Меню

Чему равна сумма площадей всех граней правильного тетраэдра с ребром 4

Тетраэдр – это частный случай правильной треугольной пирамиды.

Тетраэдр — правильный многогранник (четырёхгранный), имеющий 4 грани, они, в свою очередь, оказываются правильными треугольниками. У тетраэдра 4 вершины, к каждой из них сходится 3 ребра. Общее количество ребер у тетраэдра 6.

Медиана тетраэдра – это отрезок, который соединяет вершину тетраэдра и точку пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, который противолежит вершине).

Бимедиана тетраэдра – это отрезок, который соединяет середины рёбер, что скрещиваются (соединяет середины сторон треугольника, который есть одной из граней тетраэдра).

Высота тетраэдра – это отрезок, который соединяет вершину и точку противоположной грани и перпендикулярен этой грани (т.е. это высота, проведенная от всякой грани, кроме того, совпадает с центром описанной окружности).

Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра.

Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.

Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части.

Правильный тетраэдр – это такая правильная треугольная пирамида, каждая из граней которой оказывается равносторонним треугольником.

У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.

Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.

Правильный тетраэдр – это один из 5-ти правильных многогранников.

Кроме правильного тетраэдра, заслуживают внимания такие типы тетраэдров:

Равногранный тетраэдр, у него каждая грань представляет собой треугольник. Все грани-треугольники такого тетраэдра равны.

Ортоцентрический тетраэдр, у него каждая высота, опущенная из вершин на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.

Прямоугольный тетраэдр, у него каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине.

Каркасный тетраэдр — тетраэдр, который таким условиям:

  • есть сфера, которая касается каждого ребра,
  • суммы длин ребер, что скрещиваются равны,
  • суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
  • окружности, которые вписаны в грани, попарно касаются,
  • каждый четырехугольник, образующийся на развертке тетраэдра, — описанный,
  • перпендикуляры, поставленные к граням из центров окружностей, в них вписанных, пересекаются в одной точке.

Соразмерный тетраэдр, бивысоты у него одинаковы.

Инцентрический тетраэдр, у него отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Высота тетраэдра:

где h – высота тетраэдра, a – ребро тетраэдра.

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

где V – объем тетраэдра, a – ребро тетраэдра.

Основные формулы для правильного тетраэдра:

Где S – Площадь поверхности правильного тетраэдра;

h – высота, опущенная на основание;

r – радиус вписанной в тетраэдр окружности;

источник

1. Если увеличивается только высота пирамиды и стоит вопрос об изменении объёма, то понятно, что он увеличивается прямопропорционально исходному объёму пирамиды, так как зависимость линейная. Проще говоря, объём увеличивается во столько же раз, во сколько увеличена высота.

2. Если речь идёт об увеличении всех рёбер пирамиды в определённое количество раз, то здесь необходимо понимать, что в итоге получается пирамида подобная исходной, причём её грани также подобны соответствующим граням полученной пирамиды.

Позволю себе, на данный момент, по вопросу подобия фигур и тел предложить Вам обратиться к теории изложенной в учебнике. В скором будущем обязательно размещу отдельную статью на эту тему.

Что касается представленной группы задач, то отмечу, что с использованием свойств подобия такие задания решаются практически в одно действие.

Вот что необходимо помнить и знать:

То есть, если мы увеличим все рёбра пирамиды в k раз, то отношение площади любой её грани к площади исходной соответствующей ей грани будет равно k 2 . Естественно, что отношение полных площадей поверхностей таких пирамид также будет равно k 2 .

То есть, если мы увеличим все рёбра пирамиды в k раз, то отношение объёма полученной пирамиды к объёму исходной будет равно k 3 .

Напомню определение тетраэдра:

Тетраэдр – правильный многогранник, имеет 4 грани,

которые являются правильными треугольниками.

Вершин у тетраэдра 4, к каждой вершине сходится 3 ребра,

а всего ребер 6. Тетраэдр является пирамидой.

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в шестнадцать раз?

Тетраэдр это пирамида, все грани которой равносторонние треугольники.

Данная пирамида и пирамида полученная увеличением всех её рёбер в 16 раз будут являться подобными, коэффициент подобия соответственно будет равен 16.

