Меню

Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции

Если \(y=kx+b\) — уравнение касательной к кривой \(f(x)\) , то

\[<\large>\] где \(x_o\) — абсцисса точки касания прямой и кривой.

Прямая \(y=12x+13\) является касательной к графику функции \(y=x^3-9x^2-9x+2\) . Найдите абсциссу точки касания.

Пусть \(x_0\) – точка касания. Так как значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной и \(y’=3x^2-18x-9\) , то \[3x_0^2-18x_0-9=12 \quad \Leftrightarrow\quad x_0=7 \quad <\small<\text<и>>>\quad x_0=-1.\] Так как \(y=12x+13\) и \(y=x^3-9x^2-9x+2\) имеют общую точку (и это точка касания), то \[12x_0+13=x_0^3-9x_0^2-9x_0+2\] Проверим значение \(x_0=-1\) : \[12\cdot (-1)+13=(-1)^3-9\cdot (-1)^2-9\cdot (-1)+2 \quad \Leftrightarrow\quad 0=0\] Аналогичной проверкой убеждаемся, что \(x_0=7\) не подходит. Следовательно, ответ \(-1.\)

Прямая \(y=12x-73\) является касательной к графику функции \(y=ax^2-18x+2\) . Найдите \(a\) .

Пусть \(x_0\) – точка касания. Так как значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной и \(y’=2ax-18\) , то \[2ax_0-18=12 \quad \Leftrightarrow\quad x_0=\dfrac<15>a\quad (1)\] Так как \(y=12x-73\) и \(y=ax^2-18x+2\) имеют общую точку (и это точка касания), то \[12x_0-73=ax_0^2-18x_0+2\quad (2)\] Подставим \((1)\) в \((2)\) : \[\dfrac<15^2>a-\dfrac<30\cdot 15>a+75=0 \ \Bigg|:75\quad \Leftrightarrow \quad -\dfrac3a+1=0 \quad\Leftrightarrow\quad a=3.\]

Прямая \(y=8(2x-1)\) параллельна касательной к графику функции \(f(x)=3x^2+7x+5\) . Найдите абсциссу точки касания.

Так как параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты, то уравнение касательной будет выглядеть так: \(y_k=16x+b\) , где \(b\) – некоторое число.
Так как значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, то, если \(x_0\) – абсцисса точки касания, \[f'(x_0)=16 \quad\Rightarrow\quad 6x_0+7=16 \quad\Leftrightarrow\quad x_0=\dfrac32=1,5.\]

Прямая \(y=7x-5\) параллельна касательной к графику функции \(y=x^2+6x-8\) . Найдите абсциссу точки касания.

Пусть \(y_k=kx+b\) – уравнение касательной. Так как \(y=7x-5\) параллельна \(y_k\) , то их угловые коэффициенты равны, следовательно, \(k=7\) .
Так как угловой коэффициент касательной к графику функции \(f(x)\) равен значению производной функции в точке касания \(x_0\) , то есть \(7=k=f'(x_0)\) , а \(f'(x)=2x+6\) , то \[7=2x_0+6\quad\Leftrightarrow\quad x_0=0,5\]

Прямая, заданная уравнением \(y = 3x + 1\) , касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) . Найдите \(f'(x_0)\) .

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\) .

Прямая, заданная уравнением \(y = -x – 1\) , касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) . Найдите \(f'(x_0)\) .

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\) .

Прямая, заданная уравнением \(y = 1,5x\) , касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) . Найдите \(f'(x_0)\) .

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\) .

Задачи на нахождение производной касательной включены в ЕГЭ по математике и встречаются там ежегодно. При этом статистика последних лет показывает, что подобные задания вызывают у выпускников определенные затруднения. Поэтому, если учащийся рассчитывает получить достойные баллы по итогам прохождения ЕГЭ, то ему непременно стоит научиться справляться с задачами из раздела «Угловой коэффициент касательной как значение производной в точке касания», подготовленными специалистами образовательного портала «Школково». Разобравшись с алгоритмом их решения, ученик сможет успешно преодолеть аттестационное испытание.

