Меню

2 корень из 3 как решить

Степенью называется выражение вида .

Здесь — основание степени, — показатель степени.

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

Это верно для . Выражение 0 0 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Уравнение имеет два решения: и .

Это числа, квадрат которых равен .

Если мы нарисуем график функции , то увидим, что и у этого уравнения есть два решения, одно из которых положительно, а другое отрицательно.

Но эти решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того чтобы записать эти решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Запомните это определение.

Арифметический квадратный корень обозначается .

1) Квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел

2) Выражение всегда неотрицательно. Например, .

Перечислим свойства арифметического квадратного корня:

Запомним, что выражение не равно . Легко проверить:

Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

Сразу договоримся, что основание степени больше .

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше .

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Обучающее видео
БЕСПЛАТНО

Техническая поддержка:
dvd@ege-study.ru (круглосуточно)

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Все поля обязательны для заполнения

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса – от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум – репетитор-профессионал Анна Малкова.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля – до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги – 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» – всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

источник

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Для начала почитай комментарии внизу этой статьи, чтобы понять насколько крутой материал ты сейчас читаешь! )

А теперь давай попробуем разобраться, что это за понятие такое “квадратный корень”.

К примеру, перед нами уравнение .

Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом ?

Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ: и (ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)!

Для упрощения, математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ

Давай разберемся с корнем до конца.

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен .
.

А почему же число должно быть обязательно неотрицательным?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим: , а не .

Может, ? Опять же, проверяем: .

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что в определении сказано, что решение квадратного корня из «числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен ».

А в самом начале мы разбирали пример , подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом , ответом были и , а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»!

Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа.

К примеру, не равносильно выражению .

, то есть или ; (не помнишь почему так? Почитай тему “Модуль числа”!)

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как , так и .

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

А теперь попробуй решить такое уравнение .

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: – не подходит.

Двигаемся дальше ; – меньше трех, тоже отметаем.

А что если ? Проверим: – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

Читайте также:  Как вкусно приготовить брокколи и цветную капусту

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между и , а также между и .

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

Давай построим график функции и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из , делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. и уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: .

Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что . Корень из двух приблизительно равен , но, как мы заметили раньше, -уже является полноценным ответом.

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать.

Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от до , а также уметь их распознавать.

То есть, тебе необходимо знать, что в квадрате равно , а также, наоборот, что – это в квадрате.

Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.

Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.

Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:

Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:

Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

  • умножение;
  • деление;
  • возведение в степень.

Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:

Корень произведения равен произведению корней:

Корень из дроби – это корень из числителя и корень из знаменателя:

Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:

Попробуем решить по несколько примеров на каждое свойство!

Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!

Минуууточку. это , а это значит, что мы можем записать вот так:

Усвоил? Вот тебе следующий:

Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда – вот тебе такие примеры:

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

Теперь полностью самостоятельно:

Ответы: Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

А значит это, что корень из частного равен частному корней.

Ну что, давай разбираться на примерах:

Вот и вся наука. А вот такой пример:

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

А что, если попадется такое выражение:

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

Еще ты можешь встретить такое выражение:

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа – это число, квадратный корень которого равен .

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен , в квадрат, то что получаем?

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

Вот, к примеру, такое выражение:

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!

Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному – рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше: или ?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

Получилось ? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

  1. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен .
    .
  2. Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
  3. Свойства арифметического корня:
    Свойство Пример
    Корень произведения равен произведению корней , если
    Корень из дроби – это корень из числителя и корень из знаменателя. , если
    Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение , при
  4. При сравнении квадратных корней необходимо помнить, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

Мы постарались объяснить тебе без воды все что нужно знать на экзамене про квадратный корень.

Теперь твоя очередь. Напиши нам сложная это для тебя тема или нет.

Узнал ты что-то новое или все было и так ясно.

Пиши в комментариях и удачи на экзаменах!

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте – нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

  1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье – Купить статью – 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника – Купить учебник – 499 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

спасибо огромное очень помогли

Люба, и тебе спасибо. Очень рады помочь!

Спасибо. Я начала понимать алгебру благодаря вашему сайту !

Анна, очень приятно слышать. Особенно нашим преподавателям, которые писали этот учебник Шевчуку Алексею Сергеевичу и Баштовой Елене Евгеньевне. Удачи, тебе на экзаменах.