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. То есть, как уже сказано, объём полученной пирамиды равен произведению куба коэффициента подобия и объёма исходной пирамиды:

Определим во сколько раз увеличится объём, найдём отношение объёмов:

Таким образом, если все ребра увеличить в 16 раз, то объём увеличится в 4096 раз.

*Можно решить задачу по другому. Обозначить ребро тетраэдра как а, далее выразить его высоту. После этого определить объёмы пирамид используя формулу, а далее найти отношение полученных объёмов. Но такой путь будет неоправданно долгим и потребует в разы больше времени на решение.

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в двенадцать раз?

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания и высоты:

При увеличении высоты в 12 раз, объем пирамиды также увеличится в 12 раз (это прямолинейная зависимость):

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раза?

Отметим, что площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей его четырёх граней, которые являются правильными треугольниками.

Определим площадь поверхности исходного тетраэдра и увеличенного, а затем найдём отношение площадей.

Пусть ребро тетраэдра равно а, тогда площадь грани будет равна:

Значит площадь поверхности исходного тетраэдра будет равна:

Если рёбра тетраэдра увеличить в 5 раз, то площадь поверхности изменится следующим образом:

Таким образом, при увеличении ребер тетраэдра в пять раз, площадь его поверхности увеличится в 25 раз.

Известно, что при увеличении (уменьшении) линейных размеров фигуры в k раз получается подобная ей фигура, их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:

k – это есть коэффициент подобия

То есть, с использованием свойства подобия задача решается устно:

*Площадь каждой грани пирамиды увеличится в 25 раз, а это означает, что площадь поверхности всей пирамиды также увеличится в 25 раз.

27172. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

Данная задача от предыдущей ничем не отличается. Не имеет никакого значения идёт ли речь о тетраэдре, пирамиде, кубе, параллелепипеде или о другом многограннике. Если сказано, что все рёбра увеличиваются в одинаковое число раз, то полученные грани «нового» тела будут подобны соответствующим граням исходного тела. А это значит, что увеличение площади поверхности произойдёт в k 2 раз (где k это коэффициент подобия).

Можете посмотреть задачи с кубами . В них речь идёт об увеличении площади поверхности или объёма.

Ещё одна задача такого же класса. Но в условии речь идёт об октаэдре. Октаэдр это многогранник с восьмью граниями, все гарани это правильные треугольники.

27157. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

При увеличении рёбер в три раза каждая грань полученного октаэдра будет подобна соответствующей ей грани исходного. Площадь каждай грани увеличится в 3 2 раз, то есть в 9 раз. Значит и площадь всей поверхности также увеличится в 9 раз.

*Задача полностью аналогична двум предыдущим задачам, только здесь речь идет об октаэдре.

27085. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

27089. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

27131. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

источник

15 мая Повтори весь материал ЕГЭ на курсе Умскул и прибавь к результату 20 баллов.

25 декабря На нашем сайте размещён курс русского языка Людмилы Великовой.

− Examer из Таганрога;
− Учитель Думбадзе
из школы 162 Кировского района Петербурга.

14 апреля Вариант резервного дня ЕГЭ по математике.

13 апреля Вариант досрочного ЕГЭ по физике.

12 апреля Вариант досрочного ЕГЭ по информатике.

17 апреля Кратко о специальной теории относительности.

Наша группа ВКонтакте
Мобильные приложения:

Внутри правильного тетраэдра с ребром a‍ расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трёх других и трёх граней тетраэдра. Найдите радиусы шаров.

Читайте также:  Как вкусно приготовить перловку с курицей

Пусть r —‍ искомый радиус. Соединим попарно центры шаров. Получим правильный тетраэдр со стороной 2r.‍ Так как шары вписаны в трёхгранные углы при вершинах правильного тетраэдра, то их центры лежат на соответствующих высотах тетраэдра. Поэтому центр правильного тетраэдра с вершинами в центрах данных шаров совпадает с центром O‍ данного правильного тетраэдра.

Пусть шар радиуса r‍ с центром O‍1,‍ вписанный в трёхгранный угол с вершиной D,‍ касается плоскости грани ABD‍ данного правильного тетраэдра ABCD‍ со стороной a‍ в точке P.‍

Пусть M —‍ центр основания ABC,‍ K —‍ середина AB,‍ φ —‍ угол между высотой тетраэдра и плоскостью его грани. Из прямоугольного треугольника DMK‍ находим, что

Значит, или откуда находим, что

Ответ:

а) Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке.