Приступая к решению задач ЕГЭ по данной теме, необходимо вспомнить основное определение: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Необходимо освежить в памяти и другое важное определение. Оно звучит следующим образом: угловой коэффициент равняется тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс.

Какие еще важные моменты стоит отметить в этой теме? При решении задач на нахождение производной в ЕГЭ необходимо помнить, что угол, который образует касательная, может быть меньше, больше 90 градусов или равняться нулю.

Для того, чтобы задания в ЕГЭ на тему «Угловой коэффициент касательной как значение производной в точке касания» давались вам достаточно легко, воспользуйтесь при подготовке к выпускному испытанию информацией по этому разделу на образовательном портале «Школково». Здесь вы найдете необходимый теоретический материал, собранный и понятно изложенный нашими специалистами, а также сможете попрактиковаться в выполнении упражнений.

Для каждого задания, например, задач на тему «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона», мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут выполнять упражнения различного уровня сложности в режиме онлайн. В случае необходимости задачу можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить ее решение с преподавателем.

источник

Если имеется кривая заданная функцией y=f(x), то угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой x находят по формуле

Например 1. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

в точке с абсциссой х=1.
Решение. Находим производную функции

Тогда при x=1 значение производной равно

Отсюда получаем, что угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х=1 равен

Нахождение угла наклона касательной к графику функции.

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная равна угловому коэффициенту касательной и тангенсу угла наклона.

Как найти угол наклона касательной к графику функции y=f(x) в точке x0.

Например. Найти наклона касательной, проведенной к графику функции

в точке с абсциссой х=1.
Решение. Находим производную функции

Тогда при x=1 значение производной равно ,где

. Отсюда находим угол .

Исследование функции с помощью производной.

Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке.

Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.

Промежутки возрастания и убывания функции называются интервалами монотонностиданной функции.

Экстремумы функции.

Точка X0 называется точкой максимума функции f (x), если существует такая окрестность точки X0, что для всех X из этой окрестности выполняется неравенство f (x) f (x0).

Теорема Ферма.
(Необходимое условие экстремума)
Если X0 – точка экстремума функции f (x), то f’ (x0)=0

Точки в которых f’ (x)=0 называются стационарными или критическими.

Точки, в которых производная функции равна нулю на графике функции выглядят так:

Достаточное условие существования экстремума (максимума) в точке.

Если при переходе через стационарную точку производная функции меняет знак с “+” на “-”, то эта точка является точкой максимума.

Если при переходе через стационарную точку f’ (x) не меняет знак, то эта точка не является точкой экстремума, такие точки называются точками перегиба.

Алгоритм нахождения экстремумов функции.

1. Найти производную функции.

2. Найти стационарные точки (решить уравнение f’ (x)=0).

3.На числовой прямой определить знак производной на полученных интервалах.

4.Определить точки экстремумов функции (использовать определение).

5. Записать ответ.

Например: Найти экстремумы функции

1.

2.

3.___+____.___-____.___+_______

4.Х=0 – точка максимума, т. К. при переходе через стационарную точку производная сменила знак с «+» на «-»;

Х=2 – точка минимума, т. К. при переходе через стационарную точку производная сменила знак с «-» на «+»;

5. ответ: х=0 – точка максимума, х=2 – точка минимума.