я работаю достаточно долго. а работа -ах как мне понравилась! спасибо!

Читайте также:  Как действует прополис на печень

шыкарнае обясненее. я сразу всё понила.

шЫкарнА длА пАвтАрения перИт кАнтрольнАй))) А если нормально, но действительно годная теория))

“Паффтарения” пишыца чириc дфа фэ. Спасибо! :))

СПАСИИИИБОО. 10 лет назад закончила учебу, а сейчас понадобилась математика вновь. Очень доходчиво и легко пишете. Огромное спасибо!

Ничего себе! Через 10 лет понадобилась школьная математика? Мы рады, что помогло, Ирина.

Ксения, спасибо и тебе! Удачи на экзаменах!

Благодарю:3 Очень помогло! Я не поняла корни на уроке,а тут просто и четко объяснили! Спасибо огромное)

Очень рады, что помогло! Теперь если что не понятно, ты знаешь где искать простое и четкое объяснение 🙂 На youclever )

Спасибо огромное!Думала репетитора придётся нанимать.Молодцы всё очень понятно.

Пожалуйста, Нина. Очень приятно слышать такую оценку. но если захотите все-таки нанимать репетитора, посмотрите сначала наши курсы на 100gia.ru. Пишите )

Очень помогла теория и тут же закрепила практикой. Спасибо за понятную теорию!

Рады слышать. Пожалуйста. (не знаю как обращаться, Арсений?). А где закрепляла практикой? Здесь же в учебнике? Или где-то еще. Вопрос не праздный. Очень надо знать.

Всё очень понятно, но здесь к сожалению нет примеров, с которыми у меня возникают трудности: это когда под корнем ещё один корень( а под ним может быть ещё один, и т.д.).

Илья, замечание принято. К сожалению мы не успеваем учитывать все, но вот какое объяснение я нашел на стороннем ресурсе. Может будет понятно. https://www.youtube.com/watch?v=5rntedrQ7NY

Спасибо!За 10 минут я понял всю тему чем за 45 минут урока.

Алик, как приятно слышать! Мы, вся команда, математики, консультанты, администраторы именно этого и добивались, чтобы было понятно за 10 минут. Удачи на экзаменах!)

Очень доходчиво! Буду надеяться что сдам конторошку. Кстати не знаю нужно это вам или нет, НО мы сейчас час проходим такие примеры: Под корнем 17 в степени 2 минус 8 в степени 2(это на пример) В общем я думаю вам бы понадобилось и это записать)

Полина, спасибо! Лучики тепла тебе и удачи ни контрошке. Может быть тебе будет интересно. у нас на 100gia.ru есть возможность за небольшие деньги купить “Тренировку по теме”. Там по каждой теме много задач, с решениями и ответами моментальными и с объяснениями. Как раз чтобы подготовиться к конкретной контрошке (хорошее слово, кстати) 🙂

Полина, посмотри в теме “Формулы сокращённого умножения” – разность квадратов: https://youclever.org/book/formuly-sokrashhennogo-umnozheniya-1#raznost-kvadratov

А про построение графиков с арифметическими корнями, если они возводятся в квадрат. y=(√x+3)^2+(√5-x)^2 при x>5 корень над всем выражением в скобках

Юля, если корень возводится в квадрат, нужно написать ОДЗ и убрать корни вместе с квадратами. Если же это корень из квадрата выражения (то есть квадрат под корнем), то он превращается в модуль выражения.

И все же. если в примере стоит корень из 64, то в ответе надо писать 8 или + – 8?

Насколько я понимаю есть две ситуации: 1) x^2=64. и 2) x= √64. В первом случае у нас квадратное уравнение и его решением будет “модуль х =√64” (уже видно отличие от второго случая) и, далее получаем два корня x1 = +8 и х2 = -8 Во втором случае у нас НЕТ квадратного уравнения, просто х равен корню из числа и в этом случае ответ всегда “одно неотрицательное число”, то есть 8. (Это из определения корня, см выше)

Ответьте мне пожалуйста на 1 вопрос. Зачем он нужен этот квадратный корень? Я начинающий программист в школе учился хорошо, сейчас для общего развития решаю задачки со всякими алгоритмами в том числе с квадратным корнем. Чем умнее я становлюсь тем больше убеждаюсь что вся эта муть простому человеку нафиг не нужна ну серьёзно. Чтобы делать сайты не нужно быть математиком, я уже не говорю про гуманитариев, которые даже таблицу умножения могут не помнить уже. Так зачем всё это нужно?