б) Дан тетраэдр с прямыми плоскими углами при вершине Площади граней и равны соответственно 132, 150, 539. Найдите объем тетраэдра.

а) Пусть задан тетраэдр ABCD (рисунок 1)

1. Рассмотрим грани ABC и ABD. Пусть M — точка пересечения медиан Δ ABC, N — треугольника ABD. И пусть K — середина AB. Точки C, D, M, N, K лежат в одной плоскости, коли они принадлежат двум пересекающимся прямым KC и KD. Поскольку KC : KM = KD : KN = 3 : 1, треугольники MKN и CKD гомотетичны с коэффициентом гомотетии (подобия) k = 3. По основному свойству гомотетии будем иметь: CD || MN, CD = 3MN.

Соединим отрезками точки: M и D, N и С. Точку пересечения MD с NC обозначим О.

Аналогично можно доказать, что через точку О пройдут все остальные медианы заданного тетраэдра.

2. Теперь докажем, что через точку О пройдут и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра (рисунок 2).

Пусть L — середина ребра BC. В плоскости DKC через точку D проведем прямую, параллельную KC. Проведем также прямую KL, которая пересечет только что проведенную прямую в точке, которую обозначим P.

Пусть O1 точка пересечения DM и KL.

Рассмотрим Δ KLC и Δ PLD. У них: ∠KLC = ∠PLD как вертикальные, ∠KCL = ∠ PDL как внутренние накрест лежащие при KC || PD и секущей DC, CL = DL. Тогда Δ KLC = Δ PLD — по второму признаку равенства треугольников. Отсюда: KC = PD, KL = PL, ∠CKL = ∠BPL.

В Δ KO1M и Δ PO1DKO1M = ∠ PO1D как вертикальные, ∠MKO1 = ∠DPO1 по ранее доказанному. Значит, откуда DO1 : O1M = PD : KM. Но как доказано выше, KC = PD. Следовательно, O1D : O1M = KC : KM = 3 : 1.

Итак, O1D : O1M = 3 : 1. Выше было доказано, что OD : OM = 3 : 1. Так как отрезок DM можно разделить в отношении 3 : 1, считая от точки D, единственным образом, то точки О и O1 совпадут, то есть KL проходит через точку О. Совершенно аналогично можно доказать то, что отрезки, соединяющие середины ребер BC и AD, BD и AC, пройдут через точку О. И это — все то, что требовалось доказать.

б) Введем обозначения длин ребер тетраэдра: пусть BD = a, CD = c, AD = b.

В соответствии с условием задачи:

Площадь поверхности тетраэдра равна 1,2. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Искомая поверхность состоит из восьми равносторонних треугольников со стороной, вдвое меньшей ребра исходного тетраэдра. Поверхность исходного тетраэдра состоит из 16-ти таких треугольников (см. рис.). Поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности тетраэдра и равна 0,6.

Объем тетраэдра равен Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Искомая поверхность состоит из четырёх пар равных треугольников, каждый из которых имеет площадь равную с четверти площади грани исходного тетраэдра. Поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности тетраэдра и равна 6.

В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между высотой тетраэдра DH и медианой BM боковой грани BCD.

Пусть и — средняя линия треугольника Тогда , значит, и, следовательно, Кроме того,

Пусть длина ребра тетраэдра равна тогда имеем:

Ответ:

А ответ будет являтся правильным?

Да. Ведь это тоже самое число.

А нельзя было в треугольнике ВМС провести прямую, параллельную высоте? Было бы легче и ответ выходит 60 градусов.

Плоскость BMC не содержит прямой параллельной высоте пирамиды.

В правильный тетраэдр ABCD вписан шар. Из точки D на грань ABC тетраэдра опущена высота DE. Точка P является серединой отрезка DE. Через точку P проведена плоскость, перпендикулярно к DE. Из всех точек, которые принадлежат одновременно шару и проведенной плоскости, взята точка O, являющаяся ближайшей к точке A. Найти расстояние от точки O до грани ABD, если объем шара равен 1.