Дата добавления: 2016-11-24 ; просмотров: 1700 | Нарушение авторских прав

источник

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Геометрический смысл производной

Ты уже знаешь что такое производная? Если нет, сперва прочти тему «Производная». Итак, ты говоришь, что знаешь производную. Сейчас проверим. Найди приращение функции при приращении аргумента, равном . Справился? Должно получиться . А теперь найди производную функции в точке . Ответ: . Получилось? Если в каком-нибудь из этих примеров возникли сложности, настоятельно рекомендую вернуться к теме «Производная» и проштудировать ее еще раз. Знаю, тема очень большая, но иначе нет смысла идти дальше. Рассмотрим график какой-то функции :

Выберем на линии графика некую точку . Пусть ее абсцисса , тогда ордината равна . Затем выберем близкую к точке точку с абсциссой ; ее ордината – это :

Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии). Обозначим угол наклона прямой к оси как . Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки. Какие значения может принимать угол ? Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – , а минимально возможный – . Значит, . Угол не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с , а логичнее выбирать меньший угол. Возьмем на рисунке такую точку , чтобы прямая была параллельна оси абсцисс, а – ординат:

По рисунку видно, что , а . Тогда отношение приращений:

(так как , то – прямоугольный).

Давай теперь уменьшать . Тогда точка будет приближаться к точке . Когда станет бесконечно малым , отношение станет равно производной функции в точке . Что же при этом станет с секущей? Точка будет бесконечно близка к точке , так что их можно будет считать одной и той же точкой. Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки , но этого достаточно). Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Читайте также:  Как узнать к какому провайдеру подключен дом по адресу

Угол наклона секущей к оси назовем . Тогда получится, что производная

то есть производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке.

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

За что отвечает коэффициент ? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент. Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью ! То есть вот что получается:

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей? Посмотрим: Теперь углы и тупые. А приращение функции – отрицательное. Снова рассмотрим : . С другой стороны, . Получаем: , то есть все, как и в прошлый раз. Снова устремим точку к точке , и секущая примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке . Итак, сформулируем окончательно полученное правило:
Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

Это и есть геометрический смысл производной. Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:
На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .
Решение.
Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс: . Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной. На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!

Угол наклона касательной к оси – это . Найдем тангенс этого угла: . Таким образом, производная функции в точке равна .
Ответ: . Теперь попробуй сам:

  1. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .
  2. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

    Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс: . Достроим треугольник со стороной , лежащей на касательной.

Угол наклона касательной – это угол, отмеченный зеленым на графике. Он тупой 90<>^\circ \right)”> , поэтому его тангенс не получится вычислить так же, как в предыдущем примере (ведь в прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла). Применим знания из тригонометрии. Интересующий нас угол является смежным с . А значит: Найдем : . Значит тангенс угла наклона касательной (а вместе с ним и значение производной в точке касания) равен .
Ответ: .

  • Здесь ответ равен . В ЕГЭ такой ответ написать не получится, но мы ведь должны понимать, что математика не ограничена рамками ЕГЭ.
  • Зная геометрический смысл производной, можно очень просто объяснить правило, что производная в точке локального максимума или минимума равна нулю. Действительно, касательная к графику в этих точках «горизонтальна», то есть параллельна оси абсцисс:
    А чему равен угол между параллельными прямыми? Конечно, нулю! А тангенс нуля тоже равен нулю. Вот и производная равна нулю:

    Более подробно об этом читай в теме «Монотонность функций. Точки экстремума».

    А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных. Предположим, у нас есть какая-то функция, например, . Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке . Например, в точке . Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:

    Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости? Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты и в уравнении

    Но ведь мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:

    В нашем примере будет так:

    Теперь остается найти . Это проще простого: ведь – значение при . Графически – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь во всех точках оси ):

    Проведём (так, что – прямоугольный). Тогда (тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны и ? По рисунку явно видно, что , а . Тогда получаем:

    Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:

    Это и есть уравнение касательной к графику функции в точке .