Хороший вопрос, Сергей ). По мне, так вопрос “Зачем?” самый важный и интересный. В особенности в математике. Ответ есть в нашем тексте. Почитайте внимательно. Математики люди ленивые и потому сообразительные. Чтобы записывать иррациональные числа более простым способом ввели понятие квадратного корня. Вот и все.

Здравствуйте! Очень много полезной информации! СПАСИБО! Но я не смог найти информацию про корень в корне, т.е. вот посмотрите пример 5 на этом сайте: http://ru.solverbook.com/primery-reshenij/reshenie-primerov-s-kornyami/

Спасибо, Александр. Про “корень в корне” где-то у нас тоже было. Но спасибо за ссылку. Пусть повисит здесь у нас.

В школе ничего не понял, зашел на сайт и разобрал темы на 3 урока вперед. Спасибо вам, доходчиво и с подробными объяснениями.

Егор, вот ради таких комментариев мы и работаем. ОЧЕНЬ приятно слышать всей нашей команде!

Мне 72 , внучка задала вопрос по возведению в степень корня. Подзабыла. с удовольствием вспомнила. Спасибо з!амечательно

О как! Светлана, здавствуйте! Очень приятно слышать! Удачи Вашей внучке на экзаменах! )

А мне 77 лет. С удовольствием заполняю досуг, благо свободного времени хватает. И такое удовольствие получаю. Вот бы так учили в мои школьные годы. Израиль

Вот это комментарий. Семен, это ОЧЕНЬ приятно слышать. У нас были сомнения о том, как писать учебник: как обычно или “человеческим” языком. Видимо мы нашли правильный способ подачи материала. Спасибо Вам и отличного времяпровождения )

Ребята Огромное спасибо, я после армии, нужно сдать экзамен)) вы очень помогли.

Привет, Александр. Приятно слышать. Сам через это проходил: сдавал вступительные экзамены в институт (тогда ЕГЭ не было) после армии. Это очень трудно. Удачи на экзаменах.

Тати, прости, мы не помогаем решать примеры. Может быть кто-нибудь из читателей покажет класс? )

Спасибо огромное! Всё очень понятно и даже увлекательно) Кажется я начинаю любить математику:З

Ого! Евгения, это то, на что даже мы не рассчитывали! 🙂 На самом деле очень приятно. Удачи тебе с математикой. Она не такая и страшная, правда ведь? )

пример . корень из 5 умножить на корень из 3 умножить на корень из 2 не правильно посчитан у вас. там получается корень из тридцати, а у вас тридцать..ошибка!

Спасибо, за внимательность, Светлана. Исправил ошибку.

Спасибо Вашей программе. Мне 72 , решил помочь внуку и чтобы не выглядеть неучем , вошел в вашу программу освежить немножко то что забыл. Объяснение очень доходчиво . СПАСИБО!

Сергей, спасибо Вам! Очень ценно для нас слышать такие отзывы. Мы старались написать программу так, чтобы люди без подготовки и без знаний математики смогли ее понять. Удачи Вам и Вашему внуку.

Вообще клево , инфа не теряет свойств со временем 🙂 Надо глянуть , что у вас тут еще есть по корням и теме , к ним прилежащей !

два корня из 6 правильный ответ а не 24 24 это коень 4 помножить на корень6 4 делим на 2 получаем 2 корень из 2 корень из 6 либо 6 тк само значение корня равно 2/2

Спосыба аграмнае, очинь панятна

Спосыба аграмнае, очинь панятна

Пажылуста ни мение агромнае!

Я уже 2 года учусь только по вашему сайту, ибо школа нормально ничего не объясняет. Снимаю шляпу перед YouClever. Спасибо, спасибо, спасибо.

Вау. Вот это да! Очень! Очень приятно!

Сайт-офигенный, вот реально, всё понятно, мне оч нравится, спасибо Вам большое от души

Алина, спасибо огромное! Лучики тепла тебе!))