Пусть площадь основания тетраэдра равна S, а высота h. Тогда радиус описанной сферы равен поэтому середина высоты DE (точка P) лежит на поверхности шара и противоположна E. Плоскость, перпендикулярная DE, параллельна плоскости основания пирамиды, поэтому является касательной плоскостью к шару. Следовательно O совпадает с P.

Опустим перпендикуляры из O и центра шара на грань ABD. Образуются два подобных прямоугольных треугольника, причем коэффициент подобия равен поэтому

Осталось найти r. Поскольку то поэтому ответ

Ответ:

а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.

б) Найдите длину отрезка AP.

а) Введём систему координат как показано на рисунке. Поскольку ребро куба в корень меньше его диагонали, ребро данного куба равно Тогда точки B, D, C1 имеют координаты соответственно.

Поскольку P лежит на продолжении A1C, отрезок A1P можно рассматривать как диагональ куба с ребром Тогда точка P имеет координаты

Отрезки C1B, DB и DC1 — диагонали граней куба, поэтому по теореме Пифагора Тогда Значит, все рёбра тетраэдра DBC1P равны, поэтому он правильный.

б) Координаты точки A: Раcстояние от точки P до точки A равно

Ответ:

а) Диагональ куба в больше его ребра: Следовательно,

Заметим, что как диагонали квадратов со стороной AB. Тогда треугольник BC1D — правильный.

Пусть Поскольку ABCD — квадрат имеем:

Поскольку как накрест лежащие, и как вертикальные, получаем: по двум углам, тогда

Заметим, что треугольник — прямоугольный, тогда откуда

В треугольнике OMC имеем: так как — верно. Тогда, по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔOMC − прямоугольный, ∠M = 90°.

Так как BO = OD (C1O — медиана), и — правильный, то M — точка пересечения медиан, биссектрис и высот ΔBDC1, то есть центр описанной окружности.

Так как M — центр описанной окружности треугольника BC1D и ∠C1MC = 90°, то проекция точки P — точка M, тогда PB = PC1 = PD.

Заметим, что по теореме косинусов

Так как значит, — правильный тетраэдр, что и требовалось доказать.

б) по теореме косинусов

Ответ:

источник

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D. не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC. В результате получим треугольники ADC. CDB. ABD. Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC. ADC. CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC.
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани. 6 ребер и 4 вершины .
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием. а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Таким образом, тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

  • S – площадь любой грани,
  • H – высота, опущенная на эту грань
Читайте также:  Как цветет калатея бахема

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

  • Все грани равны.
  • Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60
  • Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180
  • Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a. DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM. где DH. являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет – пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа квадратный корень применяется функция sqrt(), в которой sqrt – символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак .

(теоретические сведения см. также в уроке Правильный тетраэдр )

Правильный тетраэдр – это правильная треугольная пирамида у которой все грани являются равносторонними треугольниками.

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Основные формулы для правильного тетраэдра приведены в таблице.

Где:
S – Площадь поверхности правильного тетраэдра
V – объем
h – высота, опущенная на основание
r – радиус вписанной в тетраэдр окружности
R – радиус описанной окружности
a – длина ребра

Задача.
Найдите площадь поверхности треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно √3

Решение.
Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны – она является правильной. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = a 2 √3.
Тогда
S = 3√3

Задача.
Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем пирамиды

Решение.
Поскольку в правильной треугольной пирамиде высота пирамиды проецируется в центр основания, который одновременно является центром описанной окружности, то

Таким образом, высота пирамиды OM может быть найдена из прямоугольного треугольника AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 – AO 2
OM 2 = 4 2 – ( 4√3 / 3 ) 2
OM 2 = 16 – 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 Sh
При этом площадь основания найдем по формуле S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16 ) ( 4√2 / √3 )
V = 16√2 / 3

Здравствуйте, Дорогие друзья! В данной статье продолжим рассматривать задачи с пирамидами. Их нельзя отнести к какому-то классу или типу заданий, и дать общие рекомендации для решения. Я просто собрал оставшиеся задачи, не рассматриваемые ранее, и решил изложить их в одной статье.