    Пример:
    Найди уравнение касательной к графику функции в точке .
    Решение:
    На этом примере выработаем простой алгоритм действий в подобных задачах:

    Алгоритм Пример: ,
    1. Вычислим
    2. Найдём формулу производной функции
    3. Вычислим
    4. Подставим и в формулу уравнения касательной
    1. Найди уравнение касательной к функции в точке .
    2. Касательная к параболе пересекает ось под углом . Найди уравнение этой касательной.
    3. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
    4. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
    5. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

    Решения и ответы:

    1. Всё по плану:
      • .
      • .
      • .
      • Поскольку функция на этот раз называется буквой y, то чтобы не запутаться, для касательной введем другую букву: .
    2. То, что нам известен угол наклона касательной, очень хорошо: ведь его тангенс равен производной функции, а также угловому коэффициенту касательной. Но тут есть подвох: дело в том, что под углом ось могут пересекать две разные касательные: с наклоном «вправо» и «влево»:

      Прямая 2 (та, которая «наклонена влево») с положительным направлением оси составляет угол – это и есть угол наклона прямой к оси . Дальше всё просто: , .
      Прямая 1. , .
      Касательная: .
      Прямая 2. , .
      Касательная: .
      Ответ:; .
    3. Абсцисса – это ось , а значит, нам нужно найти значение в точке пересечения касательной и графика функции. Из уравнения мы знаем, что угловой коэффициент наклона касательной равен значению производной в точке касания. Поскольку прямая параллельна касательной, это значит, что их угловые коэффициенты наклона одинаковые .

      Согласно правилам вычисления производных, находим производную функции :
      .
      Теперь приравниваем производную к коэффициенту наклона касательной и находим абсциссу точки касания:

      .

      Ответ:.

    4. Ответ: .
    5. Ответ: .

    Геометрический смысл производной

    Производная функции в конкретной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или угловому коэффициенту этой касательной:

    Уравнение касательной к графику функции в точке :

    Алгоритм действий для нахождения уравнения касательной:

    Алгоритм Пример: ,
    1. Вычислим
    2. Найдем формулу производной функции
    3. Вычислим
    4. Подставим и в формулу уравнения касательной

    Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

    Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

    Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

    Проблема в том, что этого может не хватить…

    Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

    Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

    Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

    Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

    Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

    НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

    На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

    Тебе нужно будет решать задачи на время.

    И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

    Это как в спорте – нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

    Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

    Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

    Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

    1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье – Купить статью – 299 руб
    2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника – Купить учебник – 899 руб

    Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

    Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

    И в заключение.

    Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

    “Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

    Спасибо. Всё понятно и красиво оформлено. Но в пункте 3 таблицы по нахождению уравнения касательной допущена ошибка. Значение производной в точке Хо = 6, а не 8.

    источник

    В математике одним из параметров, описывающих положение прямой на декартовой плоскости координат, является угловой коэффициент этой прямой. Этот параметр характеризует наклон прямой к оси абцисс. Чтобы понять, как найти угловой коэффициент, сначала вспомним общий вид уравнения прямой в системе координат XY.

    В общем виде любую прямую можно представить выражением ax+by=c, где a, b и c – произвольные действительные числа, но обязательно a 2 + b 2 ≠ 0.

    Подобное уравнение с помощью несложных преобразований можно довести до вида y=kx+d, в котором k и d – действительные числа. Число k является угловым коэффициентом, а само уравнение прямой подобного вида называется уравнением с угловым коэффициентом. Получается, что для нахождения углового коэффициента, необходимо просто привести исходное уравнение к указанному выше виду. Для более полного понимания рассмотрим конкретный пример:

    Решение: Преобразуем исходное уравнение.

    Ответ: Искомый угловой коэффициент данной прямой равен 2.

    В случае, если в ходе преобразований уравнения мы получили выражение типа x = const и не можем в результате представить y в виде функции x, то мы имеем дело с прямой, параллельной оси Х. Угловой коэффициент подобной прямой равен бесконечности.

    Для прямых, которых выражены уравнением типа y = const, угловой коэффициент равняется нулю. Это характерно для прямых, параллельных оси абцисс. Например:

    Решение: Приведем исходное уравнение к общему виду

    Из полученного выражения выразить y невозможно, следовательно угловой коэффициент данной прямой равен бесконечности, а сама прямая будет параллельна оси Y.

