдите площадь ромба.

Пусть в ромбе \(ABCD\) : \(O\) – точка пересечения диагоналей, \(OH\) – расстояние до стороны \(AB\) , тогда \(S_ <\triangle ABO>= \frac<1><2>\cdot 1 \cdot 4 = 2\) . Диагонали ромба делят его на \(4\) равных прямоугольных треугольника \(\Rightarrow\) \(S_ = 4\cdot 2 = 8\) .

Периметр ромба равен \(40\) , а диагонали относятся, как \(3:4\) . Найдите площадь ромба.

Половины диагоналей находятся в таком же отношении, как и диагонали, то есть в отношении \(3:4\) . Зная периметр, найдем сторону ромба: \(40 : 4 = 10\) . Сторона и половинки диагоналей образуют прямоугольный треугольник \(AOB\) .

Пусть \(AO=4x\) , \(BO=3x\) .
Тогда по теореме Пифагора: \((3x)^2 + (4x)^2 = 10^2\) \(\Rightarrow\) \(25x^2 = 100\) \(\Rightarrow\) \(x^2 = 4\) \(\Rightarrow\) \(x = 2\) . Диагонали равны \(BD=2BO=12\) и \(AC=2AO=16\) \(\Rightarrow\) \(S_ = \frac<1><2>\cdot12\cdot16 = 96\) .

Во сколько раз отличаются площади ромбов, имеющие по равному углу, у которых стороны относятся как \(3:1\) ?

Пусть \(\angle B\) и \(\angle B_1\) – равные углы ромбов. Так как стороны ромбов относятся как \(3:1\) , то можно обозначить их за \(3x\) и \(x\) соответственно.

Тогда и \(\angle D=\angle D_1\) (так как у ромба противоположные углы равны). Следовательно, \(\triangle ABC\sim \triangle A_1B_1C_1\) и \(\triangle ADC\sim\triangle A_1D_1C_1\) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем коэффициент подобия этих треугольников равен \(3\) . Следовательно, их площади относятся как \(9:1\) . А так как \(S_+S_=S_\) и \(S_+S_=S_\) , то \(S_1:S_2=9:1\) .

Геометрические задачи на тему «Свойства ромба» в обязательном порядке включаются в ЕГЭ по математике. Причем, в зависимости от условия задания, учащийся может давать как краткий, так и развернутый ответ. Именно поэтому на этапе подготовки к сдаче ЕГЭ школьникам непременно стоит понять принцип решения задач на применение свойств и признаков ромба.

Еще раз повторить данную тему и восполнить пробелы в знаниях вам поможет образовательный проект «Школково». С помощью нашего сайта можно легко и эффективно подготовиться к ЕГЭ по математике.

Чтобы успешно справляться с геометрическими заданиями, учащимся старших классов стоит повторить базовые понятия и определения: свойства углов ромба и других четырехугольников, признаки этой фигуры, а также формулу для нахождения ее площади. Данный материал представлен в разделе «Теоретическая справка» на сайте «Школково». Информация, которую подготовили наши специалисты, изложена в максимально доступной форме.

Повторив основные свойства диагоналей ромба, а также его углов и биссектрис, учащиеся могут попрактиковаться в выполнении упражнений. Большая подборка заданий по данной теме, а также по решению нестандартных задач по математике представлена в разделе «Каталог». Найти правильный ответ выпускники смогут, предварительно освежив в памяти свойства биссектрис ромба, в также углов и диагоналей этой фигуры. Подробный алгоритм решения каждой задачи прописан нашими специалистами.

Выполнять простые и более сложные задания по теме «Ромб и его свойства», а также на нахождение площади квадрата на этапе подготовки к ЕГЭ по математике школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем быстро найти это задание и, к примеру, обсудить алгоритм его решения со школьным преподавателем.