Перечислю теорию, которую необходимо освежить в памяти перед решением: формула объёма пирамиды, свойства подобия фигур и тел, свойства правильных пирамид, теорема Пифагора, формула площади треугольника (в этой статье она вторая). Рассмотрим задачи:

От треугольной пирамиды, объем которой равен 80, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади её основания и высоты:

Данные пирамиды (исходная и отсечённая) имеют общую высоту, поэтому их объемы соотносятся как площади их оснований. Средняя линия от исходного треугольника отсекает треугольник площадь которого в четыре раза меньше, то есть:

Подробнее об этом можно посмотреть здесь.

Это означает, что объём отсечённой пирамиды будет в четыре раза меньше.

Таким образом, он будет равен 20.

* Посмотрите решение аналогичной задачи, использована формула площади треугольника.

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1. 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Постоим пирамиду, обозначим вершины. Отметим на ребре AS точку Е, так чтобы AE была в два раза больше ES (в условии сказано, что ES относится к AE как 1 к 2), и построим указанную плоскость проходящую, через ребро АС и точку Е:

Проанализируем объём какой пирамиды будет больше: EABC или SEBC?

*Объём пирамиды равен одной трети произведения площади её основания и высоты:

Если рассмотреть две полученные пирамиды и в обеих принять за основание грань ЕВС, то становится очевидно, то объём пирамиды АЕВС будет больше объёма пирамиды SEBC. Почему?

Расстояние от точки А до плоскости ЕВС больше чем расстояние от точки S. А это расстояние играет у нас роль высоты.

Итак, найдём объём пирамиды ЕАВС.

Объём исходной пирамиды нам дан, основание у пирамид SАВС и ЕАВС общее. Если мы установим соотношение высот, то без труда сможем определить объём.

Из отношения отрезков ES и AE следует, что АЕ равно две третьих ES. Высоты пирамид SАВС и ЕАВС находятся в такой же зависимости – высота пирамиды ЕАВС будет равна 2/3 высоты пирамиды SАВС.

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания. Выполним дополнительные построения:

Найти боковое ребро мы можем из прямоугольного треугольника SOC. Для этого нужно знать SO и ОС.

SO это высота пирамиды, её мы можем вычислить используя формулу объёма:

Вычислим площадь основания. это правильный шестиугольник со стороной равной 1. Площадь правильного шестиугольника равна площади шести равносторонних треугольников с такой же стороной, подробнее об этом изложено здесь (п.6), итак:

ОС = ВС = 1, так как в правильном шестиугольнике отрезок соединяющий его центр с вершиной равен стороне этого шестиугольника.

Таким образом, по теореме Пифагора:

Объ ем тетраэдра равен 200. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра.

Объем указанного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра V и четырех равных тетраэдров, каждый из которых получается отсечением плоскостью, проходящей через середины рёбер, имеющих общую вершину:

Определим, чему равен объём отсеченного тетраэдра.

Отметим, что исходный тетраэдр и «отсечённый» тетраэдр являются подобными телами. Известно, что отношение объёмов подобных тел равно k 3. где k – коэффициент подобия. В данном случае он равен 2 (так как все линейные размеры исходного тетраэдра в два раза больше соответствующих размеров отсечённого):

Вычислим объём отсечённого тетраэдра:

Таким образом, искомый объём будет равен:

Площадь поверхности тетраэдра равна 120. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра.

Искомая поверхность состоит из 8 равносторонних треугольников со стороной, вдвое меньшей ребра исходного тетраэдра. Поверхность исходного тетраэдра состоит из 16-ти таких треугольников (на каждой из 4 граней тетраэдра по 4 треугольника), поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности данного тетраэдра и равна 60.

Так как известна площадь поверхности тетраэдра, то мы можем найти его ребро, затем определить длину ребра многогранника и далее вычислить площадь его поверхности.

Площадь поверхности тетраэдра состоит из четырёх равных по площади правильных треугольников. Пусть сторона такого треугольника (ребро тетраэдра) равна а, тогда можем записать:

Ребра многогранника равны его половине ребра тетраэдра, то есть:

*Они проходят через середины рёбер тетраэдра.

Многогранник имеет восемь равных граней являющихся правильными треугольниками, значит его площадь поверхности будет равна:

*Данное решение алгебраическое и рациональным его назвать никак нельзя, представлено как альтернативный вариант.

27115. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

27175. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

27214. Объем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра.

А теперь для поднятия настроения ролик. Оказывается, что песня не только людей объединяет, но и животных ?