    Для лучшего понимания обратимся к картинке:

    На рисунке мы видим график функции типа y = kx. Для упрощения примем коэффициент с = 0. В треугольнике ОАВ отношение стороны ВА к АО будет равно угловому коэффициенту k. Вместе с тем отношение ВА/АО – это тангенс острого угла α в прямоугольном треугольнике ОАВ. Получается, что угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла, который составляет эта прямая с осью абцисс координатной сетки.

    Решая задачу, как найти угловой коэффициент прямой, мы находим тангенс угла между ней и осью Х сетки координат. Граничные случаи, когда рассматриваемая прямая параллельна осям координат, подтверждают вышенаписанное. Действительно для прямой, описанной уравнением y=const, угол между ней и осью абцисс равен нулю. Тангенс нулевого угла также равен нулю и угловой коэффициент тоже равен нулю.

    Для прямых, перпендикулярных оси абцисс и описываемых уравнением х=const, угол между ними и осью Х равен 90 градусов. Тангенс прямого угла равен бесконечности, так же и угловой коэффициент подобных прямых равен бесконечности, что подтверждает написанное выше.

    Распространенной, часто встречающейся на практике, задачей является также нахождение углового коэффициента касательной к графику функции в некоторой точке. Касательная – это прямая, следовательно к ней также применимо понятие углового коэффициента.

    Чтобы разобраться, как найти угловой коэффициент касательной, нам будет необходимо вспомнить понятие производной. Производная от любой функции в некоторой точке – это константа, численно равная тангенсу угла, который образуется между касательной в указанной точке к графику этой функции и осью абцисс. Получается, что для определения углового коэффициента касательной в точке x, нам необходимо рассчитать значение производной исходной функции в этой точке k = f'(x). Рассмотрим на примере:

    Решение: Найдем производную от исходной функции в общем виде

    y’ = 24x + 2xe x + 2e x , далее в полученное выражение подставим значение х –

    y'(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1

    Ответ: Искомый угловой коэффициент в точке х = 0,1 равен 4,831

    источник

    Формула касательной к графику через производную. Как найти угловой коэффициент касательной к графику функции. Угловой коэффициент касательной

    В математике одним из параметров, описывающих положение прямой на декартовой плоскости координат, является угловой коэффициент этой прямой. Этот параметр характеризует наклон прямой к оси абцисс. Чтобы понять, как найти угловой коэффициент, сначала вспомним общий вид уравнения прямой в системе координат XY.

    В общем виде любую прямую можно представить выражением ax+by=c, где a, b и c – произвольные действительные числа, но обязательно a 2 + b 2 ≠ 0.

    Подобное уравнение с помощью несложных преобразований можно довести до вида y=kx+d, в котором k и d – действительные числа. Число k является угловым коэффициентом, а само уравнение прямой подобного вида называется уравнением с угловым коэффициентом. Получается, что для нахождения углового коэффициента, необходимо просто привести исходное уравнение к указанному выше виду. Для более полного понимания рассмотрим конкретный пример:

    Решение: Преобразуем исходное уравнение.

    Ответ: Искомый угловой коэффициент данной прямой равен 2.

    В случае, если в ходе преобразований уравнения мы получили выражение типа x = const и не можем в результате представить y в виде функции x, то мы имеем дело с прямой, параллельной оси Х. Угловой коэффициент подобной прямой равен бесконечности.

    Для прямых, которых выражены уравнением типа y = const, угловой коэффициент равняется нулю. Это характерно для прямых, параллельных оси абцисс. Например:

    Решение: Приведем исходное уравнение к общему виду

    Из полученного выражения выразить y невозможно, следовательно угловой коэффициент данной прямой равен бесконечности, а сама прямая будет параллельна оси Y.