источник

Рис.1 Рис.2

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):

a = d 1
√ 2 + 2 cosα
a = d 2
√ 2 – 2 cosβ

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

a = d 1
2 cos ( α /2)
a = d 1
2 sin ( β /2)

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

a = d 2
2 cos ( β /2)
a = d 2
2 sin ( α /2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

d 1 = 2S
d 2
d 2 = 2S
d 1

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

d 1 = 2 r
sin ( α /2)
d 2 = 2 r
sin ( β /2)

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

4. Формула площади ромба через две диагонали:

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):

S = 1 d 1 2 · tg ( α /2)
2
S = 1 d 2 2 · tg ( β /2)
2

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

r = a · sinα
2
r = a · sinβ
2

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

r = d 1 · sin ( α /2)
2
r = d 2 · sin ( β /2)
2

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

r = d 1 · d 2
2√ d 1 2 + d 2 2

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

источник

По определению, ромб — это параллелограмм, все стороны которого равны.

  1. Диагонали ромба перпендикулярны.
  2. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Воспользуемся свойствами ромба для решения задач.

1 . Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны , а острый угол равен .

Проведите меньшую диагональ ромба и рассмотрите треугольник . Поскольку , а угол равен , треугольник — равносторонний. Следовательно, меньшая диагональ ромба равна .

1 . Найдите высоту ромба, сторона которого равна , а острый угол равен ?.

Один из подходов к решению задач по геометрии — метод площадей. Он состоит в том, что площадь фигуры выражается двумя разными способами, а затем из полученного уравнения находится неизвестная величина.

Пусть — сторона ромба. Тогда

Отсюда .

2 . Диагонали ромба относятся как . Периметр ромба равен . Найдите высоту ромба.

Пусть диагонали ромба равны и .
Диагонали ромба перпендикулярны, значит, треугольник — прямоугольный.
По теореме Пифагора
,
,
Отсюда .
Поскольку периметр равен ,

, , а диагонали ромба равны и .

Нам надо найти высоту ромба.
Давайте запишем, чему равна площадь ромба. С одной стороны, . С другой стороны, площадь ромба складывается из площадей двух равных треугольников и , то есть равна .
Отсюда .

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Обучающее видео
БЕСПЛАТНО

Техническая поддержка:
dvd@ege-study.ru (круглосуточно)

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Все поля обязательны для заполнения

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса – от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум – репетитор-профессионал Анна Малкова.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля – до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги – 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» – всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

источник

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Сложное слово « параллелограмм »? А скрывается за ним очень простая фигура.

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны

Ну, то есть, взяли две параллельные прямые:

И вот внутри – параллелограмм !

Какие же есть свойства у параллелограмма?

То есть, чем можно пользоваться, если в задаче дан параллелограмм ?

На этот вопрос отвечает следующая теорема:

  1. Противоположные стороны равны
  2. Противоположные углы равны
  3. Диагонали делятся пополам точкой пересечения

Давай нарисуем все подробно.

Что означает первый пункт теоремы ? А то, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то непременно

и
.

Второй пункт означает, что если ЕСТЬ параллелограмм , то, опять же, непременно :

и

Ну, и наконец, третий пункт означает, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то обязательно:

и

Видишь, какое богатство выбора? Что же использовать в задаче? Попробуй ориентироваться на вопрос задачи, или просто пробуй все по очереди – какой-нибудь «ключик» да подойдёт.

А теперь зададимся другим вопросом: а как узнать параллелограмм «в лицо»? Что такое должно случиться с четырехугольником, чтобы мы имели право выдать ему «звание» параллелограмма?

На этот вопрос отвечает несколько признаков параллелограмма.

  • Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это – параллелограмм.
; – параллелограмм.
  • Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.
; – параллелограмм .
  • Признак 3. Если у четырехугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.
; – параллелограмм .
  • Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.
; – параллелограмм .

Обрати внимание : если ты нашёл хотя бы один признак в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Думаю, что для тебя вовсе не явится новостью то, что

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Первый вопрос: а является ли прямоугольник параллелограммом?

Конечно, является! Ведь у него и – помнишь, наш признак 3 ?

А отсюда, конечно же, следует, что у прямоугольника, как и у всякого параллелограмма и , а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Но есть у прямоугольника и одно отличительное свойство.

Диагонали прямоугольника равны: .

Почему это свойство отличительное? Потому что ни у какого другого параллелограмма не бывает равных диагоналей. Сформулируем более чётко.