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

  • Векторы
  • Вероятность
  • Видеокурсы
  • Вписанный угол, касательная
  • Выражения
  • Графики и диаграммы
  • Движение
  • Конкурсы
  • Координатная плоскость
  • НОВОСТИ
  • Округление
  • Онлайн-обучение
  • ПЕРЕМЕНА
  • Площади фигур
  • Приёмы (фишки)
  • Прогрессия
  • Производная
  • Простые вычисления
  • Простые уравнения
  • Проценты
  • Работа
  • Треугольники
  • Развитие личности
  • Стереом. КОНУС ЦИЛИНДР
  • Стереом. МНОГОГРАННИКИ
  • Стереометрия ПИРАМИДЫ
  • Стереометрия ПРИЗМЫ
  • Стереометрия ШАР
  • Угол на листе в клетку
  • Физические задачи
  • Формулы Теория
  • Функции (MAX MIN)
  • Четырёхугольники
  • №13 (C1) Урав-ия и системы
  • №14 (C2) Геометрия
Читайте также:  С какого возраста избирается президент рф
  • Прототипы заданий 1-12

    №1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10 №11 №12 №13 №14 Баз №12

    Проект Математика? Легко. . Подготовка к ЕГЭ по математике! Свидетельство СМИ ПИ №ФС77-64081. Все права защищены © 1984-

    Друзья! К вам человеческая просьба: скопировали материал – поставьте ссылку. Спасибо! Александр Крутицких.

    источник

    Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC .
    Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
    Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

    Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
    Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
    Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

    Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

    Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
    Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
    Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

    Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

    • S – площадь любой грани,
    • H – высота, опущенная на эту грань

    Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
    Свойства правильного тетраэдра:

    • Все грани равны.
    • Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
    • Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
    • Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

    Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
    Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
    Высота BM равна BM и равна
    Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
    Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

    , где
    BM=, DM=, BD=a,
    p=1/2 (BM+BD+DM)=
    Подставим эти значения в формулу высоты. Получим

    Вынесем 1/2a. Получим



    Применим формулу разность квадратов

    После небольших преобразований получим


    Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
    ,
    где ,

    Подставив эти значения, получим

    Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

    Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра

    Из вершины проведем векторы , , .
    Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим


    Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
    Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

    источник

    Кировский Физико-математический лицей

    ”Свойства равногранного тетраэдра”

    Выполнил : ученик 10 ”А” класса Соболев Александр

    Проверила : Прокашева Маргарита Анатольевна

    У любого тетраэдра 4 вершины, 6 рёбер, 4 грани, 4 трёхгранных угла, 6 двугранных углов, 12 плоских углов. Если все 6 рёбер равны, то равными будут и грани, и трёхгранные углы, и плоские; в этом случае тетраэдр – правильный. Из равенства всех 4 граней, однако, ещё не следует правильность тетраэдра; тетраэдр, у которого все грани равны, называется равногранным. Чтобы представить себе равногранный тетраэдр, отличный от правильного, возьмём произвольный остроугольный треугольник из бумаги и будем сгибать его по средним линиям. Тогда три вершины сойдутся в одну точку, а половинки сторон сомкнутся, образуя боковые рёбра тетраэдра (рис. 2).

    Перечислим теперь свойства тетраэдра, каждое из которых является необходимым и достаточным условием равногранности, включая определение:

    (1) Скрещивающиеся рёбра попарно равны (2) Трёхгранные углы равны.

    (3) Противолежащие двугранные углы равны.

    (4) Два плоских угла, опирающиеся на одно ребро, равны.

    (5) Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180.

    (6) Развёртка тетраэдра – треугольник или параллелограмм

    (7) Описанный параллелепипед – прямоугольный.

    (8) Тетраэдр имеет три оси симметрии.

    (9) Общие перпендикуляры скрещивающихся рёбер попарно перпендикулярны.

    (10) Средние линии попарно перпендикулярны.

    (11) Периметры граней равны.

    (13) Высоты (тетраэдра) равны. 19=>18

    (14) Отрезки, соединяющие вершины с центром тяжести пртивоположных граней, равны.

    (15) Радиусы описанных около граней окружностей равны.

    (16) Центр тяжести (тетраэдра) совпадает с центром описанной сферы.

    (17) Центр тяжести (тетраэдра) совпадает с центром вписанной сферы.

    (18) Центр вписанной сферы совпадает с центром описанной.