    Для лучшего понимания обратимся к картинке:

    На рисунке мы видим график функции типа y = kx. Для упрощения примем коэффициент с = 0. В треугольнике ОАВ отношение стороны ВА к АО будет равно угловому коэффициенту k. Вместе с тем отношение ВА/АО – это тангенс острого угла α в прямоугольном треугольнике ОАВ. Получается, что угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла, который составляет эта прямая с осью абцисс координатной сетки.

    Решая задачу, как найти угловой коэффициент прямой, мы находим тангенс угла между ней и осью Х сетки координат. Граничные случаи, когда рассматриваемая прямая параллельна осям координат, подтверждают вышенаписанное. Действительно для прямой, описанной уравнением y=const, угол между ней и осью абцисс равен нулю. Тангенс нулевого угла также равен нулю и угловой коэффициент тоже равен нулю.

    Для прямых, перпендикулярных оси абцисс и описываемых уравнением х=const, угол между ними и осью Х равен 90 градусов. Тангенс прямого угла равен бесконечности, так же и угловой коэффициент подобных прямых равен бесконечности, что подтверждает написанное выше.

    Распространенной, часто встречающейся на практике, задачей является также нахождение углового коэффициента касательной к графику функции в некоторой точке. Касательная – это прямая, следовательно к ней также применимо понятие углового коэффициента.

    Чтобы разобраться, как найти угловой коэффициент касательной, нам будет необходимо вспомнить понятие производной. Производная от любой функции в некоторой точке – это константа, численно равная тангенсу угла, который образуется между касательной в указанной точке к графику этой функции и осью абцисс. Получается, что для определения углового коэффициента касательной в точке x 0 , нам необходимо рассчитать значение производной исходной функции в этой точке k = f”(x 0). Рассмотрим на примере:

    Решение: Найдем производную от исходной функции в общем виде

    y”(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1

    Ответ: Искомый угловой коэффициент в точке х = 0,1 равен 4,831

    В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение

    Вспомним геометрический смысл производной : если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке .

    Возьмем на касательной произвольную точку с координатами :

    И рассмотрим прямоугольный треугольник :

    В этом треугольнике

    Отсюда

    Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке .

    Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти и .

    Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

    2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке .

    3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

    Рассмотрим каждый тип задач.

    1 . Написать уравнение касательной к графику функции в точке .

    .

    б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции

    Подставим найденные значения в уравнение касательной:

    Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

    2 . Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.

    Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции в точках касания равно нулю.

    а) Найдем производную функции .

    б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :

    Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

    3 . Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой .

    Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной , а, тем самым, значение производной в точке касания .

    Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

    Итак, у нас дана функция и значение производной в точке касания.

    а) Найдем точки, в которых производная функции равна -1.

    Сначала найдем уравнение производной.

    Приравняем производную к числу -1.

    Найдем значение функции в точке .

    .

    б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .

    Найдем значение функции в точке .

    Подставим эти значения в уравнение касательной:

    .

    4 . Написать уравнение касательной к кривой , проходящей через точку

    Сначала проверим, не является ли точка точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точки в уравнение функции.

    Title=”1sqrt<8-3^2>“>. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

    Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания .

    Пусть – точка касания. Точка принадлежит касательной к графику функции . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

    .

    Значение функции в точке равно .

    Найдем значение производной функции в точке .

    Сначала найдем производную функции . Это .

    Производная в точке равна .

    Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :

    Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

    Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

    Упростим числитель дроби и умножим обе части на – это выражение строго больше нуля.

    Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.

    Решим квадратное уравнение, получим

    Второй корень не удовлетворяет условию title=”8-3x_0>=0″>, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .

    Напишем уравнение касательной к кривой в точке . Для этого подставим значение в уравнение – мы его уже записывали.

    Теме «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона» в аттестационном экзамене отводится сразу несколько заданий. В зависимости от их условия, от выпускника может требоваться как полный ответ, так и краткий. При подготовке к сдаче ЕГЭ по математике ученику обязательно стоит повторить задачи, в которых требуется вычислить угловой коэффициент касательной.