Если у параллелограмма равны диагонали, то это – прямоугольник.

Обрати внимание : чтобы стать прямоугольником, четырехугольнику нужно сперва стать параллелограммом, а потом уже предъявлять равенство диагоналей.

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм , потому что у него и (вспоминаем наш признак 2 ).

И снова, раз ромб – параллелограмм , то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

  • Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.
(если ты забыл, напомню: – значок перпендикулярности)
  • Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Как и в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные , то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм , а именно ромб.

  • Признак 2. Если в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

И снова обрати внимание : должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм . Убедись:

разве это ромб ?

Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ – биссектриса углов и . Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому – НЕ параллелограмм , а значит, и НЕ ромб .

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

У квадрата угол между диагональю и стороной равен .

Понятно почему? Квадрат – ромб – биссектриса угла A, который равен . Значит делит (да и тоже) на два угла по .

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Если сторона квадрата равна , то его диагональ равна .

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к .

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Внимание! Слова «свойства параллелограмма» означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.

1) Противоположные стороны равны
2) Противоположные углы равны
3) Диагонали делятся пополам точкой пересечения

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Давай проведём диагональ . Что получится?
Два треугольника: и .
  • как накрест лежащие
  • как накрест лежащие.

Значит, (по II признаку: и – общая.)

Ну вот, а раз , то и – всё! – доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь (смотри на картинку), то есть , а именно потому, что .

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

Мы уже выяснили, что . Давай снова отметим равные накрест лежащие углы (посмотри и убедись, что все верно).

И теперь видим, что – по II признаку ( угла и сторона «между» ними).

Значит, (напротив углов и ) и (напротив углов и соответственно).

Свойства доказали! Перейдём к признакам.

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос “как узнать?”, что фигура является параллелограммом.

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.
; – параллелограмм.

Почему? Хорошо бы понять, почему – этого хватит. Но смотри:

по 1 признаку: , – общая и как накрест лежащие при параллельных и и секущей .
то (лежат напротив и соответственно). Но это значит, что ( и – накрест лежащие и оказались равны).

Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.
, – параллелограмм.

Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ .

Теперь просто по трём сторонам.
и , то есть – параллелограмм.
Признак 3. Если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.
, – параллелограмм.

И тоже несложно. Но …по-другому!

(ведь – четырехугольник, а , по условию).

Значит, . Ух! Но и – внутренние односторонние при секущей !

Поэтому тот факт, что означает, что .

А если посмотришь с другой стороны, то и – внутренние односторонние при секущей ! И поэтому .

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.
; – параллелограмм.
, как вертикальные , , и .

Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Пункт 1) совсем очевидный – ведь просто выполнен признак 3 ( )

А пункт 2) – очень важный. Итак, докажем, что

диагонали прямоугольника равны.
Раз прямоугольник – это параллелограмм, то .

А значит, по двум катетам ( и – общий).

Ну вот, раз треугольники и равны, то у них и гипотенузы и тоже равны.

И представь себе, равенство диагоналей – отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^

Если у параллелограмма равны диагонали, то это прямоугольник.
– параллелограмм
– по условию.
– теперь уже по трём сторонам.

Значит, (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что – параллелограмм, и поэтому .

Значит, . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по ! Ведь в сумме-то они должны давать !

Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник.

Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах! Не любой четырехугольник с равными диагоналями – прямоугольник, а только параллелограмм!

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него и (Вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Почему? Ну, раз ромб – это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.

Поэтому по трём сторонам ( , – общая, ).И значит, , но они смежные!
и .
Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Из-за того, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, а все стороны ромба равны, весь ромб оказался разделён диагоналями на четыре равных треугольника: .

Иными словами, диагонали и оказались биссектрисами углов ромба.

Как в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, каждые из них является ещё и признаком ромба.

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны то это – ромб.
– ромб
– параллелограмм .
Но ещё дано, что
– по двум катетам.
И значит, – и всё!
Признак 2. Если в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.
, так как – параллелограмм. Но ещё дано, что – биссектриса углов и .

Значит, и оба этих треугольника – равнобедренные.