    (19) Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около них окружностей.

    (20) Сумма внешних единичных векторов, перпендикулярных к граням, равна 0 (рис. 4).

    (21) Сумма косинусов всех двугранных углов равна 2.

    Все перечисленные условия являются одновременно и свойствами и признаками равногранного тетраэдра. Чтобы вывести равногранность из какого-нибудь условия, надо выстроить целую цепочку промежуточных условий, в которой каждое прямое следствие предыдущего.

    Проще всего устанавливается, что (0) (1) (2) (3) (4).

    Все грани тетраэдра АВСD равны по условию. Рассмотрим треугольники АDВ и DАС: АD – общая, тогда АВ равна либо DС (если так, то из равенства треугольников АDВ и DАС следует АС=DВ; а из равенства треугольников АDВ и СВD следует АD=ВС, т.е. скрещивающиеся рёбра попарно равны), либо АС (если так, то из равенства треугольников АDВ и DАС следует DВ=DС, т.е. треугольник – равнобедренный, а остальные – нет, т.е. противоречие)

    Из (1) следует, что треугольники АВD, СDВ, ВАС (рис.1) равны (доказано выше). Тогда равны и соответствующие углы треугольников, т.е. трёхгранные углы ВАСD, АВСD, САВD, DАВС равны, т.к. любой трёхгранный угол однозначно определяется своими тремя плоскими углами.

    Т.к. трёхгранный угол однозначно определяется своими тремя плоскими углами, то сдедующие доказательства будут аналогичны предудущему.

    Дальше можно рассуждать по следующей схеме: (4)=>(5)=>(6)=>(1) (откуда уже следует равносильность первых шести условий).

      Из условия следует, что углы ADB=ACB, ADC=ABC, BDC=BAC. Тогда треугольники ABC, ADC, ADB, BCD подобны, но треугольники ADB и DAC имеют общую сторону, т.е. они равны, аналогично равны екжду собой и остальные треугольники, т.е. тетраэдр – равногранный.

      Посмотрев на рисунок можно увидеть, что на развёртке (например треугольник) скрещивающиеся рёбра являются противоположными сторонами параллелограмма, т.е. они равны.

    Наш следующий шаг – доказательство равносильности (1) (7).

    В самом деле, поскольку скрещиваю­щиеся ребра тетраэдра — диагонали граней описанного параллелепипеда, из попарного равенства ребер следует, что грани опи­санного параллелепипеда — прямо­угольники и наоборот.

    Теперь мы предлагаем рассуж­дать по схеме (7)=>(8)=>(9)=>(10)=>(7).

      Взглянув на (рис. =>), вы легко уста­новите, что осями симметрии явля­ются прямые, соединяющие центры симметрии противоположных граней описанного (прямоугольного) парал­лелепипеда, или, что здесь то же са­мое, общими перпендикулярами скре­щивающихся рёбер.

      Общими перпендикулярами скрещивающихся рёбер являются отрезки соединяющие середины противоположных граней описанного параллелограмма (прямоугольного) (рис. ^), а это значит, что эти отрезки попарно перпендикулярны (т.к. каждый из отрезков перпендикулярен граням, которые он соединяет).

      Отрезки, соединяющие середины скрещивающихся рёбер – перпендикулярны, но это и есть средние линии.

    Следующая цепочка рассуждений (0)=>(11),(12),(13),(14),(15). Мы докажем, что (11)=>(1), (12)=>(3), (13)=>(12), (14)=>(1), (4)=>(15); тем самым будет установлена равносильность первых 15 свойств.

      Для этого утверждения предварительно заметим, что S4 =S1 c14 +S2 c24 +S3 c34 (**), где Si – площади i-й грани, а сij – косинус двугранного угла между i-й и j-й гранью. Соотношение (**) сразу следует из теоремы о площади проекции, если спроектировать все грани тетраэдра на четвёртую грань. Написав ещё три таких соотношения (для трёх других граней) и воспользовавшись условием (12), приходим к системе с142434132334122324121314 , которая решается точно так же как система из предыдущего утверждения. Получим с1423 , с2414 , с3412 , откуда следует равенство соответствующих углов, т.е. (3).

    Напишем ещё три таких соотношения для трёх остальных граней:

    источник

  • Adblock
    detector