    Сделать это вам поможет образовательный портал «Школково». Наши специалисты подготовили и представили теоретический и практический материал максимально доступно. Ознакомившись с ним, выпускники с любым уровнем подготовки смогут успешно решать задачи, связанные с производными, в которых требуется найти тангенс угла наклона касательной.

    Для нахождения правильного и рационального решения подобных заданий в ЕГЭ необходимо вспомнить базовое определение: производная представляет собой скорость изменения функции; она равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в определенной точке. Не менее важно выполнить чертеж. Он позволит найти правильное решение задач ЕГЭ на производную, в которых требуется вычислить тангенс угла наклона касательной. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика на плоскости ОХY.

    Если вы уже ознакомились с базовым материалом на тему производной и готовы приступить к решению задач на вычисление тангенса угла наклона касательной, подобных заданиям ЕГЭ, сделать это можно в режиме онлайн. Для каждого задания, например, задач на тему «Связь производной со скоростью и ускорением тела» , мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут попрактиковаться в выполнении задач различного уровня сложности. В случае необходимости упражнение можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить решение с преподавателем.

    Пусть дана функция f , которая в некоторой точке x 0 имеет конечную производную f (x 0). Тогда прямая, проходящая через точку (x 0 ; f (x 0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x 0), называется касательной.

    А что будет, если производная в точке x 0 не существует? Возможны два варианта:

    1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример – функция y = |x | в точке (0; 0).
    2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π /2).

    Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b , где k – угловой коэффициент. Касательная – не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x 0 , достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

    Итак, пусть дана функция y = f (x ), которая имеет производную y = f ’(x ) на отрезке . Тогда в любой точке x 0 ∈ (a ; b ) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

    Здесь f ’(x 0) – значение производной в точке x 0 , а f (x 0) – значение самой функции.

    Задача. Дана функция y = x 3 . Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x 0 = 2.

    Уравнение касательной: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Точка x 0 = 2 нам дана, а вот значения f (x 0) и f ’(x 0) придется вычислять.

    Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
    Теперь найдем производную: f ’(x ) = (x 3)’ = 3x 2 ;
    Подставляем в производную x 0 = 2: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 · 2 2 = 12;
    Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
    Это и есть уравнение касательной.

    Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x ) = 2sin x + 5 в точке x 0 = π /2.

    В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие – укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

    f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
    f ’(x ) = (2sin x + 5)’ = 2cos x ;
    f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

    В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет – просто мы наткнулись на точку экстремума.

    Касательная – это прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка (рис.1).

    Другое определение : это предельное положение секущей при Δx →0.

    Пояснение : Возьмем прямую, пересекающую кривую в двух точках: А и b (см.рисунок). Это секущая. Будем поворачивать ее по часовой стрелке до тех пор, пока она не обретет только одну общую точку с кривой. Так мы получим касательную.

    Строгое определение касательной:

    Касательная к графику функции f , дифференцируемой в точке x о , – это прямая, проходящая через точку (x о ; f (x о )) и имеющая угловой коэффициент f ′(x о ).

    Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b . Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.

    Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс:

    Здесь угол α – это угол между прямой y = kx + b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой (рис.1 и 2).

    Если угол наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).

    Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).

    Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).

    Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c , где c – некоторое действительное число (рис.4).

    Пример : Найдем уравнение касательной к графику функции f (x ) = x 3 – 2x 2 + 1 в точке с абсциссой 2.

    1) Точка касания x о равна 2. Вычислим f (x о ):

    f (x о ) = f (2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

    2) Находим f ′(x ). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х 2 = 2х , а х 3 = 3х 2 . Значит:

    Теперь, используя полученное значение f ′(x ), вычислим f ′(x о ):

    f ′(x о ) = f ′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

    3) Итак, у нас есть все необходимые данные: x о = 2, f (x о ) = 1, f ′(x о ) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:

    у = f (x о ) + f ′(x о ) (x – x о ) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.

    источник

    Adblock
    detector