Значит, , то есть – ромб.

И снова обрати внимание! Не всякий четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями – ромб.

Это вовсе не ромб, хоть его диагонали и перпендикулярны.

Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

У квадрата угол между диагональю и стороной равен .

Понятно, почему? Квадрат – ромб – биссектриса угла , который равен . Значит делит (да и тоже) на два угла по .

Диагонали квадрата – равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Если сторона квадрата равна , то его диагональ равна .

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к .

  • Параллелограмм – четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
  1. Противоположные стороны равны: , .
  2. Противоположные углы равны: , .
  3. Углы при одной стороне составляют в сумме : , , , .
  4. Диагонали делятся точкой пересечения пополам: .
  • Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые: .
  1. Диагонали прямоугольника равны: .
  2. Прямоугольник – параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).
  • Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой: .
  1. Диагонали ромба перпендикулярны: .
  2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: ; ; ; .
  3. Ромб – параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).
  • Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые: ; .

Квадрат – ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же:

  • Если сторона квадрата равна , то его диагональ равна .

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте – нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

  1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье – Купить статью – 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника – Купить учебник – 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

источник

В школьном курсе в геометрии среди основных задач значительное внимание уделено примерам вычисления площади и периметра ромба. Вспомним что ромб принадлежит к отдельному классу четырехугольников и выделяется среди них равными сторонами. Ромб также является частным случаем параллелограмма если у последнего все стороны равны AB=BC=CD=AD . Ниже приведен рисунок на котором изображен ромб.

Поскольку ромб занимает некоторую часть параллелограммов то свойства в них будут похожими.

  • Противоположные углы ромба как и параллелограмма равны.
  • Сумма углов ромба прилегающих к одной стороне равна 180°.
  • Диагонали ромба пересекаются под углом 90 градусов.
  • Диагонали ромба являются одновременно биссектрисами его углов.
  • Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.

Все признаки ромба вытекают из его свойств и помогают различать его среди четырехугольников, прямоугольников, параллелограммов.

  • Параллелограмм у которого диагонали пересекаются под прямым углом является ромбом.
  • Параллелограмм у которого диагонали является биссектрисами является ромбом.
  • Параллелограмм с равными сторонами является ромбом.
  • Четырехугольник у которого все стороны равны является ромбом.
  • Четырехугольник у которого диагонали является биссектрисами углов и пересекаются под прямым углом является ромбом.
  • Параллелограмм с одинаковыми высотами является ромбом.

Периметр по определению равен сумме всех сторон. Поскольку в ромба все стороны равны то его периметр вычисляем по формуле

Периметр вычисляется в единицах длины.

Одними из распространенных задач при изучении ромба является нахождение радиуса или диаметра вписанной окружности. На рисунке изображенном ниже приведены одни из распространенных формул радиуса вписанной окружности в ромб.

Первая формула показывает что радиус окружности вписанной в ромб равен произведению диагоналей разделенному на сумму всех сторон ( 4а ).

Другая формула показывает что радиус окружности вписанной в ромб равен половине высоты ромба

Вторая формула на рисунке является модификацией первой и применяется при исчислении радиуса окружности вписанной в ромб когда известны диагонали ромба, то есть неизвестные стороны.

Третья формула радиуса вписанной окружности фактически находит половину высоты малого треугольника, который образуется пересечением диагоналей.

Среди менее популярных формул для вычисления радиуса окружности вписанной в ромб можно еще привести такие

здесь D – диагональ ромба, alpha – угол который рассекает диагональ.

Если известна площадь (S) ромба и величина острого угла (alpha) то для вычисления радиуса вписанной окружности нужно найти квадратный корень из четверти произведения площади на синус острого угла:

Из приведенных формул Вы без проблем найдете радиус вписанной в ромб окружности, если в условиях примера будут необходимый набор данных.

Формул для вычисления площади приведены на рисунке.

Простейшая выводится как сумма площадей двух треугольников на которые разделяет ромб его диагональ.

Вторая формула площади применяется к задачам в которых известны диагонали ромба. Тогда площадь ромба равна половине произведению диагоналей

Она достаточно проста для того чтобы запомнить, а также – для вычислений.