И всё же, из сказанного (К примеру, x2=4x​2​​ =4 не равносильно выражению x=4–x=√4)(вставилось с искажениями), всё равно в итоге приходим к двум значениям корня из положит. числа. Другое дело, что разбирая свойства корней, возникает необходимость преимущественно оперировать только положительным значением корня. А потому и привели их к положит. значению через абсолютную величину. Так, в примере – корень из 64 * из 9 = 8*3=24 оперировать попеременно и с отриц .значениями не получится. Сказанное настоятельно не утверждаю, просто в качестве рассуждения. Всё же как-то трудновато для понимания как бы неприемлемость отриц. значения при извлечении кв. корня из числа. А вот свойства, да, получаются без ограничений только для положительных корней. А потому оперируем только ариффметическими при преобразовании выражений.

Геннадий, это хороший вопрос, который в рамках школьной программы, к сожалению, не разбирается. Вы можете посмотреть ответ на подобный вопрос в этом видео: https://www.youtube.com/watch?v=w9wPMMapKIQ

Ваш сайт единственный который смог достучаться до меня (в плане алгебры).

Это очень. приятно слышать, Сергей. Удачи, на экзамене!

Спасибо огромное за теорию. Очень понятно и доходчиво написано, разобрала все за минут 40-50

Спасибо, Викп! Была бы у меня возможность ставить смайлики, поставил бы довольную рожицу! 🙂

Спасибо большое,все понял. почти. Вы написали что для того что бы вычислить квадратный корень из большого числа нужно разложить его на множители но как например разложить на множители такие крупные числа как 11234 3345 и т.д если таблицы квадратов на экзамене не будет+ очень трудно будет ее запомнить с11по 99)). Есть совет как быстро разложить такие большие числа на множители?

Спасибо, Павел. Если коротко, то нужно знать две вещи: 1) что такое простое число 2) признаки делимости чисел(наизусть) и затем делить большое число на наименьший простой делитель (кроме единицы) без остатка, в столбик, до тех пор пока не останется 1. В вашем примере, используя признаки делимости определяем на какое наименьшее простое число делится 112 343 345. На 2? Нет. На 3? Сумма цифр числа не делится на 3. Значит нет. На 5? Да! Делим на 5 в столбик и получаем 22 468 669. Опять вспоминаем признаки делимости. На какое наименьшее простое число делится уже новое число? И вот тут интересно. оно не делится без остатка ни на одно простое число. Это мы определяем по признакам делимости. Значит оно само – уже простое число. Мы можем разделить его только на 1 или на само себя. Вот мы и разложили ваше большое число на два множителя: 5 и 22 468 669. Если я нигде не ошибся )) Ну, думаю, идею вы поняли. Признаки делимости можно посмотреть здесь: https://youclever.org/book/razlozhenie-na-mnozhiteli-2 Их надо выучить назубок.

Читайте также:  Как варить желе из красной смородины

Павел, вот здесь наглядно очень про то, как раскладывать на множители большие числа: https://ru.wikihow.com/разложить-число-на-множители

Ребята, если хотите посмотреть скрытые элементы статьи бесплатно, просто пропишите display: block вместо display: none для класса paymenttoshow через инспектор в вашем браузере. P.S: Лучше прописывать для каждого элемента по отдельности, иначе страница зависает. P.Sx2: Уважаемая администрация и владельцы сайта, можете связаться со мной, я посоветую как исправить данную слабость и надёжнее скрыть эти элементы.

Вадим, спасибо за внимательность и найденную дырку – исправим )

Спасибо коллективу авторов и участникам проекта! Понятное объяснение на примерах!

источник

Очень не нравятся, некоторым, школьникам уравнения и задачи, в которых встречается знак корня. А ведь решить пример с корнем не так сложно, важно знать, с какой стороны подойти к проблеме. Сам значок, который обозначает извлечение корня, называется радикалом. Как решать корни? Извлечь квадратный корень из числа – это значит, подобрать такое число, которое в квадрате даст то самое значение под знаком радикала.

Решать квадратные корни несложно. Например, требуется выяснить, сколько будет корень из 16. Для того чтобы решить этот простой пример, нужно вспомнить, сколько будет 2 в квадрате – 2 2 , затем 3 2 , и, наконец, 4 2 . Только теперь мы увидим, что результат (16) соответствует запросу. То есть, для того, чтобы извлечь корень, нам пришлось подбирать возможные значения. Оказывается, для того, чтобы решать корни, не существует точного и проверенного алгоритма. Для облегчения труда “решателя”, математики рекомендуют заучить наизусть (именно назубок, как таблицу умножения) значения квадратов чисел до двадцати. Тогда можно будет запросто извлекать корень из чисел, которые больше сотни. И, наоборот, видеть сразу, что корень из этого числа извлечь нельзя, то есть ответ не будет иметь целое число.