Третья формула площади имеет смысл когда известен угол между сторонами. Согласно ей площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла. Острый он или нет значения не имеет поскольку синус обоих углов принимает одинаковое значение.

Периметр ромба равен сумме всех его сторон. Учитывая то что они все равны периметр принимает значение

И в завершение запомните что периметр измеряется в единицах длины, а площадь в квадратных единицах. Теперь Вы знаете как найти площадь и периметр ромба, поэтому пользуйтесь приведенным формулам при решении задач.

источник

Ромб – это особая фигура в геометрии. Благодаря его особым свойствам, существует не одна, а несколько формул, с помощью которых вычисляется площадь ромба. Что это за свойства и какие наиболее распространенные формулы для поиска площади этой фигуры существуют? Давайте разберемся.

Прежде чем выяснить, чему равна площадь ромба, стоит узнать, что же это за фигура.

Ромбом со времен Евклидовой геометрии называется симметричный четырехугольник, все четыре стороны коего являются равными между собою по длине и попарно параллельными.

Название этой фигуры пришло в большинство современных языков из греческого, через посредничество латыни. «Прародителем» слова «ромб», стало греческое существительное ῥόμβος (бубен). Хотя жителям двадцатого века, привыкшим к круглым бубнам, тяжело представить их другой формы, но у эллинов эти музыкальные инструменты традиционно изготавливались не круглой, а ромбовидной формы.

В большинстве современных языков данный математический термин употребляется, как и в латыни: rombus. Однако в английском языке иногда ромбы называют diamond (алмаз или диамант). Такое прозвище данная фигура получила из-за своей особой формы, напоминающей драгоценный камень. Как правило, подобный термин используют не для всех ромбов, а только для тех, у которых угол пересечения его двух сторон равен шестидесяти или сорока пяти градусам.

Впервые эта фигура была упомянута в трудах греческого математика, жившего в первом веке новой эры – Герона Александрийского.

Чтобы найти площадь ромба, в первую очередь нужно знать, какими особенностями обладает данная геометрическая фигура.

  • Как уже было сказано в определении ромба, он является четырехугольником. А по той причине, что его противоположные стороны попарно являются параллельными между собою, ромб также может именоваться параллелограммом, а значит, на него распространяется большинство свойств этой фигуры.
  • Обе диагонали ромба в точке своего пересечения равномерно делятся надвое. А из-за того, что пересекаются они под углом в девяносто градусов, диагонали делят фигуру на 4 треугольника прямоугольных.
  • В любом ромбе диагонали делят его углы надвое, являясь одновременно их биссектрисами.
  • Если каждую из двух диагоналей ромба возвести в степень квадрата, то их сумма будет равна произведению квадрата стороны этой фигуры и числа четыре.
  • Если соединить линиями средины четырех сторон ромба, полученная фигура окажется прямоугольником.
  • Если в ромб (независимо от его углов) вписана окружность, тогда ее центральная точка совпадет с центром пересечения диагоналей.
  • Диагонали в ромбе соприкасаются с осями его симметрии под углами девяносто градусов.
  • Поскольку все стороны ромба идентичны между собою по длине, его периметр вычисляется по формуле Р=4 х К (К – это длинна одной из сторон).

Как известно, каждый ромб является параллелограммом, но при этом не всякий параллелограмм – это ромб. Чтобы точно утверждать, что представленная фигура действительно является ромбом, а не простым параллелограммом, она должна соответствовать одному из трех основных признаков, выделяющих ромб. Или всем трем сразу.

  1. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом девяносто градусов.
  2. Диагонали разделяют углы надвое, выступая в качестве их биссектрис.
  3. Не только параллельные, но и смежные стороны имеют одинаковую длину. В этом, кстати, одно из основных различий между ромбом и параллелограммом, поскольку у второй фигуры одинаковы по длине лишь параллельные стороны, но не смежные.

По своим свойствам в отдельных случаях ромб одновременно может становиться квадратом. Чтобы наглядно подтвердить это утверждение, достаточно просто повернуть квадрат в любую сторону на сорок пять градусов. Получившаяся фигура окажется ромбом, каждый из углов которого равен девяноста градусам.

Также, чтобы подтвердить, что квадрат является ромбом, можно сопоставить признаки этих фигур: в обоих случаях все стороны равны, а диагонали являются биссектрисами и пересекаются под углом в девяносто градусов.

В современном мире в интернете можно найти практически все материалы для выполнения необходимых расчетов. Так, существует масса ресурсов, оснащенных программами для автоматического вычисления площади той или иной фигуры. Причем, если (как в случае с ромбом) есть несколько формул для этого, то есть возможность выбирать, какой из них удобнее всего будет воспользоваться. Однако, прежде всего, необходимо самим уметь вычислять площадь ромба без помощи компьютера и ориентироваться в формулах. Для ромба их существует немало, но самые известные из них четыре.

Одним из самых простых и распространенных способов узнать площадь этой фигуры, если есть информация о длине его диагоналей. Если в задаче есть эти данные, в таком случаем можно применить следующую формулу для нахождения площади: S = КМ x LN/2 (КМ и LN – это диагонали ромба KLMN).

Можно проверить достоверность этой формулы на практике. Допустим, у ромба KLMN длина одной его диагонали КМ – 10 см, а второй LN – 8 см. Тогда подставляем эти данные в указанную выше формулу, и получаем следующий результат: S = 10 х 8/ 2= 40 см 2 .

Существует и другая формула. Как было указано выше в определении ромба, он является не просто четырехугольником, но и параллелограммом, и обладает всеми особенностями данной фигуры. В таком случае для нахождения ее площади вполне целесообразно использовать формулу, применяемую для параллелограмма: S = KL х Z. В данной случае KL – это длинна стороны параллелограмма (ромба), а Z – это длинна высоты, проведенной к данной стороне.

В отдельных задачах длина стороны не предоставлена, зато известен периметр ромба. Поскольку выше была указана формула его нахождения, с ее помощью можно узнать и длину стороны. Итак, периметр фигуры – 10 см. Длину стороны можно узнать, инвертировав формулу периметра и разделив 10 на 4. Результатом окажется 2,5 см – это и есть искомая длина стороны ромба.

Теперь стоит попробовать подставить это число в формулу, зная, что длинна высоты, проведенной к стороне, также равна 2,5 см. Теперь попробуем поставить эти значения в вышеупомянутую формулу площади параллелограмма. Получается, что площадь ромба равна S = 2,5 х 2,5 = 6,25 см 2 .

Те, кто уже освоили синусы и косинусы, могут использовать для нахождения площади ромба формулы, содержащие их. Классическим примером служит следующая формула: S = КМ 2 х Sin KLM. В данном случае площадь фигуры равна произведению двух сторон ромба, умноженному на синус угла между ними. А поскольку в ромбе все стороны одинаковы, то проще сразу произвести одну сторону в квадрат, как и было показано в формуле.

Проверяем на практике данную схему, причем не просто к ромбу, а к квадрату, у которого, как известно, все углы прямые, а значит, равны девяносто градусам. Допустим, одна из сторон равна 15 см. Также известно, что синус угла в 90° равен единице. Тогда, согласно формуле, S = 15 х 15 х Sin 90°= 255х1=255 см 2.

Помимо вышеперечисленных, в отдельных случаях используется еще одна формула, с использованием синуса для определения площади ромба: S = 4 х R 2 /Sin KLM. В данном варианте используется радиус вписанной в ромб окружности. Он возносится в степень квадрата и умножается на четыре. А весь результат делиться на синус угла, близлежащего к вписанной фигуре.

В качестве примера для простоты вычислений возьмем опять квадрат (синус его угла будет всегда равен единице). Радиус вписанного в него круга – 4,4 см. Тогда площадь ромба будет вычисляться так: S= 4 х 4,4 2 / Sin 90 °= 77,44 см 2

Приведенные выше формулы нахождения радиуса ромба – далеко не единственные в своем роде, однако они являются наиболее простыми для понимания и проведения вычислений.

источник

Читайте также:  Барбарис на какой год цветет
Adblock
detector