Мы разобрались, как решать квадратные корни. А теперь давайте разберемся, какие квадратные корни решения не имеют. Например, отрицательные числа. Здесь понятно, что если два отрицательных числа перемножить – ответ получится со знаком плюс. Далее что следует знать. Корень извлечь можно из любого числа (кроме отрицательного, как упоминалось выше). Просто ответ может обернуться десятичной дробью. То есть содержать какое-то количество цифр после запятой. Например, корень из двух имеет значение 1.41421 и это еще не все цифры после запятой. Такие значения округляются для облегчения расчетов, иногда до второй цифры после запятой, иногда до третьей или четвертой. Кроме того частенько практикуется так и оставлять число под корнем в качестве ответа, если оно хорошо и компактно смотрится. Ведь и так ясно, что оно означает.

Чтобы решать уравнения с корнями, нужно применить одну из придуманных не нами методик. Например, возвести обе части такого уравнения в квадрат. Например:

Возведем в квадрат левую и правую части уравнения:

Теперь уже видно, как решать это уравнение. Сначала выясним, чему равен X 2 (а он равен 16), а затем извлечем из него корень. Ответ: 4. Однако здесь стоит сказать, что это уравнение на самом деле имеет два решения, два корня: 4 и -4. Ведь -4 в квадрате тоже даст 16.

Кроме этого метода иногда более привлекателен и удобен способ замены переменной, которая находится под корнем – другой переменной, для того, чтобы избавиться от этого корня.

Впоследствии, решив уравнение, мы возвращаемся к замене и заканчиваем вычисления с корнем.

То есть, получаем X = Y 2 . А это и будет решение.

Следует сказать, что есть еще несколько приемов решения уравнений с корнями.

Радикал, в основании которого нет степени, означает, что нужно извлечь из выражения или числа квадратный корень, то есть квадратная степень наоборот. Это просто и понятно. Например: корень из 9 = 3, (а 3 2 = 9), корень из 16 = 4 (4 2 = 16) и все в том же духе. Но что значит, если у корня есть степень? Это означает, что нужно, опять же, произвести действие, обратное возведению в эту самую степень. Например, нужно узнать значение корня кубического из 27.
Для этого, надо подобрать такое число, которое при возведении в куб, даст 27. Это 3 (3*3*3=27).

Похожие действия нужно произвести, если степень корня равна 4, 5. Только в этом случае надо подобрать такое число, которое при возведении в степень n даст значение под корнем n-ной степени.

Тут нужно сказать, что степени корней и степени подкоренных выражений можно сокращать. Однако по правилам. Если число или переменная под корнем имеет степень, кратную степени корня – их можно сократить. Например:

Эти правила действий с корнями и степенями просты, их нужно знать четко, и тогда расчет будет прост. Как решать корни в степени, мы разобрались, теперь продвигаемся дальше.

Это ужасное выражение корень под корнем на первый взгляд не решаемое. Но, чтобы правильно вычислить значение такого выражения, нужно знать свойства корней. В таком случае требуется просто заменить два корня – одним. Для этого степени этих радикалов нужно просто перемножить. Например:

корень 3 из корня 729 = (корень 3 * корень 2 ) из 729

То есть, здесь мы умножили между собой корень кубический на корень квадратный. В итоге получили корень шестой степени:

Точно так же нужно решать и другие подобные корни под корнем.

Рассмотрев все предложенные примеры, легко согласиться, что решение корней – не такая уж и трудная задача. Конечно, когда дело сводится к простой, банальной арифметике, иногда легче воспользоваться привычным калькулятором. Однако перед тем как производить вычисления, нужно сделать все возможное, чтобы упростить себе задачу, максимально сократив количество и сложность арифметических вычислений. Тогда решение станет простым и, самое главное – интересным.

источник

Если подкоренное выражение или сам корень возведены в степень, то при извлечении корня воспользуйтесь тем свойством, что показатель степени подкоренного выражения можно поделить на степень корня. Если деление производится нацело, число вносится из-под корня. Например, √5^4=5²=25.

Пример. Вычислить значение выражения (√3+√5)∙(√3-√5). Примените формулу разности квадратов и получите (√3)²-(√5)²=3-5=-2.

Обратите внимание на следующие примеры.

• 7 + √25 = 7 + √(5^2) = 7 + 5 = 12. Здесь под знаком квадратного корня стоит число 25, которое является полным квадратом числа 5.

• 7 + (√3)27 = 7 + (√3) (3^3) = 7 + 3 = 10. Здесь был извлечен кубический корень из числа 27, которое является кубом числа 3.

• 7 + √(4/9) = 7 + √( (2/3)^2 ) = 7 + 2/3 = 23/3. Для извлечения корня из дроби необходимо извлечь корень из числителя и из знаменателя.

Примеры вынесения множителя из под знака корня:

• 3 + √18 = 3 + √(3^2 * 2) = 3 + 3√2 = 3 * (1 + √2).

• 3 + √(7 / 4) = 3 + √ (7 / 2^2) = 3 + √7 / 2 = (6 + √7) / 2. В данном примере был вынесен полный квадрат из знаменателя дроби.

• 3 + (√4)240 = 3 + (√4) (2^4 * 3 * 5) = 3 + 2 *(√4) 15. Здесь получилось вынести 2 в четвертой степени из под знака корня четвертой степени.

Если подкоренное выражение или сам корень возведены в степень, то при извлечении корня воспользуйтесь тем свойством, что показатель степени подкоренного выражения можно поделить на степень корня. Если деление производится нацело, число вносится из-под корня. Например, √5^4=5²=25.

Пример. Вычислить значение выражения (√3+√5)∙(√3-√5). Примените формулу разности квадратов и получите (√3)²-(√5)²=3-5=-2.

Город Вавилон (Врата Бога) с населением полтора тысяч человек был основан в Междуречье более 3000 лет до н.э. На раскопках этого древнего поселения были найдены глиняные таблички с нанесенными на них знаками. Их возраст превышает 5000 лет. Когда были расшифрованы символы клинописи, археологи с изумлением прочитали уравнения вычисления различных площадей с помощью квадратных корней. Не известие об открытии, а уже его использование. Имя великого математика, первым догадавшегося извлечь квадратный корень, утеряно в анналах истории.

Как любое великое открытие, оно возникло одновременно в нескольких местах в головах разных гениальных людей. Например, в 2500 гг. до н.э. в Древнем Египте возводились пирамиды – усыпальницы фараонов. Археологи просчитали, что без знания числа π и квадратного корня построить такие сооружения с четко выстроенными коридорами и строгой ориентацией помещений по сторонам света было просто невозможно. И снова даже граффити на стенах каменных блоков не донесли до современности имен гениальных математиков.

Если Шумерская цивилизация еще могла как-то перетечь на Африканский континент, то математика племен майя в Южной Америке в это же время развивалась совершенно обособленно. Дворцы, возводимые в южноамериканских джунглях, не могли быть построены без знаний математики (квадратного корня в том числе), астрономии и даже основ оптики.

В V веке до н.э. астроном, врач и математик Гиппократ написал первый учебник по геометрии, в котором ввел и объяснил множество математических формул и терминов, в том числе «гиппократовы луночки», при помощи которых пытался вычислить квадратуру круга.

Древнегреческому математику Эвклиду в III веке до н.э досталась великая миссия сублимировать мудрость предков, работы Гиппократа, изложить все в своих трудах «Начала», объяснив между прочим значение квадратного корня, и донести до последующих поколений.

Спустя 600 лет в той же Греции Диафант Александрийский, основываясь на работах своих предшественников, ввел математические обозначения, которые человечество использует и сегодня, описал решения неопределенных уравнений, ввел понятия рациональных и иррациональных чисел. Им было написано 13 трактатов «Арифметика», только 6 из которых сохранились. В этих трудах великий грек объясняет решения уравнений с двумя неизвестными второго порядка, используя для их решений извлечение квадратного корня из числа, как давно известное математическое действии.

Из всей истории появления в математике квадратного корня получается, что патент на изобретение квадратичных исчислений, так же, как и на изобретение колеса, выдавать некому.

источник

Adblock
detector